Chương IV CÁC CHUYÊN ĐỀ Chuyên để 1
BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG, MỘT MẶT
Với việc đưa hệ toạ độ vào mặt phẳng và không gian, ta có thể nghiên cứu Hình học bằng các phương pháp của Đại số Ở đó, mỗi sự kiện trong Hình học được cho tương ứng với một sự kiện trong Đại số Nói cách khác, ta "phiên dịch” các sự kiện trong Hình học sang ngôn ngữ của Đại số Các đối tượng đầu tiên cần "phiên dịch" là các khái niệm chính của hình học : điểm, vectơ, đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, mặt cầu (và sau đó là các tính chất của chúng) Các khái
niệm tương ứng với những đối tượng trện trong Đại số được gọi là phương trình của đối tượng đó (riêng đối với điểm, vectơ, chúng được gọi là toạ độ) Có thể hiểu một cách đơn giản phương trình (tổng quát) của một đường hay một mặt là một phương trình hay hệ phương trình đa thức (rút gọn) sao cho điểm M thuộc đường hay mặt đó (sự kiện của hình học) khi và chỉ khi toạ độ điểm M thoả mãn phương trình hay hệ phương trình nói trên (sự kiện của Đại số) Bài toán viết phương trình của một đường thẳng hay một mặt là bài toán cơ bản nhất của hình học giải tích Trong các kì thi đại học, các bài toán loại này luôn có mặt trong đề thi và chiếm phần nhiều số điểm dành cho phần hình học Trong chuyên đề này, ta phân tích các phương pháp khi giải bài toán loại này
Bài toán viết phương trình của đường hay mặt thường được giải quyết bằng một trong các cách sau
Cách 1 : Dùng định nghĩa để viết phương trình
Cách này được bắt đầu bằng việc xem xét điều kiện cần và đủ để một điểm
M(zx ; y ; z) thuộc hình ('Z) đang cần viết phương trình Điểm M(x ; y ; z) thuộc
(@) khi va chỉ khi x, y, z thoả mãn phương trình hay hệ phương trình nào đó, thì phương trình, hệ phương trình tìm được sẽ là phương trình của () Cần lưu ý rằng có thể có nhiều tiêu chuẩn để kiểm tra điểm M thuộc (Ø), nhưng ta cần lựa chọn tiêu chuẩn dễ thể hiện bằng Hình học giải tích và gây ra phương trình Đại số
Cách này thường được dùng trong các bài toán viết phương trình của một đường (hay mặt) (#) mà những điểm thuộc (#) có đặc trứng để thể hiện bằng Hình học giải tích
Trang 2Cách 2 : Dùng lí thuyết đã học để viết phương trình
Trong lí thuyết đã trình bày các cách khác nhau để xác định phương trình của một đường hay một mặt Ví dụ phương trình của một đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ hoàn toàn xác định nếu biết một trong các thông tin sau :
+ Một điểm thuộc nó và pháp vectơ ; + Một điểm thuộc nó và vectơ chỉ phương ; + Hai điểm thuộc nó ;
+ Một điểm thuộc nó và hệ số góc
Do vậy, muốn viết phương trình một đường hay một mặt, ta có thể xác định các thông tin mà cách viết phương trình của nó ở lí thuyết yêu cầu
Cách 3 : Dùng lí thuyết để gọi (giả định) phương trình, sau đó tính các hệ số chưa biết của phương trình vừa gọi -
Trong lí thuyết, chúng ta đã biết các dạng phương trình của từng loại đường cụ thể Nhờ đó, ta có thể gọi phương trình của đường (mặt) cần tìm theo dạng tương ứng của nó trong lí thuyết Trong khi gọi phương trình của đường (mặt), cần lưu ý lựa chọn cách gọi sao cho trong phương trình đó có ít ẩn chưa biết nhất Việc gọi phương trình của một đường hay một mặt sao cho còn ít ẩn nhất phụ thuộc vào từng hoàn cảnh cụ thể, sau đây là một số gợi ý trong một số tình huống :
+ Nếu điểm M thuộc một đường thẳng A cho trước trong mặt phẳng hay trong không gian thì có thể gọi toạ độ của M với một ẩn, bằng cách viết phương trình đường thẳng A dưới dạng tham số
+ Nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ø) cho trước thì có thể gọi toạ độ của ă với hai ẩn
+ Có thể gọi phương trình một đường thẳng A trong mặt phẳng toạ độ dưới
dạng A : x = m và A: y= ax + b (thay vì A : Ax + By + C =0)
+ Nếu đường thẳng A trong mặt phẳng toạ độ đi qua một điểm M cho truéc thì có thể gọi hệ số góc & (nếu có) của đường thẳng A để từ đó thiết lập phương trình
đường thing A với một ẩn là #
+ Nếu đường thẳng A trong mặt phẳng toạ độ có pháp vectơ hay hệ số góc cho trước thì có thể gọi phương trình của đường thẳng A với một ẩn chưa biết là hệ số tự do Chú ý rằng có nhiều cách thể hiện khác nhau để từ đó suy ra pháp vectơ (hay hệ số góc) của đường thẳng A Ví dụ như cho biết đường thẳng A vuông góc, hoặc song song với một đường đã biết, hoặc tạo với một đường đã biết một góc cho trước
Trang 3+ Nếu một mặt phẳng trong không gian chứa đường thẳng cho trước thì có thể gọi phương trình mặt phẳng dưới dạng chùm, khi đó trong phương trình xác định
mặt phẳng chỉ còn một ẩn
+ Nếu mặt phẳng trong không gian đã biết pháp vectơ thì có thể gọi phương
trình mặt phẳng dưới dạng phương trình tổng quát với một ẩn là hệ số tự do
Các bài toán viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu đã được phân
tích và làm rõ trong chương HI Do đó, trong chuyên đề này, chúng ta xem xét
thêm các bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng
Ví dụ 1 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm Ä⁄(I ; 1) và cùng với các
đường thẳng A; : 2x — 3y + 4 = 0,A¿ : 3x + 2y + 5 = Ô tạo thành một tam giác cân Lời giải (h.53)
Ta nhận thấy A, L A;, do đó nếu gọi đường thẳng cần lập phương trình là A, A là giao điểm của hai đường thẳng A¡ và A›, B, C lan lượt là giao điểm của đường thắng A với Ai và A› thì tam giác ABC vuông cân tại A Nói cách khác, đường thẳng A là đường thẳng qua M(Í ; 1) va tạo với đường thẳng A¡ góc T 2 4 AI: 1:} y=~x+— 3 3 ‘ A A, Giả sử k là hệ số góc của A Khi đó k, =5 A m _ |3k-2 /B C\ = tan— 4 |3+2k = 1 5 Hinh 53
Vậy có hai đường thẳng qua M(1 ; 1) và tạo với các đường thẳng A¡, A; một
tam giác cân là :
A:y=5(x- l)+ lI hay y=5x— 4,
1 1 6
A': y = =sẲx — ]) y=—-|x-l)+1 hay y = -—x+-— yy=-rde
Ví dụ 2 Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD biết A = (—4 ; 5)
và đường chéo 8D có phương trình 7x — y + 8 = 0
Trang 4Lời giải (h.54)
Trước hết ta có nhận xét : AB, AD là các đường thẳng qua A và tạo với BD góc 7 C đối xứng với A qua BD, CB//AD, CD//AB Duong thang d qua A cé phuong trinh x = — 4 hoặc y —5 = k(x + 4) hay y=kr +5 + 4k
