CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP KHỐI TRÒN XOAY HÌNH HỌC 12

Câu 1. (Mã 102 2020 Lần 2) Cho hình nón   N có đỉnh S , bán kính đáy bằng 3a và độ dài đường sinh bằng 4a . Gọi   T là mặt cầu đi qua S và đường tròn đáy của   N . Bán kính của   T bằng A. 2 10 3 a . B. 16 13 13 a . C. 8 13 13 a . D. 13a . Lời giải. Chọn C Cách 1. Nếu cắt mặt cầu ngoại tiếp khối nón   N bởi mặt phẳng   SAB , ta được mộ hình tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Khi đó bán kính mặt cầu   T bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Gọi M là trung điểm của SB . Kẻ đường vuông góc với SB tại M , cắt SO tại I . Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB và r SI  là bán kính đường tròn ngoại tiếp SAB . Ta có: . SI SM SM SIM SBO SI SB SB SO SO ∽    . Trong đó: 2 2 2 8 13 4 13 13 SM a a SB a r SI SO SB OB a              . Cách 2. Gọi O là tâm của mặt cầu   T , H là tâm đường tròn đáy của   N , M là một điểm trên đường tròn đáy của   N và R là bán kính của   T . Chuyên đề 24 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP KHỐI TRÒN XOAY Tài Liệu Ôn Thi Group https:TaiLieuOnThi.Net TAILIEUONTHI.NET Trang 2 Ta có: SO OM R   ; 2 2 2 OM OH HM   ; 2 2 SH SM HM a    13 . Do SH HM  nên chỉ xảy ra hai trường hợp sau Trường hợp 1: SH SO OH   Ta có hệ phương trình   2 2 2 2 2 2 2 13 13 3 13 2 3 3 R OH a OH a R R OH a R a aR R a                    . Giải   ta có 8 13 13 a R  . Trường hợp 2: SH SO OH   . Ta có hệ phương trình   2 2 2 2 2 2 2 13 13 3 13 2 13 3 R OH a OH R a R OH a R a aR R a                    . Giải   ta có 8 13 13

Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 MỘT SỐ BÀI TỐN TỔNG HỢP KHỐI TRỊN XOAY Chuyên đề 24 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình nón  N  có đỉnh S , bán kính đáy 3a độ dài đường sinh 4a Gọi T  mặt cầu qua S đường tròn đáy  N  Bán kính T  A 10a B 16 13a 13 13a 13 Lời giải C D 13a Chọn C Cách Nếu cắt mặt cầu ngoại tiếp khối nón  N  mặt phẳng  SAB  , ta mộ hình trịn ngoại tiếp tam giác SAB Khi bán kính mặt cầu T  bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB Gọi M trung điểm SB Kẻ đường vuông góc với SB M , cắt SO I Khi I tâm đường trịn ngoại tiếp SAB r  SI bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB Ta có: SIM ∽ SBO  SI SM SM   SI  SB SB SO SO T H I N E T  SM  2a  8a 13  r  SI  Trong đó:  SB  4a 13  2  SO  SB  OB  a 13 O N Cách IL A tròn đáy  N  R bán kính T  IE U Gọi O tâm mặt cầu T  , H tâm đường tròn đáy  N  , M điểm đường T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Ta có: SO  OM  R ; OM  OH  HM ; SH  SM  HM  13a Do SH  HM nên xảy hai trường hợp sau Trường hợp 1: SH  SO  OH Ta có hệ phương trình OH  13a  R  R  OH  13a    2 2 2  R  OH  3a  R  13a  3aR  R  3a * Giải * ta có R  13a 13 I N E T Trường hợp 2: SH  SO  OH A IL 13a 13 T Giải * ta có R  IE U O N T H OH  R  13a  R  OH  13a  Ta có hệ phương trình   2 2 2  R  OH  3a  R  13a  13aR  R  3a * Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hình nón  N  có đỉnh S , bán kính đáy a độ dài đường sinh 4a Gọi T  mặt cầu qua S đường tròn đáy  N  Bán kính T  A 6a B 16 15a 15 15a 15 Lời giải C D 15a Chọn C Gọi I tâm T  I  SO IS  IA Gọi M trung điểm SA IM  SA Ta có SO  SA2  OA2   4a  Lại có SM SA  SI SO  SI   a  a 15 SM