Các chuyên đề toán của lớp 9

TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN THÚ VỊ 1 TỪ MỘT LỜI GIẢI ĐI ĐẾN BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 4 PHẦN THUẬN CỦA BÀI TOÁN QUĨ TÍCH 5 TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH MỞ RỘNG BÀI TOÁN 8 ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI ẨN VÀ CÁC ỨNG DỤNG 9 SÔ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LOẠI PHƯƠNG TRÌNH 11 CÓ BAO NHIÊU CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ? 13 CÁCH CHỨNG MINH HAY NHẤT 13 ĐỊNH LÍ VI-ET THUẬN 14 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 16 KHÓ Đà TRỞ THÀNH DỄ 18 CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI 19 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 20 THÊM CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGIỆM NGUYÊN 22 ỨNG DỤNG CỦA MỘT BỔ ĐỀ 24 TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC BẰNG CON ĐƯỜNG GIÁN TIẾP 25 SAI LẦM DỄ MẮC PHẢI KHI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 26 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ CÁC ẨN 28 MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIẤ TRỊ LỚN NHẤT 30 XÂU CHUỖI BÀI TOÁN 32 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL 33 NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 35 TIẾP TỤC PHÁT HIỆN VÀ MỞ RỘNG 37 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 39 NHỮNG MỞ RỘNG BAN ĐẦU TỪ MỘT BÀI TOÁN TRONG SÁCH GIAO KHOA 40 THAY ĐỔI KẾT LUẬN CỦA BÀI TOÁN HÌNH HỌC 42 SUY NGHĨ TỪ CÁC BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA LỚP 9 44 NHỮNG KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN QUỸ TÍCH CƠ BẢN 45 TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN THÚ VỊ Khi giải phương trình bậc hai, đã bao giờ bạn từng đặt câu hỏi, chẳng hạn tại sao phương trình x2 + 6x - 3 = 0 có nghiệm là §thì cũng có nghiệm là §? Ban đầu tôi giải thích điều kì lạ này bằng định lí Viét nhưng sau quá trình suy nghĩ, tìm tòi tôi mới phát hiện ra những bí ẩn tuyệt vời đằng sau điều kì lạ đó. Trước hết ta xét bài toán : Bài toán 1 : Chứng minh rằng : Nếu phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ, có một nghiệm vô tỉ là §(m ; n thuộc Q) thì sẽ có một nghiệm nữa là §. Chứng minh : Có 3 cách để chứng minh bài toán này. Cách 1 : (sử dụng hệ thức Viét) Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (*) (a ≠ 0) có một nghiệm là §. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (*) trong đó x1 = §. Do x1 là nghiệm của (*) § Cách 2 : Khi chứng minh như ở cách 1 và được 2am + b = 0 => 2am + b = 0 = am2 + an + bm + c Khi đó : § Cách 3 : Xét : § = (x - m)2 - n = x2 - 2mx + m2 - n Chia đa thức ax2 + bx + c cho g(x) ta có : ax2 + bx + c = a(x - §)(x - §) + (b + 2ma)x + (an + c - m2a) Khi x1 = §=> ax2 + bx + c = 0. => : (b + 2ma)(§) + an + c = 0. Do §vô tỉ ; m, n, a, b, c thuộc Q nên => : b + 2ma = an + c - m2a = 0 => ax2 + bx + c = a(x - §)(x - §) => §là một nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (đpcm). Sau khi thử nghiệm một số trường hợp, tôi đã tổng quát bài toán như sau : Bài toán 2 : Chứng minh rằng : Nếu một phương trình bậc n (n ≥ 2) có hệ số hữu tỉ và một nghiệm vô tỉ là §(m, n thuộc Q) thì §cũng là một nghiệm của