htto://kinhhoa.violet.vn -
HE PHUONG TRINH BAC HAI |
§1 VÀI PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phần này chứng minh một vài định lí về những phép biến đổi tương đương hệ phương trình Chúng là cơ sở cho việc giải hệ phương trình
Trước hết ta nhớ lại rằng :
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm
Giải một hệ phương trình là thực hiện liên tiếp những phép biến đổi tương
đương để đưa hệ đã cho về hệ phương trình đơn giản nhất Bây giờ ta tìm hiểu vài
phép biến đổi tương đương cơ bản Để cho đơn giản ta chỉ phát biểu các định lí
dưới đây đối với hệ hai phương trình hai ẩn, song chúng cũng đúng đối với hệ có một số hữu hạn phương trình và số hữu hạn ẩn Chúng là những cách phát biểu tổng quát các phương pháp giải hệ phương trình đã được học ở lớp 9
Ta kí hiệu một phương trình hai ẩn bởi đẳng thức F(x y) = G(x, y), trong đó E và G là những biểu thức của hai biến x và y Nếu cho x = a, y = B, voi a, B 1a những số thực thì F(a, B) G(œ, B) trở thành những số thực Khi hai phương trình
(x, y) = G¡Œ, y) và Fa(x, y) = G(X, y) tương đương thì ta viết Fy(x, y) = Gy(x, y) © Fz(, y) = G2(X, Y)
Bạn hãy chứng tỏ rằng hai hệ phương trình sau tương đương :
®Ð th a an a 2y+l ay
x? —xy =6 (2) x? ~xy =6 (2)
Nhận xét hai hệ trên thấy rằng, ta đã thay phương trình (1) bởi phương trình (1) tương đương với phương trình (1) để được hệ (II)
Tổng quát ta có :
ĐỊNH LÍ 1 Nếu ta thay một phương trình irong hệ bởi một phương trình tương đương với nó thì được một hệ tương đương với hệ đã cho
Trang 3Bạn hãy tìm hiểu cách chứng minh dưới đây để có thể vận dụng nó mà tự
chứng minh các định lí tiếp theo Chứng mỉnh Giả sử ® li, (1) và (ID) E@&y)=G¡œy) (1) F,(x,y)=G(x,y) (2) F,œ&y)=G¿@y) 2) trong đó (1) © (1), và giả sử (œ, B) 14 mot nghiém cia hé (1) Khi đó ir (œ,8)= G¡(œ,B) F,(a,B) =G2(a,B) Vì (1) © (1) nên (ơ, B) cũng là nghiệm của (1') ; tức là, Fy (a, B) = G¡ (ơœ B) Do đó F;(œ,B)=Ga(œ,B)`
Điều này chứng tỏ (œ, B) cũng là nghiệm cia (II)
Tương tự, ta cũng chứng minh được rằng néu (a, B) 14 mot nghiém cia (II) thi nó cũng là một nghiệm của (I) Vay Dod) O
7 Hãy chứng minh hệ quả sau :
HỆ QUẢ Mọi hệ phương trình dạng (1) đêu có thể viết dưới dạng Ẹ (œ,B) =G¡(œ,B) II: K;(x,y)=0` ĐỊNH LÍ 2 Cho hệ phương trình A sọ chà R;(x.y)=0 (2)
Nếu G(x, y) #0, H(x, y) #0 với mọi cặp số (x, y) thoả mãn điêu kiện xác định của hệ phương trình (111) thì hé (III) tương đương với hệ
(v) fee (1)
F,(x,y).G(x, y) + Fo(x,y).H (x,y) = 0 (2)
Trang 4Chứng minh Dành cho bạn đọc LÌ
HỆ QUẢ 1) Với hai số cị # 0, cạ# 0 ta có :
ire y=0 fee
F,(x,y)=0 c,F, (x,y) +c2F, (x,y) =0
