Chuyen de hinh hoc lop 7

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 10 tháng 10 năm 2022 CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG BÀI 1: HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH Mục tiêu  Kiến thức + Phát biểu khái niệm hai góc đối đỉnh + Nắm vững tính chất hai góc đối đỉnh  Kĩ + Nhận biết hai góc đối đỉnh + Vận dụng tính chất hai góc đối đỉnh vào tính số đo góc Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Hai góc đối đỉnh hai góc mà cạnh góc tia đối cạnh góc Tính chất hai góc đối đỉnh Hai góc đối đỉnh   x Oy  xOy II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết hai góc đối đỉnh Phương pháp giải Nhận dạng hai góc đối đỉnh dựa vào định nghĩa: Ví dụ: Hai góc đối đỉnh hai góc mà cạnh góc Hai đường thẳng xx yy cắt O, tia đối cạnh góc xác định cặp góc đối đỉnh Muốn nhận biết hai góc đối đỉnh: Hướng dẫn giải Bước Xác định hai góc có chung đỉnh khơng Bước Xác định cạnh góc có tia đối cạnh góc khơng    Các cặp góc đối đỉnh xOy xOy  ; xOy Oy x Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ba đường thẳng xx , yy zz  cắt O Kể tên cặp góc đối đỉnh Hướng dẫn giải Ba đường thẳng xx , yy zz  cắt O tạo thành cặp góc đối đỉnh, tên cặp góc đối đỉnh Trang   1) xOy xOy  ; 2)  yOz  yOz  ;  xOz  ; 3) zOx  x Oz  ; 4) xOz 5)  yOx  yOx ; 6)  yOz   yOz Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hai đường thẳng xx yy cắt O, kể tên cặp góc đối đỉnh Câu 2: Có n đường thẳng cắt điểm Tính số cặp góc đối đỉnh tạo thành (khơng tính góc bẹt) Dạng 2: Tính số đo góc Phương pháp giải Để xác định số đo góc, ta sử dụng tính Ví dụ: Cho hai đường thẳng AB CD cắt chất: O tạo thành bốn góc (khơng tính góc bẹt) Biết - Hai góc đối đỉnh   60 , tính số đo góc cịn lại BOC - Hai góc kề bù có tổng 180° Hướng dẫn giải Vì  BOC  AOC kề bù nên    180 AOC  BOC   180  60  120  AOC  180  BOC  Vậy BOD AOC  120 (hai góc đối đỉnh);    60 (hai góc đối đỉnh) AOD  BOC Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hai đường thẳng AB CD cắt O tạo thành bốn góc, khơng tính góc bẹt Biết   , tính số đo góc AOC  BOC Hướng dẫn giải  kề bù nên    180 Vì  AOC BOC AOC  BOC Trang  nên ta có: Mà  AOC  BOC   BOC   180  BOC   180  BOC   36  BOC   144 Suy  AOC  4.BOC   144 (hai góc đối đỉnh); BOC  Vậy  AOC  BOD AOD  36 (hai góc đối đỉnh) Ví dụ Cho hai đường thẳng AB CD cắt O tạo thành bốn góc, khơng tính góc bẹt Biết    100 , tính số đo góc tạo thành AOD  BOC Hướng dẫn giải  đối đỉnh nên   Vì  AOD BOC AOD  BOC   100 nên    100 :  50 Mà  AOD  BOC AOD  BOC  BOC  kề bù nên BOD   BOC   180 Lại có BOD   180  BOC   180  50  130 Suy BOD   130 (hai góc đối đỉnh) Suy  AOC  BOD Bài tập tự luyện dạng  kề bù với xOy   80 Hai góc   Hãy xác định cặp góc đối đỉnh Câu 1: Cho xOy yOz xOt khơng kể góc bẹt tính số đo góc cịn lại Câu 2: Cho hai đường thẳng AB CD cắt O tạo thành bốn góc khác góc bẹt Biết tổng ba số bốn góc tạo thành 300° Tính số đo bốn góc tạo thành Câu 3: Cho hai đường thẳng AB CD cắt O tạo thành bốn góc khác góc bẹt Biết   Tính số đo bốn góc tạo thành AOC  BOC Dạng 3: Chứng minh hai góc đối đỉnh Phương pháp giải   Các phương pháp chứng minh xOy xOy  Ví dụ: Cho đường thẳng xx điểm O nằm đường thẳng xx Trên nửa mặt phẳng bờ xx , đối đỉnh   140 Trên nửa mặt vẽ tia OM cho xOM