thêm được một số kết quả. Điều này càng khẳng định lời của thầy giáo Nguyễn Đức Tấn ở bài trên : “Tự học nhiều khi giúp ta tìm đến những điều thú vị trong toán học”.
Thầy Tấn đã mở rộng bất đẳng thức 1/(a - b + c) + 1/(b + c - a) + 1/(c + a - b) ≥ 1/a + 1/b + 1/c (I) (với a, b, c là ba cạnh của một tam giác) theo hướng nâng lên lũy thừa bậc n các mẫu số của các phân thức : 1/(a - b + c)n + 1/(b + c - a)n + 1/(c + a - b)n ≥ 1/an + 1/bn + 1/cn (II)
l Câu hỏi đầu tiên đặt ra là : tại sao không thử mở rộng bất đẳng thức (I) theo hướng ngược lại - khai căn bậc n các mẫu số của các phân thức ?
Tiếp tục áp dụng cách chứng minh của bài toán phụ 1/x + 1/y ≥ 4?(x + y) ( với x, y > 0) ta có : §
Suy ra : §
Từ đó ta có :
Kết quả 1 : Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì : §
(với mọi số tự nhiên n khác 0).
* Thay đổi các tử số ở vế trái của bất đẳng thức (I) thầy Tấn đưa ra kết quả tiếp theo : c/(a - b + c) + a/(b + c - a) + b/(c + a - b) ≥ 3 (III)
Khai căn bậc n các tử số của các phân số ở vế trái của (III) lại có thêm kết quả khác. Kết quả 2 : Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì :
§
(với mọi số tự nhiên n khác 0).
Chứng minh : Trước hết ta phát biểu và chứng minh bất đẳng thức Trê-bư-sép cho 3 số : Phát biểu :
Nếu a1 ≥ a2 ≥ a3 và b1 ≥ b2 ≥ b3 thì 3(a1b1 + a2b2 + a3b3) ≥ ≥ (a1 + a2 + a3)(b1 + b2 + b3) (1) ;
Nếu a1 ≤ a2 ≤ a3 và b1 ≥ b2 ≥ b3 thì 3(a1b1 + a2b2 + a3b3) ≤ ≤ (a1 + a2 + a3)(b1 + b2 + b3) (2). Chứng minh :
Với a1≥ a2 ≥ a3 và b1 ≥ b2 ≥ b3 ta có : (a1 - a2)(b1 - b2) ≥ 0 <=> a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1 ;
Tương tự ta có :
a2b2 + a3b3 ≥ a2b3 + a3b2 ; a3b3 + a1b1 ≥ a3b1 + a1b3.
Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta có 2(a1b1 + a2b2 + a3b3) ≥ ≥ a1b2 + a2b1 + a2b3 + a3b2 + a3b1 + a1b3
<=> 3(a1b1 + a2b2 + a3b3) ≥ a1b2 + a2b1 + a2b3 + a3b2 + a3b1 + a1b3 + (a1b1 + a2b2 + a3b3) = = (a1 + a2 + a3)(b1 + b2 + b3).
Vậy (1) được chứng minh.
Tương tự, ta cũng chứng minh được (2). Trở lại kết quả 2.
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c => b + c - a ≤ c + a - b ≤ a + b - c
=> 1/(a - b + c) ≥ 1/(b + c - a) ≥ 1/(c + a - b) Theo các bất đẳng thức (1) ; (I) ; (2) ta có : §
Suy ra điều phải chứng minh. * Từ bất đẳng thức (III) thầy Tấn đã nâng lên lũy thừa bậc n các tử số của các phân số ở vế trái để tìm kết quả mới, còn tôi đã mạnh dạn tiếp tục nâng lên lũy thừa bậc m các mẫu số của chúng. ý tưởng sử dụng bất đẳng thức Trê-bư-sép cho 3 số một lần nữa lại có hiệu quả.
Kết quả 3 : Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì : cn/(a - b + c)m + an/(b + c - a)m + bn/(c + a - b)m ≥ ≥ an - m + bn - m + cn - m với mọi số tự nhiên m, n.
Chứng minh : áp dụng các bất đẳng thức (1) ; (II) ; (2) ta có : §
Suy ra điều phải chứng minh. * Chưa dừng lại, tôi còn tìm ra và chứng minh được các kết quả sau :
§
(trong đó a, b, c là ba cạnh của một tam giác, m, n, p, q là các số tự nhiên khác 0). Các bạn thử chứng minh xem !
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG