các chuyên đề toán trung học phổ thông - hình học không gian-tác giả phan huy khải

Phan 1 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Chương 1 PHÉP TÍNH TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1.. s Các phép tính về vectơ trong không gian cũng tương tự như các phép tính về vectơ trong mặt phẳng

PHAN HUY KHẢI

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

e On thi tốt nghiệp THPT

® Luyện thi vào Đại học và Eao đẳng

NHA XUẤT BAN GIAO DUC VIỆT NAM.

https: / /www.facebook.com /tusachtructuyen

PHAN HUY KHẢI

HINH HOC

KHONG GIAN DANH CHO HOC SINH ON THI TOT NGHIEP THPT

VA LUYEN THI VAO DAI HOC, CAO DANG

NHA XUAT BAN GIAO DUC

Phan 1

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN

Chương 1 PHÉP TÍNH TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Toa độ điểm trong không gian

s Trong không gian, mỗi điểm M tương ứng với duy nhất bộ ba số (x ; Y ; Z)

và bộ ba số đó được gọi là toạ độ của điểm M, kí hiệu là

s Cho tam giác ABC với A = (XI; y¡; Z4); B=X2; Y2; Z2); C= (X3; Y3; 24)

Khi đó trọng tâm G của tam giác có toa độ được xác định như sau

https:/ /www.facebook.com/tusachtructuyen

* Cho tứ điện ABCD Điểm G gọi là trọng tâm của tứ diện khi và chỉ khi

GA + GB + GC + GD = 0

Nếu A =(Xị;Y;Z4); B= ¿; Y2: Z2); C= (X4; Y2; Z4); D = (X4; Y4; Z4)

- thì trọng tâm G của tứ diện có toa độ được xác định như sau

o- (Steet trường aad

Vecto trong không gian

*® Trong không gian cho vectơ MN với

M = (x) 3y1 3 2))3 N= (X23 y2 32a)

thi MN = (xp — X13 ¥2—Yy 3 22 — 24),

*® Ta hay kí hiệu vectơ bởi các chữ cái u, ÝỞ, W,

s Các phép tính về vectơ trong không gian cũng tương tự như các phép tính

về vectơ trong mặt phẳng toạ độ

AU = (Auy ; Aug ; Ànạ), ở đây À e R

e D6 dai [ul cla vecto U(u, ; U> ; U3) duge xác định như sau :

[ti] = Ju? + u3 + uậ

e Cho hai vectơ ử, V Tích vô hướng của hai vectơ ử, V 1a mot s6 thuc, ki hiệu là u.v và nó được xác định như sau :

>

u.Vv = lử| ja cos (U,V)

e Biểu thức giải tích của tích vô hướng :

Giả sử ư =(u, uạ, 0a); Ý =(Vị, vạ, va) Khi đó

U,V =U/Vị +U2V2 + U2V4

UỊVI + uU2V2 + UZzV3 Ju? +03 + ud Jv? + v3 + v3

© Uu¡Vị + u2V2 + uava = 0

Tích có hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ U = (uj, Up, U3)

2) [u,¥] = 0 <> , ở là hai vectơ cùng phương

3) Vectơ [#.Y] vuông góc với hai vectơ ử, V, do dé [u,v] Ủ= [u,v V =0

Áp dụng tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ ta có các kết quả sau :

-

1) Ba vectơ ử, v, w đồng phẳng (tức là ba phương của ba vectơ này nằm trên ba mặt phẳng song song) khi và chỉ khi [ữ,V].w = 0 (ta thường gọi [0.|.W là tích hỗn tạp của ba vectơ khác nhau)

2) Diện tích của hình bình hành ABCD là

SABCD = | AB, AD |

Ở đây d(AB, CD) là khoảng cách giữa

hai đường chéo nhau AB và CD Cc

b) d(AB, CD) =

CHi DAN VE LICH SU

Michel Chasles (Saclo) (1793 — 1880)

là nhà toán học người Pháp Ông là một nhà

hình học tổng hợp nổi tiếng Công trình

chính của ông "Khái quát về lịch sử nguồn

gốc và sự phát triển các phương pháp trong

hình học” cho đến nay vẫn còn là một công

trình có chất lượng về lịch sử Michel Chasles

(1793 — 1880)

2 CAC DANG TOÁN CƠ BẢN

Các bài toán cơ bản sử dụng phép tính vectơ trong không gian

Thi dụ 1 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đăng khối A — 2004)

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD 1a hinh thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ Biết A(2; 0; 0); B(O; 1; 0),

S(0; 0; 24/2) Gọi M là trung điểm của cạnh SC

1) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM.