phẳng bờ xx không chứa tia OM vẽ tia ON cho   40 Chứng minh  OM hai xON xON x góc đối đỉnh Trang Hướng dẫn giải Vì O nằm đường thẳng xx nên hai tia Ox Cách Áp dụng định nghĩa: Chứng minh tia Ox tia đối tia Ox Ox hai tia đối 1 (hoặc Oy ) tia Oy tia đối tia Oy (hoặc Do ON OM thuộc hai nửa mặt phẳng đối Ox ), tức hai cạnh góc hai tia đối bờ Ox nên tia Ox nằm ON OM Suy    140  40  180 xOM  xON hai cạnh góc Vậy  xOM  xON hai góc kề bù Suy hai tia OM ON đối   OM hai góc Từ 1   , suy  xON x đối đỉnh   x Oy  , tia Ox tia Cách Chứng minh xOy Ox đối hai tia Oy Oy nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng xOx Ví dụ mẫu Ví dụ: Trên đường thẳng xx lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ xx , vẽ tia OM cho  xOM  45 Trên nửa mặt phẳng bờ xx không chứa tia OM, vẽ tia ON cho  xON  90 Gọi OP  đối đỉnh x ON Chứng minh xOM OP tia phân giác x Hướng dẫn giải ON  180 Mà  Vì  xON  xON kề bù nên  xON  x xON  90 nên  xON  90 Vì tia OP tia phân giác góc ON x nên   x OP  PON ON  45 x Mặt khác hai tia OP OM thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ xx nên Trang   PON   xON   xOM   45  90  45  180 MOP Suy hai tia OP OM hai tia đối Mà Ox Ox hai tia đối OP hai góc đối đỉnh Do hai góc  xOM x Bài tập tự luyện dạng   Câu 1: Cho hai góc kề bù  AOM BOM AOM  150 Trên nửa mặt phẳng bờ AB khơng  có phải hai góc đối đỉnh không? chứa tia OM, vẽ tia ON cho  AON  30 Hỏi góc  AON BOM Vì sao?  Câu 2: Cho hai đường thẳng AB CD cắt O Gọi OM, ON tia phân giác BOC  Trên nửa mặt phẳng bờ OM không chứa ON dựng tia OP vng góc OM Chứng minh hai góc BOD  DON  hai góc đối đỉnh COP Trang ĐÁP ÁN Dạng Nhận biết hai góc đối đỉnh Câu   Các cặp góc đối đỉnh là: xOy xOy  ;  yOx  yOx Câu Với n đường thẳng cắt điểm, ta 2n tia chung gốc Chọn tia 2n tia chung gốc cho tạo với 2n  tia lại, ta 2n  (góc) Làm với 2n tia chung gốc, ta 2n  2n  1 (góc) Nhưng góc tính hai lần nên số góc thực tế 2n  2n  1  n  2n  1 (góc) Vì có n đường thẳng nên có n góc bẹt Do số góc khác góc bẹt n  2n  1  n  n  2n   Mỗi góc số n  2n   có góc đối đỉnh với Suy số cặp góc đối đỉnh n  2n    n  n  1 Vậy với n đường thẳng cắt điểm, ta n  n  1 cặp góc đối đỉnh Dạng Tính số đo góc Câu  hai góc kề bù với xOy    nên xOz Ta có  yOz xOt yOt hai góc cặp tia Ox Oz; Oy Ot cặp tia đối  zOt ,   Vậy cặp góc đối đỉnh xOy yOz xOt   xOy   80 (hai góc đối đỉnh); Ta có zOt  nên xOy  Vì  yOz kề bù với xOy yOz  180   80 nên    180  80  100 Mà xOy yOz  180  xOy  Suy xOt yOz  100 (hai góc đối đỉnh) Câu Hai đường thẳng AB CD cắt O tạo thành bốn góc có tổng số đo 360° Trang   BOD   DOA   360  AOC  COB Mặt khác tổng số đo ba bốn góc 300° (như hình vẽ)     BOD   DOA   360  300  60  AOC  360  COB    180 Ta có  AOC kề bù với BOC AOC  BOC   180    BOC AOC  180  60  120  Do (hai BOD AOC  60    120 (hai góc đối đỉnh) AOD  BOC góc đối đỉnh); Câu  kề bù nên    180 Vì  AOC BOC AOC  BOC  nên BOC   BOC   180  BOC   180  BOC   30 Mà  AOC  BOC   150 Suy  AOC  5.BOC    30 (hai góc đối đỉnh) Do BOD AOC  150 (hai góc đối đỉnh);  AOD  BOC Dạng Chứng minh hai gốc đối đỉnh Câu Vì  AOM  AON kề nên  AOM   AON  150  30  180 Suy  AOM  AON hai góc kề bù Suy hai tia OM ON hai tia đối  kề bù nên hai tia OA OB đối Mặt khác  AOM BOM  hai góc đối đỉnh Do hai góc  AON BOM Câu  BOD  