Các chuyên đề chọn lọc Toán 6 tập 1

 Tài liệu sưu tầm CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TỐN TẬP Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2020 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP PHẦN SỐ HỌC Chương I: ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN Chuyên đề 1: TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Tập hợp Tập hợp - Tập hợp khái niệm Tốn học Để kí hiệu tập hợp, ta dung chữ in hoa A, B, … để viết tập hợp, ta sử dụng hai cách: • Liệt kê phần tử tập hợp • Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp - Một tập hợp có phần tử, nhiều phần tử,vơ số phần tử khơng có phần tử Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu ∅ Để minh họa tập hợp phần tử nó, người ta dùng biểu đồ Ven - Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B ta nói A tập hợp B kí hiệu: A ⊂ B - Hai tập hợp A B gọi phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B ngược lại Kí hiệu: A = B - Một số tính chất: • Với tập hợp A, ta có: ∅ ⊂ A A ⊂ A • Nếu A ⊂ B B ⊂ A A = B • Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C ( tính chất bắc cầu) Tập hợp số tự nhiên - Tập hợp số tự nhiên kí hiệu N N = {0; 1; 2; 3; 4;…} Tập hợp số tự nhiên khác kí hiệu N* N* = {1; 2; 3; 4;…} - Tia số tự nhiên: CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Mỗi số tự nhiên biểu diễn điểm tia số Điểm biểu diễn số tự nhiên a tia số gọi điểm a - Để ghi số tự nhiên hệ thập phân, ta dùng 10 chữ số là: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; Trong hệ La Mã, ta dùng bảy kí hiệu: I, V, X, L, C, D, M với giá trị tương ứng hệ thập phân là: 1; 5; 10; 50; 100; 500; 1000 - Thứ tự tập hợp số tự nhiên: Với hai số tự nhiên a b bất kì, xảy ba khả sau: a < b; a = b; a > b Nếu a < b tia số tự nhiên, điểm a nằm bên trái điểm b II MỘT SỐ VÍ DỤ Dạng Viết tập hợp, tập hợp sử dụng kí hiệu ∈, ∉, ⊂ Ví dụ 1: Cho hai tập hợp A = {1; 2; 4; 5; 7; 9} B = {2; 3; 5; 6; 7} a) Viết tập hợp C gồm phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B b)Viết tập hợp D gồm phần tử thuộc tập hợp B mà không thuộc tập hợp A c) Viết tập hợp E gồm phần tử thuộc hai tập hợp A B d) Viết tập hợp G gồm phần tử thuộc tập hợp A thuộc tập hợp B Giải a) Ta thấy phần tử ∈ A mà ∉ B, ∈ C Tương tự, ta có: 4; ∈ C Vậy C = {1; 4; 9} b) Làm tương tự câu a), ta có: D = {3; 6} c) Ta thấy phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B nên ∈ E Tương tự, ta có: 5; ∈ E Vậy E = {2; 5; 7} d) Ta thấy phần tử ∈ A nên ∈ G; ∈ B nên ∈ G; … Vậy G = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9} Nhận xét: Tập hợp C gồm phần tử thuộc tập hợp A, trừ phần tử A mà thuộc B Trên biểu đồ Ven, tập hợp C có minh họa miền gạch chéo Kí hiệu: C = A \ B (đọc C hiệu A B) CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Tương tự, tập hợp D có minh họa miền chấm D = B \ A (đọc là: D hiệu B A) Tập hợp E gồm phần tử chung hai tập hợp A B Trên biểu đồ Ven, E có minh họa miền kẻ carơ Kí hiệu: E = A ∩ B (đọc là: E giao A B) Tập hợp G gồm phần tử thuộc A, thuộc B nên có minh họa hai vịng kín Kí hiệu: G = A ∪ B (đọc là: G hợp A B) Ví dụ Cho tập hợp A = {a, b, c} Hỏi tập hợp A có tất tập hợp con? Giải Tập hợp A khơng có phần tử là: ∅ Các tập hợp A có phần tử là: {a}, {b}, {c} Cấc tập hợp A có hai phần tử: {a, b}, {b, c}, {c, a} Tập hợp A có ba phần tử là: {a, b, c} Vậy A có tất tám tập hợp Nhận xét: Để tìm tập hợp tập hợp có n phần tử (n ∈ N), ta tìm tập hợp có 0; 1; 2; 3; …; n phần tử tập hợp Tập hợp A ∅ Các tập hợp A Số tập hợp A ∅ (n = 0) {a} ∅ ; {a} 2=2 (n = 1) {a, b} ∅ ; {a}; {b}; {a, b} = 2.2 (n = 2) {a, b, c} ∅ ; {a}; {b}; {c}; {a, b}; = 2.2.2 (n = {b, c}; {c, a}; {a, b, c} … Từ ta rút kết luận sau: - Tập hợp rỗng có tập hợp CÁC CHUN ĐỀ CHỌN LỌC TỐN 6, TẬP - Tập hợp có n phần tử ( n ≥ 1) có 2.2  tập hợp n thua sơ Dạng 2: Tính số