phương trình này. Chứng minh : Đến đây có lẽ bạn đọc cũng thấy được sự bất lực của các cách 1 ; 2 (bài toán 1) trong bài toán này. Tuy nhiên sử dụng cách giải 3 bài toán 1 ta sẽ chứng minh được bài toán 2. Thật vậy : Xét phương trình P(x) = 0 với P(x) là đa thức bậc n và hệ số hữu tỉ. Xét : § = x2 - 2mx + m2 - n Chia P(x) cho G(x) được thương là Q(x) dư B(x) + C (B,C thuộc Q). Vì x0 = §là nghiệm của P(x) = 0 => : P(x0) = Q(x0) = 0 => Bx0 + C = 0 => : B(§) + C = 0. Do §vô tỉ ; B, C hữu tỉ => B = C = 0 => P(x) = Q(x).(x - §)(x - §) => §cũng là nghiệm của phương trình P(x) = 0 : (đpcm). Bây giờ chúng ta xét đến bài toán 3 cũng là một bài toán quen thuộc về phương trình bậc hai. Bài toán 3 : Chứng minh rằng : Một phương trình bậc hai không thể có nghiệm hữu tỉ nếu các hệ số của nó đều lẻ. Chứng minh : Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c thuộc Z, lẻ) có nghiệm hữu tỉ là (p, q thuộc Z, q ≠ 0, (p, q) = 1) => : a.(p/q)2 + b.(p/q) + c = 0 => : ap2 + bpq + cq2 = 0 (2) Từ phương trình (2) ta có ap2 chia hết cho q mà (p,q) = 1 => a chia hết cho q => q lẻ (vì a lẻ) Tương tự c chia hết cho p => p lẻ (vì c lẻ) Do a, b, c, p, q lẻ => vế trái (2) lẻ và khác 0 (vô lí). => : Phương trình không có nghiệm hữu tỉ (đpcm). Để tổng quát bài toán này có lẽ một số bạn sẽ mắc sai lầm khi quy về phương trình bậc n bất kì. Điều này không đúng với n lẻ, chẳng hạn n = 3 ta có phương trình : x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0 vẫn có nghiệm -1. Bài toán 4 : Chứng minh rằng : Một phương trình bậc n chẵn, không thể có nghiệm hữu tỉ nếu hệ số của nó đều lẻ. Chứng minh : Dựa vào chứng minh của bài toán 3 ta có : Xét P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0 là phương trình bậc n (với n chẵn ; ai nguyên lẻ, i = 0, ,n ) có nghiệm hữu tỉ là p/q (p, q thuộc Z, q ≠ 0, (p, q) = 1) Ta có : an(p/q)n + an - 1(p/q)n - 1 + + a1(p/q) + a0 = 0 Tương đương với : anpn + an - 1pn - 1q + + a1pqn - 1 + a0qn = 0 (3) => anpn chia hết cho q và a0qn chia hết cho p , mà (p, q) = 1 => an chia hết cho q và a0 chia hết cho p . => p, q lẻ (vì a0, an lẻ) Do ai (i = 0, ,n) , p, q lẻ, n chẵn => vế trái của (3) là số lẻ khác 0 (vô lí). => : Phương trình không có nghiệm hữu tỉ (đpcm). Các bạn thấy đấy, mọi sự phức tạp đều bắt đầu bằng cái đơn giản. Từ một chút kì lạ nhỏ thôi nhưng nếu chịu đào sâu suy nghĩ thì sẽ khám phá rất nhiều điều thú vị. Đó là nguyên tắc hàng đầu trong sáng tạo toán học. Chúc các bạn thành công trên con đường đi tìm vẻ đẹp của toán học. Trước đây, tôi có đọc trong một cuốn sách, bài toán : “Cho x1, x2, x3, x4 là bốn số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện : x1 + x2 + x3 + x4 = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : § ”(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội năm 1999), lời giải như sau : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski, ta có : Từ (1), (2), (3) => : § Dấu đẳng thức xảy ra khi x1 = x2 = x2 = x3 = x4 = 1/4 . Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 1/4 khi x1 = x2 = x2 = x3 = x4 = 1/4 . Thú thật, với kiến thức nhỏ bé của tôi, đây quả là một bài toán “chông gai” , bởi vì mặc dù đã có lời giải nhưng nào là “căn”, nào là “bất đẳng thức Bunhiacốpski” tôi vẫn còn “sợ hãi” Xin cảm ơn Toán Tuổi thơ 2, số 1 (3 - 2003) đã đăng bài “Nhiều cách giải cho một bài toán” của bạn Nguyễn Kim Yến Chi (8A, THCS Phổ Văn, Đức Phổ, Quảng Ngãi) trên chuyên mục Eureka. Bài đó đã giúp tôi nghĩ đến vận dụng bài toán “đẹp” ấy để giải bài toán “chông gai” này ! Lời giải như sau : Bài toán phụ : Chứng minh rằng a4 + b4 ≥ a3b + ab3 (xem lời giải của bạn Chi) áp dụng bài toán phụ ta có : (x14 + x24) + (x14 +x34) + (x14 + x44) + ( x24+ x34) + (x24 + x44) + (x34 + x44) + x14 + x24 + x34 + x44 ≥ x13.x2 + x1x23 + x13.x3 + x1.x33 + x13.x4 + x1.x43 + x23.x3 + x2.x33 + x23.x4 + x33.x4 + x3.43 + x14 + x24 + x34 + x44 Tương đương với : 4(x14 + x24 + x34 + x44) ≥x13.(x1 + x2 + x3 + x4 ) + x23(x1 + x2 + x3 + x4) + x33.(x1 + x2 + x3 + x4) + x43.(x1 + x2 + x3 + x4) Tương đương với : 4(x14 + x24 + x34 + x44) ≥ x13 + x23 + x33 + x43 ( do x1 + x2 + x3 + x4 = 1) Mà x1, x2, x3, x4 > 0 nên x13 + x23 + x33 + x43 > 0. Ta có : T = (x14 + x24 + x34 + x44) / (x13 + x23 + x33 + x43) ≥ 1/4 Dấu đẳng thức xảy ra khi khi x1 = x2 = x2 = x3 = x4 = 1/4 . Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 1/4 khi khi x1 = x2 = x2 = x3 = x4 = 1/4 . Các bạn thấy đấy, tôi đã tìm được lời giải bài toán “chông gai”. Hơn nữa, với lời giải này, giả thiết bài của toán chỉ cần x1, x2, x3, x4 thỏa mãn x13 + x23 + x33 + x43 > 0 và x1 + x2 + x3 + x4 = 1 là đủ. Với giả thiết này, lời giải dùng đến bất đẳng thức Bunhiacốpski nêu trên khó mà làm được phải không các bạn ? TỪ MỘT LỜI GIẢI ĐI ĐẾN BÀI TOÁN TỔNG QUÁT Trong kì thi chọn học sinh giỏi THPT của TP. Hồ Chí Minh năm học 2002 - 2003 có bài toán bất đẳng thức đại số sau : Bài toán : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : § Bài toán này có nhiều cách giải. Tôi xin giải bài toán này bằng phương pháp đổi biến và vận dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, mà từ lời giải này ta có thể dẫn đến bài toán tổng quát một cách không khó khăn gì. Lời giải : Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z. Do đó : § Vì a ; b ; c > 0 nên x ; y ; z > 0 và x < y + z (2) Ta có : § Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : § => x = y + z, mâu thuẫn với (2) => đẳng thức không xảy ra. Vậy, ta có : § Dựa vào ý tưởng của cách giải trên, ta đề xuất và giải được bài toán sau : Bài toán tổng quát : Cho m, n, p, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng : § Lời giải : Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z. Do đó : § Vì a ; b ; c > 0 nên x ; y ; z > 0 ; x < y + z ; y < z + x ; z < x + y (3) Ta có : § Trường hợp m = 5, n = 4, p = 1 chính là bài toán ban đầu. Ngoài ra với những giá trị cụ thể khác của m, n, p ta sẽ nêu được nhiều bất đẳng thức “đẹp” như bất đẳng thức (1). Một kinh nghiệm các bạn nên vận dụng khi học toán : Thử xem với lời giải nào thì có thể đi đến bài toán tổng quát dễ dàng nhất. PHẦN THUẬN CỦA BÀI TOÁN QUĨ TÍCH Toán quỹ tích là một dạng toán khó trong hình học, các em thường bị lúng túng khi gặp loại toán này trong các kì thi tốt nghiệp và thi học sinh giỏi ở bậc THCS. Bài viết này nhằm giúp các em một số kinh nghiệm giải quyết phần thuận của bài toán quỹ tích. Đối với bài toán tìm quỹ tích của điểm M thì phần thuận phải dựa vào tính chất a của M để => M thuộc một hình F xác định. Sau bước “đoán nhận” quỹ tích bằng phương pháp vẽ 3 trường hợp hoặc bằng cách dựa vào sự chuyển động của điểm M (nếu M có thể chạy ra xa vô tận thì quỹ tích M phải là đường thẳng hoặc dựa vào tính đối xứng của quỹ tích ) ta thường tiến hành chứng minh phần thuận như thế nào ? Ta gặp hai tính huống sau đây : 1. Dự đoán quỹ tích M là có dạng thẳng (đoạn thẳng, tia, đường thẳng) ta có thể chọn lựa các cách chứng minh sau : - Sử dụng quỹ tích đường trung trực. - Sử dụng quỹ tích đường phân giác. - Sử dụng quỹ tích đường thẳng song song cách đều. - Nối điểm chuyển động M với một điểm O cố định rồi chứng minh : OM song song với một đường thẳng cố định, hoặc vuông góc với một đường thẳng cố định hoặc OM tạo với đường thẳng cố định một góc a không đổi. Ví dụ 1 : Cho góc vuông yOx và điểm A cố định thuộc Oy. Một điểm B chuyển động trên Ox. Dựng hình vuông ABCD ở miền trong của góc yOx . a) Tìm quỹ tích điểm D. b) Tìm quỹ tích điểm C. c) Tìm quỹ tích tâm S của hình vuông. Hướng giải : § a) Hạ DK vuông góc với Oy. Chứng minh : tam giác vuông AKD = tam giác vuông AOB => DK = OA = const => D thuộc đường thẳng // Oy và cách Oy một đoạn OA. Giới hạn lại D thuộc tia D1m và {D} là tia D1m. b) Dựng đường tròn tâm S ngoại tiếp hình vuông ABCD. C1 là giao điểm của (S) và Ox . Ta có tứ giác ACBC1 nội tiếp => ( AC1O = ( ACB = 45o => C1 là điểm cố định mà C1C vuông góc với AC1 => C thuộc tia C1n vuông góc với AC1. Chú ý : Nếu chứng minh C thuộc tia phân giác góc mC1x cũng được nhưng sẽ dài và khó hơn. c) Để tìm quỹ tích S có rất nhiều cách. Tốt nhất ta nên lí luận như sau : Do (S) luôn luôn đi qua 2 điểm cố định A và C1 => SA = SC1 S thuộc trung trực AC1. Giới hạn lại ta có {S} là tia S1p. 2. Dự đoán được quỹ tích điểm M có dạng tròn (đường tròn cung tròn) ta có chọn lựa các cách chứng minh sau : - Chứng minh điểm M luôn luôn cách một điểm cố định O cố định một khoảng không đổi. - Dựa vào quỹ tích cung chứa góc. - Chọn 3 điểm A, B, C cố định. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp => M thuộc đường tròn đi qua A, B, C. Ví dụ 2 :. Cho nửa đường tròn đường kính AOB. Một điểm M chuyển động trên nửa đường tròn. Dựng hình vuông BMNP ở nửa mặt phẳng bờ BM không chứa O. Tìm {N}. Hướng giải : Ta có thể chứng minh phần thuận theo các cách sau : § Cách 1 : Chứng minh A, M, N thẳng hàng => góc ANB = 45o => N cung chứa góc 45o vẽ trên AB. Cách 2 : Trên tiếp tuyến Ax lấy AN1 = AB. Nối N1B => ( AN1B = 45o mà ( ANB = 45o => tứ giác AN1NB nội tiếp mà A, N1, B cố định, vậy N thuộc đường tròn đi qua A, N1, B. Cách 3 : Chứng minh ( BNN1 = 45o => N thuộc đường tròn đường kính BN1. Giới hạn lại ta đều có quỹ tích N là nửa đường tròn đường kính BN1. Cách 4 : Kéo dài PM cắt đường tròn tại I. Dễ chứng minh I là trung điểm => I cố định. Mà IN = IB => N thuộc đường tròn tâm I, bán kính IB. Chú ý : Do mệnh đề thuận và mệnh đề phản đảo là tương đương nên có những khi người ta đã thay phần thuận bởi mệnh đề phản đảo, cụ thể là : Chứng minh M không thuộc F thì M không có tính chất a. Ví dụ 3 : Cho góc nhọn yOx. Tìm quỹ tích những điểm M nằm ở miền trong của góc sao cho tỉ số các khoảng cách từ M tới Ox và từ M tới Oy là 1 : 2. Bài giải : § 1. Đảo : Lấy A thuộc Ox ; B thuộc Oy sao cho OA = OB. Lấy H cố định thuộc AB sao cho HA : HB = 1 : 2. Hạ HE vuông góc với Ox, Hfvuong góc với Oy. Rõ ràng tam giác vuông HEA đồng dạng với tam giác vuông HFB (g.g) nên HE/HF = HA/HB = 1/2. Lấy M bất kì thuộc tia OH. Hạ MP vuông góc với Ox, MQ vuông góc với Oy. Ta có : MP/HE = MQ/HF => MP/MQ = HE/HF = 1/2. 