ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 8 Trong chương trình hình học phẳng cấp THCS, đặc biệt là hình học 8, nội dung có liên quan đến định lý Talét và hệ quả của nó chiếm khá nhiều. Tuy nhiên, đây là một kiến thức khó đối với học sinh. Việc giải bài tập liên quan đến chứng minh tam giác đồng dạng, chứng minh các tỉ lệ thức liên quan các cạnh tương ứng của tam giác đồng dạng… luôn gây cho học sinh một số khó khăn nhất định. Phương pháp “Tam giác đồng dạng” là một công cụ không thể thiếu để giải quyết các bài toán dạng này.
Phòng Giáo dục & Đào tạo Long Hồ Trờng THCS Long An Chuyên đề: NG DUNG PHNG PHP TAM GIC ĐỜNG DẠNG VÀO GIẢI TỐN HÌNH HỌC LỚP Cấu trúc chuyên đề Khái niệm chung phơng pháp tam giác Tóm tắt kiến thức liên quan Các dạng toán cụ thể Tiết dạy minh họa Dạng Dạng Tính độ dài, tØ sè, diƯn tÝch D¹ng Chøn g minh hƯ thøc D¹ng Chøng minh song song D¹ng Chøn g minh đồng dạng Dạng Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc Dạng Toán ứng dụng thực tế Phần A Mở đầu I Lý chọn chuyên đề: Trong chơng trình hình học phẳng cấp THCS, đặc biệt hình học 8, nội dung có liên quan đến định lý Ta-lét hệ chiếm nhiều Tuy nhiên, kiến thức khó học sinh Việc giải tập liên quan đến chứng minh tam giác đồng dạng, chứng minh tỉ lệ thức liên quan cạnh tơng ứng tam giác đồng dạng gây cho học sinh số khó khăn định Phơng pháp Tam giác đồng dạng công cụ thiếu để giải toán dạng Phơng pháp Tam giác đồng dạng phơng pháp ứng dụng tính chất đồng dạng tam giác, tỉ lệ đoạn thẳng, góc tam giác đồng dạng để sở tìm hớng giải phù hợp cho dạng toán Trên thực tế, việc áp dụng phơng pháp Tam giác đồng dạng giải toán, gặp thuận lợi khó khăn nh sau: * Thuận lợi: + Phơng pháp Tam giác đồng dạng công cụ giúp ta giải nhanh chóng dạng toán đặc trng tính tỉ lệ, chứng minh hệ thức tập ứng dụng khác + Với số dạng toán quen thuộc nh chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, chứng minh song song, chứng minh thẳng hàng, phơng pháp Tam giác đồng dạng cho ta cách giải gọn gàng phơng pháp truyền thống khác + Phơng pháp Tam giác đồng dạng giúp hình thành khả t logic học sinh, rèn luyện tính chủ động, sáng tạo học sinh, bớc nâng cao hiệu học tập * Khó khăn: + Phơng pháp Tam giác đồng dạng lạ lÉm víi häc sinh C¸c em cha quen víi viƯc sử dụng phơng pháp để giải toán thay cho cách chứng minh truyền thống, đặc biệt víi c¸c häc sinh líp + ViƯc sư dơng tỉ số cạnh phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn tính toán, biến đổi vòng quanh, không rút đợc tỉ số cần thiết; kỹ chọn cặp tam giác phù hợp ghi cha đỉnh tơng ứng khiến cho học sinh gặp nhiều trở ngại, lúng túng II Mục đích việc thực chuyên đề: Từ nhận định trên, chuyên đề giải giúp cho giáo viên dạy lớp em học sinh số vấn đề cụ thể : - Hệ thống lại kiến thức thờng áp dụng phơng pháp - Hệ thống dạng toán hình học thờng áp dụng phơng pháp Tam giác đồng dạng - Định hớng giải dạng toán phơng pháp - HƯ thèng mét sè bµi tËp lun tËp - Minh häa mét sè tiÕt d¹y lun tËp Trong chuyên đề nhóm tác giả có nhiều cố gắng nhằm làm rõ thêm số phơng pháp hình học đặc trng, nhiên hạn chế kiến thức, thực tế giảng dạy chắn chuyên đề nhiều thiếu sót Kính mong quý thầy, cô giáo có nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy, bạn đồng nghiệp tham gia góp ý bổ sung làm cho chuyên đề trở nên hoàn chỉnh Chúng xin chân thành cảm ơn! Phần B Nội dung I Kiến thức Định lý Talet tam giác a) Nếu đờng thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định cạnh đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ b) Nếu đờng thẳng cắt cạnh tam giác định cạnh đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ song song với cạnh lại c) Hệ qu¶: ∆ ABC cã MN// BC ⇒ AM AN MN = = AB AC BC Kh¸i niƯm tam gi¸c đồng dạng Tam giác ABC gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: à'= B à; C '=C µ vµ A ' B ' = B ' C ' = A ' C ' µ A ' = àA ; B AB BC AC Các trờng hợp đồng dạng tam giác a) Trờng hợp thứ (c.c.c): Nếu cạnh tam giác tỉ lệ với cạnh tam giác tam giác đồng dạng b) Trờng hợp thứ hai (c.g.c): Nếu cạnh tam giác tỉ lệ với cạnh tam giác góc tạo tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng c) Trờng hợp thứ ba (g.g): Nếu góc tam giác lần lợt góc tam giác hai tam giác đồng dạng d) Các trờng hợp đồng dạng tam giác vuông (học sinh đợc học sau): + Tam giác vuông có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông hai tam giác đồng dạng + Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác đồng dạng + Nếu cạnh huyền cạnh tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác đồng dạng II Các dạng toán cụ thể Dạng Tính độ dài đoạn thẳng, tỉ số, diện tích *Loại Tính độ dài đoạn thẳng Ví dụ 1: (có hình vẽ sẵn) ABCD h.thang (AB // CD) GT AB = 12,5cm; CD = 28,5cm · · = DBC DAB KL x =? Gi¶i · ∆ABD vµ ∆BDC cã: DAB = µ1 = B ⇒ ∆ABD : ∆BDC (g.g) · (gt) DBC µ (so le AB // CD) D x AB BD 12,5 = hay = 28,5 BD DC x ⇒ x = 12,5 28,5 ⇒ x = 12,5 28,5 ≈ 18,9 (cm) ⇒ VÝ dô 2: (cã hình vẽ sẵn) ABC; AB = 12cm; AC = 15cm GT BC = 18cm; AM = 10cm; AN = 8cm KL MN = ? Giải Xét ABC ANM ta cã : AM 10 = = AC 15 AN = = 12 AB ⇒ AM AN = AC AB Mặt khác, có àA chung Vậy ∆ABC : ∆ANM (c.g.c) Tõ ®ã ta cã: AB BC 12 18 = = hay MN AN NM ⇒ MN= 8.18 = 12(cm) 12 VÝ dơ 3: µ ; AB = 4cm; BC = 5cm µ = 2C a) Tam giác ABC có B Tính độ dài AC? biết số đo cạnh = 2C b) Tính độ dài cạnh ABC có B số tự nhiên liên tiếp A B Giải a) Trên tia đối tia BA lấy BD = BC ∆ACD vµ ∆ABC cã: + µA chung; D · µ = D µ = + C ABC ⇒ ∆ACD : ∆ABC (g.g) C ⇒ AC AD = ⇒ AC2 = AB AD AB AC = = 36 ⇒ AC = (cm) b) Gäi số đo cạnh BC, AC, AB lần lợt a, b, c Theo c©u (a) ta cã AC2 = AB AD = AB (AB + BC) ⇒ b2 = c (c + a) = c2 + a.c (1) Ta cã b > c (®èi diƯn víi góc lớn hơn) nên có khả là: b = c + hc b= c + * NÕu b = c + th× tõ (1) ⇒ (c + 1)2 = c2 + a.c ⇒ 2c + = a.c ⇒ c (a - 2) = (loại) c = ; a = 3; b = không cạnh tam giác * Nếu b = c + tõ (1) ⇒ (c + 2)2 = c2 + a.c ⇒ 4c + = ac ⇒ c (a – 4) = XÐt c = 1, 2, chØ cã c = 4; a = 5; b = thỏa mãn toán Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm Bài tập đề nghị: Cho ∆ABC vu«ng ë A, cã AB = 24cm; AC = 18cm; đờng trung trực BC cắt BC, BA, CA lần lợt M, E, D Tính độ dài ®o¹n BC, BE, CD *Lo¹i TÝnh gãc VÝ dơ: Cho ABH vuông H có AB = 20cm; BH = 12cm Trên tia đối HB lấy điểm C cho AC = · AH TÝnh BAC µ = 900 ; AB = 20cm ∆ABH; H GT AH · =? BAC KL B 12 H BH = 12cm; AC = C Gi¶i: AB 20 AC = = = BH 12 AH AB BH = AC AH Ta cã ⇒ XÐt ∆ABH vµ ∆ CAH cã : · ·AHB = CHA = 900 AB BH = (chøng minh trªn) AC AH · ⇒ ∆ABH : ∆CAH (CH c¹nh gv) ⇒ CAH = ·ABH · · · · L¹i cã BAH + ·ABH = 900 nên BAH + CAH = 900 Do đó: BAC = 900 Bài tập đề nghị: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có  = 60 Một đờng thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA tơng ứng M, N Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo góc BKD? *Loại Tính tỉ số đoạn thẳng, tØ sè chu vi, tØ sè diÖn tÝch · VÝ dụ: Cho ABC, D điểm cạnh AC cho BDC = ·ABC BD BA BiÕt AD = 7cm; DC = 9cm TÝnh tØ sè GT · ∆ABC; D ∈ AC : BDC = ·ABC ; AD = 7cm; DC = 9cm KL TÝnh BD BA Gi¶i: µ chung ; ∆CAB vµ ∆CBD cã: C ·ABC = BDC · (gt) CB CA = ⇒ ∆CAB : ∆CBD (g.g) ⇒ Do ®ã, ta cã: CD CB CB = CA.CD Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nªn CA = CD + DA = + = 16 (cm) Do ®ã CB2 = 9.16 = 144 ⇒ CB = 12 (cm) DB CB = = Mặt khác, ta lại có: CAB : CBD (cmt) => BA Bài tập đề nghị: CA Bài tập Cho hình vuông ABCD, gọi E F theo thứ tự trung điểm AB, BC; CE cắt DF ë M TÝnh tØ sè SCMD S ABCD ? Bài tập Cho ABC hình bình hành AEDF cã E ∈ AB; D ∈ BC; F ∈ AC Tính diện tích hình bình hành biết rằng: SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2; -Dạng Chứng minh hệ thức, đẳng thức nhờ tam giác đồng dạng Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao ®iĨm cđa ®êng chÐo AC vµ BD a) Chøng minh r»ng: OA OD = OB OC b) Đờng thẳng qua O vuông góc với AB CD theo thứ tự H K CMR: AB OH = OK CD + Tìm hiểu toán: Cho kiện gì? Chứng minh gì? + Xác định dạng toán: ? Để chứng minh hệ thức ta cần chứng minh điều gì? TL: OA OC = OB OD ? Để có đoạn thẳng ta vận dụng kiến thức TL: Chứng minh tam giác đồng dạng a) OA OD = OB OC ⇑ OA OC OB OD = ⇑ ∆OAB : ∆OCD b) OH AB = OK CD §Ĩ chøng minh OH AB = ta cần chứng minh điều OK CD Sơ đồ ph©n tÝch: OH OK OH OK = OA OC = AB CD AB OA = CD OC ⇑ ∆OAH : ∆OCK ⇑ ∆OAB : ∆OCD VÝ dô 2: Cho hai tam giác vuông ABC ABD có đỉnh góc vuông C D nằm nửa mặt phẳng bờ AB Gọi P giao điểm cạnh AC BD Đờng thẳng qua P vuông góc với AB t¹i I CMR: AB2 = AC AP + BP BD *Định hớng: - Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB? (AB = AI + IB) AB2 = ? → AB.