quả mới là công việc rất hứng thú. Ví dụ, trong quá trình học toán tôi đã gặp hai bài toán :
Bài toán 1 : Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng : a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3.
Bài toán 2 : Cho x1, x2, x3, x4 là bốn số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện : x1 + x2 + x3 + x4 = 1.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : §
Khi giải bài toán 1 tôi đã thành công
khi sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski (sau này tôi còn biết nhiều cách giải khác) : Ta có (a3 + b3 + c3)2 = (a.a2 + b.b2 + c.c2)2
§ ≤ (a + b + c)(a3 + b3 + c3) suy ra § (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) suy ra § Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh.
Sau đó tôi gặp bài toán 2 trong TTT2 số 6, cách giải hoàn toàn tương tự như trên với kết quả giá trị nhỏ nhất của T là 1/4.Tôi đã
có nhận xét ban đầu về hai bài toán trên như sau : ở bài toán 1 ta cũng tìm được giá trị nhỏ nhất của §là 1 ; hai bài toán chỉ khác nhau về số các số dương ; giá trị của tổng các số dương đó không ảnh hưởng trực tiếp vào lời giải.
Từ đó tôi nghĩ hai bài toán trên có thể mở rộng cho n số dương và đề xuất bài toán 3 (chứng minh tương tự hai bài toán trên) :
Bài toán 3 : Cho x1, x2, ... , xn là các số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x1 + x2 + ... + xn = k. Chứng minh rằng :
§
Tiếp tục suy nghĩ, tôi nhận thấy với mọi số a dương thì ta luôn có §và với
cách chứng minh trên ta có thể tiếp tục mở rộng bài toán 3 :
Bài toán 4 : Cho m, n là các số nguyên dương ; x1, x2n là các số dương thỏa mãn điều kiện x1 + x2 + ... + xn = k. Chứng minh rằng :
Hướng dẫn :
Đẳng thức xảy ra
SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA