Tài Liệu Các Chuyên Đề Toán Học ( Cực chất) tổ hợp hay - MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ TỔ HỢP DÀNH CHO HỌC SINH CÓ NĂNG KHIẾU TOÁN BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu toán bậc trung học phổ thông [...]... Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho n học sinh nữ và n học sinh nam quanh một bàn tròn biết rằng giữa hai học sinh nữ là một học sinh nam Giải: Có (n 1)! cách sắp xếp chỗ ngồi cho n học sinh nữ, bây giờ cứ giữa hai học sinh nữ đặt một cài ghế để cho một học sinh nam ngồi vào Vậy có n! cách sắp xếp chỗ ngồi cho n học sinh nam Kết quả: n!(n 1)! cách sắp xếp thoả mãn yêu cầu Bài toán 2.2.9 và 2 Có. .. thừa 19 các số nguyên tố Cụ thể: 441000 = (2 3 ) .(3 2 ) .(5 3 ) .(7 2 ) Bất kỳ một ước nào thực sự hay không thực sự là số có dạng (2 a ) .(3 b ) .(5 c ) .(7 d ), 0 a 3; 0 b 2; 0 c 3; 0 d 2 Trong cách biểu diễn này, có 4 cách chọn, b có 3 cách chọn, c có 4 cách chọn, d có 3 cách trong đó: a chọn Vậy bằng quy tắc nhân, tổng số ước thực sự thoả mãn sẽ là: (4 ) .(3 ) .(4 ) .(3 ) 2 = 142 Bài toán 2.1.7 (số) Đếm số ước... năng khiếu toán bậc trung học phổ thông Trong chương này tác giả xin trình bày 10 vấn đề: Chuyên đề 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân Chuyên đề 2: Hoán vị và tổ hợp Chuyên đề 3: Nguyên lý chuồng chim bồ câu Chuyên đề 4: Các số Ramsey Chuyên đề 5: Các số Catalan Chuyên đề 6: Các số Stirling Chuyên đề 7: Hoán vị và tổ hợp tổng quát Chuyên đề 8: Nguyên lý bao hàm và loại trừ Chuyên đề 9: Những sự xáo trộn... ta có: Sk = n(Ai1 Ai2 Aik ) 15 (k = 1, 2, , m) Phép đếm của x ở vế phải là: 1 C(r, 1) + C(r, 2) C(r, 3) + + (1 )r C(r, r) = (1 1)r = 0 Định lý 1.5.3 Với ký hiệu giống như định lý 1.7 n(A1 A2 Am ) = S1 S2 + + (1 )m1 Sm Chứng minh: Ta có n(A1 A2 Am ) = n(X) n(A1 A2 Am ) suy ra điều phải chứng minh 16 Chương 2 Một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu toán bậc trung. .. phép chứng minh bằng lý luận tổ hợp chứng minh công thức: C(m + n, 2) C(m, 2) C(n, 2) = m.n Giải: Xem xét một nhóm gồm tắc nhân có m.n m học sinh nam và n học sinh nữ Bằng quy cách chọn ra một học sinh nam và một học sinh nữ Theo cách khác mà cũng đưa đến kết quả tương tự là có hai học sinh bất kỳ sau đó trừ đi C(m + n, 2) cách chon C(m, 2)và C(n, 2) số cách chọn ra hai học sinh cùng là nam hoặc cùng... tìm là: C(n, r)(r 1)!(n r 1)! Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho Bài toán 2.2.11 n học sinh nam (m < n) m học sinh nữ và xung quanh một chiếc bàn tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau Giải: Đặt n chiếc ghế xung quanh cái bàn, sau đó sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh nam Có n (n 1)! cách sắp xếp cho n học sinh nam Tiếp đó cứ giữa hai học sinh nam ta thêm vào một chiếc ghế Có vào... mê của các học sinh có năng khiếu toán 17 2.1 Chuyên đề 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân Mục đích của chuyên đề là dùng hai quy tắc đếm cơ bản tìm hiểu một số tính chất về số palindrome, chuỗi nhị phân, hàm lôgic tự đối ngẫu; từ đó dùng làm cơ sở để giải một số bài toán tổ hợp khác trong các chuyên đề tiếp theo Ngoài ra, còn có một số bài toán khác vận dụng hai quy tắc này đem đến một lời giải hay, độc... ghế Do đó có (n 3)! cách sắp xếp cho các người còn lại Kết quả có: Bài toán 2.2.10 2.(n 3)! cách sắp xếp thoả mãn yêu cầu Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 25 r người trong số n người quanh một bàn tròn và số còn lại ngồi quanh một bàn tròn khác Giải: Có Đầu tiên chọn ra r người cho chiếc bàn thứ nhất Có C(n, r) cách chọn (r 1)! cách sắp xếp chỗ ngồi ở bàn thứ nhất Có (n r 1)! cách sắp... 2.2.1 Một ánh xạ - một nếu cứ hai phần tử phân biệt thuộc Bài toán 2.2.2 có x và f từ tập hợp A tới tập hợp B y phân biệt của A được gọi là một f (x), f (y) thì có hai ảnh B Tìm số ánh xạ một - một từ A tới B , biết A có m phần tử, B n phần tử (n m) Giải: Có P (n, m) sự lựa chọn cho miền giá trị của hàm số Do đó có P (n, m) hàm một - một phân biệt thoả mãn yêu cầu bài toán Bài toán 2.2.3 Mười bức... thẳng hàng cho trước (mỗi vị trí có nhiều nhất Giải 12 1 bóng) Số cách xếp là: P (1 8; 4, 3, 5) = Giả sử rằng r X n là tập hợp 18! = 514594080 4!3!5!6! S phần tử và là một tập con bất kỳ của phần tử Một sự phân chia có quan tâm đến thứ tự của r -tổ hợp tổng quát của X Nếu r = n, S X có được gọi là một chúng ta có khái niệm tổ hợp tổng quát của X Số r -tổ ô chứa thứ đó hợp tổng quát của 2.; ; nk X có n1 phần . r)! (ii) C(n, r) = P (n, r) r! = n! r!(n −r)! = C(n, n − r) m! ≡ (1 ) .(2 ) (m) 0! ≡ 1 (i) n X r (n − 1) (n − 1) r n(n − 1) r P (n, r) = n(n −1) (n −r + 1) = n! (n − r)! (ii) C(n, r) r n X r X r r P (n,. n(A) + n(B) − n(A ∩ B) A B A∪B n(A) n(B) n(A ∩ B) A X A X A  A B X n  (A ∪ B)   = n(X) − n(A ∪ B) = n(X) − [n(A) + n(B) + n(A ∩ B)] (A ∪ B)  = A  ∩ B  n(A  ∩ B  ) = n(X) − [n(A) + n(B)]. 8, 9} (5 ) .(4 ) .(3 ) .(7 ) .(7 ) = 2940 441000 n n 1 n 441000 = (2 3 ) .(3 2 ) .(5 3 ) .(7 2 ). (2 a ) .(3 b ) .(5 c ) .(7 d ) 0 ≤ a ≤ 3; 0 ≤ b ≤ 2; 0 ≤ c ≤ 3; 0 ≤ d ≤ 2 a 4 b 3 c 4 d 3 (4 ) .(3 ) .(4 ) .(3 ) −