SA 2a.4a 15a   SO 15 a 15 (Mã 101 - 2020 Lần 2) Cho hình nón N có đỉnh S ,bán kính đáy 2a độ dài đường sinh 4a Gọi T mặt cầu qua S đường trịn đáy N Bán kính T A a B 14a 14 a Lời giải C D 14 a A IL IE U O N T H I N E T Chọn C T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Gọi R bán kính mặt cầu T , SH đường cao hình nón  SH  4a     a 2  a 14    R  a 14  Gọi  I tâm mặt cầu  R  a Câu 2 R 14 a (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình nón  N  có đỉnh S , bán kính đáy a độ dài đường sinh 2a Gọi T  mặt cầu qua S đường trịn đáy  N  Bán kính T  A 7a B 7a Lời giải 4a C D 7a Chọn A Giả sử thiết diện qua trục hình nón tam giác SAB cân S 1 Khi ta có S SAB  SH AB  a 2a  a 2  Ta có S SAB  Câu  SA.SB AB SA.SB.SC 2a.2 2a.2 a a R   4R S SAB 4.a (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho hình thang ABCD vng A B với AD AB  BC   a Quay hình thang miền quanh đường thẳng chứa cạnh BC Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành A V  a B V  5a C V  a D V  a O N T H I N E T Lời giải IE IL A T Thể tích khối nón sinh tam giác CID quay cạnh CI là: U Thể tích khối trụ sinh hình chữ nhật ABID quay cạnh BI là: V1   AB AD  2a Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a V2  .ID CI  3 Vậy V  V1  V2  Câu 5a (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Một hình nón có chiều cao  cm  nội tiếp hình cầu có bán kính  cm  Gọi V1 ,V2 thể tích khối nón khối cầu Tính tỉ số A 81 125 B 81 500 27 125 Lời giải C V1 V2 27 500 D Gọi hình cầu có tâm O bán kính R Gọi hình nón có đỉnh S, tâm đáy H, bán kính đáy r  HA Vì hình nón nội tiếp hình cầu nên đỉnh S thuộc hình cầu, chiều cao SH hình nón qua tâm O hình cầu, đồng thời cắt hình cầu điểm S ' Theo đề chiều cao hình nón SH  , bán kính hình cầu OS   OH  , từ ta có HA  OA2  OH  52   1 Thể tích khối nón V1  h r  SH  HA2  9 32  27 3 4 500 Thể tích khối cầu V2   R   53  3 V 27 81 Tỉ số   V2 500 500 (Sở Ninh Bình 2019) Một khối gỗ hình trụ trịn xoay có bán kính đáy 1, chiều cao Người ta khoét từ hai đầu khối gỗ hai nửa khối cầu mà đường tròn đáy khối gỗ đường tròn lớn nửa khối cầu Tỉ số thể tích phần cịn lại khối gỗ khối gỗ ban đầu Lời giải C D T B E I N A A IL IE U O N T H Theo tốn ta có hình vẽ T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Thể tích khối trụ V   12.2  2 Vì đường trịn đáy khối trụ đường tròn lớn nửa khối cầu nên bán kính nửa khối cầu R  4 13 4  Thể tích hai nửa khối cầu bị khoét V1    3 4 2  Thể tích phần cịn lại khối gỗ V2  V  V1  2  3 2 V2 Vậy tỉ số thể tích cần tìm   V 2 Câu (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Một khối trụ bán kính đáy a , chiều cao 2a Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối trụ A 6 a B 6 a C 3 a D  a3 Lời giải E I N trung điểm đoạn thẳng OO' Khi IA bán kính khối cầu ngoại tiếp khối trụ T IE U O N  (THPT Chuyên Thái Nguyên 2019) Một khối cầu pha lê gồm hình cầu  H1  bán kính R IL Câu H Ta có: IA2  OA2  OI  3a  3a  6a  IA  6a Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối trụ là: V   6a  6 a 3  T Xét hình hình chữ nhật OABO ' hình vẽ, với O, O ' tâm hai đáy khối trụ Gọi I T A hình nón  H  có bán kính đáy đường sinh r , l thỏa mãn r  l l  R 2 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 xếp chồng lên (hình vẽ) Biết tổng diện tích