2) Giả sử mặt phang (ABMI) càt đương thang S2 tại N 11nh thể tích khối chóp S.ABMN

Giải

1) Do ABCTD là hình thoi có tâm là O

nên từ giả thiết ta có

2 Xét cách giải khác sau đây

Ta thu lại kết quả trên với cách giải khác - phương pháp của hình học

không gian thuần tuý !

Thí dụ 2 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A — 2003)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'BCTD

có A trùng với gốc của hệ toạ độ, B(a ; 0 ; 0), DO; a; 0), A(0;0;b)(a>0,b>0)

Gọi M là trung điểm của CC

1) Tìm thể tích khối tứ diện BDA'M theo a, b

2) Xác định tỉ số 5 để hai mặt phẳng (A'BD) và (MBD) vuông góc

với nhau

10

https: / /www.facebook.com/tusachtructuyen

Giải

1) Từ giả thiết ta có : C(a ; a; 0); C{(a;a;b),D(Ó; a; b), B(a; 0; b)

Vì M là trung điểm của CC, nén M = l sa; 2}

2) Gọi K là trung điểm của BD Do AB =AD=AKLBD

Lại có MB= MD => MK 1 BD Vay A'KM =90°

Thi du 3 (Dé thi tuyển sinh Dai học Cao đẳng khối D - 2004)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trục đứng

ABC.A¡B¡Ct Biết A(a ; 0; 0), B(a ; 0; 0), C(Ó0 ; 1;0), B¡Ca; 0; b) với a >0,

b>0

1) Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng BỊC và AC, theo a, b

2) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 4 Tìm a, b để khoảng

cách giữa BỊC và AC) là lớn nhất :

Giải | B,

nên ta có ngay Ai =(a;0;b)

C¡=(0;1;b)

Theo công thức tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng ta có

https: / /www.facebook.com/tusachtructuyen

Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa BỊC, AC) là 42 Giá trị này đạt

được khi và chỉ khi a = b= 2

Thí dụ 4 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng —- khối A 2006)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A'BCTD' với A(0;0;0); B(1;0; 0), D(0; 1;0), A0; 0; 1) Gọi M và N lần lượt là

trung điểm của AB và CD

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN

Mặt phẳng (A'BC) chứa A'C và song song song với MN, nên

d(A'C, MN) = d(MN, (A'BC)) = d(M, (A'BC))

13

Vậy AB 1 (A'BC), nên AH 1 (A'BC) từ

và AH là khoảng cách từ A tới (A'BC), ẠN h

Do MK = ~AH = 7 AB'= TC, ta thu lại kết quả trên

Ở đây thuần tuý dùng phương pháp hình học tổng hợp (phương pháp hình học không gian thuần tuý !)

Thí dụ 5 (Đề thì tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B — 2002)

Cho hình lập phương ABCD.A¡B¡C¡D¡ có cạnh bằng a

1) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A,B, va B,D

2) Goi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B¡B, CD, A¡Di:

Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C¡N

| A1B,B,D | = a —al |-~a —al |-a a ;

=(a’; 2a’; a’)

Thay vào (1) và có

3 3

La + 225]

d(A,B, B,D) = ———Ì= ave 6a4 6

2) Vi M, N, P tuong ứng là trung điểm cua B¡B, CD và A¡D; nên ta có

Ta thu lại kết quả trên B, 174 C,

Xét cách chứng minh khác cho phần 2) boo

Goi K là trung diém cla CC) Ta có † „⁄

https:/ /www.facebook.com/tusachtructuyen

Thí dụ 6 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D — 2008)

Cho lăng trụ đứng ABC.A'BC đáy là tam giác vuông có BA = BC = a, cạnh bên AA' = a2 Gọi M là trung điểm BC Tính khoảng cách giữa hai đường

aN7

Thay (2) và (3) vào (1) và có d(AM, B'C) = ——

Nhận xét : Xét cách giải khác thuần tuý hình học không gian như sau :