2 hen ° ha nan
F;@&,y)=0 F(x, y)tF,(,y)=0
Định lí 2 là cơ sở của phương pháp cộng đại số
[23 Bạn phải chọn G(x, y), H(x, y) trong dinh li 2 nhu thé nao dé từ định lí 2
Trang 5Giải hệ phương trình : x? +2y? -2xy+x=4 i —4y? + 4xy+1=13 DINH Li 3 Néu phuong trinh F(x, y) = 0 tương đương với phương trình x= g(y) thì hệ x= g(y) (3) (1H) fae )=0 LH) ang duong véi hé (V) { F,(x,y)=0 (2) : F,(g(y),y) = 0 (4) Chứng minh Dành cho bạn đọc 0
Định lí 3 là cơ sở cho phương pháp thế; đẳng thức (3) là phép rút x từ phương trình (1) ; còn đẳng thức (4) là phép thế biểu thức của x vào phương trình (2)
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình :
ĐH (1)
yỶ~2xy=5 (2)
Trang 6y`-5 @) hay 2y y* +24y” -25=0 (5) Tiếp tục giải hệ này ta được nghiệm của hệ phương trình là: (2;-1), (-2; 1) Giải hệ phương trình : 2x?~xy+y? =4 b —3xy=7 ,
Chú ý Khi giải hệ phương trình nếu không sử dụng những phép biến đổi tương đương nêu trên cần thận trọng để khỏi mất nghiệm hoặc lấy cả nghiệm
ngoại lai Chẳng hạn :
— Nếu chia hai vế cho một biểu thức chứa ẩn thì có thể mất nghiệm ;
~ Nếu nâng hai vế của một phương trình lên một luỹ thừa bậc chấn thì có thể xuất hiện nghiệm ngoại lai
Để tránh những thiếu sót trong các trường hợp ấy ta nên làm như sau :
— Khi chia hai vế của phương trình cho một biểu thức chứa ẩn cần đảm bảo
rằng biểu thức ấy khác 0 hoặc giá trị của ẩn làm cho biểu thức ấy bằng 0 không
phải là một thành phân của nghiệm của hệ phương trình ;
~ Khi nâng hai vế của một phương trình lên một luỹ thừa bậc chẵn hoặc nhân hai vế của phương trình với một biểu thức chứa ẩn thì cần thử lại các giá trị tìm
Trang 7+9 58 Hai hệ phương trình sau có tương đương không : và X-y
Hay giai thich !
Đối với một hệ hai phương trình, mỗi mệnh đề sau đúng hay sai :
a) Nếu cộng từng vế của hai phương trình trong hệ thì phương trình thu được cùng với một trong hai phương trình đã cho lập thành một hệ tương đương với hệ đã cho Hãy chứng minh cho câu trả lời của mình Chẳng hạn, ® lai @) E;(œ,y)= G;(x,y) (2) ` {r (x,y) = G(x y) @) và dr , Rœ&y)+E(Œ,y) = G¡(%,y)+G¿(Œ,Y) (2') b) Nếu nhân từng vế của hai phương trình trong hệ thì phương trình thu được cùng với một trong hai phương trình đã cho lập thành một hệ tương đương với
hệ đã cho Hãy chứng minh cho câu trả lời của mình Chẳng hạn, tàn =G,(x,y) (1) F(x y) = Go(x, y) (2) và ay i (x.y) = Gy) œ F(x, y)-F)(x, y) = G(x, y).G2(x%,y) (2) §2 VÀI DẠNG CƠ BẢN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2.1 Hệ gôm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai Phương pháp chung để giải hệ phương trình này là phương pháp thế