Dé thay dudng thang x = — 4 tạo với BD góc ọ # T BD có phương trình y = 7x + 8 có hệ số góc bằng 7 nên đường thẳng y = kx + 5+ 4k tạo với BD góc 2 khi và chỉ khi l+ 7È k-7 — cài D Hinh 54 Giả sử AB là đường thẳng có hệ số góc k = ay thì A2 là đường thẳng có hệ 3 SỐ gÓC k = — : 5 4 , ` 4 Ì AB có phương trình : y = “3 ~ EY AD có phương trình : y = = + 8 {x=-447t AC 1 BD = ÁC có phương tình: | ; : y=5-1
Goi / 14 giao diém cha AC va BD thi J = (- i2)
Vì 7 là trung điểm AC nên C = (3; 4), suy ra
7
CB có phương trình y~4= (=3) hay y= x42 | 6
va CD có phương trình y - 4 = -ứ _ 3) hay y = Ss + 8
Trang 5Vậy phương trình các cạnh của hình vuông ABC?D là :
4 1 - 3
AB: TY y=——x—-—, AD: y=—x+8, a
CB: y= 3, +2 CD: y = te 48
4 6 3
Vi dụ 3 Lập phương trình các cạnh của AABC biét A = (1 ; 6) va hai trung tuyến có phương trình : x — 2y + 1 =0 và 3x ~ y-2=0
Lời giải (h.55) -
Giả sử A;:x—2y+1 =0,
A, :3x-y-2=0
Dễ thấy A £ AI, A £ A) Vay Ai, A¿; là các trung tuyến qua Ö va C Giả sử _A¡ là đường thẳng qua 8, A; là đường thẳng qua C Gọi G là giao điểm của A;¡ và
Trang 6Chú ý : Ta có nhiều cách khác nhau để giải bài toán trên Chẳng hạn, nếu gọi
A' là điểm đối xứng của A qua G thì : 8GCA' là hình bình hành Từ đó ta viết được phương trình BA', CA' và tính được toạ độ của B va C
Ví dụ 4 Cho đường tròn (Ø) : xˆ + yŸ — 2x + 6y — 15 = 0 và điểm A(2; 1)
Viết phương trình đường thẳng A cat (@) tai hai diém ẤM, N sao cho A là trung diém cha MN
Lời giải (h.56)
(9: (x- ” +(y+3Ÿ” =25,
suy ra (S) có tâm /(1 ; —3) và bán kính # = 5
Do A là trung diém cia MN nén JAL A Vay A 1a đường thẳng qua A và nhận ¡4 làm vectơ pháp tuyến IA = (1; 4) nên A: l(x— 2) + 4(y - 1) =0 hay A:x+4y-6=0 (@)
Trang 7A là trung điểm của MỊN khi và chỉ khi {i + Xy = 2x, © n + ty) =0 Yu + Yn =2Ya A(t, + 4) =0 (í¡ +; phải bang 0 vinéu 4 + 4 #0 thi a = Ø =0, vô lƒ @h+h =0 Ap dung dinh li Vi-ét cho phuong trinh (2), suy ra 2(a + 4B) 4 Be PP a= ~4£B Lay a = 4, B = -1, ta duoc phương trình tham số của A là : x=2+Áí y=l~-t
Ví du 5 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ xÓy, cho tam giác ABC có A(0 ; 2), B(-2 ; -2) và C(4 ; -2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ 8 ; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H,M,N Lời giải Ta có : M = (~1; 0), N=(1;~—2), AC = (4;-4) Giả sử H = (x; y), ta có : Mã BH.AC =0 - 4(x + 2) - 4(y + 2) =0 (7 => => => HeAC 4x+4(y-2)=0 4x+4y-8=0 y=l- => H =(1;1)
Trang 8Ví dụ 6 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề-các vuông góc, cho đường tròn
(Ø): (x- Đ” +(y - 2)” = 4 và đường thing d: x - y-1=0
Viết phương trình đường tròn (%') đối xứng với đường tròn (%) qua đường thẳng đ và tìm toạ độ các giao điểm của (ð) và (”) Lời giải Do (Ø) có phương trình : (x - I” + (y - 2)” = 4 nên (Ø) có tâm /(1 ; 2) và có bán kinh R = 2 Do (Øð') đối xứng với () qua d nén (G"') có tâm J 14 diém d6i xtmg véi J qua d va cé ban kinh R' = R = 2
_ Gia si A 1a duéng thang qua / va vu6ng géc voi d, A cat đ tại một điểm K Khi đó K là trung diém cia L/ ` x=l+í Phương trình A : \ y=2-t x=l+í 2 2 = Xr = ¿Xy —X Xét hệ: 4y =2T—ứ =" Pak =@:) =] 2, ! | ={" => J = (330), yy =0 Vay (#") có phương trình : (x-3Ÿ + y =4