Gọi E là trung điểm của BE, ta có EM // BC At

Do ABC là tam giác vuông tại B, nên B.AEM là hình

chóp đỉnh B có BA, BE, BM đôi một vuông góc với nhau

Gọi BH là đường cao hình chóp B.AEM, thì BH L (AEM)

Ta thu lai két qua trén

Bình luận : Về tính hiệu quả của các phương pháp, xin dành cho bạn đọc

Thi du 7 (Dé thi tốt nghiệp THPT —- 2003)

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A, B, C, D trong đó

A=(2;4;-1); OB=1+4j-k;C=(2;4;3); OD=21+2j-k

2) Tìm thể tích tứ diện ABCD

Dễ thấy AB.AC = AB.AD = AC.AD = 0, suy ra

AB 1 AC, AB L AD,AC L AD=đpcm !

I) Vì AB, AC, AD đôi một vuông góc nên BA 1 (ACD)

Khi đó BA chính là đường cao của hình chóp B.ACD A

Đó là cách giải khác cho câu 2): ẻ

2) Nếu bài toán đòi hỏi thêm : Tính chiều cao kể từ A của tứ diện ABCD

Bài toán này tương đương với bài toán dạng sau :

Cho bốn diém A(1 ; 0; 0); B(O; 1; 0), C(O; 0; —1), D(-2; 1 -—1)

Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện

A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện ©> ba vectơ AB, AC, AD khong

đồng phẳng _

Làm tương tự như trên ta có

| AB, AC ].AD =1+#0-=> dpcm

20

https: / /www.facebook.com/tusachtructuyen

Thí dụ 9

Trong không gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'BCTD' với toạ đệ các

đỉnh như sau : A'0;0;0);BPB(a;0;0);D(0;b;0), A(0;0;c); trong đó

a, b,c >0 Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD', DĐ Tìm mối liên hệ giữa a, b,c để PR L QS

Ta có bài toán liên quan sau đây : Cho hai tứ diện ABCD và A¡B¡C¡D

Hai tứ diện này có cùng trọng tâm khi và chỉ khi

<> G=Gy,, 6 day G, 14 trong tâm của tứ diện A¡B¡C¡D¡,

Áp dụng (1) có thể giải lại bài tập trên như sau :

Giảsử Dy, = (x15 yy 3 Z))

Ta có

AAi =(1;0;-2); BBỊ = (-4;3; -8);

1) Chứng minh ABCD là một tứ diện

2) Xác định toạ độ điểm M trong không gian để cho đại lượng

MA? + MB* + MC’ + MD*

đạt giá trị nhỏ nhất va hãy tính giá trị ấy

Giải

1) Tacó AB =(—1;0;0); AC =(0;0;4); AD =(0;~2; 0)

no (a) ME ff deen Vay | AB, AC] AD = -8 # O, suy ra AB, AC, AD 1A ba vecto khong

d6éng phang, ttc 14 ABCD là tứ diện

2) Gọi G là trọng tâm của tứ điện ABCD, tức là điểm thoả mãn hệ thức

Từ (1) suy ra đại lượng MA” + MB + MC’ + MD nhận giá trị bé nhất khi

ioe aan Cocca

Chú ý Từ thí dụ trên ta suy ra kết quả sau :

Cho tứ diện ABCD Với mọi điểm M trong không gian, ta có

MA? + MB’ + MC’ + MD’ = GA? + GB? + GC? + GD? + 4MG?,

ở đây G là trọng tâm của tứ điện ABCD

Kết quả này thường gọi là "hệ thức Lepnhit” trong không gian

Nó giống như "hệ thức Lepnhit" trong hình học phẳng đã biết :

Trong mặt phẳng cho tam giác ABC Khi đó với mọi điểm M trong mặt

phẳng, ta có hệ thức MA” + MB + MCP = GA? + GB? + GC? + 3MG?, 6 day

G là trọng tâm của tam giác ABC

CHỈ DẪN VỀ LỊCH SỬ

Leibniz G.W sinh ở Leipzig năm 1646 là nhà

toán học thiên tài người Đức Ông cùng với

Newton I (nhà toán học, vật lí người Anh) phát

minh ra phép tính tích phân

Các từ toạ độ, hoành độ, tung độ dùng trong

hình học giải tích ngày nay là do Leibniz đóng BoP

vao nam 1692

Học sinh phổ thông quen biết đến ông qua

tich phan (1646 — 1716)