Giải hệ phương trình : 2x+3y =13
Trang 82.2 Hệ phương trình đối xứng loại I
Hệ hai phương trình hai ẩn được gọi là đối xứng loại I nếu khi hoán vị hai ẩn, mỗi phương trình đêu không đổi Nói cách khác, hệ phương trình nàn =0 (1) F;(x,y) =0 (2) được gọi là đối xứng loại I nếu F(y,x) = F (x,y), Foy, x) = Fx, y) Ví dụ 1 _ (1) t can x“ˆ+y“ˆ-3x-3y= ló
Trang 9Nhờ những cách biểu diễn này, nếu đặt
=§
pm am
xy=P
thì có thể biến đối hệ phương trình đối xứng loại I thành một hệ phương trình đối
với hai ẩn S và P Nếu tìm được S và P thì từ các đẳng thức (II) và phương trình (TT) ta tìm được x và y Ví dụ 2, Giải hệ phương trình x+y+xy=-7 l +y?—3x—3y=ló Giải Hệ () có thể viết : x+y+xy=-7 yon ~2xy—3(x+y)= 16 Đặt x+y=S xy=P ` ta được : =-S-7 S$+P=-7 P=-S-7 2 P15 ©4|S=-l S* -3S-2P-16=0 S*-S-2=0 §=2 e Với S= —1 thì P= -6 ; ta có hệ phương trình : x+y=-l xy=-6 ˆ
x và y là hai nghiệm của phương trình x?+x—6 =0, Suy ra Xị = -3, Xạ =2 Do đó hệ có hai nghiệm : (3;2y, (2; -3)
e Với S = 2thìP = -9; ta có hệ phương trình :
x+y=2
xy=-9 `
Trang 10Giải tương tự như trên ta được hai nghiệm :
(1-V10 ;1+V10), (1 + 410 ;1—A/10)
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm :
3;2), (2; ~3), (1—X10 ;1+10), đ+x10 ;1~x10)
Qua ví dụ trên có thể nêu lên :
Phương pháp chung để giải hệ phương trình đối xứng loại I như sau :
_ Đặt ft +y=S
ì xy=P
— Biến đổi hệ đã cho thành hệ phương trình đối với hai ẩn S và P ; —Giải hệ phương trình vừa nhận được đối với hai ẩn Š và P;
~ Với mỗi cặp S và P tương ứng, tiếp tục giải hệ phương trình fers ù
-?2} Giải hệ phương trình : -
x? -xy+y? =3(x-y)* k +2y =(x-y) , 2.3 Hệ phương trình đối xứng loại II
Trang 11Giải Nhận thấy nếu tru ting vế của phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai, ta được : 5(x2-y?)~(x-y) =0 hay một phương trình tích (x-y)(5x+5y-1) = 0 Như vậy 2x? +y =3y?-2 2x? +y =3y*-2 y3 Oe) x-y)5x y —v@x+sy-p=o C || y9 y -]= 5x+5y-1=0 2 ya aye 2x* +y =3y" -2 a ., | &7Y =O SS 2 2 2x“ˆ+y=3y“ =2 a) 5x+5y-1=0 dày x=y e Giải hệ (HT) : 2 ©4|x=-] xˆ-x-2=0 2 Hệ có hai nghiệm : (-1;-1), (2; 2) x= 1-5y 5 (rẻ Giải hệ này ta được hai nghiệm : [Be [= 1-209 10 , 0` 10 e Giải hệ HỊ) : hay 3 25y?—5y—~52=0 2 } +y—3y? +2=0 } Vậy hệ có bốn nghiệm : ee (há hán) 0} 10 10 ` 10 - 10 7 1 ¬—
Phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại II là :
~Trừ từng vế tương ứng của hai phương trình ta được một phương irình tích ;
~ Phương trình tích này tương đương với hai phương trình ;
— Mỗi phương trình trong hai phương trình vừa nói kết hợp với một trong hai phương trình đã cho ta có một hệ ;