phần tử tập hợp Ví dụ Cho A tập hợp số tự nhiên lẻ có ba chữ số Hỏi A có phần tử? Giải Khi liệt kê phần tử tập hợp A theo giá trị tăng dần ta dãy số cách có khoảng cách 2: 101; 103; 105; …; 999 Từ đó, số phần tử tập hợp A số số hạng dãy số cách đều: (999 – 101):2 + = 898:2 + = 450 Vậy tập hợp A có 450 phần tử Ví dụ Cho A tập hợp số tự nhiên lẻ lớn không lớn 79 a) Viết tập hợp A cách tính chất đặc trưng phần tử b) Giả sử phần tử A viết theo giá trị tăng dần Tìm phần tử thứ 12 A Giải a) Số tự nhiên n lớn không lớn 79 số thỏa mãn điều kiện: < n ≤ 79 Vậy ta có: A = {n ∈ N| n lẻ < n ≤ 79} b) Khi giá trị n tăng dần giá trị phần tử A tạo thành dãy số cách tăng dần (bắt đầu từ số 7, khoảng cách hai số lien tiếp 2) Giả sử phần tử thứ 12 A x ta có: (x – 7): + = 12 ⇒ (x – 7): = 11 ⇒ (x – 7) = 11.2 = 22 ⇒ x = 22 + = 29 Vậy phần tử thứ 12 cần tìm A 29 Nhận xét: Số phần tử tập hợp A là: (79 – 7): + = 37 nên A có phần tử thứ mười hai Ở câu b), ta viết tập hợp A dạng liệt kê phần tử phần tử thứ mười hai Tuy nhiên cách có nhược điểm ta phải liệt kê tất phần tử đứng trước phần CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TỐN 6, TẬP tử cần tìm Vậy với cách làm này, tốn u cầu tìm phần tử vị trí lớn khó khăn Dạng Đếm số chữ số Ví dụ Cần số để đánh số trang (bắt đầu từ trang 1) sách có 1031 trang? Giải Ta chia số trang sách thành nhóm: - Nhóm số có chữ số (từ trang đến trang 9): Số chữ số cần dùng - Nhóm số có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99): Số trang sách là: (99 – 10) : + = 90 số Số chữ số cần dùng 90.2 = 180 - Nhóm sốc số có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999): Số trang sách là: (999-100):1+1 = 900 Số chữ số cần dùng để đánh số trang nhóm là: 900.3 = 2700 - Nhóm số có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 1031): Số trang sách là: (1031 – 1000) : + = 32 Số chữ số cần dung là: 32.4 = 128 Vậy tổng số chữ số cần dùng để đánh số trang sách là: + 180 + 2700 + 128 = 3017 Nhận xét: Việc chia số trang thành nhóm giúp dễ dàng tính số chữ số cần dùng nhóm, từ tính tổng số chữ số cần dùng Một câu hỏi ngược lại là: Nếu ta biết số chữ số cần dùng để đánh số trang sáchthì ta tìm số trang sách hay khơng? Ta có tốn ngược ví dụ Ví dụ Tính số trang sách sách biết để đánh số trang sách (bắt đầu từ trang 1) cần dung 3897 chữ số Giải Để đánh số trang có chữ số (từ trang đến trang 9), cần chữ số Để đánh số trang có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99, gồm 90 trang), cần 90.2 = 180 chữ số Để đánh số trang có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999, gồm 900 trang), cần 900.3 = 2700 chữ số Vì + 180 + 2700 = 2889 < 3897 nên sách có nhiều 999 trang, tức số trang sách có nhiều ba chữ số Số chữ số lại là: 3897 – 2889 = 1008 CÁC CHUN ĐỀ CHỌN LỌC TỐN 6, TẬP Vì để đánh tất số trang có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 9999, gồm 9000 trang), cần 9000.4 = 36000 chữ số (vượt 1008 chữ số), nên số trang sách số có bốn chữ số Giả sử sách có n trang mà số trang có bón chữ số Số chữ số cần dùng để đánh n trang 4.n Ta có: 4.n = 1008, suy n = 1008 : = 252 Vì trang trang 1000 nên trang cuối 252 + 999 = 1251 Vậy sách có 1251 trang Nhận xét: Trong cách giải trên, ta xét nhóm số trang có chữ số, hai chữ số, … dùng hết chữ số mà cho Vậy làm để biết số trang sách có chữ số? Sau số gợi ý: Số chữ số dùng để đánh số trang Từ đến 99 (kí hiệu: → 9) 10 → 189 Số trang sách (n) n≤9 10 ≤ n ≤ 99 100 ≤ n ≤ 999 1000 ≤ n ≤ 9999 10000 ≤ n ≤ 99999 190 → 2889 2890 → 38889 38889 → 488889 … Với gợi ý trên, từ quy luật phạm vi số chữ số cho ta suy phạm vi số trang sách Chẳng hạn, số chữ số cho 16789432, nằm phạm vi từ 5888890 đến 68888889, số trang cuối sách số có bảy chữ số Dạng Các tốn cầu tạo số Ví dụ Tìm số có hai chữ số biết viết thêm chữ số vào hai chữ số số số gấp lần số cho Giải Gọi số có hai chữ số cần tìm ab ( < a ≤ 9;0 ≤ b ≤ ) Khi viết thêm chữ số vào hai chữ số ta số a0b Theo ra, ta có: a 0b = 7.ab 100.a= + b 7.