hai góc kề bù nên BOC   BOD   180 Có BOC  nên COM   MOB   BOC ; Vì OM tia phân giác BOC Trang ON tia phân giác góc  BOD nên   NOB   BOD  DON Mà tia OB nằm tia OM ON Suy     MOB   NOB   BOC   BOD   180  90 MON 2   90 (tia OP vng góc OM) Mặt khác MOP   MOP   90  90  180 Suy MON Mà hai tia OP ON nằm hai nửa mặt phẳng bờ OM nên hai tia OP ON hai tia đối  DON  hai góc đối đỉnh Kết hợp OC OD hai tia đối nên suy COP Trang  (do AI phân giác  F  Mà  A1  A A ) nên E  AEF cân A (tính chất tam giác cân)  AE  AF Suy A thuộc đường trung trực EF (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) Vậy đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC b) Vì EF // AI nên đường trung trực EF vng góc với AI (mối quan hệ vng góc song song) Kết hợp kết câu a), suy đường trung trực EF qua điểm A vng góc với AI cố định Vậy đường trung trực đoạn thẳng EF cố định Dạng 4: Sử dụng tính chất đường trung trực vào toán cực trị Phương pháp giải - Sử dụng tính chất đường trung trực Ví dụ: Hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng có bờ để thay đổi độ dài đoạn thẳng đường thẳng d Tìm vị trí điểm C đường thẳng d độ dài đoạn thẳng khác cho giá trị tổng CA  CB nhỏ Hướng dẫn giải - Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Bước Xây dựng cặp tổng độ dài Lấy D điểm đối xứng với A qua d Theo tính chất đường đoạn thẳng trung gian trung trực, ta có CA  CD Do CA  CB  CD  CB Bước Lập luận để xác định vị trí Gọi M giao điểm BD d điểm cần tìm Nếu C khơng trùng với M xét BCD , ta có CB  CD  BD hay CA  CB  BD (1) Nếu C trùng với M CA  CB  MA  MB  MD  MB  BD (2) Từ (1) (2) suy CA  CB  BD Do C trùng M hay C giao điểm BD d giá trị tổng CA  CB nhỏ Trang Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ABC có AB  15 cm , AC  17 cm Trên tia đối tia AC lấy điểm N cho AN  AB Qua A kẻ đường thẳng d vng góc với BN M điểm đường thẳng d a) Chứng minh MB  MC  NC b) Tìm vị trí điểm M đường thẳng d cho MB  MC đạt giá trị nhỏ cho biết giá trị bao nhiêu? Hướng dẫn giải a) Gọi H giao điểm đường thẳng d với BN  AH  BN (1) Xét AHN AHB có  AHN   AHB  90o ( AH  BN ); AN  AB (giả thiết); AH cạnh chung Do AHN  AHB (cạnh huyền – cạnh góc vng)  HN  HB (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1), (2) suy AH đường trung trực BN  M thuộc đường trung trực BN  MN  MB  MB  MC  MN  MC Nếu điểm M không trùng điểm A, xét MNC có MN  MC  NC nên MB  MC  NC (3) Nếu điểm M trùng điểm A, MB  MC  AB  AC  AN  AC  NC (4) Từ (3) (4) suy MB  MC  NC b) Từ câu a) ta thấy điểm M trùng điểm A MB  MC đạt giá trị nhỏ Khi MB  MC  NC  AB  AC  15  17  32 (cm) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Hai nhà máy xây dựng hai địa điểm A B nằm phía khúc sơng thẳng Tìm bờ sông địa điểm C để xây dựng trạm bơm cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A đến B nhỏ Đáp án Lấy D điểm đối xứng với A qua a Theo tính chất đường trung trực đoạn thẳng ta có MA  MD Do MA  MB  MD  MB Gọi C giao điểm BD a Trang 10 Theo tính chất đường trung trực đoạn thẳng ta có CA  CD Nếu M khơng trùng với C, xét MBD có MA  MB  MD  MB  BD (bất đẳng thức tam giác) (1) Nếu M trùng C MA  MB  CA  CB  CD  CB  BD (2) Từ (1), (2) ta có MA  MB  BD Dấu "  " xảy M  C Vậy điểm M giao điểm đường thẳng a BD đường ống dẫn nước phải dùng ngắn Câu 2: Đường thẳng a đường trung trực đoạn thẳng AB Trên đường thẳng a lấy điểm M Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ đường thẳng a lấy điểm C (C  A) a) Hãy so sánh độ dài MA  MC với độ dài đoạn CB b) Tìm vị trí M đường thẳng a để MA  MC nhỏ Đáp án a) M nằm đường trung trực AB  MA  MB (1) Xét CMB có MC  MB  BC (bất đẳng thức tam giác) (2) Từ (1), (2) ta có MA  MC  BC b) Với ba điểm A, B, C cố định đoạn thẳng AB cố định nên đường trung trực AB cố định Gọi M  giao điểm BC với đường thẳng a Điểm M di động đường thẳng a MB  MC  BC MB  MC nhỏ độ dài BC M  M  hay tổng MA  MC nhỏ độ dài BC M giao điểm đường thẳng a với BC  Câu 3: Cho điểm A nằm góc nhọn xOy a) Tìm hai điểm M, N thuộc Ox Oy cho AM  AN nhỏ b) Tìm hai điểm B, C thuộc Ox Oy cho ABC có chu vi nhỏ Đáp án a) Từ A vẽ AM  Ox , AN  Oy ( M  Ox, N  Oy ) Ta có AM nhỏ đoạn từ A đến Ox AN nhỏ đoạn từ A đến Oy (đường vng góc nhỏ đường xiên) Vậy để AM  AN có giá trị nhỏ M, N hình chiếu A lên Ox; Oy b) Lấy D đối xứng với A qua Ox, lấy E đối xứng với A qua Oy Suy Ox, Oy đường trung trực AD, AE Đường thẳng DE cắt Ox, Oy B, C cần tìm Thật vậy, lấy hai điểm B, C  thuộc Ox, Oy Ta cần chứng minh AB  BC  CA  AB  BC   C A Trang 11 Vì B, B  Ox nên AB  BD; AB  BD (tính chất điểm thuộc đường trung trực) Vì C , C   Oy nên AC  CE; AC   C E (tính chất điểm thuộc đường trung trực) Do AB  BC  CA  DB  BC  CE  DE ; AB  BC   C A  DB  BC   C E ; (1) (2) Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có  DE  DB  BE  DE  DB  BC   C E   BE  BC   C E (3) Từ (1), (2), (3) suy AB  BC  CA  DE  DB  BC   C E  AB  BC   C A Vậy chu vi ABC nhỏ chu vi ABC  Vậy B, C hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề Trang 12 CHUYÊN ĐỀ BÀI TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm tính chất đường trung trực tam giác cân + Nắm tính chất ba đường trung trực tam giác  Kĩ + Vận dụng tính chất ba đường trung trực tam giác để giải tốn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Tính chất ba đường trung trực tam giác Chứng minh ba đường trung trực tam + Trong tam giác, đường trung trực cạnh giác qua điểm: gọi đường trung trực tam giác Gọi O giao điểm hai đường trung trực + Ba đường trung trực tam giác qua ứng với cạnh AB AC ABC điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác Điểm tâm đường trịn qua đỉnh tam giác (ta gọi đường tròn đường tròn ngoại tiếp tam giác) Đường trung trực tam giác đặc biệt Vì O nằm đường trung trực AB nên + Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với OA  OB cạnh đáy đồng thời đường trung tuyến, đường phân Vì O nằm đường trung trực AC nên giác xuất phát từ đỉnh đối diện OA  OC + Trong tam giác, hai ba đường (đường Từ (1) (2), ta có OB  OC ( OA) trung tuyến, đường phân giác xuất phát từ đỉnh Suy O nằm đường trung trực cạnh đường trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh BC (tính chất đường trung trực) này) trùng tam giác cân Vậy ba đường trung trực ABC qua điểm O OA  OB  OC II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Phương pháp giải Sử dụng tính chất: Ví dụ: Cho ABC có AB  cm , BC  cm + Giao điểm đường trung trực tam giác Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp ABC cách ba đỉnh tam giác Hướng dẫn giải + ba đường trung trực tam giác cắt điểm Do