Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 103 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
103
Dung lượng
6,73 MB
Nội dung
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CÁC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỐN (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng năm 2022 CHỦ ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI DẠNG 1: Tìm bậc hai số học, bậc hai số dƣơng So sánh bậc hai số học Phƣơng pháp - Với số a không âm => bậc hai số học a a - Với số a không âm => bậc hai số a a - Nếu x2 = a > x = a - Với hai số a b khơng âm, ta có: a < b a < b Bài 1: Tìm bậc hai số học bậc hai số sau: a) 16 b) 144 d) 17 e) 19 c) 25 Bài 2: Tìm số x thỏa mãn: a) x2 = 16 b) x2 = d) x2 = 1,5 e) x2 = c) x2 = 0,01 Bài 3: Tìm số x khơng âm biết a) x = b) x = c) x = - d) x = e) x = 6,25 Bài 4: So sánh số sau a) 27 147 b) -3 - c) 21, , 15 , - 123 (sắp xếp theo thứ tự tăng dần) d) 15 59 g) h) - j) - l) ,4 e) 2 - k) , - 132 , , 10 - f) 41 i) - và 15 (Sắp xếp theo thứ tự giảm dần) Bài tập làm thêm: SGK: Bài ; ; ; ; trang ; SBT: Bài ; ; ; ; ; ; ; trang ; DẠNG 2: Tìm ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH biểu thức chứa PHƢƠNG PHÁP A xác định A Phƣơng pháp tìm điều kiện: Cần lƣu ý: Phân thức A xác định B # B BÀI TẬP VẬN DỤNG -3 2+x 1) 6x + 7) 2) - 8x 3) - 5x 9) 4) ( - x)2 10) 5) x2 + 2x +1 11) 2x + 6) - 2a 13) - 3x 19) 8) (x + 5)2 14) 6x - 4x 20) 6-4 m+2 15) 12) 16x - x-7 12x - 2011 - m ( x - 7)( x + 7) 21) 15 - 59 x-7 16) (x - 6)6 22) 17) -12x + 23) 49x2 - 24x + 18) - 5x +8 24) 26) (3x 2)(x 1) 25) x -2 + 23 -x+5 4z2 + 4z + 12x + 27) 3x x 1 Bài tập làm thêm: SGK: Bài 12 trang 11 SBT: Bài 12 ; 16 trang DẠNG 3: Liên hệ PHÉP NHÂN với PHÉP KHAI PHƢƠNG Liên hệ PHÉP CHIA với PHÉP KHAI PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP * Phép nhân phép khai phƣơng: Với hai số A B khơng âm thì: A.B = A B * Phép nhân phép khai phƣơng: Với hai số A khơng âm B > thì: BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Áp dụng quy tắc khai phương tích, tính: b, 24 (5)2 a, 0, 25.0,36 c, 1, 44.100 d, 3452 Bài 2: Áp dụng quy tắc khai phương tích, tính: a, 2, 25.400 b, 0,36.100.81 1 3.27 20 c, d, 0, 001.360.32.(3)2 A A = B B Bài 3: Áp dụng quy tắc nhân thức bậc hai, tính: a, 32 b, 45 d 2(4 32) c, 11 44 Bài 4: Tính a) A = 372 122 b) B = 21,82 18, 22 c) C = 100(6,52 1, 62 ) Bài 5: Thực phép tính: a, A = ( ( 4)2 ( 1)2 b, B = ( 2)2 ( 10 1)2 c, C = ( 3)( 3) ( 2)( 2) Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử (với thức cho có nghĩa ) a A= x – y – 3( x y ) b B = x x c C = x3 y3 x2 y xy d D = 5x2 x y y Bài 7: Rút gọn a (a b)2 với a>b; a b a A = 27.48(1 a ) với a>1; b B = c C = 5a 45a 3a với a d D = (3 a)2 0, 180a2 với a tùy ý Bài 8: Thực phép tính: a 121 ; 144 16 0,99 ; 0,81 c 0, 01 ; 17 64 1, 44.1, 21 1, 44.0, ; b 0, 01 ; 0, 0004 1652 1242 ; 164 (1 3) ; 48 75 1492 762 457 3942 Bài 9: Thực phép tính a c 192 12 72 ; x 3 x : b a ab b a b (với a>b>0) x (với x>9) Bài 10: thực phép tính b B = (4 20 500 45) : a A= (3 18 50 72) : c C = ( 1 1 ) : 48 1 1 Bài 11: Rút gọn biểu thức y x2 a A = với x>0; y ≠ x y c C = xy b B = y 25 x với x0 y6 d D = x4 với y1 y 1 ( x 2) Bài 12: Giải phương trình a x 50 b 3.x 12 27 c 3x2 12 d e 25x2 100 f ( 2) x 27 18 x2 20 g ( x 3)2 Bài 13: Rút gọn: a A = 