(10.a + b) 100.a + b= 70.a + 7.b 30.a = 6.b 5.a = b CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Vì a, b chữ số a ≠ nên suy a = 1; b = Vậy số cần tìm 15 Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng phương pháp tách cấu tạo số theo chữ số hệ thập phân Sauk tìm mối quan hệ chữ số, ta xác định cụ thể chữ số Ví dụ Tím số có ba chữ số biết viết thêm chữ số vào trước số số gâó lần số ban đầu Giải x abc ( < a ≤ 9;0 ≤ b ≤ ) Gọi số có ba chữ số cần tìm là= Khi viết thêm số trước số x ta số 1abc Theo ra, ta có: 1abc = 9.abc 1000 + abc = 9.abc hay 1000 + x = 9.x 1000 = 8.x Suy ra: x = 1000 : = 125 Vậy số cần tìm 125 Nhận xét: Ở ví dụ ta khơng tách cấu tạo số cần tìm theo chữ số mà tách theo cụm chữ số Ta thấy số viết thêm không làm thay đổi cụm chữ số abc nên ta giữ nguyên cụm chữ số trình tách cấu tạo số Ví dụ Tìm tất số tự nhiên khác 0, cho viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số gấp lên lần (Đề thi HSG tỉnh Yên Bái, 2005) Nhận xét: Ta chưa biết số phải tìm có chữ số, từ đề ta thấy có hai chữ số Từ ta gọi phận số đứng trước chữ số hàng chục x (x 0), sử dụng phương pháp tách cấu tạo số theo chữ số cụm chữ số, ta có lời giải sau: Giải Gọi số cần tìm xab , đó: a, b chữ số; x ∈ N CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Khi viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ta số xa 0b Theo đề bài, ta có: xa 0b = 9.xab 1000.x + 100.= a + b 9.(100.x + 10.a + b) b 900.x + 90.a + 9.b 1000.x + 100.a += 100.x + 10.a = 8.b 50.x + 5.a = 5.b Vì b ≤ nên 4.b ≤ 4.9 = 36 , đó: 50.x + 5.a ≤ 36 ⇒ x = Khi số cần tìm ab , với 5.a = 4.b Vì a ≠ a, b chữ số nên ta có a = Từ suy b = Vậy số cần tìm 45 III BÀI TẬP 1.1 Cho tập hợp A = {1; 2;3; 4} Trong cách viết sau, cách viết đúng? Cách viết sai? Nếu sai, sửa lại cho a) 1∈ A 1.2 1.3 1.4 b) {1} ∈ A c) ⊂ A d ) {2;3} ⊂ A Cho hai tập hợp: A = {2;3;7;8} , B = {1;3;5;7;9} a) Mỗi tập hợp có phần tử? b) Viết tất tập hợp vừa tập A , vừa tập B Viết tập hợp sau cho biết tập hợp có phần tử? a) Tập hợp A số tự nhiên x mà 15 – x = 7; b) Tập hợp B số tự nhiên y mà 19 – y – 21 Tính số phần tử tập hợp sau: a) A = {10;12;14; ;98} b) B = {10;13;16;19; ;70} 1.5 1.6 Cho dãy số 2;7;12;17;22;… a) Nêu quy luật dãy số b) Viết tập hợp B gồm số hạng liên tiếp dãy số đó, số hạng thứ năm c) Tính tổng 100 số hạng dãy số Hãy viết lại tập hợp sau cách liệt kê phần tử: A = { x ∈ N; x lẻ 30 < x< 50 } B = { x ∈ ; x  5; x  2; x < 90} 1.7 1.8 Mẹ mua cho Hà sổ tay 256 trang Để tiện theo dõi Hà đánh số trang từ đến 256 Hỏi hà phải viết chữ số để đánh số trang hết sổ ta đó? Người ta viết liền số tự nhiên 123456… CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 a) Hỏi chữ số đơn vị số 53; 328; 1587 đứng hang thứ bao nhiêu? b) Chữ số viết hang thứ 427 chữ số nào? Cho bốn chữ số a, b, c, d đôi khác khác Tập hợp số tự nhiên có chữ số gồm bốn chữ số a, b, c, d có phần tử? Có số tự nhiên có hai chữ số mà: a) Trong số có chữ số 5? b) Trong số chữ số hàng chục bé chữ số hàng đơn vị? c) Trong số chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị? Với hai chữ số I, V viết số La mã (theo cách viết thông thường)? Số nhỏ số nào? Số lớn số nào? Mỗi tập hợp sau có phần tử? a) Tập hợp số có hai chữ số lập nên từ hai số khác b) Tập hợp số có ba chữ số lập nên từ ba chữ số đôi khác Tổng kết đợt thi đua lớp 6A có 45 bạn điểm 10 trở lên, 41 bạn từ điểm 10 trở lên, 15 bạn từ điểm 10 trở lên, bạn điểm 10 trở lên Biết khơng có đạt điểm 10, hỏi đợt thi đua lớp 6A có điểm 10? 