mặt cầu  H1  diện tích tồn phần hình nón  H  91cm2 Tính diện tích mặt cầu  H1  A 104 cm B 16cm2 C 64cm2 26 cm D Lời giải 1 3 r  l  R  R Diện tích mặt cầu S1  4 R 2 2 3 27 R Diện tích tồn phần hình nón S   rl   r   R R   R  16 16 Theo giả thiết: 4 R  27 R 91 R  91   91   R  16 16 16 Vậy S1  4 R  64cm2 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB  , đáy lớn CD  , cạnh bên BC  DA  Cho hình thang quay quanh AB vật trịn xoay tích A  B   Lời giải C  D N T H I N E T Chọn C A IL IE U O Thể tích khối trịn xoay thể tích hình trụ đường cao DC bán kính đường trịn đáy AH AH  DH  Trừ thể tích hai khối nịn trịn xoay chiều cao DH bán kính đường trịn đáy AH Ta tích khối trịn xoay cần tìm là: T Câu 10 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group V  3..12  .1..12   3 Câu 11 (Sở Thanh Hóa 2019) Một hộp đựng mỹ phẩm thiết kế (tham khảo hình vẽ) có thân hộp hình trụ có bán kính hình trịn đáy r  5cm , chiều cao h  6cm nắp hộp nửa hình cầu Người ta cần sơn mặt ngồi hộp (khơng sơn đáy) diện tích S cần sơn A S  110 cm B S  130 cm2 C S  160 cm D S  80 cm Lời giải Diện tích nắp hộp cần sơn là: S1  4 r  50 cm Diện tích than hộp cần sơn là: S2  2 rh  60 cm Diện tích S cần sơn là: S  S1  S2  50  60  110 cm Câu 12 (Sở Bình Phước 2019) Một đồ vật thiết kế nửa khối cầu khối nón úp vào cho đáy khối nón thiết diện nửa mặt cầu chồng khít lên hình vẽ bên Biết khối nón có đường cao gấp đơi bán kính đáy, thể tích tồn khối đồ vật 36 cm3 Diện tích bề mặt tồn đồ vật  C 9   cm    cm2 B 9 D      cm2   cm2 T A  I N E Lời giải Chọn B T N O U https://TaiLieuOnThi.Net IL IE Trang A .R  36  R  3 T Thể tích tồn khối đồ vật V1  V2  36  H Thể tích khối nón V1  .R 2 R  .R 3 Thể tích nửa khối cầu V2  .R  .R 3 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Diện tích xung quanh mặt nón S1   R R  R   R 2 Diện tích nửa mặt cầu S2  4 R  18 Diện tích bề mặt tồn đồ vật S1  S2  9 Câu 13   5   cm2 4 3 R (Sở Hà Nội 2019) Cho khối cầu  S  có bán kính R Một khối trụ tích nội tiếp khối cầu  S  Chiều cao khối trụ A R R Lời giải B R C R D Gọi r bán kính khối trụ h chiều cao khối tru, ta có 2 h h r  R     R2  2 2  h2  Thể tích khối trụ V   r h    R   h 4  Theo đề thể tích khối trụ 4 3 R nên ta có phương trình  4 3 h2  h h R    R   h  9h3  36 R h  16 3R      36    16  4 R R  h 3   h R R 3 R Câu 14 Tính thể tích vật thể trịn xoay quay mơ hình (như hình vẽ) quanh trục DF Vậy chiều cao khối trụ h  H B U O A T a   30 I N E T F N E IE a A T C IL a D Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A 10 a B  5 a Lời giải Lời giải a3 C D 10 a Chọn D Khi quay mơ hình quanh trục DF Tam giác AFE tạo khối nón trịn xoay (N ) hình vng ABCD tạo khối trụ trịn xoay (T ) N  có chiều cao AF  a, bán kính đáy EF  AF tan 30  a  a  VN      a    a T  có chiều cao AD  a, bán kính đáy AB  a  V   a a  a T a Vậy thể tích cần tính là: V  VN  VT   a   Câu 15 10a (Sở Ninh Bình 2019) Cho mặt cầu  S  tâm O , bán kính  P  mặt phẳng cách O khoảng cắt  S  theo đường tròn  C  Hình nón  N  có đáy  C  , đỉnh thuộc  S  , đỉnh cách  P  khoảng lớn Kí hiệu V1 , V2 thể tích khối cầu  S  khối nón  N  Tỉ số A V1 V2 B 16 Lời giải C D 32 4 32 Thể tích khối cầu  S  V1   R   23   3 I N E  32 H T O (Mã 104 2017) Cho mặt cầu  S  tâm O , bán kính R  Mặt phẳng  P  cách O