Trang 12aw Ví dụ 2 Giải hệ phương trình : 3x? =2y+1 (Iv) ; 3y’ =2x+— x Nghién ctu cach giai Véi diéu kién x # 0, y ¥ 0, hé (IV) tuong đương với hệ : 3x*y = 2y? +1 3xy? =2x?+l : Biến đổi tương tự như ở ví dụ 1, hệ này tương đương với hai hệ : Ww) Me wp pert x=y 3xy+2x+2y=0 2 x=y ø Giải hệ (V) : (V) © 3x3 -2x? -1=0 Phương trình thứ hai trong hệ này nhận x = 1 làm một nghiệm Do đó: ~ 35,2 4 _ 2 _ x=1 3x -2x—1=0 ©(x- 1)(3x“+x+1)=0 © 2 3x*+x+1=0
Phương trình cuối cùng vô nghiệm Vì thế (V) có một nghiệm : (I1 ; 1)
e Giải hệ (VI) Có thể rút y từ phương trình thứ hai của hệ (VI) chăng ? Nếu
Trang 132.4 Hệ phương trình vế trái đẳng cấp
Phương trình F(x, y) = c được gọi là phương trình vế trái đẳng cấp bậc n nếu F(x, y) là một đa thức mà mọi hạng tử đêu có bậc n, còn c là một hằng số Trong trường hợp c = 0 thì ta nói đó là phương trình đẳng cấp bậc n
Hệ phương trình vế trái đẳng cấp là hệ mà mọi phương trình đêu có vế trái đẳng cấp
Vidu -3xy+ 2y = 5 là một phương trình vế trái đẳng cấp bậc 2 ; 2+ SxỶy - 7y? = 0 là một phương trình về trái đẳng cấp bậc 3 ; 2 -3xy+2y“ˆ 2 =$ , ; [ 12 là hệ phương trình vế trái đẳng cấp bậc 2 3x2+xy—y? =1 Cách giải hệ phương trình vế trái đẳng cấp Vi du 1 Giải hệ phương trình : W) 2x? + 5xy+2y? =0 3x?+4xy ~5y? =-7 Nghiên cứu cách giải
e Có thể dùng phép thế chăng ? Rõ ràng không thể rút ẩn trực tiếp từ bất cứ
phương trình nào Nhưng nếu khử được x? hoặc y ở một phương trình thì có thể rút được một ẩn
2x? +5xy+2y? =0 2x? +5xy+2y? =0
œ el2?* +3y+2y œ2 +5xy+2y
6x? +8xy —10y? =—14 7xy +16y? = 14
2x?+ 5xy+2y? =0
= a -16y? +14 Ty
Thay biểu thức của x vào phương trình 2x?+5xy+2y? = 0 được một phương trình trùng phương Bạn hãy tiếp tục giải
Trang 14e Có cách nào khác đơn giản hơn không ? Hãy nhận xét về nghiệm của hệ phương trình ! Dễ thấy nghiệm của hệ phương trình không thể có dạng (0 ; y) hoặc (x;0) Vì thé, dat x = ty, hệ () trở thành y?@ +5t+2)=0 () a) yˆ2GtẺ + 4t~5) =~7 (2) Vì y z 0 nên từ phương trình (1) suy rat, = i tạ = ~2 1 21 247 * Với tị= -5, từ phương trình (2) suy ra y = +~—.Hệ có nghiệm : ẨM 2VT\ (XI 2/7 55) ` |5" 5} * Với t= ~2, từ phương trình (2) suy ra: y = tv7 Hệ có nghiệm : (-2V7;V7), (2V7 -V7) Vậy hệ (1) có bốn nghiệm : ˆ 7.2NT 7_ 2NT MINT) , [X1, NT) (oA), (VT) 5 5 5 5 Nhu vay, Có hai cách giải hệ phương trình vế trái đẳng cấp : 1) Dùng phương pháp thế ; 2) Đặt y = tx hay x = ty Nhận xét hai cách giải :
Trang 15Đặt x = ty, hệ (II) trở thành : 2/¬;2 - av) yt +2t+D=11 y?( +2t+5)=25 2 42 tˆ+2t+5)=25
Với y+0, 0V) œJŸ 25(3Ở +2t+1)—11(? +2t+5) =0 ) (Ta đã dùng phép biến