1.14 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng đơn vị Nếu chuyển chữ số hàng đơn vị lên đầu số nhỏ số cho 2889 đơn vị 1.15 Hiệu hai số tự nhiên 57 Chữ số hàng đơn vị số bị trừ Nếu bỏ chữ số hàng đơn vị số bị trừ ta số trừ Tìm hai số 1.16 Tìm số có ba chữ số, biết viết chữ số theo thứ tự ngược lại số lớn số ban đầu 792 đơn vị 1.17 Cho số có hai chữ số Nếu viết thêm chữ số vào bên trái bên phải số ta số gấp 23 lần số cho Tìm số cho 1.18 Tìm số có năm chữ số biết viết chữ số đằng trước số số lớn gấp lần số có cách viết thêm chữ số vào đằng sau chữ số 1.19 Một số gồm ba chữ số có tận chữ số 7, chuyển chữ số lên đầu số mà chia cho số cũ thương dư 21 Tìm số 1.20 (Đề thi HSG Hà Nội, 2005) a) Có số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số hàng đơn vị 4? b) Có số tự nhiên gồm chữ số thỏa mãn có chữ số hàng đơn vị chia hết cho 3? CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Từ (1), (2) ƯCLN 4; 25  suy 29  299 100 2.73 a) Ta có 25  32  1mod 11 Vì 24 n1  2.16n mà 16  1mod 5 nên 24 n1  mod 5  24 n1  5k  (với k   , k chẵn) Khi đó, 22  22 n1 n 1  25 k 2  4.25   mod 11 k    mod 11 hay 22 n1   11 b) Ta có n  1mod n  1 , với n   n k  1mod n  1 , với n  Do n n1  n n2    n2        1mod n  1 (vế phải có n  số 1)  n n1  n n2    n2   mod n  1 Vậy n n1  n n2    n2  1n  1 (đpcm) 2.74 a) Ta có 5n2  26.5n  82 n1  25.5n  26.5n  8.64 n Vì 64  mod 59 nên 64 n  5n mod 59 Do 5n2  26.5n  82 n1  51.5n  8.5n mod 59  5n2  26.5n  82 n1  59.5n mod 59  5n2  26.5n  82 n1  mod 59 Vậy 5n2  26.5n  82 n1 59 b) Ta có 168 = 23.3.7 Vì 32 n + = 9n + ≡ + ( mod ) hay 32 n + ≡ ( mod ) (1) ⇒ ( 32 n + )8 Mặt khác 42 n = 16n 8 nên ( 42 n − 32 n − )8 Vì 42 n ≡ 1( mod 3) ;7 ≡ 1( mod 3) ⇒ 42 n − ≡ ( mod 3) Do ( 42 n − 32 n − ) (2) Vì 42 n − 32 n ≡ ( mod ) ;32 n =9n ≡ 2n ( mod ) nên 42 n − 32 n ≡ ( mod ) Do ( 42 n − 32 n − ) Từ (1),(2),(3) (8.3.7) = nên ( 42 n − 32 n − ) ( 8.3.7 ) 142 (3) CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 2.75 Rõ ràng với n = n = ( 9n + 1)  100 Với n ≥ , ta xét hai trường hợp n= 2k ( k ∈  *) ⇒ 92 k + 1= 81k + ≡ ( mod10 ) ⇒ ( 9n + 1)  10 ⇒ ( 9n + 1)  100 = n 2k ( k ∈  *) ⇒ 9n += 92 k +1 += 9.81k + ≡ ( mod ) ⇒ ( 9n + 1)  ⇒ ( 9n + 1)  100 Vậy ( 9n + 1)  100 , với n ∈  2.76 a) Ta có 23n + + 32 n +1 = 16.8n + 3.9n Vì 16 ≡ −3 ( mod19 ) ⇒ 16.8n ≡ −3.8n ( mod19 ) nên (16.8n + 3.9n )19 ⇔ ( −3) 8n + 3.9n ≡ ( mod19 ) ⇔ 9n − 8n ≡ ( mod19 ) ⇔ 9n ≡ 8n ( mod19 ) ⇒n= , trái lại, từ 9n ≡ 8n ( mod19 ) ⇒ ≡ ( mod19 ) : vô lý! Vậy n = b) Ta xét trường hợp: Trường hợp 1: Nếu n = 3k (với k ∈ N ) n.2n  ⇒ n.2n + = n 3k + (với Trường hợp 2: Nếu +1 n.2n + 1 ⇒ (3k + 1).23k = + 3k 23k +1 + = 23k +1 3k 23k +1 + 2.8k + k∈N) Do đó: n.2n + 1 ⇔ (2.8k + 1) Vì ≡ −1(mod 3) ⇔ 8k ≡ (−1) k (mod 3) suy 2.8k + 1 ⇔ 2.(−1) k + ≡ 0(mod 3) ⇔ k chẵn ⇔= k 2m( m ∈ N ) n 6m + với m ∈ N Do đó: = n 3k + (với k ∈ N ) Trường hợp 3: Nếu = n +2 +2 n.2= + (3k + 2).23k = + 3k 23k + + 2.23k = + 3k 23k + + 8k +1 + Do đó: ( n.2n + 1) ⇔ ( 8k +1 + 1) Vì ≡ −1(mod 3) nên 8k +1 ≡ (−1) k +1 (mod 3) suy ra: ( 8k +1 + 1) ⇔ (−1) k +1 + ≡ 0(mod 3) ⇔ k + lẻ ⇔ k chẵn ⇔= k 2m( m ∈ N ) n 6m + (với m ∈ N ) Do đó: = Vậy điều kiện cần tìm m m ≡ 1(mod 6) m ≡ 2(mod 6) 2.77 a) Vì ≡ 01(mod100) nên ta tìm số dư chia 97 cho 4 Ta có: ≡ 1(mod 4) nên ≡ 1(mod 4) Do đó: 97 = 4k + 1(k ∈ N ) 74 74 ⇒ A= 79 = k +1 = 7.(7 ) k ≡ 7.01(mod100) ⇒ 79 ≡ 07(mod100) Vậy A có hai chữ số tận 07 143 CÁC CHUN ĐỀ CHỌN LỌC TỐN 6, TẬP b) Vì 2910 ≡ 01(mod100) nên ta tìm số dư chia 92012 cho 10 Ta có: ≡ −1(mod10) nên 92012 ≡ 1(mod10) ⇒ 92012 ≡ 10k + với k ∈ N 10 k +1 = B 29 = 29.(2910 ) k ≡ 29.01(mod100) Do đó: Hay B ≡ 29(mod100) Vậy B có hai chữ số tận 29 2.78 C = 19781986 a) Vì 1978 ≡ 8(mod10) ⇒ 1978 ≡ 6(mod10) Mặt khác 19868 ≡ 0(mod 4) nên 19868= 4k (k ∈ N ) ⇒ C= 19864 k ≡ 6(mod10) Vậy chữ số tận C b) Vì C ≡ 8(mod10) nên C 20 ≡ 76(mod100) ⇒ C 20 m ≡ 76(mod100) Mặt khác 1986 ≡ 6(mod 20) ⇒ 19868 ≡ 16(mod 20) Do đó: 19868 = 20k + 16(k ∈ N ) 20 k +16 = ⇒ C 1978= 197816.