khoảng U Câu 16    3 Do VV N 1 Thể tích khối nón  N  V2   r h   3 T Khối nón  N  có bán kính đáy r  22  12  , chiều cao h  A T với  S  , tính thể tích V khối nón có đỉnh T đáy hình trịn  C  IL IE cắt  S  theo giao tuyến đường trịn  C  có tâm H Gọi T giao điểm tia HO Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Gọi thể tích khối nón có bán kính đáy OC đường cao OA là: V1 Thể tích khối nón có bán kính đáy IM đường cao IA là: V2 Do ABC tam giác nên M trung điểm AC OA  3, IM  suy ra: IA  IO  3, IH   1 1  , V2   IM IA   12   Ta có: V1   OC OA   22.2  3 3 3 Thể tích chỏm cầu có chiều cao IH bán kính IM là: h IH   16   VC hom   h ( R  )   IH ( R  )    (2  )     3 3     Suy thể tích phần khối nón  N  chứa mặt cầu  S  là: V  V1  V2  VC hom  Suy a  b  Câu 55  16    16  3 16              a  , b   3 3  3    14 (Bình Phước - 2019) Một đồ vật thiết kế nửa khối cầu khối nón úp vào cho đáy khối nón thiết diện nửa mặt cầu chồng khít lên hình vẽ bên Biết khối nón có đường cao gấp đơi bán kính đáy, thể tích tồn khối đồ vật 36 cm3 Diện tích bề mặt tồn đồ vật  C 9   cm B 9  D    cm     cm   cm T A  I N E Lời giải H Chọn B N O U https://TaiLieuOnThi.Net IL IE Trang 44 A .R3  36  R  3 T Thể tích tồn khối đồ vật V1  V2  36  T Thể tích khối nón V1  .R 2R  .R3 3 Thể tích nửa khối cầu V2  .R3  .R3 3 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Diện tích xung quanh mặt nón S1   R R  R   R 2 Diện tích nửa mặt cầu S2  4 R  18 Diện tích bề mặt toàn đồ vật S1  S2  9   5   cm Câu 56 Cho hình cầu nội tiếp hình nón trịn xoay có góc đỉnh 2 , bán kính R chiều cao h Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu có đáy nằm mặt phẳng đáy hình nón Gọi V1 , V2 thể tích hình nón hình trụ, biết V1  V2 Gọi M giá trị lớn tỉ số V2 Giá trị biểu thức P  48M  25 thuộc khoảng đây? (tham khảo V1 hình vẽ) A  40;60 B  60;80  C  20; 40  D  0; 20  Lời giải Chọn B Gọi r bán kính kính hình cầu nội tiếp hình nón Ta có Rh  r  l  R   r  Rh R  R2  h2 Hình trụ ngoại tiếp hình cầu nên có đường kính đáy chiều cao đường kính hình cầu Do   Rh tích V2   r 2r  2   2  R R h  t   H I N t2 1 E 6t O U với t  , ta có IE  A   IL R t  , xét hàm số y  h t  t2 1 R     R    h  h   T Với t    N  R 6  h T   Rh 2   V2 Rh R  R  h2   Khi  6 V1  R 2h R  R  h2 T Trang 45 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group y   t   3t t  t2 1  ; y   t  t2 1 2 Ta có bảng biến thiên V  Dựa vào bảng biến thiên suy M  max      V1  Do P  48M  25  61 Câu 57 (Hà Nội - 2018) Cho khối cầu  S  tâm I , bán kính R khơng đổi Một khối trụ thay đổi có chiều cao h bán kính đáy r nội tiếp khối cầu Tính chiều cao h theo R cho thể tích khối trụ lớn O O A h  2R B h  R C h  R D h  R Lời giải Ta có r  R  h E I N T H 3 2R h , V   h  N Ta có V    R  T   h3 h2  Thể tích khối trụ: V    R   h  V   R h    T A IL IE U O Bảng biến thiên: Trang 46 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 h  V Câu 58   Vmax V Vậy thể tích khối trụ lớn h  2R 3 2R 3 (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Cho tam giác SAB vuông A ,  ABS  60 , đường phân giác  ABS cắt SA điểm I Vẽ nửa đường trịn tâm I bán kính IA ( hình vẽ) Cho SAB nửa đường tròn quay quanh SA tạo nên khối cầu khối nón tích tương ứng V1 , V2 Khẳng định đúng? S I A A 4V1  9V2 B 9V1  4V2 C V1  3V2 D 