2. Thuận : Lấy M ’ không thuộc tia OH ta chứng minh tỉ số M 'P '/M 'Q ' không bằng 1/2(dễ dàng) Vậy quỹ tích điểm M là tia OH. Dưới đây xin nêu một số bài tập quỹ tích để các bạn tham khảo. Bài 1 : Cho đoạn thẳng AB. Một điểm C chuyển động trên AB. Lấy AC và BC làm cạnh dựng hai hình vuông về cùng một phía của AB. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông (quỹ tích M là một đoạn thẳng // AB và cách AB một khoảng AB/4). Bài 2 : Cho đoạn thẳng AB. Một điểm C chuyển động trên AB. Lấy AC và BC làm cạnh dựng hai tam giác đều về cùng một phía của AB. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng nối tâm hai tam giác đều (Quỹ tích là một đoạn thẳng // AB, cách AB một khoảng §). Bài 3 : Cho đường tròn (O ; R) và một đường thẳng d cắt (O) ở A và B. Một điểm M chuyển động trên d. Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. (Quỹ tích là 2 tia // d và cách d một đoạn bằng OK/2 với OK vuông góc với d). Bài 4 : Cho nửa đường tròn đường kính AOB. Một điểm M chuyển động trên nửa đường tròn. Dựng tam giác đều BMC về nửa mặt phẳng bờ BM không chứa O. a) Tìm quỹ tích đỉnh C (Cung chứa góc 60o). b) Tìm quỹ tích trung điểm H của MC (cung chứa góc 90o). c) Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác đều BMC (một nửa đường tròn). Bài 5 : Cho góc xOy. Tìm quỹ tích các điểm M ở miền trong của góc xOy sao cho tổng các khoảng cách từ M tới Ox, Oy là một hằng số h đã cho. (Đoạn AB với A thuộc Ox, B thuộc Oy sao cho A cách Oy một đoạn là h ; B cách Oy một đoạn là h) TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH MỞ RỘNG BÀI TOÁN Trong “Croatian National Mathematics Competition Kraljevica, May-1996” tôi đã gặp một bài toán bất đẳng thức khá thú vị : Bài toán 1 : Cho các số a, b, c, d khác 0 và thỏa mãn đẳng thức a + b + c + d = 0. Đặt S1 = ab + bc + cd ; S2 = ac + ad + bd. Chứng minh rằng :§ Ban đầu, tôi chưa tìm ngay được lời giải trực tiếp cho bài toán trên. Khi đó tôi đã tự hỏi : “Bài toán bắt nguồn từ đâu nhỉ ?”. Trả lời câu hỏi này, tôi đã tìm được một lời giải cho bài toán trên. Ta xét bài toán sau : Bài toán 2 : Cho các số a, b, c, d khác 0 và thỏa mãn đẳng thức a + b + c + d = 0. Đặt S1 = ab + bc + cd ; S2 = ac + ad + bd. Xác định điều kiện cho cặp số dương ( ,  ) để S =  S1 +  S2 ≤ 0. Lời giải : Đặt § Ta có : S =  S1 +  S2 =  (ab + bc + cd) +  (ac + ad + bd) =  (ab + b(-M - b) + (-M - b)(M - a)) + +  (a(-M - b) + a(M - a) + b(M - a)) =  (ab - bM - b2 - M2 - bM + aM + ab) + +  (-aM - ab + aM - a2 + bM - ab) = 2 ab - 2 bM -  b2 - M2 + aM - 2 ab -  a2 +  bM = - M2 + ( a +  b - 2 b)M + 2 ab -  b2 - - 2 ab -  a2. Coi S = f(M) là tam thức bậc hai theo M, ta có S ≤ 0 <=> f(M) ≤ 0 <=> DM ≤ 0 (vì -a < 0) <=> ( a +  b - 2 b)2 + 4 (2 ab -  b2 - - 2 ab -  a2) ≤ 0 <=>  2a2 +  2b2 + 4 2b2 + 2  ab - 4 2ab - - 4  b2 + 8 2ab - 4 2b2 - 8  ab - 4  a2 ≤ 0 <=> ( 2 - 4  )a2 + (4 2 - 6  )ab + ( 2 - - 4  )b2 ≤ 0 <=>  ( - 4 )a2 +  (4 - 6 )ab +  ( - 4 )b2 ≤ 0 (*). * Xét trường hợp 0 < a ≤ b : Chia cả hai vế của (*) cho b2 ≠ 0 và đặt t = a/b ta có : f(t) =  ( - 4 )t2 +  (4 - 6 )t +  ( - 4 ) ≤ 0, trong đó f(t) là tam thức bậc hai theo t. Vì  ( - 4 ) < 0 nên f(t) ≤ 0 <=> ∆’t ≤ 0 <=>  2(2 - 3 )2 -  ( - 4 )( - 4 ) ≤ 0 <=>  2(4 2 - 12  + 9 2) -   (  - 4 2 - - 4 2 + 16  ) ≤ 0 <=> 4 4 - 12 3 9 2 2 -  2 2 + 4  3 + + 4 3 - 16 2 2 ≤ 0 <=> 4 4 - 8 3 - 8 2 2 + 4  3 ≤ 0 <=>  3 - 2 2 - 2  2 +  3 ≤ 0 <=> ( /  )3 - 2( /  )2 - 2 / + 1 ≤ 0 (chia cả hai vế cho b3 ≠ 0) <=> x3 - 2x2 - 2x + 1 ≤ 0 (đặt 0 < x ≤ 1) <=> (x + 1)(x2 - 3x + 1) ≤ 0 <=> x2 - 3x + 1 ≤ 0 (x + 1 > 0) § (tính ∆x) Kết hợp với điều kiện 0 < x ≤ 1 ta suy ra : § Vậy với 0 <  ≤  thì S =  S1 +  S2 ≤ 0 khi và chỉ khi  (1). * Xét trường hợp 0 <  ≤  , tương tự như trường hợp trên : Chia cả hai vế của (*) cho a2 ≠ 0 và đặt u = b/a ta có : f(u) =  ( - 4 )u2 +  (4 - 6 )u +  ( - 4 ) ≤ 0. Vì  ( - 4 ) < 0 nên f(u) ≤ 0 <=> ∆’u ≤ 0 <=>  2(2 - 3 )2 -   ( - 4 )( - 4+ ) ≤ 0 <=>  3 - 2 2 - 2  2 +  3 ≤ 0 <=> ( / )3 - 2( / )2 - 2 / + 1 ≤ <=> y3 - 2y2 - 2y + 1 ≤ 0 (đặt  / = y, 0 < y ≤ 1), bất phương trình có nghiệm : § Vậy với 0 <  ≤  thì S =  S1 +  S2 ≤ 0 khi và chỉ khi § (2). Từ (1) và (2) suy ra : Với  và  là các số dương, điều kiện để S =  S1 +  S2 ≤ 0 là § Trở lại bài toán 1. Ta thấy nó là một trường hợp đặc biệt của kết quả trên : Với  = 5 và  = 8 thì §đúng, suy ra S = 5S1 + 8S2 ≤ 0. Với  = 8 và  = 5 thì §đúng, suy ra S = 8S1 + 5S2 ≤ 0. Vậy : § Qua bài toán này ta thấy rằng, việc lựa chọn hướng chứng minh cho nhiều bài toán hoàn toàn không đơn giản nhưng trong một số trường hợp, khi đặt vấn đề tìm lời giải cho bài toán mở rộng của nó thì lại đem đến thành công bất ngờ ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI ẨN VÀ CÁC ỨNG DỤNG A. Lí thuyết. 1. Đa thức hai ẩn x, y không đổi khi thay x bởi y và y bởi x gọi là đa thức đối xứng (đtđx) hai ẩn. Ví dụ : P(x, y) = x3y + xy3 ; Q(x, y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 là các đtđx. Các đa thức U(x, y) = 2x - 3y ; V(x, y) = x2 - y2 không phải là các đtđx. 2. Các đa thức t1 = x + y và t2 = xy gọi là đtđx cơ bản. 3. Kí hiệu Sn = xn + yn (n thuộc N*) thì Sn đều biểu diễn được theo t1, t2. Ví dụ : S1 = x + y = t1 S2 = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = t12 - 2t2 S3 = x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y) = t13 - 3t1t2 S4 = x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = S22 - 2t22 = t14 - 4t12t2 + 2t22 * Công thức truy hồi : Sk = t1.Sk - 1 - t2.Sk - 2. 4. Mọi đtđx hai ẩn x, y đều có thể viết dưới dạng đa thức hai ẩn t1, t2. B. Các ứng dụng. I. Phân tích đa thức thành nhân tử. Bài toán 1 : Phân tích đa thức : f(x, y) = x5 + 3xy4 + y5 + 3x4y + x2y3 + 3x2y2 + x3y + xy3 thành nhân tử. Lời giải : Ta có : f(x, y) = x5 + 3xy4 + y5 + 3x4y + x2y3 + 3x2y2 + x3y + xy3 = (x5 + y5) + 3xy(x3 + y3) + xy(y2 + y2) + x2y2(x + y) + 3x2y2 = t15 - 5t13t2 + 5t1t22 + 3t2(t13 - 3t1t2) + t2(t12 - 2t2) + t22t1 + 3t22 = t15 - 2t13t2 - 3t1t22 + t12t2 + t22 = t15 - 3t13t2 + t12t2 + t2t13 - 3t1t22+ t22 = (t12 + t2)(t13 - 3t1t2 + t1) = (x2 + y2 + 3xy).