đổi tương đương nào ?) y?q?+2t+5)=25 > 32t? +14t-15=0 Từ đó được : t¡ -_° sh = + 16 2 5 * Với = thi y = a Suy rax = ¥ a 5 *t = ; , thìy = +2 Suyrax = +1 a 15 16) (15 16 Vậy hệ có bốn nghiệm : |~—=—;-= | |—=:~-rZ | C1: 5 ( Vai 2m) lá ie ~2), (1; 2) [2.4 Giải hệ phương trình : 3x? +5xy -4y? =-24 5x?— 3y? =8 2.5 Đưa về phương trình tích — Đặt ấn phụ
Trên đây là những dạng cơ bản của hệ phương trình bậc hai hai ần Có nhiều
phương trình không thuộc những dạng nói trên song có thể đưa về những dạng ấy nhờ cách dùng phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ Những phương pháp này rất có lợi vì nó hạ bậc của phương trình
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình :
40 xy—y?-2x+4=0 (ly x? — Sy? -3x-2y+22=0 (2)
Trang 16Nghiên cứu cách giải
Trang 17u=-5 u 3 Giải hệ này ta được : `4 hoặc 4 v=— 4 v=-5 _ 3X is 3x 3 Như vậy, (IV) tương đương với hai hệ : uy 2x—y+l 4 x) +3y=7 x?°+3y =-5 Giải hai hệ này tìm được các nghiệm của hệ (IV) là : lã, 37 3 11 ———= |: Tz:— |: (2:3) 4; ~?) (-4 1) (- Zi} 0 bí ) BÀI TẬP Giải các hệ phương trình từ bài 4 đến bài 12 :
4 x? -3xyt2y?-4xt+y=ll 5 2x? - 4y? -3x +8y =9 ;
~2x? +6xy ~4y? +7x—y =~20) 3x2?—6y?—4x+13y—14=0 : 6 ees 7 x?+y?-2x-2y =3 — |k+y?-x-y=32 ` ‘ x)+y2+x2y+xy? =5 x-ytttal 3x+2y=— 8 x y 2 9 xo x2+y2-2+2~2 3y+2x=-= x y 4 y 10 (x+Dy +x? =2y?—x-2 UL -3x? +2y? =23 xy+y?+y=2x”—x—2 2x?~3xy~2y? =13 D2 x?+2xy+3y? =9 : 2x?+2xy+y? =2
Hãy liên tưởng đến các phương pháp giải đã học để tìm cách giải các hệ
phương trình từ bài 13 đến bài 17
Trang 181 3 2x? ~2xy-x-y=0 2 :— 14 2x? +7xy +3y” —11x~8y+15=0_ ; X —5xy+3y7 -x+l= 0` x? -5xy+2y? +3x—2=0 15, 20x+yŸ =x+y~ 13=0 x? +2xy+y? —2(x- yy —x+y+46= 0° 3x’ txy-y" Ly ey wl’ =1eez-ll=s y x+4-1=-13 ay y 18 Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình : x(2—y?)=x?—xy~l y(2~x2)=y?~—xy~lˆ
§3 BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Nếu ngoài các ẩn, hệ phương trình còn chứa những chữ có thể nhận nhiều
giá trị khác nhau thì những chữ ấy được gọi là những :ham số Ví dụ Trong hệ phương trình Xu yx › xty=8 m là tham số
Trang 19— Căn bậc chẵn chỉ có nghĩa khi biểu thức dưới căn không âm ;
— Phương trình ax2+bx+c = 0 là phương trình bậc hai nếu a #0 ;
VV
3.1 Giai va bién luan
Ví dụ 1 Giải và biện luận hệ phương trình Xm (I) yy x xt+y=8 Giải Điều kiện xác định của hệ phương trinh: x #0, y # 0 Với điều kiện này 2, v2— = 2_ _ _y)= eo ụ +yˆ-mxy=0 nh 16x+64— mx(8§~ x) = 0 y=8-x y=x-8 = (m+2)x? -8(m+2)x+64=0 (1) y=8—x (2) Theo phương trình (2), y được xác định duy nhất bởi x nên chỉ cần biện luận phương trình (1)
em =2, phương trình (L) trở thành: 0x + 64 =0 Vô nghiệm !