Giao điểm của (9) và (”') cũng là giao điểm của (Š”) và 4 nên toạ độ giao điểm của (#) và (Ø'") là nghiệm của hệ :
s3 + =4 x-y-1=0 Suy rax = 1, y=0 hoac x = 3, y=2
Vay (@) va (@') cắt nhau tại hai điểm phân biệt là A(1 ; 0) và 8Ó ; 2)
Ví dụ 7 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là A(-1; 7), B(4; -3) va C(-4; 1)
Trang 9Lời giải (h.57) 2 ri A Ta có : AB = \|(4- (-I)Ÿ + (-3- 7Ÿ = 545, I AC = 3V5 Goi D là chân đường phân giác kẻ từ A, B D Cc khi đó: 2P „ 4 - _ pg- _ nể Hình 57 DC AC 3 3 x 3xp + 5xe 1 : D~~^ z—~ pT~ => 3+5 > 1 > D=(-11-5] = a= 35 _ 3ÿg + 5Yc (Pp =~ 2 2 p 3+5
Gọi 7 là tâm đường tròn nội tiếp AABC, khi đó / là chân đường phân giác kẻ từ
B của AABD Tương tự như trên, ta tính được toạ độ của 7 là (—1 ; 2) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp AAĐC thì r = d(/, BC)
Ta có
BC : x+2y+2 = 0 nên r = d(I,BC) = v5
Vậy, đường tròn nội tiếp AABC có phương trình :(x + 1” + (y - 2} = 5
Ví dụ § Cho các đường tròn (OP: r+y =1,
(mm): x + y ~ 2(m + 1)x + 4my = 5
a) Chứng minh rằng có hai đường tròn (%, ) (%4) tiếp xúc với () ứng với
hai giá trị của m là mị và mạ
b) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn 4 ) và (, }
Lời giải
a) Ta có : ('ố„) có phương trình chính tắc :
[x~(m+ ĐT +(y+ 2m” = 5m + 2m + 6
Trang 10=> (G,) 6 tam In (m + 1,-2m) Va ban kinh R,, = Vẫm2 + 2m + 6
(#) có tâm (0 ; 0) và bán kính R = 1 (@,,) tiếp xúc với (*) khi và chỉ khi Ol„ = R+ R„ = 5m2 + 2m +6 +1 () Ol, = |R — R„| = N5»: + 2m +6 — | (2) (1) © v(m + TỶ + 4m2 = v|5m2 + 2m +6 +1 © A5m2 + 2m +1 = A|5m2 + 2m +6 +1 vô nghiệm (2) eo {5m + 2m +1 =| (5m + 2m +6 = ||= VẫmÊ + 2m +6 =1 2 2 3 <> V5mˆ + 2m +] +1 = J5m +2m +6 mm = =Ì,m = => dpcm
b) (%,): x? +(y - 2) = 9 c6 tâm 1¡(0 ; 2) và ban kinh Ry =3,
(,):(*—] +[y+$J =9 m } * 5 y 5 có am n(Š:~Š] và ninh Rụ=3 2 5’ 5 1AQ =o
Trang 11Ví dụ 9 Cho đường tròn (Ø) : x” + y“ -2x+2y—2 =0 và đường thẳng A:2x+y+10=0
a) Chứng minh rang A không cắt (%3
b) Từ một điểm M bất kì trên A, kẻ các tiếp tuyến M2, M2; tới (9) (7¡ J; là các tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng 7;J¿ và chứng minh rằng đường
thẳng này luôn đi qua một điểm cố định Lời giải (h.58) a) Ta có (Ø) : (x -1) +(y +1) = 4, (#Ø) có tâm /{1 ; —1) và có ban kinh R = 2 2.1-1+ 2.1-1+ 10 _ V2? +1
đo đó A không cát đường tròn (')
b) Giả sử M = (xo; yọ) và Jy = (45%) Jn = (x, 2), khi đó Hình 58 d(LA) = => d(1A) > R, 21g + yọ + l0 =0,
đường thẳng M7 có phương trình : (x¡ — I)(zx - 1) + (ø + 1)(y + 1) = 4, đường thắng MJ; có phương trình : (x; -1)& —1)+(y + l)(y +1) = 4
Do M e M2, M e M2; nên:
Ị - te =) +O +0 +) =4 6
(x ~ DJ; ~ 1) + (0 + DOx +1) = 4
Xét đường thắng đ: (xụ - I(x— 1) + (sọ +1)(y+1)= 4 Từ (*) suy ra
Jị, Jạ e d nên d chính là đường thẳng qua J¡, J> hay J;J; có phương trình : (xo - 1x - 1) + 0o +1)y +1) =4
(v6i 2x) + yy + 10 = 0)
Trang 12* Chứng minh 7¡J„ luôn đi qua một điểm cố định
Do 2x9 + yy +10 = 0 nén yp = —(2% + 10), suy ra
J1; : (Xọ — I(x — 1) + (—2xo - 9Xy + =4
(x - 1)xy -— 2(y + Ixy -— x +1-9y-9 = 4 (x - 2y - 3)xy —x-9y-12 =0 _— x-2y-3=0 © 11 x+9y+12=0 _I5 i x Xét hệ :
Vậy 7¡J; luôn đi qua điểm cố định : Áñ ; -3}
Vi du 10 Trong mat phẳng với hệ toạ độ Đề-các vuông góc Oxy, cho đường tròn (@) : x” + y* = 4va diém A(1 ; 0) Gọi M là điểm di động trên (Ở), A„ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM tai M Hay ching minh ring Ay lu6n tiếp xúc với một đường cong cố định ; xác định phương trình đường cong đó Lời giải (h.59) M e (ð) => M = (2cost ; 2sint) > AM (2cost —1;2sin?) — Aw vuông góc với AM tại M nên nhận AM làm vectơ pháp tuyến và có phương trình :
(2cost — 1)(x — 2cosr) + 2sin/(y — 2sin:) = 0
© (2cosr — 1)x + (2sin?)y — A(cos?r + sin? ) + 2cost = 0
© (2cosr — 1)x + (2sint)y + 2cost - 4 = 0
N(x,y) € Ay khi M di dong trén (@) néu và chỉ nếu
(2cost ~ 1)x + (2sint)y + 2cost — 4 = 0 vo nghiém ¢
€> 2(x + I)cosr + 2y.sint - (x + 4) = 0 vô nghiệm ¿
Trang 13© 4x2 +8x+4+4y? < x? +8x+l6 © 3+? +4y? < 12 x2 2 S© —+ —<l] 4 3 2 2 Ta sẽ chứng minh rằng A¿; luôn ti€p xuc véi elip (£) : T + a =1
Dat A = 2cost - 1, B = 2sint, C = 2cost - 4, a” = 4, b? = 3
Ta có: 42A? + 2B? = 4(2cosr - IŸ + 3(2sin)'
= l6cos?/ + 12sin?/ — t6cost + 4 = 4cos*t — 16cost + 16 =(2cost - 4y = C2 yy yp Suy ra Ay ludn tiếp xúc với elip (E) : ty 1 Bai tap 1 Trong mặt phẳng toạ độ xÓy, cho tam giác ABC cân tại A có : AB:2x-y+5=0, AC : 3x + 6y~1=0
Viết phương trình cạnh 8C, biết nó đi qua điểm M(2 ; -1) 2 Trong mặt phẳng toạ độ xÓy cho :
A, :2x-y-2=0, A, :2x+4y-7=0, Áa : mx + y ~ 2m = 0
Tim m sao cho A¡,A;,As là ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác cân 3 Trong mặt phẳng toạ độ xÓy, cho tam giác ABC cân tại A có :
AB: y+1=0,
BC :x+y-2=0
Tính diện tích tam giác ABC biết AC đi qua diém M(-1 ; 2)
Trang 1410 11 12 13 150
Tam giác ABC có C(-3 ; 1), duéng cao hy: x+7y +32 =0, phan gidc I, 2x +3y +12 =0 Viết phương trình các cạnh của tam giác
Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC có A(1 ; 3), hai đường trung tuyến là mp : x— 2y+l=0; mẹ: y-1=0
Tam giác ABC có A(I ; l), B(-2 ; 5), trọng tâm ỞŒ thuộc đường thẳng A, :2x+3y-1=0, dinh C thuộc đường thẳng A; :x+y_—l=0 Tính -
điện tích tam giác ABC
Tam giác ABC có A(I ; 3), trung tuyến ¿mẹ : x + 3y -1 = 0, đường cao
hẹ : 2x + 3y + 5 = 0 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC
Tam giác ABC có hai đường cao
hg: x+3y-1=0, Aor x+y+1=0 va trung tuyén m, :2x-y+1=0
Viết phương trình các cạnh của AABC
Tam giác ABC có hai đường cao hạ : 4x— y-1=0, hp:x-y+3=0, trọng tâm Œ(1 ; 2) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
Tam giác ABC có đường trung tuyến mạ :x— y+1=0, đường cao hp :x+2y—1=0, đoạn AB có trung điểm ÄM⁄(I ; 1) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp /(4 ; 0), đường cao hx :x+ y—2=0, trung tuyến ma : x + 2y - 3 =0
Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
Tam giác ABC có đường phân giác l¿ : x + y- 3 =0, đường trung tuyến mp :x— y+1=0, đường cao c : 2x + y + 1 =0 Tính toạ độ các đỉnh của tam giác