để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta xác định giao điểm hai đường trung trực Lấy D trung điểm AB  BD  3cm Qua D kẻ đường thẳng d1  AB Trang Lấy E trung điểm BC  BE  cm Qua E kẻ đường thẳng d  BC d1 cắt d O O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh tam giác vuông, giao điểm ba đường trung trực trung điểm cạnh huyền Hướng dẫn giải  C   90o Xét tam giác ABC vng A, ta có B Gọi D giao điểm đường trung trực cạnh AB AC Ta có EA  EC Khi DE đường trung tuyến ADC nên ADC cân D D   90o  C  AD  DC D FA  FB FD  AB  DAB cân D D   90o  B  AD  BD D    D D D   90o  B   90o  C  Do D     C   180o  90o   180o  180o  B  B, D, C thẳng hàng  D nằm BC Mà BD  AD AD  DC nên BD  DC  D trung điểm BC hay giao điểm ba đường trung trực ABC nằm trung điểm cạnh huyền Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho ABC có  A góc tù Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC theo thứ tự D E a) Các ABD, ACE tam giác gì? b) Đường trịn tâm O bán kính OA qua điểm hình vẽ? Đáp án a) Gọi M, N trung điểm AB AC Xét DAB có DM trung trực AB  DAB cân D Tương tự ta có EAC cân E b) Xét OAB có OM trung trực AB  OAB cân O Trang  OA  OB (1) Tương tự có OAC cân O  OA  OC (2) Từ (1) (2), ta có OA  OB  OC  Đường trịn tâm O bán kính OA qua ba điểm A, B, C Câu 2: Cho ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC, khác phía với A lấy điểm D cho BD  CD Hãy xác định tâm đường tròn ngoại tiếp ABD Đáp án Gọi O trung điểm BC   90o Xét ABC có BAC Theo chứng minh ví dụ O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC , ta có OA  OB  OC (1)   90o nên OB  OC  OD Xét DBC có BDC (2) Từ (1) (2), ta có OA  OB  OD Vậy O tâm đường tròn ngoại tiếp ABD Câu 3: Cho ABC cân A, trung tuyến AM Đường trung trực AB cắt AM O Chứng minh điểm O cách ba đỉnh ABC Đáp án Xét OAB OI trung trực AB nên OA  OB (1) Vì ABC cân A nên đường trung tuyến AM đồng thời đường trung trực BC Mà đường trung trực AB cắt AM O nên O giao điểm đường trung trực Vậy O cách ba đỉnh ABC Dạng 2: Vận dụng tính chất ba đường trung trực tam giác để giải toán khác Phương pháp giải Sử dụng tính chất Ví dụ: Cho ABC Gọi D điểm nằm A Trong tam giác, giao điểm hai B, E điểm nằm A C cho BD  AE đường trung trực thuộc đường trung trực Chứng minh D E thay đổi cạnh AB lại tam giác AC đường trung trực đoạn thẳng DE qua tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Hướng dẫn giải Trang Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  OA  OB  OC Ta có AO đường trung trực ứng với cạnh BC đồng thời đường phân giác góc A o   OAC   60  30o Suy BAO   30o Tương tự, ta có OCE Vì ABC nên AB  AC  BC CE  AC  AE  Lại có  AD  AB  BD  CE  AD  AE  BD  Xét OAD OCE   OCE   30o ; CE  AD (chứng có OA  OC ; OAD minh trên) OAD  OCE (c.g.c)  OD  OE  ODE cân O Vậy đường trung trực đoạn DE qua điểm cố định O Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ABC , M trung điểm BC Các đường trung trực AB AC cắt O Tính  số đo OMB Hướng dẫn giải Vì OF trung trực nên OA  OB Vì OE trung trực nên OA  OC Suy OA  OB  OC  OBC cân O mà M trung điểm BC   90o  OM đường trung trực OBC  OM  BC  OMB Ví dụ Cho ABC cân A, có  A  50o Đường trung trực AB cắt BC D Trang  a) Tính CAD b) Trên tia đối tia AD lấy điểm M cho AM  CD Chứng minh BMD tam giác cân Hướng dẫn