Trang 20em =2 thì A =0 Phương trình (1) có nghiệm kép: xị = xạ = 4 Do đó hệ có
nghiệm kép : (454)
®=2<m<2thì A <0 Phương trình (1) vô nghiệm Do đó hệ vô nghiệm Giải và biện luận hệ phương trình :
x-y=m
x?-xy+y2+x=0 ` 3.2 Biện luận về sự có nghiệm
Trong việc biện luận này không đòi hỏi phải viết rõ các nghiệm mà chỉ cần chỉ rõ khi nào hệ có nghiệm
Ví dụ 1 Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm :
2x?+3xy+y? =—I (1)
(1) x +3xy+2y* =m 2 2 (2) 2) Giải Từ phương trình (1) suy ra rằng hệ này không nhận nghiệm có dạng (x; 0) hoặc (0 ; y) Vì thế có thể đặt y = tx, (nếu hệ có nghiệm (0; y) với y #0 mà ta đặt y = tx thì sẽ mất nghiệm) Khi đó (D trở thành :
x?(2+3t+t2)=—1 (3)
x?(1+3t+2t1?)=m 4)
Nếu m = 0 thì từ (1) suy ra 2t + 3t+ 1 = 0.Dod6t, = —L, ty = Tế: Các giá
trị này của t không thoả mãn (3) Vì thế : em = 0,hệ vô nghiệm Khi mz0, x?2+3t+t2)=~—l (3) De : (m+2)t? +3(m+ Dt+2m+1=0 (5)
em = -2 thì từ (5) suy rat = —1, không thoả mãn phương trình (3)
se Với mz#0 và m #-2, phương trình (5) có hai nghiệm : t¡ =-—l
_ _2m+l
? m+2`
Trang 22Bất đẳng thức (5) không xảy ra vì m >0
Bất đẳng thức (6) tương đương với 12m > mÃ+ 6m +9 hay (m-3)”< 0 Vì
(m-3)* >0 nên từ đó suy ram = 3 Kết luận :
Hệ (ID có nghiệm khi m = 3
(2.2) Ching minh rằng hệ phương trình
x?— 4xy+ y? =m
xy-y?=-4
có nghiệm với mọi giá trị của m
3.3 Biện luận về sự có nghiệm duy nhất
Vi dụ 1 Tim cdc giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : _ =2 ạ Ay-x+y m(x+y)—xy+l=0 Giải +1)= 2 Me y(x+l)=x+ m(x+y)-xy+1=0 Từ phương trình thứ nhất suy ra x # -1 Véi điều kiện này _xX+2 Mey x4l () (m—1)x? +(2m—1)x+2m+1=0 (2) Vì y được xác định duy nhất bởi x nên hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình (2) có nghiệm duy nhất
em = I thì phương trình (2) trở thành x+3 = 0, có nghiệm duy nhất x = -3 Vậy hệ có nghiệm duy nhất : (5 ; 3)
e Khi m # 1, phương trình (2) là một phương trình bậc hai Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình (2) có nghiệm kép khác —L Điều đó xảy ra khi :
Trang 23A=-4m?+5=0 _„5 _ 2m-l „ ¡ haykhi na 2(m-1) 2m—-1#2m-2 Hiển nhiên 2m - I # 2m - 2 Kế luận :
Hệ có nghiệm duy nhất khi m = l,m = 2 :
Vi du 2 Tim cdc gid tri cia m dé hé phuong trinh sau cé nghiém duy nhdt : 3x-y+1l=0 (II) 2 2 (x“ +mx+ y)(2x“ — my + ]I)=0 Nghiên cứu cách giải Hệ (II) tương đương với hai hệ : y=3x+l y=3x+l 2 ` và 2 › x“+mx+y=0 2x*-my+1=0 hay y=3x+l y=3x+l (II) 2 và (IV) 2 x’ +(m+3)x+1=0 2x° —3mx—-m+1=0
Vì y được xác định duy nhất bởi x nên hệ (II) có nghiệm duy nhất chỉ khi xảy ra một trong các trường hợp sau :
74
Trang 25“
Vì hệ phương trình luôn luôn có nghiệm (0 ; 0) nên muốn cho nghiệm là duy nhất thì phương trình dỄ ~ 7œ ~m =0 phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0 Nếu phương trình này có nghiệm kép thì nghiệm kép bằng : #0 Do dé phuong trinh nay phai v6 nghiém Muén vay, A = 49 + 4m < 0 hay m < -2