24

https: / /www.facebook.com /tusachtructuyen

Thí dụ 12

Xét tứ điện ABCD đã xét trong thí dụ 10 Xác định điểm I sao cho

3IA - 2IB +IC + ID =0,

sau đó tìm quỹ tích những điểm M sao cho

= 3MI (do 3IA - 2IB + IC + ID = 0)

mh

Vay [SMA - 2MB + MC + MD ~ IMB ~ MA

Từ (1) suy ra quỹ tích của M là hình cầu tâm lễ ; % ; 3) bán kính

= SAB= > (do AB= VI +07 +02 =1)

25

Chương 2

DUONG THANG VA MAT PHANG

TRONG KHONG GIAN

1 TOM TAT Li THUYET

A Mặt phẳng trong không gian

ed va bla một cặp vectơ chỉ phương của mặt ẩ ử

phẳng (P) nếu chúng không cùng phương và giá 7

của chúng song song với (P) hoặc nằm trên (P) Í

° Phương trình tổng quát của (P) có dạng

Ax + By + Cz + D=0 (voi A’ + BY + C’ > 0)

Khi ấy ïñ =(a; b; c) là một vectơ pháp tuyến của (P) n

* Mat phang di qua diém M(x ; yg ; Zg), Va

nhan n = (a; b; c) làm vectơ pháp tuyến có dạng

A(X — Xg) + Bly — Yo) + C(z — Z) =0, Ku &

* Mat phang theo doan chắn

Mặt phẳng đi qua ba điểm A(a ; 0; 0); B(0; b; 0);

C(O; 0; c) (abc # 0) cé dang

trình theo đoạn chắn

26

o(A,x + By + Cyz + Dj) + B(Aax + Bgy + Coz + Dy) =0, (a? + B? > 0),

| Người ta gọi hệ thức trên là phương trình của chùm mặt phẳng sinh bởi (P)

và (Q)

B Đường thẳng trong không gian

se Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng

d: Ôn hang =0

Azx+B¿y + C2z+ Dạ =0,

ở đây - Aƒ +Bƒ +Cƒ >0, A2 + Bộ +C2 >0 và Ai:Bị:C¡#A¿: Bạ: C

Khi đó vectơ ï = [u,V], ở đây ử = (Ai ; By.; C)); V =(Ay; By); C)) 1a

vectơ chỉ phương của đường thẳng d

* Phương trình đường thang d đi qua điểm M(xg ; yọ ; zạ) và nhận vectơ

u =(a;b;cC), (a +b+c> 0) làm vectơ chỉ phương có dạng :

d:—"9 = 70 = 27 %0 (abc # 0)

a C ¡ Dạng này thường gọi là dạng chính tắc của d Nếu abc = 0 thì đường thẳng

không có phương trình chính tắc

* Phương trình đường thang d đi qua điểm M(xg ; yọ ; Zo) va nhan vecto

ưu =(a;b;c), (a? +b+c?> 0) làm vectơ chỉ phương có dạng :

27

X=Xxg+al

d:4y=yg+bt, te R

|Z=Z0 +ct,

Dạng này gọi là dạng tham số của d

C Ví trí tương đối giữa hai đường thang

Cho đường thẳng d¡ qua điểm M¡(x¡ ; yị ; z¡) và nhận tị = (ai ; bị ; cy) làm vectơ chỉ phương ; đường thẳng d; qua điểm M›;@; ; y¿ ; z;) và nhận

Uy = (a ; bạ ; c;) là vectơ chỉ phương Khi đó :

[ứi.da |.MiM¿ = 0 © d¿ và d; cùng nằm trong một mặt phẳng

<© di và d; cãt nhau

ay : by > Cy # aq i by 709

* a) :Dị Cy = ay: by 2 Cy # (XI T— X2): (Y4 T Y2): (2¡ — z2) © dị // dạ

* ay > by ;:CI =âa : Dạ: C =(XI — X2): (y4 — Y2): (Z¡ — Z2) C© dị trùng đa

D Ví trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Xét dudng thing d; ~—*0 = Y~¥0 _ 47 %0

