Cac chuyen de hinh hoc lop 9 (1)

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN HÌNH HỌC LỚP (Liệu hệ tài liệu word mơn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng năm 2022 CHƯƠNG 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BÀI MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết cạnh góc vng, cạnh huyền, đường cao hình chiếu hai cạnh góc vng lên cạnh huyền + Nêu hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông  Kĩ + Vận dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông để giải tập Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Xét ∆ABC vuông A, cạnh huyền BC = a , cạnh góc vng AC = b AB = c Gọi AH = h đường cao ứng với ′, BH c′ hình chiếu AC, cạnh huyền và= CH b= AB cạnh huyền BC Hệ thức cạnh góc vng hình chiếu cạnh huyền Định lí 1: Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền = b a= b′; c a.c′ Hệ (Định lí Py-ta-go): a= b2 + c2 Một số hệ thức liên quan tới đường cao Định lí 2: Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền h = b′.c′ Định lí 3: Trong tam giác vng, tích hai cạnh góc vng tích cạnh huyền đường cao tương ứng bc = ah Định lí 4: Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông 1 = + h b2 c2 Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trong tam giác vng, bình Hệ thức cạnh góc vng hình chiều cạnh huyền phương cạnh góc vng tích = b a= b′; c a.c′ cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai h = b′.c′ hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền HỆ THỨC LƯỢNG Một số hệ thức Trong tam giác vuông, liên quan tới đường cao tích hai cạnh góc vng bc = ah tích cạnh huyền đường cao TRONG tương ứng TAM GIÁC VNG Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tổng nghịch đảo 1 = + h b2 c2 bình phương hai cạnh góc vng Chú ý Trong ví dụ tập tính tốn số chương này, số đo độ dài không ghi đơn vị, ta quy ước đơn vị đo II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1:Tính độ dài đoạn thẳng tam giác vuông Phương pháp giải Bước 1: Xác định xem đề yêu cầu tính yếu tố Ví dụ: Cho ∆ABC vuông A, đường cao tam giác vng, yếu tố cho AH Tính độ dài AC, BH, CH, AH Biết = AB 6= cm, BC 10 cm Trang Hướng dẫn giải Bước 2: Sử dụng hệ thức cạnh đường cao +) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: tam giác vng để tính độ dài AC = BC − AB = ( cm ) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, ta có: 62 +) AB =BH BC ⇒ BH = =3, ( cm ) 10 +) CH = BC − BH = 6, ( cm ) +) AH= BH CH ⇒ AH = 3, 6.6,= 4,8 ( cm ) Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho ∆ABC vuông A đường cao AH.= Biết BC 15 = cm, AC 12 cm Tính AB, AH, CH Hướng dẫn giải Áp dụng định lí Py-ta-go ta có BC = AB + AC ⇒ AB = 152 − 122 = ( cm ) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: +) 1 = + 2 AH AB AC ⇒ 1 1 25 7, ( cm ) =2 + ⇒ = ⇒ AH = 2 AH 12 AH 1296 122 +) AC = CH BC ⇒ CH = = 9, ( cm ) 15 Ví dụ 2: Cho ∆ABC vng A, có đường cao AH Kẻ HE ⊥ AB= , biết HE 2,= cm, BH cm Tính BE, AE, AH Hướng dẫn giải Trang Áp dụng định lí Py-ta-go cho ∆BEH vng H ta có: BH = BE + EH ⇒ BE = 32 − 2, 42 = 1,8 ( cm ) Áp dụng hệ thức lượng cho ∆ABH