(x3 + y3 + xy) II. Giải hệ phương trình. Bài toán 2 : Giải hệ : § Lời giải : Đặt t1 = x + y , t2 = xy thì hệ trở thành : § Thế t1 = 3 ta có : 2 t22 - 36 t2 + 64 = 0 => t2 = 16 ; t2 = 2. Do đó x, y là các nghiệm của phương trình u2 - 3u + 16 = 0 hoặc u2 - 3u + 2 = 0. Từ đó ta có x = 1 & y = 2 hoặc x = 2 & y = 1. III. Giải phương trình. Bài toán 3 : Giải phương trình sau : § Lời giải : § Từ kết quả bài toán trên ta có a, b và từ đó có nghiệm của phương trình là x = -15 hoặc x = 0. IV. Chứng minh đẳng thức. Bài toán 4 : Cho x + y = 1, x3 + y3 = a, x5 + y5 = b. Chứng minh 5a.(a + 1) = 9b + 1. Lời giải : Ta có : x3 + y3 = t13 - 3t1t2 = a => t2 = (1 - a)/3 ; b = x5 + y5 = t15 - 5t13t2 + 5t22t1 (áp dụng công thức truy hồi) => b = 1 + 5t22 - 5t2 = (5a2 + 5a - 1)/9 Vậy 9b = 5a2 + 5a - 1 hay 9b + 1 = 5a.(a + 1). V. Lập phương trình bậc hai. Bài toán 5 : Hãy lập phương trình có hai nghiệm : y1 = x13 - 2x2 ; y2 = x23 - 2x2 với x1, x2 là nghiệm của phương trình : x2 - x - 5 = 0. Lời giải : Theo Vi-et ta có t1 = x1 + x2 = 1 ; t2 = x1.x2 = -5. § = (-5)3 - 2.(14 - 4.(-5) + 2.(-5)2) + 4.(-5) = -125 - 2.(1 + 20 + 50) - 20 = -125 - 142 - 20 = -287 Vậy y1, y2 là nghiệm của phương trình : y2 - 14y - 287 = 0. VI. Tìm cực trị. Bài toán 6 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của : § Lời giải : [...]... + 2.3.4 + + 98 .99 .100) = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + + 98 .99 .100.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 - 1) + 3.4.5.(6 - 2) + + + 98 .99 .100.(101 - 97 ) = 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + + + 97 .98 .99 .100 - 97 .98 .99 .100 + 98 .99 .100.101 = 98 .99 .100.101 § § SAI LẦM DỄ MẮC PHẢI KHI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Khi giải toán, chắc các bạn đã không ít lần mắc phải những sai lầm đáng tiếc Trong chuyên mục “Sai... giá trị của biến tồn tại thì chúng có thỏa mãn các điều kiện cho trước hay không Gặp sai lầm khi giải toán là điều khó tránh khỏi Tìm ra sai lầm và sửa chữa sai lầm cũng không dễ chút nào Nhưng nếu các bạn có ý thức khi giải toán thì chắc chắn các bạn sẽ thành công ! GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ CÁC ẨN Hệ phương trình là một dạng toán thường gặp trong các kì thi của học sinh lớp 9 Có nhiều... 4 xy = 23 ; b) 3x - 3y + 2 = 0 ; c) 19x2 + 28y2 =7 29 ; d) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Bài 2 : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : a) 4xy - 3(x + y) = 59 ; b) 5(xy + yz + zx) = 4xyz ; c) xy/z + yz/x + zx/y = 3 ; d) 1/x + 1/y + 1/z = 1/ 199 5 KHÓ Đà TRỞ THÀNH DỄ Giải phương trình vô tỉ, phương trình bậc cao là dạng toán khó, thường gặp trong các kì thi vào lớp 10 ở các trường chuyên Vận dụng khéo léo “một kĩ năng... chúng ta còn gặp nhiều dạng bài toán liên quan đến căn bậc hai với những cách biến đổi đặc biệt khác Đề nghị các bạn tiếp tục trao đổi Dưới đây là một số bài tập áp dụng (được trích từ một số đề thi của các tỉnh, thành phố) Tính giá trị của các biểu thức : § HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Trong các loại hệ phương trình thì hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là loại hệ cơ bản và các bạn sẽ còn gặp nhiều sau... trường hợp như vậy, ta có thể tìm cách đánh giá giữa các ẩn hoặc giữa ẩn với một số, từ đó xác định nghiệm của hệ Phương