11 30 : (1 ) b B = 2 2 2 DẠNG 4: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH A = B A2 = B PHƢƠNG PHÁP Phƣơng trình: B A =B A = B Phƣơng trình: A2 = B |A| = B Chú ý: Nếu A B phân thức phải có điều kiện Mẫu thức ≠ BÀI TẬP VẬN DỤNG 1) 3x - = 2) 4) ( x - 7)( x + 7) = 5) - 3x + = 12 3) 2x2 - = - x x2 - 8x + 16 = 6) 9(x -1) = 21 7) 12x + =2 8) - 2a = 10) 4x = 11) 5x + = 3- 12) - 4x2 + 25 = x 13) - 5x = 12 14) 4(1 - x)2 - = 15) 16x = 16) - 3x = 18) 3x2 - = + 15 19) (x - 3)2 = 9) - 3x = 10 17) -3 =2 2+x 20) -6 =5 1+x 21) 4x - 20 - x-5 = 1-x 22) 4x + + x + - 9x + 18= 23) x2 - 6x + + x = 11 24) 3x2 - 4x + = - 2x 25) 16(x + 1) - 9(x + 1) = 26) 9x + + 4x + = x + Bài tập làm thêm: Bài SGK trang 11 Bài 17 SBT trang CHỦ ĐỀ 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN DẠNG SỐ DẠNG I: Biểu thức số có dạng đẳng thức: PHƯƠNG PHÁP Chú ý đẳng thức sau: a 2a b b a b với b > a b a b a b a b a b a b a b a ab b với a > b > với b > với a > b > Sau nhận dạng, tách số hạng viết dạng đẳng thức áp dụng A2 A neu A A2 A neu A A2 = | A | hay * Chú ý: Một số biểu thức chưa có dạng đẳng thức a b a b , ta cần nhân thêm số bên ngồi vào xuất dạng hàng đẳng thức a b a b , lúc ta phá BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau a) + 15 b) 3+ c) 11 + d) e) 22 - f) 16 - l) - m) u) 59 + 25 o) z) 289 + 72 16 q) - - ( + 2) a') ( 21 +7 ) 14 - 129 + 16 10 - 21 Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau: (Nhân thêm số vào biểu thức để làm xuất đẳng thức a b a b a) 2.( 10 - ) + Phá Căn) 6-2 HD: Nhân với 4+ 6-2 HD: Nhân với b) (4 + 30)( - 3) - 15 c) 1 82 - 15 HD: Nhân 1/ với 82 DẠNG II: Biến đổi biểu thức cách đưa thừa số vào dấu PHƯƠNG PHÁP Đưa thừa số căn: A2.B = |A| B với B ≥ Nếu A ≥ thì: A2.B = A B Nếu A < thì: A2.B = - A B Đưa thừa số vào căn: Nếu A ≥ B ≥ thì: A B = A2.B Nếu A < B ≥ thì: A B = - A2.B BÀI TẬP VẬN DỤNG A = 112 - - 14 21 28 B = 2( - ) + 3( - 2)2 C = 27 + 12 - 48 D = 147 + 54 - 27 E = ( 15 - 3)2 + 12 F = 50 - + 12 18 G = 80 - 245 + 180 H = 28 - 63 + 112 M = 20 - 10 + 45 N = 12 - 48 + 27 - 108 DẠNG III: Rút gọn biểu thức số dạng phân số PHƯƠNG PHÁP Với loại toán ta thường sử dụng kĩ sau: - Rút gọn thừa số chung tử mẫu có - Sử dụng đẳng thức để đưa biểu thức số khỏi - Nếu mẫu số chứa nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp mẫu để triệt tiêu mẫu - Quy đồng mẫu cần để rút gọn Chú ý: Một số biểu thức liên hợp a b liên hợp với a b a b liên hợp với BÀI TẬP VẬN DỤNG a b A= 1 5+2 5-2 + C= 3+1 E= 3+ + 3- G= 6+2 - 5- 5+ 15 - 3 : + 2- 5+ 3 U= 1 3+2 -2 D= 15 - 12 5-2 2- 5+2 3+ + - ( + 3) F= ( - 5)2 H= 10 - 2 - 5-1 2-1 I= B= J = 1 + 21 - 12 W= ( + 5)2 2+ 2 2- 2 .1 1+ 2 1- 2 3- 5- 3- 5+ CÁC DẠNG BÀI TẬP TRỌNG TÂM PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ax2 + bx + c = (a≠0) DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC THEO TỔNG VÀ TÍCH HAI NGHIỆM I/ Phƣơng pháp - Áp dụng định lý viet, tính tổng tích hai nghiệm - Khai triển biểu thức theo tổng tích hai nghiệm => Thay giá trị tổng tích vào biểu thức => Giá trị biểu thức II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Cho phương trình x2 + x - = có nghiệm x1 x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau: A= 1 ; x2 x2 B = x12 + x22 ; C = 1 2; x2 x2 D = x13 + x23 Bài 2: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: x2 – 3x – = Tính: A x1 x ; C B x1 x ; D 3x1 x 3x x1 ; 1 ; x1 x E x1 x ; F x1 x 4 Bài 3: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình: 5x2 – 3x – = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: A 2x1 3x1 x 2x 3x1x ; 3 2 1 x x1 x x B ; x x x1 x1 x1 x 3x 5x1x 3x C 2 4x1x 4x1 x 2 Bài 4: Cho phương trình x2 + 2x - = có nghiệm x1 x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau: A= 1 ; x2 x2 B = x12 + x22 ; C= 1 2; x2 x2 D = x13 + x23 DẠNG 2: LẬP PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH I/ Phƣơng pháp * Để lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2 ta làm sau: + Tính S = x1 + x2 P = x1.x2 + Phương trình bậc hai cần tìm là: x2 - S.x + P = * Nếu hai số u; v có u + v = S ; u.v = P u v hai nghiệm phương trình bậc ha: x2 - S.x + P = Tính ∆ = (-S)2 – 4P = S2 – 4P = ? + Nếu S2 – 4P < khơng tồn x1 x2 + Nếu S2 – 4P tồn hai nghiệm x1 x2 tính theo cơng thức nghiệm II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: x2 – 3x – = Lập phương trình bậc hai có nghiệm 1 vµ x1 x2 Bài 2: Lập phương trình bậc hai có nghiệm 1 vµ 10 72 10 Bài 3: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = (với m ≠ 0) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 x1 1 vµ y x x2 x1 Bài 4: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = có hai nghiệm x1 ; x2 Khơng giải phương trình thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bài 5: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 y Bài 6: Tìm hai số u v biết: u + v = 42 u.v = 441 Bài 7: Tìm hai số u v biết: a) u + v = - 42 u.v = - 400 b) u - v = u.v = 24 c) u + v = u.v = - d) u - v = -5 u.v = -10 1 1 vµ x1 x x1 x y1 y DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ NGHIỆM, VƠ NGHIỆM I/ Phƣơng pháp - Xác định hệ số a ; b ; c phương trình bậc hai (các hệ số phụ thuộc vào tham số m) - Tính biệt thức ∆ = b2 – 4ac + Để chứng ming PT vô nghiệm, ta chứng minh ∆ < + Để chứng ming PT có nghiệm, ta chứng minh ∆ ≥ + Để chứng ming PT có nghiệm phân biệt, ta chứng minh ∆ > II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm a) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; b) x2 + (m + 1)x + m = ; c) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; d) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; Bài 2: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm a) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; b) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; c) x2 – 2mx – m2 – = ; d) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = Bài 2: Cho phương trình x2 - (m2 + 1)x + m = Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với m Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2mx – m2 - = Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m DẠNG 4: ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC I/ Phƣơng pháp Điều kiện phương trình vơ nghiệm: ∆ < có nghiệm kép: ∆ = có hai nghiệm phân biệt ∆ > có nghiệm: ∆ ≥ Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c Phương trình có hai nghiệm (nếu hai nghiệm phân biệt dùng ∆ > 0) a.c dấu b dấu dương a a.c b dấu âm a a.c Phương trình bậc hai có nghiệm dương S P P Phương trình bậc hai có nghiệm âm S P P Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức f(x1, x2) B1: Xác định điều kiện m để phương trình