thể rèn luyện bằng cách tự tìm tòi, khám phá những điều mới mẻ từ những bài toán cũ.
Ví dụ sau đây bắt đầu từ một bài toán quỹ tích rất quen thuộc.
Bài toán 1 : Cho xOy và hai điểm M, N lần lượt di động trên Ox, Oy sao cho OM = ON. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Hướng dẫn : Dễ dàng nhận thấy DOMN cân tại O, vì I là trung điểm của MN nên I nằm trên tia phân giác trong Ot của xOy
§
Thay dữ kiện OM = ON của bài toán trên thành OM + ON = a không đổi, ta sẽ thu được một kết quả hoàn toàn mới. Bài toán 2 : Cho xOy
và hai điểm M, N lần lượt di động trên Ox, Oy sao cho OM + ON = a không đổi. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Lời giải :
+ Phần thuận : Trước hết ta xét các vị trí đặc biệt của M và N.
Khi N ≡ O thì M ≡ M1 (M1 Є Ox và OM1 = a) suy ra I ≡ E (E là trung điểm của OM1). Khi M ≡ O thì N ≡ N1 (N1 Є Oy và ON1 = a) suy ra I Є F (F là trung điểm của ON1). §
Tiếp theo, với M, N lần lượt chạy trên các đoạn OM1, ON1, ta sẽ chứng minh trung điểm I của MN chạy trên EF. Thật vậy :
Vì OE = OF = 1/2 a ; MO + ON = OE + OF = a nên EM = NF và hai đoạn thẳng MN, EF luôn cắt nhau (khi M khác E, N khác F). Gọi giao điểm của MN và EF là I1.
Từ M kẻ đường thẳng song song với Oy, cắt EF tại P, OFE = MPE (so le trong) ; OEF = MEP (đối đỉnh) ; OFE = OEF (do OE = OF).
Suy ra MPE = MEP => ∆MPE cân tại M => MP = ME = NF => ∆MPI1 = ∆NFI1 (g.c.g) => MI1 = NI1 => I1 ≡ I là trung điểm của MN. + Phần đảo : Đề nghị các bạn tự giải.
+ Kết luận : Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN là toàn bộ đoạn thẳng EF.
Tiếp tục thay đổi dữ kiện xOy của cả hai bài toán trên bằng cách tách rời hai tia Ox, Oy thành hai tia Ax, By (A khác B) ta sẽ có tiếp hai bài toán mở rộng.
Bài toán 3 : Cho hai tia không cắt nhau Ax và By cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB. Hai điểm M, N lần lượt di động trên Ax, By sao cho AM = BN. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Bài toán 4 : Cho hai tia không cắt nhau Ax và By cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB. Hai điểm M, N lần lượt di động trên Ax, By sao cho AM + BN = a không đổi. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Hướng dẫn : Gọi O là trung điểm của AB, qua O kẻ các tia Ox1, Oy1 theo thứ tự song song và cùng phía với Ax, By.
Với bài toán 4 : Ta kẻ đường thẳng qua M, song song với AB cắt Ox1 tại M1 ; đường thẳng qua N song song với AB cắt Oy1 tại N1. Các tứ giác OAMM1, OBNN1 là các hình bình hành nên OM1 = AM, ON1 = BN suy ra OM1 + ON1 = a không đổi, theo bài toán 2 thì quỹ tích trung điểm I1 của đoạn thẳng M1N1 là đoạn thẳng EF (E ≡ Ox1, F ≡ Oy1 và OE = OF = 1/2
§
Tứ giác MM1NN1 là hình bình hành nên trung điểm I1 của đường chéo M1N1 trùng với trung điểm I của đường chéo MN.
Vậy quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN cũng là đoạn thẳng EF.
Với bài toán 3 : Tương tự ta có quỹ tích trung điểm I của MN sẽ là tia phân giác
trong Ot của x1Oy1
Kết hợp bài toán 3 và bài toán 4 ta có bài toán sau :
Bài toán 5 : Cho hai tia không cắt nhau Ax và By cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB. Hai điểm C, D lần lượt di động trên Ax, By sao cho AC = BD ; hai điểm M, N lần lượt di động trên Cx, Dy sao cho CM + DN = a không đổi. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Hướng dẫn : §
Gọi O là trung điểm của AB, H là trung điểm của CD. Qua O kẻ các tia Ox1, Oy1 theo thứ tự song song và cùng phía với Ax, By.
Theo bài toán 3, quỹ tích của điểm H là phân giác trong Ot của x1Oy1
Với mỗi cặp điểm C, D, từ trung điểm H của CD lần lượt kẻ các tia Hx2, Hy2 song song và cùng phía với Ax, By. Theo
bài toán 4, quỹ tích trung điểm I của MN là đoạn thẳng EF trong đó E Є Hx2, F Є Hy2 và HE = HF = 1/2 không đổi. Mặt khác, do x2Hy2 = x1Oy1 không đổi nên EF có độ dài không đổi và nhận Ot là trục đối xứng. Khi C ≡ A và D ≡ B thì H ≡ O ; E ≡ A1 ; F ≡ B1 (A1 Є Ox1, B1 Є Oy1, OA1 = OB1 = 1/2 a).
Vậy quỹ tích trung điểm I của MN là phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn A1B1 và hai tia A1E, B1F (song song, cùng phía với tia Ot).
Thật là thú vị, tôi đã bổ sung ngay kết quả này vào bộ sưu tập “Quỹ tích có điểm trong” của mình (TTT2 số 12, 13, 14, 18).