pháp này gọi là “phương pháp đánh giá các ẩn” 1 Đánh giá giữa các ẩn Ví dụ 1 (đề thi vào khối chuyên Toán Tin, ĐHQG Hà Nội năm 199 6) : Giải hệ phương trình § Lời giải : Điều kiện : x ≥ 1/2 ; y ≤ 1/2 Ta sẽ chứng minh x = y Thật vậy : § Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình (thỏa mãn... Sau đó tôi gặp bài toán 2 trong TTT2 số 6, cách giải hoàn toàn tương tự như trên với kết quả giá trị nhỏ nhất của T là 1/4.Tôi đã có nhận xét ban đầu về hai bài toán trên như sau : ở bài toán 1 ta cũng tìm được giá trị nhỏ nhất của §là 1 ; hai bài toán chỉ khác nhau về số các số dương ; giá trị của tổng các số dương đó không ảnh hưởng trực tiếp vào lời giải Từ đó tôi nghĩ hai bài toán trên có thể mở... + x - 1 = 32y + 1 (11) Lời giải : Cho x các giá trị từ 0 đến 9, dễ dàng xác định được chữ số tận cùng của x2 + x - 1 chỉ nhận các giá trị 1 ; 5 ; 9 Mặt khác, ta thấy 32y + 1 là lũy thừa bậc lẻ của 3 nên chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 3 hoặc 7, khác với 1 ; 5 ; 9 Vậy (11) không thể xảy ra Nói cách khác, phương trình (11) không có nghiệm nguyên dương Bài toán này cũng có thể giải bằng phương pháp... Bài toán 1 : Cho x + y ≥ 0 Chứng minh rằng : (x + y)(x3 + y3)(x5 + y5) ≤ 4(x9 + y9) Lời giải : Vì x + y ≥ 0, áp dụng bổ đề ta có § § Suy ra (x + y)(x3 + y3)(x5 + y5) ≤ 4(x9 + y9) Bài toán 2 : Cho a + b ≥ 2 và n là số nguyên dương Chứng minh rằng : an + bn ≤ an +1 + bn +1 Lời giải : Vì a + b ≥ 2 > 0 nên từ (**) suy ra an + bn ≥ 0 suy ra : § § § § Mong các bạn bổ sung thêm nhiều bài tập áp dụng của bổ đề. .. cho n số dương và đề xuất bài toán 3 (chứng minh tương tự hai bài toán trên) : Bài toán 3 : Cho x1, x2, , xn là các số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x1 + x2 + + xn = k Chứng minh rằng : § Tiếp tục suy nghĩ, tôi nhận thấy với mọi số a dương thì ta luôn có §và với cách chứng minh trên ta có thể tiếp tục mở rộng bài toán 3 : Bài toán 4 : Cho m, n là các số nguyên dương ; x1, x2n là các số dương thỏa... = 91 (*) Vì x2 + xy + y2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0 Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x2 + xy + y2 đều nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau : y - x = 91 và x2 + xy + y2 = 1 ; (I) y - x = 1 và x2 + xy + y2 = 91 ; (II) y - x = 3 và x2 + xy + y2 = 7 ; (III) y - x = 7 và x2 + xy + y2 = 13 ; (IV) Đến đây, bài toán coi như được giải quyết Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn Nếu các . LỜI GIẢI ĐI ĐẾN BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 4 PHẦN THUẬN CỦA BÀI TOÁN QUĨ TÍCH 5 TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH MỞ RỘNG BÀI TOÁN 8 ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI ẨN VÀ CÁC ỨNG DỤNG 9 SÔ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LOẠI PHƯƠNG. 39 NHỮNG MỞ RỘNG BAN ĐẦU TỪ MỘT BÀI TOÁN TRONG SÁCH GIAO KHOA 40 THAY ĐỔI KẾT LUẬN CỦA BÀI TOÁN HÌNH HỌC 42 SUY NGHĨ TỪ CÁC BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA LỚP 9 44 NHỮNG KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN. một nghiệm của phương trình này. Chứng minh : Đến đây có lẽ bạn đọc cũng thấy được sự bất lực của các cách 1 ; 2 (bài toán 1) trong bài toán này. Tuy nhiên sử dụng cách giải 3 bài toán 1 ta