Cho hai dudng tron (@) :x7 + y* =16, (@'): x” + y? — 10x + 5 = 0cắt nhau tại hai điểm A và A’, trong d6 A c6 tung độ dương Viết phương trình
Trang 1514 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (A): x + y? -6x4+5=0, (B): x? + y? -12x -6y + 44 =0 15 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (8): x? +y? —-2x+2y-7=0, (%): x? +? ~4x+6y+4=0 16 Cho hai đường tròn : (GR): x? + y* - 2x -2y-14 =0, (B): x+y? -4x4+2y-20=0 Viết phương trình đường thẳng A cắt (&) tai A va B, cat (&) tai C va D sao cho AB = 2V7, CD = 8
17 Viét phuong trinh dudng tron (%) c6 tam /(1 ; 2) cat truc hoanh tai A va B, cat đường thẳng y = 3 tai C va D sao cho AB + CD =6 Lời giải 1 Phương trình đường phân giác góc A của tam giác ABC : Px-»+3 _ Bx + 6y - | J2 +(- 43? + 6? 3(2x- y+5) =3x+6y—1 2 3x -9y+16=0 (4đ) 3(2x - y + 5) =-3x -6y +1 9x+3y+14=0 (đ;) dị có vectơ pháp tuyến 7¡(l; —3) ; dạ có vectơ pháp tuyến 7; (3; 1) Tam giác ABC cân tai A nên BC vuông góc với d¡ hoặc d;
Trang 16+ BC 1a đường thẳng qua ẤM(2 ; —1) và vuông góc với d; nên 8C có vectơ chỉ phương là n2(3; !) Phương trình BC : *x=?- me
A, :2x-y-2=0, A, :2x+4y-7=0, A; :mx+y-2m=0
Vi A, L A; nên A¿ là đường thẳng chứa cạnh đáy của tam giác cân
Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AI, Ay la:
2x-y— 2x+ 4y —7 22x-y-2)=2x+4y—7
ote “ng 3) ca <7
2x-6y+3=0
oo a)
A,, Az chia hai canh bén cua tam gidc can nén A, 1 d, hoadcA; 1 d, d cé vectơ pháp tuyến m (I;-3), d; có vectơ pháp tuyến n(3;1), A, cé vecto pháp tuyến n(m ; 1)
A, Ld nm =0m-3=00ms3
Ay Ld te nig = 0 <> 3m +1=0 e m= —>
Vậy m = 3 hoặc m = >
Trang 17Toạ độ giao điểm N của ở và AB là nghiệm của hệ phương trình :
y+1=0 x=2
© => N=(2;-1)
x+y-1=0 y=-l
Tam giác ABC cân tại Á nên A thuộc trung trực của MN Gọi K là trung điểm của MN thì K = (3:3) Đường trung trực của MN di qua K [5:2] và có vectơ pháp tuyến : 2MN = (1;—1) nên có phương trình : 1 1 Ix—=~|-lly-~|=0©x-y=0 k | b | „ở Toa d6 điểm A là nghiệm của hệ : y+1=0 x=~-l > x-y=0 |y=-l =>A=(-1;-1) Từ đó AC = 4, AB = 4 va dé thay AB 1 AC Suy ra SABC = 5 AB.AC = 8
hụẠ:x+ 7y + 32 =0 có vectơ pháp tuyến m{I ; 7)
Vi BC 1 h, nén BC cé vecto chi phuong mít ;7) Đường thẳng BC đi qua C(-3; 1) và có vectơ chỉ phương m(I ; 7) có phương trình là ` T 3„ 1,
Toa do diém A 14 nghiém cia hé phuong trình :
ero fo)
c© = A=(3;-5)
x+3y+12=0 y=-5
Gọi C¡ là điểm đối xứng với C qua /¿ thì Œ e AB lÀ : x + 3y + 12 = 0 có vectơ pháp tuyến m(I ;3)
Vì CC, 1 l„ nên CC, có vectơ chỉ phương Ìà m;(1; 3)
Trang 18Phương trình đường thẳng CC; đi qua điểm C{-3;1) và có vectơ chỉ phương x+3 y= 1 3 là m(1;3) là Toạ độ giao điểm / cha CC, va I, la nghiém của hệ : x+3_ y-I red 1 3 = 13 x+3y+12=0 y=— ïlà trung điểm của CC; nên 27 31 Jo, = 2y —%c = 5" >, = [-S) GA =|ÊŠ; 3] - £(7:1) 5° 5 5°5) 5 AB đi qua A(3; —5) và có vectơ chỉ phương (7 ; 1) nén phuong trinh đường thang AB la: AC đi qua A(3 ; —5) và có vectơ chỉ phương CÁC = (-1 ; 1) nén phuong trinh đường thẳng AC là :
5 Bthudc mg : x— 2y +1 = 0 nên gọi B(2/ — 1;?)
C thuộc mực : y - l = 0 nên gọi Cứ ; 1)
Trang 19M là trung điểm M cha AC thi M = [ = 2) l+u Mem, > -224+1=0@u=5 vay C =(5;1) sẻ › t+3 Toạ độ trung điểm N của AB là: N = (::“‡?} Nem © TT “~1=0e>t=~I, Vay B = (~3;-1), AB = (-4;-4) ; AC = (4;-2) ; BC = (8;2) Dudng thang AB di qua A(1 ; 3), c6 vecto chỉ phương (1 ; l) có phương trình : x-l_ y-3 1 l Đường thang AC di qua A(1 ; 3), có vectơ chỉ phương (2 ;—1) có phương trình : x-1l y-3 20 Duong thing BC di qua B(—3 ;—1), c6 vecto chi phương (4 ; 1) có phương trình : x+3 ytl 4 17 x=t Ai:2x+3y—-l1=0<© _ 1-21 3
Goi o(u 4) 6€ Ai, C(v31-v) © Ay
Vi A(1;1), B(—-2;5) nén toa độ trọng tam Ở của tam giác ABC là :
-l+v
Trang 20
156 Vậy : —l+y 3 7-v =© ( ~> => C(16;-15) v= 16 H = l— 2w 3 3 Ta có AB = (-3;4), AB = 5 Đường thẳng AB đi qua điểm A(I;l), có vectơ chỉ phương (—3;4) nên có phương trình : x=1 _y-Ì sAx+3y-7=0 -3 4 _ 16 — 3.15 — Suy ra 4= d(C,AB) = [16 315-112 42+3 5 1 1.12 Ssc = ~AB.d = —.5.—“ = 6
Trang 21Toạ độ điểm Ö là nghiệm của hệ : x-l_ y-3 2 3°09 6 x+3y-1=0 M 3 =— il Dodo B =(-; ©), Bc = (4%, 139) 11 II 33 1 ` : x-3 7 3 Phương trình đường thang BC : = 120 -139 x=_-3/+] ¡ có vectơ chỉ phương uy (-3:1) y = 8 bys b3y-1= 0 x= t-1 yt
Goi B(1 - 3¢;1) € hg, C(-1-u;u) € fc, A(v3 2 + 1) 6 mạ
Toa d6 trung điểm M của BC là
Trang 22158
* ÁC đi qua A(0 ; 1), có vectơ pháp tuyến u, (-3:1) nén phuong trinh đường
thẳng AC là : :
-3(x - 0) + (y -1) =0 @ -3x+y-1=0
* AB đi qua A(0; 1), có vectơ pháp tuyến „(1 ;1) nên có phương trình là :
-I(x - 0) + l{y —1) =0 © -x+y—1=0
hạ : 4x — yS— 1 =0 có vectơ chỉ phương „(1 ;4),
hạ : x — y + 3 =0 có vectơ chỉ phương u,(1;1)
Trang 2319
Giải hệ (1) và (2) ta được w = -1,t =1 Vay A =(1;3), B =(-1;2), C = (351)
* AB(~2;~1) nên phương trình đường thẳng AB : S - ae
* AC di qua A(1 ; 3) có vectơ pháp tuyến „(1 ;1) Phuong trinh dudng thang AC : x-l+y-3=00Gx+y-4=0 * BC di qua C(3 ; 1), có vectơ pháp tuyến (1; 4) Phuong trình đường thẳng BC : | x3+4(y-I)=0ôâx+4y-7=0 m,:x-yt1=0
h : x + 2y —1 =0 có vectơ pháp tuyến n{I ; 2)
Trang 2411 160 * Đường thẳng AC đi qua A(I;2) có vectơ chỉ phương n(1;2) nên có phương trình : x-1l 1 =*-“@œy=2x y-2 2 3 * Giả sử C(v; 2v) e AC Toa độ trung điểm của N của BC là : N [ 5 ˆ; +} Nem, 2 -v41=0e0¥=3, Vay C = (3;6), BC = (2;6) = 2(1;3) Phương trình đường thang BC di qua B(1;0), cé vecto chi phuong (1 ; 3) 1a: x-] y i 3 hẠ:x+ y—2=0, mụ:x+2y—3=0 Toa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình : xt+y-2=0 ©x=y=Ì x+2y-3=0 Vậy A =(1; 1)