có hai nghiệm (hai nghiệm phân biệt) viết biểu thức Viet theo tham số m B2: Biến đổi hệ thức f(x1, x2) theo tổng tích hai nghiệm x1 ; x2 Phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền cạnh huyền k x x có hai nghiêm duong x1 ; x 2 x1 x k x1.x x x k Phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2 nghiệm nguyên (số nguyên) (Chỉ xét x1.x2 = k số nguyên biết) + Phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2 m … b x1 x a + Hệ thức vi-ét x x c k Z a + Từ (2) ta có x1 (1) (2) k , để x1, x2 nguyên x2 phải ước số nguyên k => Các cặp giá x2 trị x1, x2 tương ứng + Thay cặp giá trị x1, x2 tìm vào (1) tìm giá trị m Phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2 độ dài đường cao cạnh đáy tam giác có diện tích k x x pt có hai nghiêm duong x1 ; x x x x x 2k x1.x 2k II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b) Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại c) Với điều kiện m phương trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) d) Với điều kiện m phương trình có hai nghiệm dương (cùng âm) e) Định m để phương trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đơi nghiệm f) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - g) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + = Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x1 = x22 e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x1 = x22 f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x12 + x2 = Bài 4: Cho phươnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đơi nghiệm Bài 5: Cho phương trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho biểu thức R 2x1x đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn x x 2(1 x1x ) Bài 6: Định m để phương trình mx2 – (m + 3)x + 2m + = có hiệu hai nghiệm Bài 7: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phân biệt phương trình: x2 + mx + 25 = Chứng minh |x1 + x2| > 10 Bài 8: Cho phương trình: x2 + mx - = Tìm giá trị m để phương trình có tổng bình phương nghiệm 11 Bài 9: Tìm m để phương trình: (m - 1)x2 + 2x + m = có nghiệm khơng âm Bài 10: Cho phương trình: x2 – (m + 2)x – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 số nguyên Bài 11: Cho phương trình: x2 - (m + 5)x + 3m + = Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền DẠNG 5: SO SÁNH NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI VỚI MỘT SỐ 𝛂 I/ Phƣơng pháp - Phương trình có hai nghiệm x1 < x2 < α x1 x x1 x x x 2 x1 x - Phương trình có hai nghiệm α < x1 < x2 x1 x x1 x x x 2 x1 x x1 x x1 x - Phương trình có hai nghiệm x1 < α < x2 Viết điều kiện theo yêu cầu toán, thay định lý Vi-et vào điều kiện II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm m để phương trình: 2x2 – 4x + 5(m-1) = có hai nghiệm phân biệt nhỏ Bài 2: Tìm m để phương trình: x2 + mx + m - = có hai nghiệm lớn m Bài 3: Tìm a để phương trình x2 + ax – = có nghiệm lớn Hướng dẫn TH1: Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 < x2 x1 x TH2: Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn < x1 ≤ x2 x1 x x x 2 Bài 4: Tìm k để phương trình x2 + (2k + 1)x + k2 = có nghiệm lớn hay DẠNG 6: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI KHƠNG PHỤ THUỘC THAM SỐ I/ Phƣơng pháp - Viết hệ thức Vi - ét phương trình - Biến đổi qua lại tổng tích hệ thức Vi - ét cho tham