giải a) Xét DAB có DH trung trực AB nên DAB cân D ( H  AB )   AD  BD BAD ABD Ta có ABC cân A có  A  50o  180o  50o 180o  BAC  ABC   ACB    65o 2   65o  CAD   BAD   BAC   65o  50o  15o  BAD b) Xét BAM ACD có AB  AC (do ABC cân A);   180o  BAD   180o  65o  115o BAM (1)   180o   DCA ACB  180o  65o  115o (2)   ACD  Từ (1) (2) suy BAM Lại có MA  CD Do BAM  ACD (c.g.c)  BM  AD Mặt khác AD  BD  BD  BM  BMD cân B Ví dụ Cho ABC vng A Trên cạnh BC lấy hai điểm D E cho BD  BA CE  CA Chứng minh tâm O đường tròn ngoại tiếp ADE giao điểm đường phân giác ABC Hướng dẫn giải Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ADE  OA  OD  OE Xét OBA OBD có AB  BD, OA  OD, OB chung Do OAB  ODB (c.c.c)   OBD  (hai góc tương ứng)  BO phân giác góc   OBA ABC (1) Tương tự ta có OAC  OEC (c.c.c) Trang   OCE   CO phân giác   OCA ACB (2) Từ (1) (2), ta có O giao ba đường phân giác ABC Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho ABC có AB  AC , lấy E cạnh CA cho CE  BA , đường trung trực đoạn thẳng BE CA cắt I a) Chứng minh AIB  CIE b) Chứng minh AI tia phân giác góc BAC Đáp án a) Xét IBE có IM trung trực BE  IBE cân I  IB  IE Xét IAC có IN trung trực AC  IAC cân I  IA  IC Xét AIB CIE có IA  IC ; AB  CE ; IB  IE Do AIB  CIE (c.c.c)   ICA  b) Vì IAC cân I nên IAC (1)   ICE   ICA  AIB  CIE  IAB (2)   IAB   AI tia phân giác góc BAC Từ (1) (2) ta có IAC Câu 2: Cho ABC có ba góc nhọn, O giao điểm hai đường trung trực AB AC Trên tia đối tia OB lấy điểm D cho OB  OD a) Chứng minh O thuộc đường trung trực AD CD b) Chứng minh tam giác ABD, CBD vuông c) Biết  ABC  70o Hãy tính số đo góc  ADC ? Đáp án a) Vì O giao điểm hai đường trung trực AB AC nên OA  OB  OC Vì OD  OB nên OD  OA  O thuộc đường trung trực AD (1) Vì OD  OB nên OD  OC  O thuộc đường trung trực CD (2) Từ (1) (2) ta có O giao điểm ba đường trung trực tam giác ACD o    OBA   180  AOB b) Xét OAB cân O  OAB o    ODA   180  AOD Xét OAD cân O  OAD Trang o o o       OAD   180  AOB  180  AOD  180o  AOB  AOD  180o  180  90o  OAB 2 2   90o  ABD vuông A  BAD o    ODC   180  DOC Xét OCD cân O  OCD o    OBC   180  BOC Xét OBC cân O  OCB o o o       OCD   180  DOC  180  BOC  180o  DOC  COB  180o  180  90o OCB 2 2   90o  CBD vuông C  BCD c) Ta có ABD vng A nên  ADB  90o   ABD   90o  CBD  Ta có BCD vng C nên BDC     180o     180o   Suy  ADO  ODC ABO  CBO ABC  180o  70 o  110o   ADC  110o Câu 3: Cho ABC có O giao điểm đường trung trực tam giác Biết BO tia phân giác góc  ABC Chứng minh rằng: a) BOA  BOC ; b) BO đường trung trực AC Đáp án a) Vì O giao điểm đường trung trực ABC nên OA  OB  OC   OBA  ; OBC   OCB  Suy OAB, OBC cân O  OAB (1)   OBC  Do OB tia phân giác góc  ABC nên OBA (2)  Từ (1) (2) ta có  AOB  BOC Xét BOA BOC có  OB chung OA  OC ;  AOB  BOC Do BOA  BOC (c.g.c) b) Vì BOA  BOC  AB  BC (hai cạnh tương ứng)  BAC cân B; Mà OB tia phân giác góc ABC nên OB trung trực AC   75o , C   45o Vẽ đường trung trực d BC cắt BC M Gọi E điểm thuộc d Câu 4: Cho ABC , B   30o Chứng minh rằng: thuộc nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A cho EBC a) BEC cân E;  b) BAC ABE   ACE ; Trang c)  AEB  90o Đáp án a) Xét BEC có EM trung trực cạnh BC  EB  EC  BEC cân E   ECB   30o b) Vì BEC cân E nên EBC    EBC   75o  30o  45o ; ABE  ABC    45o  30o  