Gọi 3 là trung điểm của BC thì /M L BC, suy ra IM // hy
Trang 25Gọi -B(f + 5;¿ — 1) Ta có IA = IB hay (+1 +(£- =(L- 4Ÿ + #Ê © 2# +2 = 10 © / = 32 Do đó B = (7; L) hoặc Ö = (3 ; ~3) Không mất tính tổng quát, ta giả sử 8 = (7 ; 1) ; C = (3 ; -3) Khi đó : AB =(6;0), AC = (2;~4) x=l+í
Phương trình đường thẳng AP : \ ye \
Trang 26Giải hệ (1), (2), (3) ta được : _ 2 17 17 17 17 17 17 17 17 _8 17 M t 13 (h.60) (@): x? + y? = 16 c6 tam O(; 0), ban kinh R = 4 (Ø9: x2 + yŸ =10x+5 =0 © (x~— 5Ÿ” + y” = 20
(#") c6 tam O'(5 ; 0), ban kinh R' = 2V5
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ : x*È+y? =l6 -5 + 10x = l6 xJJ+y“ =10x+5=0€© 4x2 +y? =l16 y>0 y>0 21 X =—- 10 V1159 ~ 100 21, ne) Vay A= Ế 10° 10 Hinh 60 Goi H, K lan luot 14 hinh chiéu cia O, O' trén A, / là trung điểm cia OO’ Khi đó [= >.o|, HA =1ap, AK =tac 2 2 2
Vì A là trung điểm của 8C nên.A là trung điểm của HK Do đó, A/ là đường trung bình của hình thang vuông OHKỚ' Suy ra
AI = 2 :— iS vuông góc với A
Trang 2714 21 V1159 Đường thẳng A đi qua A g E q (a 10 } có vectơ pháp tuyến (4 ;—V] 159) nên A có vectơ chỉ phương (xÍ1 159 ; 4) Phương trình đường thẳng A : _21 _ vI159 10 _” 10 x1159 4 (4): xÈ+yˆ-6x+5=0 <> (x-3) +y=4, |
(5) có tâm O,(3 ; 0), ban kinh R, =2
(B): 2 + - 12x -6y + 44 =0 & (x -6) +(y-3) =
(2) có tam O,(6 ; 3), bán kính Ry =1
e Đường thẳng x = m là tiếp tuyến chung của () và (Ø) khi và chỉ khi
e Đường thẳng A : y = ax + _b là tiếp tuyến chung của ()và (2) khi và
chỉ khi
526-9 b=6-9a
a poe (6 - 6a)” = 4(a” +1)
Trang 2815 (8): x2 + y? ~2x+2y-7=0 © (x= 1 +(y+ 1Ÿ =9 ( am ( 16 @) cd tam O,(1 ; ~1), bán kính R) =3 ø): xÈ+yˆ-4x+6y+4=0 ©(x-2Ÿ +(y +3) = 9,
Ø6) có tam O,(2 ; -3), ban kinh Ry =3
Vi 0,0, = (2-1) +(-3 +1) = V5 < R, + R, nen (B), (B) cat nhau tai hai điểm phân biệt Nhưng R, = R, = 3 nén (&), (&) cé hai tiếp tuyến chung là các đường thẳng song song với Ó,Ó›, cách 0,0, một khoảng bằng 3 Tacé 0,0, = (1;-2) Giả sử tiếp tuyến chung A của () (Ø) có phương trình 2x + y + c = Ô B-i+d 30 c= 3V5-1 V2? +1 c= -3V5 -1 Vậy (5) (%) có hai tiếp tuyến chung là : 4(O,,A) = 3 © 2x + y +3V5 -1=0 va 2x + y-3V5 1=0 (@): xP +’ -2x-2y-14=0 @(x-1/ +(y-1) =16
(&)cé tam O,(1 ; 1), bán kính Rị =4