Ngược lại, giả sử m< _ có: - Whe x -2y? =5x? +mx (x—y)(x? + xy +yŸ~3x— 3y —m) = 0 Do đó (V]) tương đương với hai hệ : - Íy3_2v2 =sx2 3 _ay2 2552 (vm) Ạ 2ý =3X +TX và (VID ( 2y =3x +mx x-y=0 x2+xy+y?~3x~3y-m=0 (*) x=0= x-y=0 H (VI) â 2 â||x=y x(x-7xơm)=0 2 x°-7x-m=0
Vi m<-2 nên phương trinh x?- 7x-—m=0 c6 A=49+4m <0 Dodé
hệ (VII) có nghiệm duy nhất là (0 ; 0)
Xét phương trình (*) của hệ (VIID) Nếu hệ (VHI) có nghiệm (x ; y) thì với giá trị này của y phương trình (*) đối với ẩn x phải có nghiệm Viết lại phương trình C*) như một phương trình của ẩn x :
x?+(y—3)x +y“— 3y —m =0
Với m<- „ phương trình này có A=~3y”+ 6y + 9 + 4m <~3y” + 6m — 40 Nhưng -3mẺ + 6m - 40 = -3(m + 1) - 37 <0 nén A < 0 với mọi
49 m<-— 4
Vay khi m< 2 phương trình (*) v6 nghiém, do dé hé (VIII) v6 nghiém
Trang 26Kết luận :
Hệ (VI) có nghiệm duy nhất khi m <<
23] Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : my x?+2y=—= X mx ` y? +2x=—— v
3.1 Biện luận về nghiệm thoả mãn những điều kiện bổ sung
Có những bài toán đòi hỏi phải biện luận không những về sự có nghiệm của hệ phương trình mà còn đòi hỏi các nghiệm phải thoả mãn những điều kiện nào đó
Ví dụ 1 Tùn giá,trị của m để hệ
fares
2 2
xˆy+Ay“ =m
có ít nhất một nghiệm (x; y) thoả mãn điều kiện x > 0, y > 0
Giải Điều kiện x > 0, y > 0 tương đương với hai điều kiện v = xy > Ö và u=x+y>0
Hệ (]) có ít nhất một nghiệm x > 0 y > 0 khi hệ
dy ng
uv=m
có ít nhất một nghiệm (u ; v) thoả mãn các điều kiện : u >0, v>0, u2—4v >0 Hệ (II) luôn luôn có hai nghiệm (m ; 1), (1 ; m) Do đó các điều kiện trên
Trang 27Kết luận : "¬ Hệ (1) có ít nhất một nghiệm (x ; y) thoả mãn điều kiện x >0, y>0 khi m>2 hoặc khi 0<m<ẻ Vi du 2 Tim gid tri cua m để hệ phương trình x~2y=m (I) G 2 x+y +m=0
có hai nghiệm (xị ; Yạ), (x; ; ya) sao cho khoảng cách d giita hai diém A(x; y;), Bí; ; y;) trên mặt phẳng toạ độ là lớn nhất x=m+2y Giải Hệ ID ©{$ „ 2 : 5y +4my+m“+m=0 (*) Hệ có hai nghiệm khi Al = 4m?-5m?-5m = -m? -5m>0 m(m+5)<0@-5<m<0 để = (x) — Xp)" — Yo)” = yy — 2yn)” + (ị — y2
=50y¡ ~ yạ)” = 5[(Vị + y2)” ~ 4y]
Vì y¡, y› là hai nghiệm của phương trình (*) nên theo hệ thức Vi-ét m+m aye 4m = Yi + y2 s.' T2 5 Do đó d lớn nhất khi lớn nhất 2 2 _4(m2
-*) _a4mM + làn nhất hay khi “Ưu +5m)
Trang 28Vi du 3 (Dé thi vào Học viện Kĩ thuật quân sự 1998 — 1999)
Tim các giá trị của a và b để hệ phương trình sau có nhiêu hơn 4 nghiệm : ?_ v2 xv -y* ta(xty)=x-yta av) z ))=x-y†A Xx" +y* +bxy =3 (x+y—1)(x-yt+a)=0 2 2 Do dé hé (IV) x* +y* +bxy =3
Nghiên cứu cách giải Hệ (V) © | tương đương với hai hệ : y=l-x y=x+a lẻ +y?+bxy=3 , Poe eyed hay y=l-x y=x+a (V) > , VD 3 > (2—b)xˆ-(2-b)x-2=0 (b+2)x“ +a(b+2)x+a“ -3=0
Hãy xét xem mỗi hệ (V) hoặc (VD có thể có bao nhiêu nghiệm
Để cho tổng số nghiệm của hai hệ này lớn hơn 4 thì ít nhất phải có một hệ có nhiều hơn 2 nghiệm
Nhưng số nghiệm của mỗi hệ phụ thuộc vào phương trình nào ?
Trong mỗi hệ, y được xác định duy nhất bởi x Do đó số nghiệm của mỗi hệ phụ thuộc vào phương trình thứ hai của nó
Muốn cho một hệ có nhiều hơn 2 nghiệm thì phương trình thứ hai trong hệ ấy phải có dạng như thế nào ?
