PARABOL
Bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường parabol là một chủ đề hay gặp trong các kì thi cuối cấp. Nắm vững loại toán này, các bạn sẽ thấy mối liên hệ giữa vị trí tương đối của hai đồ thị với nghiệm của một phương trình bậc hai.
Trước hết, các bạn cần nhớ những kiến thức cơ bản :
Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và điểm A(xA ; yA) ta có : A Є (C) <=> yA = f(xA)
A không thuộc (C) <=> yA ≠ f(xA)
Tọa độ điểm chung của đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) là nghiệm của hệ : y = f(x) và y = g(x) Do đó : Hoành độ điểm chung của hai đồ thị chính là nghiệm của phương trình f(x) = g(x). Từ đó ta có thể xét được vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một parabol.
1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (D) : y = ax + b (a ≠ 0)
(D’) : y = a’x + b’ (a’ ≠ 0)
Phương trình hoành độ điểm chung của (D) và (D’) là : (a - a’)x = b’ - b (1) * (D) // (D’) Phương trình (1) vô nghiệm a = a’ và b ạ b’.
* (D) // (D’) <=> Phương trình (1) có vô số nghiệm <=> a = a’ và b = b’. * (D) cắt (D’) tại một điểm <=> Phương trình (1) có một nghiệm <=> a ≠ a’. * (D) ^ (D’) a.a’ = -1.
2.Vị trí tương đối giữa đường thẳng (D) : y = f(x) và parabol (P) : y = g(x). Hoành độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm phương trình : f(x) = g(x) (2) Phương trình (2) là phương trình bậc hai. Ta thấy :
* (D) và (P) không có điểm chung <=> Phương trình (2) vô nghiệm <=> ∆ < 0.
* (D) tiếp xúc với (P) <=> Phương trình (2) có nghiệm duy nhất (nghiệm kép) <=> ∆ = 0. * (D) cắt (P) tại hai điểm <=> Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt <=> ∆ > 0. Sau đây là một số dạng bài tập về biện luận sự tương giao giữa đường thẳng và parabol. Dạng 1 : Bài toán chứng minh
Ví dụ : Chứng minh rằng đường thẳng (D) : y = 4x - 3 tiếp xúc với parabol (P) : y = 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 - 3.
Giải : Hoành độ điểm chung của (P) và (D) là nghiệm của phương trình : 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 - 3 = 4x - 3
<=> 2x2 - 8mx + 8m2 = 0 <=> x2 - 4mx + 4m2 = 0.
Ta có ∆’ = 4m2 - 4m2 = 0 với mọi giá trị của m nên parabol (P) luôn luôn tiếp xúc với đường thẳng (D).
Dạng 2 : Bài toán tìm điều kiện
Ví dụ : Cho đường thẳng (D) : y = 2(m - x) và parabol (P) : y = -x2 + 2x + 4m. a) Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc với parabol (P).
b) Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tọa độ giao điểm A và B khi m = -3/2.
Giải : a) Hoành độ điểm chung của (P) và (D) là nghiệm phương trình : -x2 + 2x + 4m = 2(m - x)
<=> x2 - 4x - 2m = 0 (3)
Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) <=> Phương trình (3) có nghiệm kép <=> ∆’ = 0 <=> 4 + 2m = 0 <=> m = -2.
b) (D) cắt (P) tại hai điểm <=> Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt <=> ∆’ > 0 <=> 4 + 2m > 0 <=> m > -2.
Khi m = -3/2 thì hoành độ hai giao điểm A và B là nghiệm của phương trình : §
Từ đó suy ra tọa độ giao điểm A, B của (D) và (P) là : §
Dạng 3 : Xác định tọa độ tiếp điểm.
Ví dụ : Cho parabol (P) : y = x2 - 2x - 3. Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song song với đường thẳng (D) : y = -4x.
Giải : Gọi đường thẳng tiếp xúc với (P) là (d).
Do (d) song song với (D) nên (d) có dạng y = -4x + b (b ≠ 0) Hoành độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm phương trình : x2 - 2x - 3 = -4x + b
<=> x2 + 2x - 3 - b = 0 (4)
Ta thấy : (d) tiếp xúc với (P) <=> Phương trình (4) có nghiệm kép <=> Ẃ’ = 0 <=> 4 + b = 0 <=> b = -4. Khi đó, nếu gọi điểm A(x0 ; y0) là tiếp điểm của (P) và (d) thì ( do A Є (P) và A Є (d)) ta có hệ phương trình :
§
Vậy tiếp điểm cần tìm là A(-1 ; 0).
Dạng 4 : Lập phương trình tiếp tuyến.
Ví dụ : Cho đường thẳng (D) : y = ax + b. Tìm a và b biết :
a) Đường thẳng (D) song song với đường thẳng 2y + 4x = 5 và tiếp xúc với parabol (P) : y = -x2. b) Đường thẳng (D) vuông góc với đường thẳng x - 2y + 1 = 0 và tiếp xúc với parabol (P) : y = -x2. c) Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) : y = x2 - 3x + 2 tại điểm C(3 ; 2).
Giải : a) Ta có 2y + 4x = 5 <=> y = -2x + 5/2. (D) song song với đường thẳng 2y + 4x = 5 nên (D) có dạng : y = -2x + b (b ≠ 5/2).
Theo cách làm của dạng 2 ta tìm được b = 1/4. Vậy đường thẳng (D) có phương trình là y = - 2x + 1/4.
b) Ta có x - 2y + 1 = 0 <=> y = 1/2x + 1/2.
(D) vuông góc với đường thẳng có phương trình là x - 2y + 1 = 0 <=> a.1/2a = -1 <=> a = -2. Suy ra (D) : y = -2x + b.
Theo cách làm của dạng 2, ta tìm được b = 1. Vậy đường thẳng (D) có phương trình là y = -2x + 1. c) Ta có : C(3 ; 2) Є (D) <=> 2 = 3a + b <=> b = 2 - 3a.
Khi đó phương trình của (D) có dạng : y = ax + 2 - 3a.
Theo cách làm của dạng 2 ta tìm được a = 3 và suy ra b = -7. Vậy đường thẳng (D) có phương trình là : y = 3x - 7.
Dạng 5 : Xác định parabol.
Ví dụ : Xác định parabol (P) : y = ax2 + bx + c thỏa mãn :
a) (P) tiếp xúc với đường thẳng (D) : y = -5x + 15 và đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5).
b) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3.
Giải : a) (P) đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5) §
Do đó parabol (P) là đồ thị của hàm số
y = ax2 - (1 + 4a)x - 1.
Hoành độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm phương trình : ax2 - (1 + 4a)x - 1 = -5x + 15
ax2 - 4(a - 1)x - 16 = 0 (5)
Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) <=> Phương trình (5) có nghiệm kép <=> ∆’ = 0 <=> 4(a - 1)2 - 16a = 0
<=> (a + 1)2 = 0 <=> a = -1. Do đó : a = -1 ; b = 3 và c = -1.
Vậy (P) là đồ thị hàm số y = -x2 + 3x - 1.
b) Parabol (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên (P) đi qua điểm (0 ; 2). (P) cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3 <=> Giao điểm của (P) với đường thẳng (D) là : (1 ; 0) và (3 ; 2).
Vậy parabol (P) đi qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) và (3 ; 2) khi và chỉ khi §
Do đó a = 1 ; b = -3 và c = 2.
NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