vng H có đường cao HE, ta có: 2, 42 HE = BE AE ⇒ AE = = 3, ( cm ) 1,8 Áp dụng định lí Py-ta-go cho ∆AEH vng E, ta có: AH = AE + EH ⇒ AH = 2, 42 + 3, 22 = ( cm )  = 90°, B  = 60°, CD = 30 cm, CA ⊥ CB Tính diện tích hình Ví dụ Cho hình thang ABCD có  A=D thang ABCD Hướng dẫn giải =  ) Ta có CAD ABC= 60° (cùng phụ với CAB = 60° nên ∆ADC tam giác nửa Xét ∆ADC vng D có DAC Suy AC = AD Theo định lí Py-ta-go ta có: AC = AD + DC ⇔ ( AD ) = AD + 302 ⇔ AD =900 ⇔ AD =300 10 ( cm ) ⇒ AD = = H = 90° nên tứ giác AHCD hình chữ nhật Kẻ CH ⊥ AB Ta có  A= D Do AH = CD = 30 cm; CH = AD = 10 ( cm ) Trong tam giác ACB vuông C ta có: CH = HA.HB Suy ra: HB = CH = HA ( ) 10 300 = = 10 ( cm ) 30 30 ⇒ AB = AH + HB = 30 + 10 = 40 ( cm ) = S ABCD CH ( AB + CD ) Trang = 10 ( 40= + 30 ) 350 ( cm ) Vậy S ABCD = 350 ( cm ) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH Tính độ dài BH, CH, AC,= biết AB 20 = cm, BC 25 cm Câu 2: Cho ∆ABC vng A, đường cao AH Tính độ dài BH, CH, AH, BC biết = AB 12 = cm, AC cm Câu 3: Cho ∆DEF vuông D, đường cao DI Tính độ dài DI,= biết DE 15 cm, DF 20 cm = Bài tập nâng cao có AB 12= Câu 4: Cho ∆ABC= cm, AC 5= cm, BC 13 cm, đường cao AH Tính AH AB Câu 5: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH Tỉ số= = , BC 125 cm Tính BH, CH AC Dạng 2: Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vuông Phương pháp giải Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng biết Ví dụ: Cho ∆ABC có đường cao AH Gọi M, để chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác N hình chiếu H AB, AC Chứng minh AB AM = AC AN vuông Hướng dẫn giải Áp dụng hệ thức lượng ∆ABH vng H, có HM đường cao, ta có AH = AB AM Áp dụng hệ thức lượng ∆ACH vuông H, đường cao HN có AH = AC AN Suy AB AM = AC AN Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ∆ABC vng A, đường cao AH Chứng minh rằng: BC = AH + BH + CH Trang Hướng dẫn giải Cách 1: Áp dụng định lí Py-ta-go tam giác ABH vng H, ta có: AB = AH + BH (1) Áp dụng định lí Py-ta-go tam giác ACH vng H, ta có: AC = AH + CH (2) Từ (1) (2), suy ra: AB + AC = AH + BH + CH (3) Ta lại có ∆ABC vng A nên theo định lí Py-ta-go: BC = AB + AC (4) Từ (3) (4) suy BC = AH + BH + CH Cách 2: Ta có: BC =( BH + CH ) =BH + 2.BH CH + CH Mà BH CH = AH nên BC = AH + BH + CH Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD có AC ⊥ BD O Chứng minh rằng: AB + BC + CD + DA2= ( OA2 + OB + OC + OD ) Hướng dẫn giải Áp dụng định lí Py-ta-go cho ∆OAB , ∆OBC , ∆OCD, ∆ODA vng O 2 2 Ta có OA2 + OB = AB ; OB + OC = BC ; OC + OD = CD ; OD + OA = AD Cộng hai vế đẳng thức suy AB + BC + CD + DA2= ( OA2 + OB + OC + OD ) Ví dụ 3: Cho hình vng ABCD điểm M thuộc cạnh BC Kéo dài AM cắt tia DC N Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM cắt tia CB E Chứng minh: a) AE = AN 1 b) = + 2 AB AM AN Hướng dẫn giải Trang = DAN = 90° − MAB  a) Ta có: EAB xét ∆AND ∆AEB có:  AD = AB   =  ABE = EAB 90°; DAN  ADN = Suy ∆AND = ∆AEB ⇒ AN = AE b) Áp dụng hệ thức lượng ∆AEM vng A, đường cao AB, ta có: 1 = + 2 AB AM AE Mà AE = AN (theo chứng minh trên) nên 1 = + 2 AB AM AN Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH Gọi HD, HE đường cao tam giác AHB AHC Chứng minh rằng: a) AB HB = AC HC b) AB BD = AC EC Câu 2: Cho ∆ABC cân A có đường cao AH BK Qua B kẻ đường thẳng vng góc với BC, cắt tia đối tia AC D Chứng minh rằng: 1 b) = + 2 BK BC AH a) BD = AH Bài tập nâng cao  Câu 3: Cho hình thoi ABCD với = A 120° Tia Ax tạo với tia AB góc 15° cắt cạnh BC M, cắt 1 đường thẳng CD N Chứng minh + =2 2 AM AN AB Câu 4: Cho đoạn thẳng AB = cm Gọi C điểm di động cho BC = cm Vẽ tam giác AMN vng A, có AC đường cao Xác định vị trí điểm C để 1 đạt giá trị lớn + AM AN Câu 5: Cho tam giác ABC với đỉnh A, B, C cạnh đối diện với đỉnh tương ứng a, b, c a) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c b) Chứng minh: a + b + c ≥ 3S Hướng dẫn giải tập tự luyện Dạng Tính độ dài đoạn thẳng tam giác vuông Bài tập Câu Trang Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABC vng A, đường cao AH, ta có: AB = BH BC ⇒ BH = 202 = 16 ( cm ) 25 Mà BH + CH = BC nên CH = 25 − 16 = ( cm ) Ta có: AC 2= CH BC ⇒ AC= 9.25= 15 ( cm ) Câu Theo định lí Py-ta-go, ta có BC = AB + AC ⇒ BC = 122 + 92 = 15 ( cm ) Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABC vuông A, đường cao AH, ta có: AB = BH BC ⇒ BH = 122 = 9, ( cm ) 15 Ta lại có BC =BH + CH ⇒ CH =15 − 9, =5, ( cm ) = BC.CH ⇒ AH Mặt khác AH= 9, 6.5,= 7, ( cm ) Câu Áp dụng hệ thức lượng tam giác DEF vuông D, đường cao DI, ta có: 1 = + 2 DI DE DF = ⇒ DI DE DF = DE + DF 152.202 = 12 ( cm ) 152 + 202 Bài tập nâng cao Câu 2 Ta có AB + AC = 122 + 52 = 169 BC= 13 169 = Khi đó, ∆ABC có AB + AC = BC nên theo định lí đảo Py-tago, ta có tam giác ABC vng A Mà AH đường cao tam giác ABC nên theo hệ thức liên quan đến đường cao, ta có: AH BC = AB AC ⇒ AH = 12.5 60 = ( cm ) 13 13 Câu Trang Hình nón có diện tích xung quanh 48π cm , ta có: π R.= l 48π ⇒= l 48π = ( cm ) π Câu 5: Hình nón cụt có diện tích xung quanh 56π cm , độ dài đường sinh 8cm, nên ta có: π l ( R + r= ) 56π ⇒ R + r= 56π = ( cm ) π8 Câu 6: Hình nón cụt có tổng độ dài hai đường kính hai đáy 12cm, nên ta có: R + r = 12 = ( cm ) Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt, ta có: S xq = π ( R + r ) l ⇒ S xq = π 6.7 = 42π ( cm ) Bài tập nâng cao Câu 7: a) Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón, ta có: π R.l= 72π ⇒ R= 72π = ( cm ) π b) Áp dụng cơng thức tính diện tích tồn phần hình nón, ta có: Stp = π R.l + π R ⇒ Stp = 72π + 64π = 136π ( cm ) Câu 8: Để tính diện tích tơn làm xơ ta cần tính diện tích xung quanh diện tích đáy nhỏ +) Độ dài đường sinh:= BC ⇒ BC= AB + AC 242 + (13 − ) = 37 ( cm ) Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt, ta có: S xq = π ( R + r ) l ⇒ S xq = π ( + 13) 37 = 88π 37 ( cm ) Diện tích hình trịn đáy nhỏ là: = S π= 92 81π ( cm ) Vậy diện tích tơn cần để làm xô là: 88π 37 + 81π ≈ 1935 ( cm ) Câu 9: +) Khi quay tam giác vng ABC quanh cạnh AC ta hình nón đỉnh A có chiều cao AC = b , bán kính đáy BC = a , đường sinh = AB a + b2 Diện tích xung quanh hình nón đó= là: S1 π a a + b Trang +) Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh BC ta hình nón đỉnh B, có chiều cao BC = a , bán kính đáy AC = b , đường sinh = AB a + b2 Diện tích xung quanh hình nón đó= là: S π b a + b S π a a + b a Tỉ số diện tích xung quanh hai hình nón là: = = S π b a + b b Dạng 2: Tính thể tích hình nón, hình nón cụt Bài tốn Tính thể tích hình nón, hình nón cụt Phương pháp giải Bước 1: Viết cơng thức tính thể tích hình nón Ví dụ: Cho hình nón biết bán kính hình trịn đáy Bước 2: Xem xét đại lượng biết, 5cm, chiều cao 9cm Tính thể tích hình đại lượng cần tính nón Bước 3: Thay đầy đủ giá trị đại lượng vào Hướng dẫn giải công thức thực phép tính Thể tích hình nón V = π R h Ta = có R 5= cm; h 9cm Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón, ta có: V = 1 V π = 52.9 75π ( cm3 ) π R h ⇒ = 3 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình nón có đường kính hình tròn đáy cm, độ dài đường sinh 5cm Tính thể tích hình nón Hướng dẫn giải Đường kính hình trịn đáy cm, suy bán kính hình trịn đáy R= = ( cm ) Ta có bán kính hình trịn đáy, đường sinh đường cao hình nón tạo với tam giác vuông với cạnh huyền đường sinh hình nón, nên theo định lý Py-ta-go ta có: l = h + R ⇒ h = 52 − 42 = 32 ⇒ h = ( cm ) Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón, ta có: = V 1 π R h ⇒ = V π = 42.3 16π ( cm3 ) 3 Ví dụ Một xơ inox có dạng hình nón cụt đựng nước có bán kính hai đáy 8cm 20cm, độ dài đường sinh 36cm Khi xô đựng đầy nước dung tích xơ bao nhiêu? Hướng dẫn giải Trang Để tính dung tích xô ta cần biết thêm chiều cao OO' xơ Ta có: OO =′ BH = ⇒ OO′= AB − HA2 362 − ( 20 − ) = 24 ( cm ) Áp dụng công thức tính thể tích hình nón cụt, ta có: V = π h ( R + r + Rr ) = ⇒V π 24 ( 82 + 20= + 8.20 ) 4992 2π ( cm3 ) Vậy thể tích xơ 4992 2π cm3 Bài tốn Tính đại lượng liên quan thơng qua cơng thức tính thể tích hình nón, hình nón cụt Phương pháp giải Bước 1: Sử dụng cơng thức tính thể tích hình nón, Ví dụ: Cho hình nón tích 54π cm3 , chiều hình nón cụt cao hình nón 6cm Tính bán kính hình trịn Bước 2: Kiểm tra đại lượng biết đại đáy hình nón lượng cần tìm Hướng dẫn giải Bước 3: Từ cơng thức tính thể tích hình nón, hình nón cụt Suy đại lượng cần tìm Thể tích hình nón V = π R h Hình nón tích 54π cm3 , nên ta có: 3.54π π R h = 54π ⇒ R = = 27 6π 3 ( cm ) ⇒R= Vậy bán kính đường trịn đáy 3 cm Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ∆ABC vng A, biết AB = 5cm Quay ∆ABC quanh cạnh AB ta hình nón tích 15cm3 Tính độ dài đường sinh hình nón Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón, ta có: 3.15π = π R h = 15π ⇒ R = 5π ⇒R= ( cm ) Áp dụng định lý Py-ta-go tam giác ABC, ta có: BC = AB + AC ⇒ BC = 52 + 32 = 34 ( cm ) Trang Vậy độ dài đường sinh hình nón 34 cm Ví dụ Cho hình nón cụt có độ dài đường cao cm, bán kính hình trịn đáy lớn 8cm, thể tích hình nón cụt 135π cm3 Tính độ dài bán kính hình trịn đáy bé Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón cụt, ta có: 1 π h ( R + r + Rr= 135π ⇔ π ( 82 + r + 8r= ) 135π ) 3 r =−4 + 33 ( choïn ) ⇔ r + 8r + 64 =81 ⇔ r + 8r − 17 =0 ⇔  r =−4 − 33 ( loại ) Vậy độ dài bán kính hình trịn đáy bé hình nón r =−4 + 33 cm Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hình nón có chiều cao 10cm, bán kính hình trịn đáy 6cm Tính thể tích hình nón Câu 2: Cho ∆ABC vng A, biết AB 8= cm, AC 6cm Quay quanh cạnh AB vịng ta hình = nón Tính thể tích hình nón Câu 3: Cho hình nón tích 35π cm3 , độ dài đường cao 7cm Tính bán kính hình trịn đáy hình nón Câu 4: Cho hình nón tích 12π cm3 , bán kính hình trịn đáy 3cm Tính độ dài đường sinh hình nón Câu 5: Cho hình nón cụt tích 588π cm3 , độ dài bán kính hai hình trịn đáy cm cm Tính chiều cao hình nón cụt Câu 6: Cho hình nón cụt có bán kính hai hình trịn đáy cm cm, độ dài đường cao cm Tính thể tích hình nón cụt Bài tập nâng cao Câu 7: Cho ∆ABC vuông C Biết= BC a= , AC b Quay tam giác vuông vòng quanh cạnh AC BC, hình nón đỉnh A hình nón đỉnh B Hãy so sánh tỉ số thể tích hai hình nón Câu 8: Một hình nón có bán kính đáy 4cm diện tích xung quanh 20π cm Tính thể tích hình nón Câu 9: Một hình nón cụt có bán kính đáy 7cm 14cm, độ dài đường sinh 25cm Tính thể tích hình nón cụt ĐÁP ÁN Bài tập Câu 1: Áp dụng công thức tính thể tích hình nón, ta có: V = 1 V 10 120π ( cm3 ) π R h ⇒ = π 6= 3 Trang Câu 2: Quay quanh cạnh AB vòng ta hình nón, có chiều cao 8cm, bán kính đáy 6cm Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón ta có: V = 1 96π ( cm3 ) V π R h ⇒ = π = 3 Câu 3: Hình nón tích 35π cm3 , độ dài đường cao 7cm, nên ta có: 3.35π = 15 ⇒ R = 15 ( cm ) π R h = 35π ⇒ R = π Câu 4: Giả sử đường sinh, đường cao bán kính hình trịn đáy hình nón tạo thành tam giác vng ABC hình vẽ Theo đề ta có: π 32.h= 12π ⇒ h= ( cm ) Khi độ dài đường sinh hình nón là: l = BC = 32 + 42 = ( cm ) Câu 5: Hình nón cụt tích 588π cm3 , độ dài bán kính hai hình trịn đáy 3cm 5cm, nên ta có: 3.588π = 36 ( cm ) h π ( R + Rr + r )= h 588π ⇒= π ( 52 + 5.3 + 32 ) Vậy chiều cao hình nón cụt 36 cm Câu 6: Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón cụt, ta có: V = 1 V π ( R + Rr + r ) h ⇒= π ( 52 + 5.2 + 22= ) 117π ( cm3 ) 3 Bài tập nâng cao Câu 7: +) Khi quay tam giác vng ABC quanh cạnh AC ta hình nón đỉnh A, có chiều cao AC = b , bán kính đáy BC = a Thể tích hình nón là: V1 = π a b Trang 10 +) Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh BC, ta hình nón đỉnh B, có chiều cao BC = a , bán kính đáy AC = b Thể tích hình nón là: V2 = π b a Tỉ số thể tích hai hình nón là: π a b a V1 = = V2 π b a b Câu 8: Giả sử hình nón cho hình vẽ Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón, ta có: l 20π ⇒= π R= l 20π = ( cm ) π Độ dài đường cao hình nón là: AB = AC − BC ⇒ AB = 52 − 42 = ( cm ) Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón, ta có: = V 1 = π R h ⇒ V π = 42.3 16π ( cm3 ) 3 Câu 9: Giả sử hình nón cụt cho hình vẽ Độ dài chiều cao hình nón cụt là: AB= BC − AC ⇒ AB= 252 − (14 − ) = 24 ( cm ) Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón cụt, ta có: V = π h ( R + r + Rr ) = ⇒V π 24 (142 + = + 14.7 ) 2744π ( cm3 ) Trang 11 CHƯƠNG HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN - HÌNH CẦU BÀI HÌNH CẦU, DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU Mục tiêu  Kiến thức + Nêu khái niệm hình cầu + Nhận biết tâm, bán kính, đường kính mặt cầu + Nắm vững cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích hình cầu  Kĩ + Tính diện tích mặt cầu thể tích hình cầu + Giải tốn liên quan I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hình cầu Khi quay nửa hình trịn tâm O, bán kính R vịng quanh đường kính AB cố định hình cầu Cắt hình cầu mặt phẳng - Khi cắt hình cầu mặt phẳng phần mặt phẳng nằm hình (mặt cắt) hình trịn - Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng ta đường trịn: +) Đường trịn có bán kính R mặt phẳng qua tâm +) Đường trịn có bán kính bé R mặt phẳng khơng qua tâm Diện tích mặt cầu S = 4π R hay S = π d (R bán kính; d đường kính mặt cầu) Thể tích hình cầu V = π R3 Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu Bài tốn 1: Tính diện tích mặt cầu thể tích hình cầu Phương pháp giải Để tính diện tích mặt cầu ta dùng cơng thức Cho hình cầu có bán kính 5cm Tính diện tích S = 4π R mặt cầu thể tích hình cầu Để tính thể tích hình cầu ta dùng cơng thức Áp dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu, ta có: = S 4π R ⇒= S 4π 5= 100π ( cm ) V = π R3 Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu ta có: = V 4 500 = π R3 = π 53 π ( cm3 ) 3 Ví dụ mẫu Ví dụ Một hình cầu có đường kính 8cm Tính diện tích mặt cầu thể tích hình cầu Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu, ta có: S= π d ⇒ S= π 82= 64π ( cm ) Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu, ta có: 4   256 V V π R ⇒= π  = π ( cm3 ) =  3 2 Ví dụ Cho đường trịn có chu vi 10π cm , quay nửa đường tròn quanh đường kính ta hình cầu Tính thể tích hình cầu Hướng dẫn giải Bán kính hình cầu là:= R 10π = ( cm ) 2π Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu, ta có: Trang = V 4 500 π R ⇒= π = π ( cm3 ) V 3 Bài toán 2: Tính đại lượng liên quan thơng qua cơng thức tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu Phương pháp giải Bước 1: Sử dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu Ví dụ: Cho hình cầu tích 36π m3 Tính cơng thức tính thể tích hình cầu bán kính hình cầu Bước 2: Kiểm tra đại lượng biết cần tìm Hướng dẫn giải Bước 3: Tính đại lượng cần tìm Cơng thức tính tích hình cầu V = π R 3 Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu ta có: π R = 36π ⇒ R = 27 ⇒ R = ( cm ) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho mặt cầu có diện tích S = 36π cm Tính đường kính mặt cầu thứ hai có diện tích gấp lần diện tích mặt cầu Hướng dẫn giải Diện tích mặt cầu thứ hai 36π = 108π ( cm ) Do S = π d = 108π ⇒ d = 108 ⇒ d = ( cm ) Ví dụ Quả ten-nít tích 143,72 cm3 Tính đường kính ten-nít Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu, ta có: 143, 72.3 R 143, 72 ⇒ = R3 π = ≈ 34,31 ⇒ R ≈ 3, 25 ( cm ) 4.