(AI + IB) = AB AI + AB IB - Việc chứng minh toán đa việc chứng minh - Các hệ thức: AB AI = AC AP vµ AB IB = BP PD - HS xác định kiến thøc vËn dơng ®Ĩ chøng minh hƯ thøc (trong tam giác đồng dạng) Sơ đồ phân tích: AB2 = BP BD + AC AP ⇑ AB (IB + IA) = BP PD + AC AP ⇑ AB IB + AB AI = BP PD + AC AP AB.BI = PB DB ⇑ AB AI = AC AP ⇑ AB PB = ⇑ DB IB AB AP ⇑ ∆ADB : ∆PIB = ∆ACB : AC AI ⇑ ∆AIP Bµi tập đề nghị: Cho ABC, phân giác AD (AB < AC) Trên tia đối tia DA lấy điểm I · cho ·ACI = BDA CMR: a) AD DI = BD DC b) AD2 = AB AC - BD DC D¹ng Chøng minh quan hƯ song song VÝ dơ: Cho h×nh thang ABCD (AB // CD) Gọi M trung điểm CD, E giao điểm MA BD; F giao điểm MB AC Chứng minh EF // AB GT KL ABCD (AB // CD) DM = MC MA ∩ DB = E MB ∩ AC = F EF // AB Định hớng giải: - Sử dụng trờng hợp đồng dạng tam giác; - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng; - Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song (định lý Ta-lét đảo) Sơ đồ phân tích: EF // AB ME EA MF FB = ⇑ ME EA MD ; MD AB = ⇑ = MC ; MF MC = FB AB ⇑ ∆MED : ∆ AE ; ∆MFC : ∆BFA Bài tập đề nghị: Cho tứ giác ABCD, đờng thẳng ®i qua A song song víi BC c¾t BD ë E Đờng thẳng qua B song song với AD c¾t AC ë G Chøng minh r»ng EG // DC -Dạng Chứng minh tam giác đồng dạng Ví dụ 1: Cho ∆ABC; AB = 4,8cm; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm Trên AB lấy điểm D cho AD = 3,2cm; AC lấy điểm E cho AE = 2,4cm Kéo dài ED cắt CB F a) CMR: ∆ ABC : ∆AED b) ∆FBD : ∆FEC c) Tính ED; FB? Bài toán cho kiện gì? Thuộc dạng toán nào? Để chứng minh tam giác đồng dạng có phơng pháp nào? Bài sử dụng trờng hợp đồng dạng thứ mấy? Sơ đồ phân tÝch: a) ∆ABC : ∆AED ⇑ µA chung AB AC = =2 AE AD b) FBD : FEC ả = D C chung F c) Từ câu a, b híng dÉn häc sinh thay vµo tØ sè đồng dạng để tính ED FB Ví dụ 2: Cho ABC cân A; BC = 2a; M trung điểm BC Lấy ã điểm D E AB; AC cho DME = B a) CMR: ∆BDM : ∆CME b) ∆DME : ∆DBM c) BD CE không đổi ? Để chứng minh BDM : CME ta cần chứng minh điều ? Từ GT nghĩ đến tam giác đồng dạng theo trờng hợp ? GT cho u tè nµo vỊ gãc µ ) µ = C (B ? Cần chứng minh thêm yếu tố a) Lời giải sơ lợc: GT Góc DBM ⇓ ¶ ; ¶ + M ¶ ; DMC ¶ + µ · · µ = M = M = D DMC B B 1 ∆ABC c©n ả = M ả à = C ; D B ⇓ : ∆BDM ∆CME (g.g) C©u a GT ⇓ ⇓ b) DM ME = DM ME = = M ả (gt) B 1 ⇓ BD ; CM = BM CM BD BM ⇓ ; DM ME = BD BM ⇓ ∆DME : ∆DBM (c.g.c) c) Tõ c©u a: ∆BDM : ∆CME (g.g) BD BM = ⇒ ⇒ BD CE = CM BM CM CE BC Mµ CM = BM = = a BD CE = a2 (không đổi) Lu ý: Gắn tích BD CB độ dài không đổi; Bài cho BC = 2a không đổi; Nên phải hớng cho học sinh tính tích BD CE theo a Bài tập đề nghị: Bài tập Cho ABC, AD phân giác àA ; AB < AC Trên tia đối DA lấy ã điểm I cho ·ACI = BDA Chøng minh r»ng: a) ∆ADB : ∆ACI; ∆ADB : ∆CDI b) AD2 = AB AC - BD DC Bµi tËp Cho ∆ABC; Gọi H, G, O lần lợt trực tâm, trọng tâm, giao điểm đờng trung trực tam giác Gọi E, D theo thứ tự trung điểm AB vµ AC Chøng minh: a) ∆ OED : ∆ HCB b) ∆ GOD : ∆ GBH c) Ba ®iĨm O, G, H thẳng hàng GH = 2OG -D¹ng 5: Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc Ví dơ 1: 10 Cho h×nh thang ABCD (AB// CD) Hai đờng chéo AC BD cắt O Đờng thẳng a qua O song song với đáy hình thang cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự E F Chứng minh rằng: OE = OF B A E F O C D Sơ đồ ph©n tÝch: OE ⇑ OE DC = OF OF DC = ⇑ OE AO OF BO = ; = ; DC AC DC BD ⇑ ∆AEC ⇑ ∆BOF : AO BO = AC BD : ⇑ ∆AOB : ∆ADC ∆BDC ∆COD ⇑ ⇑ EF // DC ; AB // CD GT H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng (OE = OF) ta sÏ ®a vỊ chøng minh ®iỊu g×? TL: EO DC = OF DC (1) H: OE; DC cạnh tam giác nào? (AEO; ADC, tam giác đồng dạng cha? Vì sao?) H: Đặt câu hỏi tơng tự cho OF, DC EO OF vµ DC DC EO AO OF BO TL: = ; = DC AC DC BD H: LËp tØ số H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì? TL: AO BO = AC BD H: Đây tỉ số có đợc từ cặp tam giác đồng dạng nào? TL: AOB; COD H: Hãy chứng minh ®iỊu ®ã VÝ dơ 2: H×nh thang ABCD (AB // CD) cã AB = 4cm, CD = 16cm vµ BD = 8cm · · Chøng minh : BAD = DBC Xét BAD DBC có AB // CD : 11 ·ABD = BDC · (so le ) AB = = BD BD = = DC 16 AB BD = ⇒ (cïng b»ng ) BD DC : ⇒ ∆BAD ∆DBC (c.g.c) · · ⇒ BAD = DBC A B D 16 C -Dạng Toán ứng dụng thực tế Đề nh sách giáo khoa, đợc thực tiết thực hành trời Phần III Kết luận Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng giải toán Khi ứng dụng để chứng minh đoạn thẳng nhau, góc phơng pháp thờng dùng : * Đa đoạn thẳng cần chứng minh tử tØ sè b»ng cã cïng mÉu * Chøng minh đoạn thẳng độ dài * Đa góc cần chứng minh góc tơng ứng tam giác đồng d¹ng * Chøng minh tØ sè b»ng sau ®ã chøng minh tư b»ng (hc mÉu b»ng nhau) suy đoạn thẳng mẫu (hoặc tử) Trên số dạng toán tam giác đồng dạng chơng trình hình học lớp mà nhóm toán Trờng THCS Long An lựa chọn giới thiệu Chắc chắn thỏa mãn đợc yêu cầu thầy, cô dạy toán khối Rất mong đợc góp ý xây dựng quý thầy cô để chuyên đề đợc hoàn thiện thực có hiệu Xin trân trọng cảm ơn! Long An, ngày 09 tháng 03 năm 2017 Nhóm Toán 12 ... AM = 10cm; AN = 8cm KL MN = ? Giải Xét ABC ANM ta có : AM 10 = = AC 15 AN = = 12 AB ⇒ AM AN = AC AB Mặt khác, có àA chung Vậy ABC : ANM (c.g.c) Tõ ®ã ta cã: AB BC 12 18 = = hay MN AN NM ⇒ MN=... chơng trình hình học phẳng cấp THCS, đặc biệt hình học 8, nội dung có liên quan đến định lý Ta-lét hệ chiếm nhiều Tuy nhiên, kiến thức khó học sinh Việc giải tập liên quan đến chứng minh tam giác... (hoặc tử) Trên số dạng toán tam giác đồng dạng chơng trình hình học lớp mà nhóm toán Trờng THCS Long An lựa chọn giới thiệu Chắc chắn thỏa mãn đợc yêu cầu thầy, cô dạy toán khối Rất mong đợc góp