(197820 ) k ≡ 198616.76(mod100) Lại có: 1978 ≡ −22(mod100) ⇒ 19784 ≡ 56(mod100) ⇒ (19784 ) ≡ 564 (mod100)hay197816 ≡ 96(mod100) Từ ta có: C ≡ 96.76(mod100) ⇒ C ≡ 76(mod100) Vậy C có hai chữ số tận 76 144 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TỐN 6, TẬP PHẦN HÌNH HỌC Chun đề 1.1 (h.6) Có nhóm ba điểm thẳng hàng gồm: ba hàng ngang, ba hàng dọc hai hàng chéo 1.2 Xem hình 34 1.3 Gọi số điểm phải có để vẽ 36 đường thẳng x x(x − 1) Ta có = 36 Suy x(x − 1) = 72 = 9.8 Vì x x − hai số tự nhiên liên tiếp nên x = 12 Vậy số điểm lúc ban đầu + = Hình 34 12.11 Số đường thẳng vẽ lúc ban đầu = 66 1.4 a) Trong điểm phải có điều kiện khơng có ba điểm thẳng hàng b) Trong số điểm phải có điều kiện điểm thẳng hàng (h.35) c) Phải có điều kiện có hai nhóm ba điểm thẳng hàng (h.36) E A B E A B C D C D Hình 35 Hình 36 1.5 Số đường thẳng vẽ qua cặp điểm lúc ban đầu n(n − 1) Nếu bớt điểm số đường thẳng vẽ qua cặp điểm sau là: (n − 1)(n − 2) Theo đề ta có n(n − 1) (n − 1)(n − 2) − = 2 (n − 1) [ n − (n − 2)] = 20 (n − 1).2 = 20 n −1 = 10 n = 11 Vậy số điểm lúc đầu 11 Cách khác: Nếu bớt điểm qua điểm điểm số n − điểm lại bớt 10 hay n = 11 đường thẳng Vì tổng số đường thẳng giảm 10 nên n − = n(n − 1) để tính số giao điểm đường thẳng 1.6 Hướng dẫn: Áp dụng công thức 145 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Đáp số: 120 giao điểm n(n − 1) = 190 , suy n(n − 1)= 380= 20.19 Vậy n = 20 1.8 Nếu 12 điểm cho khơng có điểm thẳng hàng số đường thẳng vẽ 12.11 = 66 (đường thẳng) Bây xét đến điểm thẳng hàng, qua chúng vẽ đường thẳng Nếu điểm 4.3 không thẳng hàng vẽ = (đường thẳng) (đường thẳng) Số đường thẳng giảm − = 61 (đường thẳng) Vậy vẽ tất 66 − = 1.9 Số giao điểm là: • (h.37) • (h.38) • (h.39) • (h.40) 1.7 Gọi n số đường thẳng Ta có Hình 40 Hình 39 Hình 37 Hình 38 1.10 Hướng dẫn: Bạn vẽ đường thẳng cắt tạo thành cánh (h 41) Hình 41 1.11 a) m n hai đường thẳng phân biệt điểm chung O, chúng khơng cịn điểm chung khác (h.42) b) m n hai đường thẳng trùng nên chúng điểm chung khác điểm O (h.43) 146 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP m n m O n O P Hình 42 Hình 43 1.12 (h.44) • Vì điểm M nằm hai điểm A A B nên ba điểm M, A, B thẳng hàng, điểm M nằm Hình 44 đường thẳng AB M N B • Vì điểm B nằm hai điểm M N nên ba điểm B, M, N thẳng hàng điểm B nằm đường thẳng MN Hai đường thẳng AB MN có hai điểm chung B N nên chúng trùng 1.13 Vẽ đường thẳng qua P Q cắt đường P thẳng a cắt đường thẳng b M Khi ba b M điểm M, P, Q thẳng hàng (h.45) Q O M' a Hình 45 Chun đề 1.14 Trong hình 13 có tia, gồm: - Ba tia gốc A Ax, Ay, Am; - Ba tia gốc B Bx, By, Bn; - Hai tia gốc O Om, On 1.15 Trong hình 14 có 18 tia, gồm: Bốn tia gốc C, bốn tia gốc D, bốn tia gốc E tia gốc O 1.16 (h.46) Tại điểm A1 , A , , A n có tia A1 A2 An Hình 46 = : 25 (điểm) Do để hình có 100 tia = n 100 1.17 (h.47) a) Điểm O nằm hai điểm M N nên hai tia OM, ON đối (1) Điểm E thuộc tia OM, điểm F thuộc tia ON nên tia OE trùng với tia OM; tia OF trùng với tia ON (2) 147 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Từ (1) (2) suy hai tia OE OF đối E M O N F b) Vì hai tia OE OF đối nên gốc Hình 47 O nằm hai điểm E F 1.18 (h.48) a) Điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia BA, BO A O B trùng (1) C Điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia BA, BC Hình 48 đối (2) Từ (1) (2) suy hai tia BO BC đối b) Vì hai tia BO BC đối nên gốc B nằm hai điểm O C 1.19 (h.49) a) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia A BA, BC đối (1) B C D Vì điểm C nằm hai điểm B D nên hai tia BC Hình 49 BD trùng (2) Từ (1) (2) suy hai tia BA, BD đối b) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia CA, CB trùng (3) Vì điểm C nằm hai điểm B D nên hai tia CD, CB đối (4) Từ (3) (4) suy hai tia CA, CD đối Chuyên đề 1.20 (h.21) Đường thẳng xy tia Am cắt đoạn thẳng PQ 1.21 (h.50 a,b) Vẽ tất đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD CD B A A B D C Hình 50b C D Hình 50a 1.22 Ta có n.