2V1  3V2 30 B Lời giải  IA  x tan 30 Đặt AB  x   Chỗ Liên bơi xanh này:D  SA  x tan 60 4 Khối cầu: V1   R   IA3    x tan 30  3 1 Khối nón V2   AB SA   x  x tan 60  3 V Vậy  hay 9V1  4V2 V2 A IL IE U O N T H I N E T (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018) Người ta đặt vào hình nón hai khối cầu có bán kính a 2a cho khối cầu tiếp xúc với mặt xung quanh hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với khối cầu lớn tiếp xúc với đáy hình nón Bán kính đáy hình nón cho 8a A 5a B 3a C 2a D Lời giải T Câu 59 Trang 47 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A K N H M B C I Gọi thiết diện qua trục hình nón tam giác ABC với A đỉnh hình nón BC đường kính đáy hình nón có tâm đáy I Gọi M N tâm hai khối cầu có bán kính 2a a H K điểm tiếp xúc AC với hai đường trịn tâm M N Ta có: NK đường trung bình tam giác AMH suy N trung điểm AM AM  2MN  2.3a  6a  AI  8a Ta lại có hai tam giác vng AIC AHM đồng dạng IC AI 8a.2a suy   IC   2a HM AH 36a  4a Vậy bán kính hình nón R  a Câu 60 (THPT Hậu Lộc - TH - 2018) Cho hình nón  N  có bán kính đáy r  20(cm) , chiều cao h  60(cm ) hình trụ T  nội tiếp hình nón  N  (hình trụ T  có đáy thuộc đáy hình nón đáy nằm mặt xung quanh hình nón) Tính thể tích V hình trụ T  có diện tích xung quanh lớn nhất? A V  3000 (cm3 ) C V  3600 (cm3 ) 32000  (cm3 ) D V  4000 (cm3 ) B V  Lời giải I U IE Trang 48 https://TaiLieuOnThi.Net IL H B A A K H' I' T K' O N T H I N E T S Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi độ dài bán kính hình trụ x cm   x  20  , chiều cao hình trụ h ' Ta có: h SI  I K  SI  II  I K  h  h x 60  h x         h SI AI SI AI h r 60 20  60  h  x  h  60  x Diện tích xung quanh hình trụ là:   S  2 x.h  2 x  60  x  2 60 x  x  2 100   x  10    200   Diện tích xung quanh hình trụ lớn x  10 Khi thể tích khối trụ là: V   x h   102.30  3000 (Phan Dăng Lưu - Huế - 2018) Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp hình cầu có bán kính Tính thể tích V khối chóp tích lớn A 576 B 576 C 144 D 144 Lời giải Gọi  S  mặt cầu có tâm I bán kính R   Xét hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , cạnh a ,  a  AC a a2   OI  IA2  OA2  81  2 a2  a2   3a  a 81    T  a2 Thể tích khối chóp S ABCD V  a   81    E Mặt khác ta lại có SO  SI  IO   81  I N Ta có OA   A IL IE U O N T H Đặt a  t ,  a  nên  t  162 T Câu 61 Trang 49 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group 324  3t  t  Xét hàm số f  t   3t  t   81   , với  t  162 ta có f   t    ;  2 t 12 81  t  108 t  108 t t   f   t    81        t   t  144 t  t  12 81       t  144  12    Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có Vmax  576 t  144 hay a  12 Câu 62 (Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Cho tam giác ABC vng A có AB  AC M điểm thay đổi cạnh BC Gọi H , K hình chiếu vng góc M AB , AC Gọi V V  tương ứng thể tích vật thể trịn xoay tạo tam giác ABC hình chữ nhật V lớn MHAK quay quanh trục AB Tỉ số V A B C D Lời giải C a M K α A 2a x H B Trang 50 https://TaiLieuOnThi.Net IL A x2  2x  2a     5 T V    MH AH   T N O U IE 2a 3 V   AC AB  3 Khi quay hình chữ nhật MHAK quanh trục AB ta khối trụ tích : H I N E T Giả sử AC  a , AB  2a , BM  x Ta có: AC , cos   BC  a , sin    BC 5 x 2x 2x , HB  x cos   , AH  2a  MH  x sin   5 Khi quay tam