π Đường kính ten-nít= d 2.3, = 25 6,5 ( cm ) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Một hình cầu có bán kính 6cm Tính diện tích mặt cầu Câu 2: Một hình cầu tích 972π cm3 Tính đường kính hình cầu Câu 3: Một mặt cầu có diện tích 16π cm Tính thể tích hình cầu Câu 4: Một mặt cầu có diện tích 36π cm Tính bán kính mặt cầu Câu 5: Một mặt cầu có số đo diện tích S1 = 9π cm hình cầu có số đo thể tích gấp lần số đo diện tích Tính độ dài bán kính hình cầu Câu 6: Một hình cầu có số đo thể tích 288π cm3 Tính đường kính hình cầu Bài tập nâng cao Trang Câu 7: Cho ∆ABC có cạnh AB = 10cm , đường cao AH Tính diện tích mặt cầu tạo thành quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vòng quanh đường thẳng AH Câu 8: Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu S (tính cm2) số đo thể tích V (tính cm3) Tính bán kính hình cầu ĐÁP ÁN Bài tập Câu 1: Áp dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu, ta có: = S 4π R ⇒= S 4.π 6= 144π ( cm ) Câu 2: Hình cầu tích 972π cm3 , nên ta có: π R = 972π ⇒ R = 729 ⇒ R= 27 ( cm ) d 2.= R 54 ( cm ) Độ dài đường kính hình cầu là= Câu 3: Mặt cầu có diện tích 16π cm , nên ta có: 4π R =16π ⇒ R =4 ⇒ R =2 ( cm ) Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu ta có: V = 4 32 V π R ⇒= π = π ( cm3 ) 3 Câu 4: Mặt cầu có diện tích 36π cm , nên ta có: 4π R =36π ⇒ R =9 ⇒ R =3 ( cm ) Câu 5: Hình cầu có số đo thể tích gấp lần số đo diện tích mặt cầu, nên ta có diện tích mặt cầu là: = S 4.9 = π 36π ( cm ) Ta lại có: V = 3V 3.36π = = 27 ⇒ R = ( cm ) π R3 ⇒ R3 = 4π 4π Câu 6: Hình cầu có số đo thể tích 288π cm3 , nên ta có: 3.288π = 216 ⇒ R= ( cm ) π R = 288π ⇒ R = 4π Đường kính hình cầu là:= d 2.= R 12 ( cm ) Bài tập nâng cao Trang Câu 7: Ta có AH= AB − BH ⇒ AH= 102 − 52= ( cm ) Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta hình cầu có bán kính = R 2 10 AH ⇒ = R = ( cm ) 3 Diện tích mặt cầu tạo thành là:  10  400π S 4π R ⇒= S 4π  cm ) = = (    Câu 8: Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu số đo thể tích nó, nên ta có: R (đvđd) π R ⇒= 4π R = Dạng 2: Tính diện tích, thể tích hình hỗn hợp bao gồm nhiều hình Phương pháp giải Ta tính diện tích thể tích phận Ví dụ: Một khối gỗ hình trụ, bán kính đường tròn cộng lại đáy r, chiều cao 3r (đơn vị: cm) Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu hình vẽ Hãy tính diện tích bề mặt khối gỗ cịn lại Hướng dẫn giải Diện tích xung quanh hình trụ là: S xq= 2π r.h ⇒ S xq= 2π r.3r= 6π r ( cm ) Diện tích hai mặt bán cầu diện tích mặt cầu: S mc = 4π r Vậy diện tích bề mặt khối gỗ cịn lại là: S mc + S xq = 6π r + 4π r = 10π r ( cm ) Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Cần phải có lít nước để thay nước liễn ni cá cảnh (hình vẽ)? Liễn xem phần mặt cầu Lượng nước đổ vào liễn chiếm thể tích hình cầu Hướng dẫn giải Thể tích hình cầu tính theo cơng thức: V = π R hay V = π d (đường kính = d 22 = cm 2, 2dm ) Lượng nước cần phải có là: V= π ( 2, ) ≈ 3, 71( dm3 ) = 3, 71 (lít) Ví dụ Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu hình trụ Hãy tính thể tích bồn chứa theo kích thước cho hình vẽ Hướng dẫn giải Thể tích bồn chứa xăng tổng thể tích hình trụ (có bán kính đáy 1m chiều cao 4m) thể tích hình cầu bán kính 1m 16 Thể tích bồn chứa V = π 12.4 + π 13 = π ( m3 ) 3 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Một chi tiết máy gồm hình trụ hai nửa hình cầu với kích thước cho hình vẽ bên: a) Tính diện tích bề mặt chi tiết máy b) Tính thể tích chi tiết máy Câu 2: Cho chi tiết máy hình vẽ bên: a) Tính thể tích chi tiết máy Trang