(n − 1) = 36 ⇒ n.(n − 1) = 72 = 9.8 Vì n n − hai số tự nhiên liên tiếp nên n = 1.23 (h.51) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên AB + BC = AC Vì điểm C nằm hai điểm B D nên BC + CD = BD Mặt khác AC > BD nên AB + BC > BC + CD hay AB > CD 1.24 (h.52) Vì điểm A nằm M B nên MA + AB = MB A B C Hình 51 M A B Hình 52 148 N D CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Suy MB = + AB (1) Vì điểm B nằm A N nên AB + BN = AN = AB + Suy AN (2) Từ (1) (2) suy MB < AN AB 1.25 (h.53) Vì điểm M nằm A B nên AM + MB = Do AB = + = (cm) AC Vì điểm B nằm A C nên AB + BC = Do AC = + = (cm) 1.26 (h.54) Vì M nằm A B nên MA + MB = AB = 7cm 3cm Mặt khác MA − MB = nên MA = (7 + 3) : = (cm) MB = − = (cm) 1.27 Xét ba trường hợp: • Trường hợp M nằm A B (h.55) Ta có AM + MB = AB A M B C Hình 53 A M B Hình 54 A M B Hình 55 2MB + MB = 3MB = 6 MB = (cm) • Trường hợp B nằm A M (h.56) Ta có AB + BM = AM A B M Hình 56 + BM = 2MB BM = (cm) • Trường hợp điểm A nằm hai điểm B M Ta có BA + AM = BM + 2BM = BM 6+ BM = (vô lí) Vậy trường hợp khơng xảy Đáp số: MB = 2cm MB = 6cm 1.28 Ta có AC + CB = AB (vì + = 5) Vậy điểm C nằm hai điểm A B Do hai tia CA, CB đối x 1.29 Điểm O gốc tia nên không nằm A B O A B * Xét trường hợp điểm A nằm O B Hình 57 (h 57) Ta có OB = OA + AB = + = (cm) * Xét trường hợp điểm B nằm O A (h 58) x Ta có OB + BA = OA O B A ⇒ OB = OA –BA = – = 2(cm) Hình 58 149 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1.30 Điểm O gốc tia nên không nằm hai điểm M N * Xét trường hợp M nằm O N (h 59) Ta có: ON = OM + MN = + = 8(cm) * Xét trường hợp điểm N nằm hai điểm O M O M N Ta có: ON + NM = OM Hình 59 ON + = (vơ lí) Vậy trường hợp khơng xảy Do tốn có đáp số 8cm 1.31 (h 60) * Trên tia Ox có OB < OC (3 < 5) nên điểm B nằm O C Ta có OB +BC = BC Suy BC = OC – OB = – = 2(cm) O A B C Đo OA = BC (=2cm) * Trên tia Ox có OA < OC (2 < 5) nên điểm A nằm O C Hình 60 Ta có: OA + AC = OC ⇒ AC = OC – OA = – = (cm) Do OB = AC (=3cm) 1.32 (h 61) Trên tia Ox có OM < ON (m < m +n) nên điểm M nằm hai điểm O N Do đó: OM + MN = ON m+n Suy MN = ON – OM = m + n – m = n m x Vậy OM > MN (vì m > n) O M Hình 61 150 N x x CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Chuyên đề 1.33 (h 62) Vì điểm O nằm hai điểm A B nên AO + OB = AB (1) Suy OB = AB – AO = AB Do OA = OB (= 1 AB = AB 2 A O AB) (2) B Hình 62 Từ (1) (2) suy O trung điểm đoạn thẳng AB Lưu ý: Bài toán cho ta dấu ấn nhận biết trung điểm đoạn thẳng 1.34 Trong điểm M, O, N thẳng hàng có điểm nằm hai điểm khác * Giả sử M nằm O N, ta có: OM + MN = ON ⇒ MN = ON – OM = (vì OM = ON) Điều vơ lí MN > Vậy trường hợp khơng xảy Do đó, điểm O nằm M N Mặt khác OM = ON nên O trung điểm MN 1.35 (h.63) y x M N O P Q * N trung điểm đoạn thẳng MO * O trung điểm đoạn NP MQ Hình 63 * P trung điểm OQ 1.36 (h.64) Vì M trung điểm OA nên OM = Vì N trung điểm OB nên ON= = ( cm ) = ( cm ) x O B M N A Trên tia Ox có OM < ON (2 < 3) nên điểm M nằm hai điểm O N Hình 64 Do OM + MN = ON ⇒ MN = ON – OM = – = 1(cm) 1.37 Ta có OP + OQ ≠ PQ ( + ≠ 3) nên điểm O khơng nằm P Q O trung điểm PQ 1.38 (h 65) a) Vì M trung điểm OA nên OM = MA = OA = ( cm ) x O Trên tua Ox có OM < OB (2 < 6) M A nên M nằm O B Do OM + MB = OB Hình 65 Suy MB = OB – OM = – = 4(cm) b) Trên tia Ox có OA < OB (4 < 6) nên điểm A nằm hai điểm O B Do OA + AB = OB ⇒ AB = OB – OA = – = 2(cm) Trên tia BO có BA < BM (2< 4) nên điểm A nằm hai điểm B M Mặt khác = BA B 1   = BM   nên điểm A trung điểm MB 2   1.39 (h 66) Điểm M nằm A B nên AM + MB = AB ⇒ MB = AB – AM = – = (cm) Trên tia BA có BN < BM (2 < 4) 151 A M N B CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP nên điểm N nằm hai điểm B M (1) Ta có BN + NM = BM ⇒ MN = BM – BN = – = (cm) Vậy BN = MN (=2cm) (2) Từ (1) (2) suy N trung điểm đoạn thẳng MB 1.40 Vì M trung điểm OA nên OA = 2OM = 2cm Vì N trung điểm OB nên OB = ON = 5cm * Xét trường hợp M N thuộc tia gốc O (h 67) Khi A B thuộc tia gốc O Vì OA < OB (2 < 5) nên điểm A nằm hai điểm O B Suy OA + AB = OB ⇒ AB = OB – OA = – = (cm) * Xét trường hợp M N thuộc hai tia đối gốc O (h 68) Điểm A điểm B nằm hai tia đối gốc O nên điểm O nằm A B ⇒ AB = AO + OB = + = (cm) 1.41 (h 69) Vì M1 trung điểm AB nên M= 1B Hình 66 ? x y A M1 O 2,5 N B Hình 67 2,5 x y O M A N B Hình 68 10 AB = = 29 ( cm ) 2 M B 29 B = = 28 ( cm ) Vì M2 trung điểm M1B nên M 2= 2 ……………… Vì M10 trung điểm đoạn thẳng M9B nên M 10 B= A M9B = = 1( cm ) 2 B M1 Hình 69 Trên tia BA có BM 10 < BM (1 < 29 ) nên điểm M 10 nằm hai điểm B M1 Do BM 10 + M 10 M = BM ⇒ M 10 M = BM − BM 10 = 29 − = 511( cm ) 152 M2 M3 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Chuyên đề nâng cao 1.42 (h 70) Điểm M trung điểm AB nên AM = MB AB =a 2a A Điểm N nằm hai điểm A B nên AN + NB = AB = 2a N M Vì AN < AM nên 2AN < 2a, AN < a Trên tia AB có AN < AM nên điểm N nằm hai điểm Hình 70 A M (dấu hiệu 3) Trên tia AB có AN < AM < AB nên điểm M nằm hai điểm N B (dấu hiệu 4) 1.43 (h.71) Điểm O trung điểm AB nên O nằm A B Trên tia AB có AB nên điểm M nằm hai điểm A O AB Trên tia BA có BN < BO = B AM < AO = A M O N B nên điểm N nằm hai điểm B O Hình 71 Suy điểm O nằm hai điểm M N (dấu hiệu 5) (1) Ta có OM = OA – AM; ON = OB – BN Mặt khác OA = OB AM = BN nên OM = ON (2) Từ (1) (2) suy O trung điểm MN 1.44 (h 72) A a) Điểm I nằm A B nên I K a AI + IB = AB ⇒ IB = AB – AI = – = 4(cm) Trên tia BA có BK < BI (vì a < 4) nên điểm K nằm hai điểm B I Hình 72 Do BK + KI = BI ⇒ IK = BI – BK = – a (cm) b) Ta có K nằm B I nên muốn K trung điểm BI phải có BK = 1 BI ⇔ a = = ( cm ) 2 a 1.45 (h 73) Trên tia Ox có OA < OB (vì a < b) nên điểm A nằm hai điểm O B Suy OA + AB = OB ⇒ AB = OB – OA = b – a Vì M trung điểm AB nên BM = O b x A M B Hình 73 AB b − a = 2 b−a b b−a b < < b Trên tia BO có BM < BO (vì < < b ) nên điểm M nằm hai 2 2 b − a 2b − ( b − a ) a + b OB − BM = b− = = điểm B O Suy BM + MO = BO Do OM = 2 Ta có: 1.46 (h 74) Điểm E nằm hai điểm A B nên AE + BE= AB = 6cm mà AE + BF = 7cm nên BE < BF Trên tia BA có BE < BF nên điểm E nằm hai điểm B F Suy BE + FE = BF Ta có: AE + BF = 7cm Do đó: AE + (BE + FE) = 7cm B A F E AB + FE = 7cm ⇒ FE = – AB = – = (cm) Hình 74 1.47 (h 75) • Trên tia Ox có OA < OB (1,5 < 3) nên điểm A nằm hai điểm O B 153 B CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Ta có OA + AB = AB ⇒ AB = OB – OA = – 1,5 = 1,5 (cm) Vậy OA = AB (=1,5cm) Suy A trung điểm OB • Trên tia Ox có OB < OC ( < 4,5) nên điểm B nằm O C Ta có: OB + BC = OC ⇒ BC = OC – OB = 4,5 – = 1,5 (cm) 4,5 Vậy AB = BC (1) O C A B Trên tia Ox có OA < OB < OC (1,5 < 3< 4,5) 1,5 nên điểm B nằm hai điểm A C (dấu hiệu 4) (2) Từ (1) (2) suy B trung điểm AC Hình 75 Tóm lại, hình có điểm A trung điểm OB; điểm B trung điểm AC 1.48 (h 76) a) Hai tia OA, AB đối nên điểm A nằm hai điểm O B, O M A N OB = AO + AB = + = 6(cm) Vì điểm M trung điểm AO nên OM = (cm) Hình 76 Vì N trung điểm OB nên ON = (cm) Trên tia OB có OM < ON nên điểm M nằm hai điểm O N Suy OM + MN = ON Do MN = ON – OM = – = 2(cm) Vậy OA = MN (=2cm) b) Trên tia OB có OA < ON (2 < 3) nên điểm A nằm hai điểm O N Suy OA + AN = ON ⇒ AN = ON – OA = – = (cm) Vậy AN = OM (= 1cm) 1.49 (h 77) a) Ta có= AE x B = AB ( cm ) Điểm F trung điểm AE nên AF = FE = :2 = 2(cm) Điểm E nằm hai điểm A B nên AE + BE = AB Suy BE = AB – AB = – = (cm) Do BE = FE(=2cm) (1) Trên tia AB có AF < AE < AB (2 < < 6) nên điểm E nằm F B (dấu hiệu 4) (2) Từ (1) (2) suy E trung điểm BF b) Điểm F nằm hai điểm A E (vì F trung điểm AE) Suy hai tia FA FE đối (1) A F E Điểm O nằm hai điểm E F (vì O trung điểm FE) Suy hai tia FO FE trùng (2) Hình 77 Từ (1) (2) suy hai tia FA, FO đối Do điểm F nằm hai điểm A O dẫn tới OF, OA trùng (3) Lập luận tương tự có hai tia OE, OB trùng (4) Mặt khác hai tia OF , OE đối (vì O trung điểm FE) (5) Từ (3); (4); (5) suy hai tia OA, OB đối nhau, dẫn tới điểm O nằm hai điểm A B (6) Ta có: OA = OF + AF (vì F nằm A O) OA = + = (cm) OB = OE + BE (vì E nằm B O) 154 B CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP OB = + = (cm) Do OA = OB (7) Từ (6) (7) suy O trung điểm AB 1.50 (h 78) Vì O trung điểm AB nên OA = OB O nằm A B Suy hai tia BO, BA trùng Mặt khác hai tia BM, BA đối nên hai tia BO, BM đối nhau, điểm B nằm hai điểm O M Suy OM = OB + BM (1) Điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA, OB đối xứng Điểm B nằm hai điểm O M nên hai tia OM, OB trùng Suy hai tia OA, OM đối Do điểm O nằm hai điểm A M Vậy AO + OM = AM ⇒ OM = MA – AO (2) B M A O Từ (1) (2) ta có 2OM = OB + BM + MA – AO 2OM = MA + MB (vì OA = OB) Hình 78 OM = x MA + MB Nhận xét: Muốn chứng minh OM = MA + MB ta chứng tỏ 2OM = MA + MB Muốn có 2OM ta tính OM, theo hai cách khác cộng lại Sau muốn OM ta chia kết cho 2 Bài toán M nằm tia đối tia AB 1.51 Xét hai trường hợp: * M nằm O B (h 79) Ta có hai tia OM OB trùng (1) Điểm O trung điểm AB nên OA = OB O nằm A B Suy hai tia OA, OB đối (2) A Từ (1) (2) suy hai tia OA, OM đối O M B điểm O nằm hai điểm A M Ta có AO + OM = AM ⇒ OM = MA – OA (3) Hình 79 Mặt khác: OM + MB = OM ⇒ OM = OB – MB (4) Từ (3) (4) ta có 2MO = MA – AO + OB – MB 2MO = MA – MB (vì OA = OB) (5) * M nằm O A (h 80) Cũng giải tương tự ta OM = Từ (5) (6) suy OM = MB− MA (6) MA − MB A M O Hình 80 Lưu ý: Nếu điểm M trùng với O kết 155 B CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP MỤC LỤC PHẦN SỐ HỌC Chương I: ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN Chuyên đề 1: TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Chuyên đề PHÉP TOÁN TRONG TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN 10 Chuyên đề TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG, HIỆU, TÍCH 18 Chuyên đề DẤU HIỆU CHIA HẾT 21 Chuyên đề SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ 28 Chuyên đề ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT 33 Chuyên đề nâng cao SỐ CHÍNH PHƯƠNG 40 Chuyên đề nâng cao NGUYÊN LÍ DIRICHLET 50 Chương II SỐ NGUYÊN 55 Chuyên đề TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN 55 Chuyên đề PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC SỐ NGUYÊN 61 CHUYÊN ĐỀ QUY TẮC DẤU NGOẶC VÀ QUY TẮC CHUYỂN VẾ 67 Chuyên đề PHÉP NHÂN HAI SỐ NGUYÊN 73 Chuyên đề BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN 78 Chuyên đề nâng cao ĐỒNG DƯ 82 PHẦN HÌNH HỌC 89 Chương I ĐOẠN THẲNG 89 Chuyên đề ĐIỂM ĐƯỜNG THẲNG 89 Chuyên đề TIA 93 Chuyên đề ĐOẠ N THA� NG 96 Chuyên đề TRUNG ĐIE� M CU� A ĐOẠ N THA� NG 99 Chuyên đề nâng cao 102 CA� C DA� U HIE�̣ U NHA�̣ N BIE� T MO�̣ T ĐIE� M NA� M GIƯ�A HAI ĐIE� M KHA� C 102 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ ….106 PHẦN SỐ HỌC 106 Chương I ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN 106 Chương II SỐ NGUYÊN 129 PHẦN HÌNH HỌC 145 156 ... vị Nếu chia số lớn cho số nhỏ thương cịn dư Tìm số dư 16 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 17 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Chuyên đề TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG, HIỆU, TÍCH I KIẾN THỨC... 35.13 + 35.17 + 65 .75 − 65 .45 = (35.13 + 35.17) + (65 .75 − 65 .45) = 35.(13 + 17) + 65 .(75 − 45) = 35.30 + 65 .30 = 30.(35 + 65 ) 11 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP = 30.100 = 3000 16 c) Ta có: (...CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP PHẦN SỐ HỌC Chương I: ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN Chuyên đề 1: TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Tập hợp Tập hợp - Tập hợp khái niệm