số m bị triệt tiêu, từ thu hệ thức độc lập hai nghiệm II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Cho phương trình: x2 – mx + 2m – = Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào tham số m Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phương trình có nghiệm, tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Bài 3: Cho phương trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí nghiệm hai số – Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi phương trình có nghiệm, tìm hệ thức nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số m Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – = a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 với m b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x1 x x x1 Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = - Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m - Tìm m cho |x1 – x2| ≥ Bài 5: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chứng minh phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + = DẠNG 7: TÌM THAM SỐ m ĐỂ HAI PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ NGHIỆM CHUNG I/ Phƣơng pháp Xét hai phương trình bậc hai sau: a1x2 + b1x + c1 = có biệt thức ∆1 = b12 4a1c1 a2x2 + b2x + c2 = có biệt thức ∆2 = b22 4a 2c2 1 tìm m để hai phương trình có nghiệm B1: Giải điều kiện a1x o b1x o c1 B2: Gọi xo nghiệm chung hai phương trình, giải hệ: a x o b x o c Dùng phương pháp cộng đại số để triệt tiêu x o2 , tìm điều kiện để tồn xo Nghiệm chung xo (có thể theo m khơng phụ thuộc vịa m) Thay xo vào hai phương trình, giải tim m thỏa mãn điều kiện II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung: x2 − 2mx − 4m + = (1) x2 + (3m + 1)x + 2m + = (2) Hƣớng dẫn 4m 16m Điều kiện để hai pt có nghiệm: 9m 2m x o 2mx o 4m Giả sử xo nghiệm chung phương trình cho, ta có: x o 3m 1 x o 2m 5m 1 x o 6m Vì hai phương trình có nghiệm chung nên tồn xo ∈ R m 1 6m xo 5m 6m 6m Thế vào hai pt hệ trên, ta được: 2m 4m 5m 5m Giải phương trình ta thấy có: m = thỏa mãn điều kiện Vậy m = pt cho có nghiệm chung Bài 2: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 4x2 – (9m – 2)x + 36 = Bài 3: Với giá trị m hai phương trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = Bài 4: Cho hai phương trình: x2 + x + a = x2 + ax + = Tìm giá trị a hai phương trình có nghiệm chung Bài 5: Cho hai phương trình: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) Định m để hai phương trình có nghiệm chung DẠNG 8: TÌM THAM SỐ m ĐỂ HAI PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI TƢƠNG ĐƢƠNG I/ Phƣơng pháp Hai phương trình tương đương Chúng có tập nghiệm (cùng vơ nghiệm) Xét hai phương trình bậc hai sau: a1x2 + b1x + c1 = có biệt thức ∆1 = b12 4a1c1 ; Tổng S1 ; Tích P1 a2x2 + b2x + c2 = có biệt thức ∆2 = b22 4a 2c2 ; Tổng S2 ; Tích P2 Xảy hai trường hợp để Hai phương trình tương đương: ( ) - TH1: Trường hợp hai phương trinhg vô nghiệm, tức là: ( 4) Δ (3) Δ (4) - TH2: Trường hợp hai phương trình có nghiệm, tương đương S(3) S(4) P P (4) (3) II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hai phương trình: x2 + x + a = x2 + ax + = Với giá trị a hai phương trình tương đương Bài 2: Cho hai phương trình: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) Định m để hai phương trình tương đương DẠNG 9: CHỨNG