¢ d nam trong (P) khi và chỉ khi

Aa + Bb + Cz =0 Axg + Byy + CZ +D =0

28

https: / /www.facebook.com/tusachtructuyen

E Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng |

Cho hai mặt phẳng (P) : A¡x + Bịy + C¡z+ Dị =0

(Q): Asx + Boy + Coz + Dy = 0

e Khoảng cách h tir diém M(xy ; yo ; 29) đến mật phẳng

(P): Ax+By+Cz+D=0, duoc xc dinh như sau :

với =(a;b; c), và M =(Xọ: Yọ ; Zạ)

e Khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau dị và dạ

[ti stig MyM)

e Góc ọ (02 <@<9070) giữa hai đường thắng dị (có vectơ chỉ phương

U, = (a; ; by ; c¡)) và dạ (có vectơ chỉ phương Uy = (a2 ; bạ; c;)), được xác định bởi công thức

lửi.da| _ layay + byby + cyco|

“me Va2 +B? + C2 xa? +bP+c? SPE

ở đây n = (A; B; C) 1a vecto phap tuyén cla (P), U = (a; _b; c) 1a vectơ chỉ

2 CAC DANG TOAN CO BAN

Loại 1 Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng và mặt phẳng Thí du 1, (Dé thi tuyển sinh Dai học, Cao đẳng khối A - 2008)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5 ; 3) và đường thắng

https:/ /www.facebook.com/tusachtructuyen

1) Tim toa do hinh chiếu vuông góc của điểm A trên d

2) Viết phương trình mặt phẳng (œ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến

là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AM

Vậy (P) có dạng

Ax + By- =" "2,4 A+B =0

s Nếu B=0, thì (P) có dạng 2Ax —2Az+2A=0

Khi đó khoảng cách từ A đến (P) là

2-341

= —— = Loại khả năng này, vì ta cần tìm (P) có khoảng cách h lớn nhất

°® Nếu B+0 Khi đó có thể chọn B = I1, thay vào (3) thì (P) có dạng

Ta thu lại kết quả trên

Cách 3 Viết lại đ dưới dạng

d: [x-2y-1=0

l2y -~Z+2=0 ⁄ (P) chứa d nên thuộc chùm

œ(x - 2y ~ 1) + B(2y~z+2)=0, d +B >0.

Khi œ = —I, thì (P): -x +4y—z+3=0

<> x-4y+z-3=0-

Đó là mặt phẳng (œ) cần tìm

Bình luận : Dĩ nhiên cách giải 1 là hay nhất !

Thí dụ 2 (Đề thì tuyển sinh Dai học Cao đẳng khối B — 2008)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(0 ; ! ; 2), B(2; -2; l), C(-2;0; I)

1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C;

2) Tìm toạ độ của điểm M thuộc mat phẳng 2x + 2y + z ~ 3 sao cho

=(2; 4; —-8) cùng phương với vectơ có toa dé (1 ; 2; —4)

Vì thếdo BC? = AB* + AC’, nên ABC là

tam giác vuông tai A

Vì MB = MA = MC, nên M nằm trên đường

vuông góc với (ABC) tại tâm I đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC B C

Dễ thấy | 1a trung diém cua BC, và do đó

Do M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z — 3 = 0, nén ta c6 phuong trinh

2t+2(-1+20)+I—4t-3=0

©2t-4=0 © t=2

Vì thế M(2; 3 ; —-7) là điểm cần tìm

Thí dụ 3 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A — 2007)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng

d:Š=}-1_Z12

2 -] l x=-1+2t dj: sy=1+t

z= 3

1) Chứng minh d; và d› chéo nhan

2) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

(P):7x + y - 4z = 0 và cắt cả dị, dạ

Giải

1) dị có vectơ chỉ phương tị = (2; —1; 1) và đi qua điểm M, = (0; 1 ; -2),

2) Gọi (Q)là mặt phẳng chứa dị và

vuông góc với (P) Như vậy (Q) là mặt

phang di qua M, va nhan cap vecto

Gọi (R) là mặt phẳng đi qua d› và vuông góc với (P) -

Tương tự như trên, (R) có vectơ pháp tuyến

Vil:5:344:-8:5 = (R) và (Q) là hai mặt phẳng cắt nhau

Gia sit (O) A (R)=d=>d L (P) |

Do đó d có vectơ chỉ phương là (7 ; 1; -4)