b) Tính diện tích bề mặt chi tiết máy Câu 3: Cho hình vẽ bên với kích thước hình: a) Tính diện tích xung quanh hình b) Tính thể tích hình Bài tập nâng cao Câu 4: Một hình cầu đặt khít vào hình trụ, bán kính hình trịn đáy hình trụ cm a) Tính thể tích hình cầu b) Tính thể tích hình trụ Câu 5: Một hình trụ có chiều cao 8cm nội tiếp hình cầu Cho biết diện tích mặt cầu 100π cm Hãy tính: a) Diện tích tồn phần hình trụ b) Thể tích hình trụ = 30° Quay tam giác vng vịng quanh Câu 6: Cho ∆ABC vng A có BC = 2a B cạnh AB ta hình nón đỉnh B Chứng minh diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu có đường kính AB ĐÁP ÁN Bài tập Câu 1: a) Diện tích xung quanh chi tiết máy diện tích xung quanh hai nửa hình cầu với diện tích xung quanh hình trụ nên ta có: S xq= 4.π R + π R.h ⇒ S xq= 4.π 32 + 2.π 3.5= 66π ( cm ) b) Thể tích chi tiết máy thể tích hình trụ với thể tích hai nửa hình cầu, nên ta có: 4 V π R h + π R ⇒ = V π 32.5 + π 3= 81π ( cm3 ) = 3 Câu 2: a) Thể tích chi tiết máy thể tích hai hình trụ, nên ta có: = V π R h1 + π r h2 ⇒= V π 62.2 + π 12= 80π ( cm3 ) Trang b) Diện tích bề mặt chi tiết máy diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao 8cm diện tích tồn phần hình trụ có chiều cao 2cm, nên ta có: S = 2π 1.8 + 2π 6.2 + 2π 62 = 112π ( cm ) Câu 3: a) Hình nón có chiều cao 8cm, bán kính hình trịn đáy 6cm, nên độ dài đường sinh l= 82 + 62 = 10 ( cm ) Diện tích xung quanh hình diện tích xung quanh hình nón hình trụ, nên ta có: S xq = π 6.10 + 2π 6.6 = 132π ( cm ) b) Thể tích hình tổng thể tích hình nón với thể tích hình trụ, nên ta có: V= π 62.8 + π 62.6 = 312π ( cm3 ) Bài tập nâng cao Câu 4: Hình cầu đặt khít vào hình trụ nên có bán kính R = (cm) a) Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu ta có: V = 4 36π ( cm3 ) V π R ⇒= π = 3 b) Chiều cao hình trụ đường kính hình cầu 2.3 = ( cm ) Áp dụng cơng thức tính thể tích hình trụ ta có: = V π R h ⇒= V π 32= 54π ( cm3 ) Câu 5: Ta có diện tích mặt cầu 100π cm , nên ta có: 4π R= 100π ⇒ R = ( cm ) Hình trụ nội tiếp hình cầu nên có bán kính 8 r = 52 −   =3 ( cm ) 2 a) Diện tích tồn phần hình trụ là: = Stp 2π rh + 2π r 2 ⇒ S= 2π 3.8 + 2π 3= 66π ( cm ) b) Thể tích hình trụ là: = V π r h ⇒= V π 32= 72π ( cm3 ) Câu 6: Tam giác vng ABC có: Trang  = A= 90°; BC = 2a; B 30° suy ra= AC a= ; AB a Diện tích tồn phần hình nón là: = Stp π R.l + π R 2 ⇒ S= π a.2a + π a= 3π a (1) Diện tích mặt cầu có đường kính AB là: a 3 = = S 4π R ⇒= S 4.π   3π a (2)   Từ (1) (2), suy Stp = S Trang ... 30° < sin 69? ? b) Ta có cos81° < cos 40° Câu a) Ta có cot= 51° cot ( 90 ° − 39 = ° ) tan 39? ? Trang 11 cot 79= 45′ ) tan10°45′ °15′ cot ( 90 ° − 10°= Mà tan10°45′ < tan13° < tan 28° < tan 39? ? < tan... + CH ⇒ CH =15 − 9, =5, ( cm ) = BC.CH ⇒ AH Mặt khác AH= 9, 6.5,= 7, ( cm ) Câu Áp dụng hệ thức lượng tam giác DEF vng D, đường cao DI, ta có: 1 = + 2 DI DE DF = ⇒ DI DE DF = DE + DF 152.202... sin 39? ? < sin 40° < sin 70° Vậy cos80° < sin 31° < cos 52° < sin 39? ? < sin 40° < cos 20° b) Ta có cot= 72° cot ( 90 ° − 18 = ° ) tan18° cot= 70° cot ( 90 ° − 20 = ° ) tan 20° cot= 50° cot ( 90 °