15o ; ACE   ACB  ECB   180o   Trong ABC ta có BAC ABC   ACB  180o  75o  45o  60o  Mà  ABE   ACE  45o  15o  60o nên BAC ABE   ACE  c) Nếu  ABE  45o   A1  180o  ABE AEB  180o  45o  90o  45o AEB  90o , ABE có   A1   ABE  AE  BE  AE  EC  Trong EAC có AE  EC  A ACE  15o  A1   A2  45o  15o  60o Điều vơ lý  A1   A2  60o (1)   45o  15o  60o Nếu  AEB  90o , lập luận tương tự, ta có AE  EC ;  A1  A Điều vơ lý  A1   A2  60o (2) Từ (1) (2) ta có  AEB  90o Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải Sử dụng tính chất: “Ba đường trung Ví dụ: Cho ABC cân A Gọi M trung điểm BC trực tam giác cắt Các đường trung trực AB AC cắt E Chứng điểm” minh ba điểm A, E, M thẳng hàng Hướng dẫn giải Xét MAB MAC có AB  AC (vì ABC cân A); Trang BM  MC (vì M trung điểm BC); AM chung  MAB  MAC (c.c.c)  AMB   AMC (hai góc tương ứng)   90o Mặt khác  AMB   AMC  180o   AMB  AMC  AM  BC  AM trung trực ứng với cạnh BC ABC  Giao điểm E đường trung trực phải thuộc AM hay A, E, M thẳng hàng Ví dụ mẫu    o , A điểm di động góc góc Vẽ điểm M N cho Ví dụ Cho góc xOy đường Ox đường trung trực AM, đường thẳng Oy đường trung trực AN a) Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định b) Tính giá trị  để O trung điểm MN Hướng dẫn giải a) Xét AMN có Ox trung trực AM; Oy trung trực AN Vậy O giao điểm ba đường trung trực AMN Trung trực MN qua O cố định A di động (vì đường trung trực tam giác ln đồng quy điểm) b) Vì O thuộc MN nên O, M, N thẳng hàng   xOA   xOM yOA   yON  180o   xOA   xOM Mặt khác  yON   yOA        180o  xOy   90o    90o  xOA yOA  180o  xOy Ví dụ Cho ABC cân A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng tam giác cân BCD Chứng minh đường trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm BC IB  IC Mà ABC cân A nên AB  AC  AI trung trực BC Suy AI đường trung trực BC Tương tự, ta có ABD cân D nên DI trung trực BC Trang 10  A, D, I thẳng hàng hay AD trung trực BC Khi AD đường trung trực ABC Vậy đường trung trực AB AC đồng quy với AD O Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho ABC cân A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng tam giác cân BCD Chứng minh đường trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD Đáp án Gọi I trung điểm BC IB  IC Mà ABC cân A nên AB  AC  AI trung trực BC Tương tự, ta có ABD cân D nên DI trung trực BC  A, D, I thẳng hàng hay AD trung trực BC Khi AD đường trung trực ABC Vậy đường trung trực AB AC đồng quy với AD O Câu 2: Cho ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P cho AM  BN  CP a) Chứng minh tam giác MNP tam giác b) Gọi O giao điểm đường trung trực Đáp án a) ABC nên AB  AC  BC  AP  AC  PC CN  BC  BN  Ta có  nên AP  CN  PC  BN  AC  BC Xét MAP PCN có   PCN   60o (giả thiết); AP  CN (chứng minh trên) AM  CP (giả thiết); MAP Do MAP  PCN (c.g.c)  MP  PN (hai cạnh tương ứng) (1) Tương tự ta có NBM  PCN  MN  PN (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) ta có MN  MP  PN  MPN b) Vì O giao điểm đường trung trực ABC  OA  OB  OC   OAP   OCP   OCN   OBN   OBM   30o Mặt khác ABC nên ta có OAM   NBO   30o ; OA  OB Xét MAO NBO có MA  NB; MAO MAO  NBO (c.g.c)  MO  NO (hai cạnh tương ứng) (3) Tương tự ta có NO  PO (4) Từ (3) (4) ta có O tâm đường trịn ngoại tiếp MNP  O giao điểm đường trung trực MNP Trang 11