giác ABC quanh trục AB ta khối nón tích : Tài Liệu Ôn Thi Group V 3 Do đó,  x2  x3 V 5a 5a 3 Xét hàm sô f  x   x  x đoạn  0; a  5a 5a Ta có : f   x   TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x   x x , f  x     x  5a   0;  5a 5a     2a  f    , f a  , f         2a  Suy max f  x   f    0;      V Vậy giá trị lớn tỉ số V Câu 63 (THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng - 2018) Xét hình trụ T  nội tiếp mặt cầu bán kính R S diện tích thiết diện qua trục T  Tính diện tích xung quanh hình trụ T  biết S đạt giá trị lớn A S xq  2 R B S xq   R2 C S xq  2 R D S xq   R Lời giải C D I B A Gọi x bán kính hình trụ  x  R Diện tich thiết diện E R T N O A IL IE (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy r  2m , chiều cao h  6m Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ thành khúc gỗ có dạng hình khối trụ hình vẽ Gọi V thể tích lớn khúc gỗ hình trụ sau chế tác Tính V T Câu 64 R R 2  2 R 2 U Vậy diện tích xung quanh hình trụ S xq  2 H I N Vì x R  x   x  R  x  nên S  R Vậy Smax  R x  R  x  x  T S  x.2 R  x  x R  x Trang 51 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A V  32 m2   B V  32 m  C V  32 m2   32 m2   D V  Lời giải Gọi rt , ht bán kính chiều cao khối trụ Ta có: rt  ht   ht   3rt Ta lại có: V   rt ht    6rt  3rt3  Xét hàm số f  rt   6rt  3rt3 , với rt   0;  có f   rt   12rt  9rt ; f   rt    rt  (vì rt  ) Bảng biến thiên Dựa vào BBT ta có f  rt max  Vậy V  Câu 65 32 đạt rt  32  (THPT Thanh Miện I - Hải Dương - 2018) Cho mặt cầu  S  có bán kính R khơng đổi, hình nón  H  nội tiếp mặt cầu  S  Thể tích khối nón  H  V1 ; thể tích phần cịn lại V1 bằng: V2 D 32 76 I N 32 81 Lời giải C H 76 32 T B N 81 32 T A IL IE U O A E T khối cầu V2 Giá trị lớn Trang 52 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 S I A B H Gọi I , S tâm mặt cầu đỉnh hình nón Gọi H tâm đường trịn đáy hình nón AB đường kính đáy Ta có V1 V V Do để đạt GTLN V1 đạt GTLN 1  V2 V  V1 V2 TH 1: Xét trường hợp SI  R Khi thể tích hình nón đạt GTLN SI  R Lúc V1   R3 TH 2:  SI  R  I nằm tam giác SAB hình vẽ Đặt IH  x  x   Ta có 1    R  32 V1   HA2 SH    R  x   R  x    R  x  R  x  R  x    R   3 6  81 Dấu xảy x  R I N E T  R3 V1 V Khi  1  1  32 V2 V  V1 19  R3   R3 81 Câu 66 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Cho tam giác hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trùng với tâm hình vng, trục tam giác trùng với trục hình vng (như hình vẽ) Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình cho quay quanh trục O N T H A U H IL A T K IE C Trang 53 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A  16 23  3  B  64 17  3  C  16 17  3  D  64 17  3  Lời giải A H K M C L Ta cần tìm HM Ta có HM AH HM 4     R  HM  KL AK 4 3 Thể tích tính thể tích trụ cộng với thể tích nón lớn trừ thể tích nón nhỏ phía Vtru   42.8  128 64 3 Vnon lon   42.4  3   64 Vnon nho       V  Vtru  Vnon lon  Vnon nho  128  (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2018) Ban đầu ta có tam giác cạnh (hình ) Tiếp ta chia cạnh tam giác thành đoạn thay đoạn hai đoạn cho chúng tạo với đoạn bỏ tam giác phía bên ngồi ta hình Khi quay hình xung quanh trục d ta khối trịn xoay Tính thể tích khối trịn xoay T A IL IE U O N T H I N E T Câu 67  17  3  64 3 64   64   9   Trang 54 