Do 2: —I : #7: 1: —4, nên trong cùng (Q) thì d cắt dị

Tương tự trong (R), thì d cắt d›

x+5y+3z+l=0 Vậy d:

4x -8y +5z-3=0 là đường thẳng cần tìm

36

https: / /www.facebook.com/tusachtructuyen

Chú ý Xét cách giải khác sau đây

Gia sitd Vd, = A Khi dé A= (2t; 1 -t;-2+1t)

Do đó d có vectơ chỉ phương AB = (—7 ; —l ; 4) cùng phương với vectơ

(7; 1; 4) và đi qua A = (2; 0; —1), nên d có phương trình

(2)

Nhung (1) va (2) chi la hai dạng biểu diễn của d (dưới dạng chính tắc (1)

và dưới dạng tổng quát (2)) Thật vậy từ (2) suy ra d có vectơ chỉ phương

Thí dụ 4 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B - 2007)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1, 4, 2) ; B(-1, 2, 4) Gọi G là trọng tâm tam giác OAB Viết phương trình đường thẳng d vuông góc

với mặt phẳng (OAB) tại G

37

= (12; -6 ; 6) cling phuong voi vecto (2 ; —-1; 1)

Từ đó suy ra đường thẳng d vuông góc với (OAB) tại G = (0 ; 2 ; 2) có dạng

xX y-2 2-2

2 -] l

Thí dụ 5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B — 2006)

Trong không gian với hé toa độ Oxyz cho điểm A(0 ; I ; 2) và hai đường

3 x=l+t

thẳng dị: 2= TT = 47 ;đy: {y =~L—21

z=2+t- Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d; và đ›

R6 rang Uy = (2; 1; -1), Uy = (1; -2; 1) 1a hai vecto không phương (vì

2:1:—l#1:-2: 1) nên mặt phẳng (P) nhận ủ¡, ủy làm cặp vectơ chỉ phương Vecto pháp tuyến fi cua (P) xác định như sau :

~(œ& =0) — 3(y — 1) ~ 5(z- 2)=0 hay

x + 3y +5z- 13=0

38

https:/ /www.facebook.com/tusachtructuyen

Thí dụ 6 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D - 2006)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(I ; 2 ; 3) và hai đường thẳng

d:Š 2-}!2 „7-3

Viết phương trình đường thang A đi qua A, vuông góc với dị cắt d›

Giải

Vì A di qua À và vuông góc với dị, nên A phải nằm trong mặt phẳng (P)

vuông góc với dị và qua A Mặt phẳng (P) này đĩ nhiên nhận vectơ chỉ phương

ị =(2; =1; l) của dị làm vectơ pháp tuyến Vì thế (P) có dạng

(P):2(& ~1)—(y-2)+~3)=0~

Ta tìm giao điểm N của d; với (P) „

Muốn vậy trước hết viết dạ dưới dạng tham số

x=l-t y=1+2t A Ñ

Ta thu lai két qua trén

Thí dụ 7 (Đề thì tuyển sinh Dai hoc, Cao đẳng khối B — 2005)

Trong không gian với hé toa dé Oxyz cho hinh lang tru ding ABC.A,B,C,

với A(0; -3 ; 0), B4; 0; 0), C(0; 3; 0), B¡(4; 0; 4)

Gọi M là trung điểm của A¡Bị

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song với BC)

2) (P) cắt A¡C¡ tại điểm N Tìm độ dài đoạn MN |

2) Đường thẳng qua A¡, C¡ có vectơ chỉ phương ủ là

u =(0;6; 0) cùng phương với vectơ (0; 1; 0)

Vậy đường thang qua A¡, C¡ có dạng tham số

x=0

= —3 + z=4

Gia st N(x, ; y; 3 Z;) la giao diém cha A,C, va (P) ta cé