Nếu b#2 thì phương trình (2-— b)x” + (2 — b)x — 2 = 0 14 mot phuong trình
bậc hai, có nhiều nhất 2 nghiệm ; nếu b = 2 thì phương trình này trở thành
Ox? + Ox — 2 =0, vô nghiệm Như vậy, trong mọi trường hợp hệ (V) không thể có nhiều hơn 2 nghiệm
Tương tự hãy xét hệ (V])
~ Nếu b#-—2 thì hệ (V1) có nhiều nhất hai nghiệm, do đó hệ đã cho có nhiều nhất 4 nghiệm
~Nếu b = ~2 thì phương trình thứ hai của hệ (VD) trở thành 0x” + Ox + a”— 3 = 0
Trang 2928 ng 29 kh 2 x7 +x-m=5 x?+y?-x-y=m 2x? -2y = n(1~2] x 2x? -2x =n{1-4] y 31 Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có đúng 3 nghiệm : 30 x? +y?+xy-x-y=m ee y -x+y=0 :
Trang 30§4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ HỆ BẬC HAI
4.1 Hệ có bậc cao hơn 2
Có nhiều hệ phương trình bậc cao hơn 2 có thể giải được bằng cách đưa vẻ hệ
bậc hai
Trang 31Phương trình t” +7t + 10 = 0 có hai nghiệm : tị =-2,tạ =-5
e Với t¡ = —2 thì v4 —2+1)=3 Suy ra v = +1 Hệ có nghiệm : (—2; l), (2;-1) : « Vớit =—5 thì yÃ(25 ~ 5 + 1) = 3 Suy ra y = tHe 06 nghiệm : Fas) Kết luận : Hệ có 4 nghiệm : (~2; 1), (2; —1), (-# 2 4|- (#-z] 7 WH VT) Ví dụ 2 Giải hệ phương trình : „ JA(y—1Jx+2y-5)=3 my) oe —
Nghiên cứu cách giải
Nếu khai triển phương trình thứ nhất của hệ (IV), ta được một phương
Trang 32
‘Hé (V) cho ta hai nghiệm : [3-vi 2 “) +5] Hệ (VI) vô nghiệm Kết luận : Hệ (IV) có hai nghiệm : one), vie Vi dụ 3 Giải hệ phương trình : HW 3 (VID) >> 1d Xx” +) +sr-;=Í xy
Nghiên cứu cách giải
Điều kiện xác định hệ phương trình: x0, y <0 Đây là một hệ đối xứng loại I Hãy thử xem nếu đặt x +y = u, xy =v thì có thuận lợi hay khó khăn gì
Khi đó phương trình thứ hai trở thành xŸy? + xếy! + x” + yˆ = 4xˆy? hay ° v'(u? — 2v) + u?— 2v = 4y" Đó là một phương trình bác 4 đối với u và v
Có thể có cách nào tránh được khó khăn ấy?
Trang 3386 Ví dụ 4 Từn giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm : x?+y?=m (VIII) tụ 4 x+y ~xy=m2T~3' 2 +y’ 2 = 2 2 =
Giải (VID © ( y =m (x2 +y2)? —2x2y2—xy=m?-3 [2x2y? +xy-3=0 ( ty =m Phuong trinh 2x?y?+ xy - 3 =0 cho ta xy = Ì, Xy = -ễ:
a «2, v2 2
e Với xy = 1,từ xÝ+y“ = m suy ra(x+ y} -2xy = m
Do đó (x + yŸ =m+2
; 3 2 2
e Véixy = ~Z1 taco (x+y) = m-3
Muốn cho hệ có nghiệm thì (x+y)- 4xy >0 Như vậy ta phải có : m+2-4>0 hoặc m- 3 +6 >0 Kết luận : Hệ (VIID có nghiệm khi m > ~3 Giải hệ phương trình : L + y +xy=7 xttyt+x2y? =2 4.2 Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Ls A nếu A>0
Nhớ lại rằng lI=| -A nếu A<0 Ó ;
lA|<„e-„<A Sơ ; Alxe=|Aế , As-a
2x-6 néu x23
Ví dụ 7) |2x-ó|= :
ren ) [2a | [ores néu x<3