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 d Hình A 5 B Hình 9 5 Lời giải 5 D C d S V1 A I V2 M H B K C U O ; T A IL IE Hình thang vng HABK quay quanh trục HK tạo thành hình nón cụt có R  AH  E N T 1 3 Thể tích khối nón V1   r12 h1    3 24 r  BK  ; h  HK  SH  I N ; h1  SH  2 H Tam giác SIH quay quanh trục SK tạo thành khối nón có r1  IH  T Ta tích khối trịn xoay tạo thành lần thể tích nửa cho hình SIABK quay quanh trục SK Trang 55 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Thể tích khối nón cụt V2  h  R  r  R.r    39  19  1   4 2 24 Suy thể tích khối trịn xoay cho V  V1  V2   Câu 68 3 (THPT Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - 2018) Bên hình vng cạnh a , dựng hình bốn cạnh hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho hình) Tính thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình quanh trục xy A V  5 a 48 B V  5 a 16 C V   a3 D V   a3 Lời giải Xét phần gạch chéo quay xung quanh trục xy 5 a 96 T V3  V1  V2  A O IL  a3 V2  FG. CG  48 Thể tích khối tịn xoay sinh cho hình gạch chéo quay xung quanh trục xy là: N T H I N  U   a  a2 IE  R  R.r  r  E a a  7 a     16  96 Thể tích khối nón tạo thành cho tam giác FCG quay xung quanh trục xy là: V1  h T Thể tich khối nón cụt tạo thành cho hình thang EDCG quay xung quanh trục xy là: Trang 56 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Vậy thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình quanh trục xy là: V  2.V3  (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Bạn An có cốc giấy hình nón có đường kính đáy 10 cm độ dài đường sinh cm Bạn dự định đựng viên kẹo hình cầu cho tồn viên kẹo nằm cốc (khơng phần viên kẹo cao miệng cốc) Hỏi bạn An đựng viên kẹo có đường kính lớn bao nhiêu? A 64 cm 39 B 39 cm 13 C 10 39 cm 13 32 cm 39 D Lời giải H I N E T Xét tiết diện qua trục hình nón, gồm tam giác ACE đường trịn bán kính r tiếp xúc với hai cạnh AC , AE cho tồn hình trịn nằm tam giác U 10 82  52 10 39 39     10 26 13 IE  AC  AE  CE   IL S ACE A Tức bằng: r0  O N T Dễ thấy viên bi lớn viên bi có bán kính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ACE T Câu 69 5 a 48 Trang 57 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Đường kính 2r0  Câu 70 10 39 13 (Chuyên Nguyễn Đình Triểu - Đồng Tháp - 2018) Một trái banh chén hình trụ có chiều cao Người ta đặt trái banh lên hình trụ thấy phần bên ngồi bóng có chiều cao chiều cao Gọi V1 ,V2 thể tích bóng chén, đó: A 9V1  8V2 B 3V1  2V2 C 16V1  9V2 D 27V1  8V2 Lời giải Gọi R bán kính mặt cầu, r , h bán kính đáy chiều cao hình trụ I N E T R R Theo ta có: h  2R r  R     2 T A IL IE U O N T H 3R 3 R V R    hay 9V1  8V2 V1   R , V2   r h   V2 Trang 58 https://TaiLieuOnThi.Net ... 1, chiều cao Người ta khoét từ hai đầu khối gỗ hai nửa khối cầu mà đường tròn đáy khối gỗ đường tròn lớn nửa khối cầu Tỉ số thể tích phần cịn lại khối gỗ khối gỗ ban đầu Lời giải C D T B E... đáy chiều cao khối trụ h  6R Thể tích khối trụ VT   R Khối cầu bên khối trụ có bán kính R nên khối cầu tích VC   R3 Khối nón bên khối trụ có bán kính R chiều cao h  R nên khối nón tích... d Ta có AC  2a, HA  KC  a Khối tròn xoay cần nhận quay tam giác ABC quanh d khối trịn xoay có cách từ khối trụ với hai đáy hình trịn  H , HA  K , KC  bỏ khối nón chung đỉnh B với đáy