MINH MỘT TRONG HAI PT BẬC HAI CĨ NGHIỆM I/ Phƣơng pháp Xét hai phương trình bậc hai sau: a1x2 + b1x + c1 = có biệt thức ∆1 = b12 4a1c1 1 a2x2 + b2x + c2 = có biệt thức ∆2 = b22 4a 2c2 2 Một hai phương trình bậc hao có nghiệm ∆1 + ∆2 ≥ 1 + ∆2 ≥ ∆1 + 2 ≥ 1 + 2 ≥ Tùy mà ta dùng bốn hệ thức cho đơn giản phù hợp II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Cho a, b, c > 0; a + 2b + 3c = Chứng minh phương trình sau có nghiệm: 4x2 - 4(2a + 1)x + 4a2 + 192abc + = (1) 4x2 - 4(2b + 1)x + 4b2 + 96abc + = (2) Bài 2: Chứng minh phương trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) Bài 3: Cho phương trình: x2 + bx + c = (1) x2 + cx + b = (2) Trong 1 Chứng minh có hai phương trình có nghiệm b c 10 CHỦ ĐỀ 17 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ y = ax2 (a ≠ 0) VÀ y = bx + c (b ≠ 0) A/ PHƯƠNG PHÁP & CÂU HỎI THƯỜNG GẶP a c a (P) (d): ax = bx + c Hay ax - bx - c = T a mc a a (1) thị: (P): y = ax2 (a 0) (d): y = bx + c Giải (1) tìm hồnh độ giao điểm x => Tung độ giao điểm y => Tọa độ giao điểm CÂU HỎI ờng gặ k (1) có c ứa a : Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt? Viết biểu thức ∆ phương trình (1) Biến đổi ∆ biểu thức dương => Điều phải chứng minh Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt? (d) cắt (P) hai điểm phân biệt a Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) (d cắt (p) điểm nhất)? (d) tiếp xúc với (P) Phương trình (1) có nghiệm kép Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ âm (hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung)? (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hoành độ âm a Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt x1 x x1.x Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ dương? (hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung)? (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ dương a Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt x1 x x1.x Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ trái dấu? (hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung)? (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ trái dấu a Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu x1.x Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm A, B cho ∆ AOB vuông O B1: Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm A(xA, yA) B(xB, yB) Định lý viet cho hồnh độ giao điểm xA , xB B2: Phương trình đường thẳng OA y = a1x qua điểm A(xA, yA) => a1 = yA xA Phương trình đường thẳng OB y = a2x qua điểm B(xB, yB) => a2 = yB xB B3: ∆ AOB vuông O => a1.a2 = - yA yB =-1 xA xB Từ (P) thay yA ; yB vào phương trình, kết hợp viet => m Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm A, B cho ∆ AOB cân O B1: Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm A(xA, yA) B(xB, yB) Định lý viet cho hoành độ giao điểm xA , xB B2: Gọi H K hình chiếu A B lên trục hoành ∆ AOB cân O hay OA = OB OA2 = OB2 AH2 + OH2 = BK2 + OK2 x 2A y2A x 2B y2B Từ (P) thay yA ; yB vào phương trình, kết hợp viet => m Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn hệ thức f(x1 , x2) ? Bước 1: Xét phương trình hồnh độ giao điểm (1) Rồi tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt Bước 2: Với điều kiện m tìm Bước 1, ta viết biểu thức Viet cho x1 x2 Bước 3: Biến đổi hệ thức f(x1 ; x2) theo tổng x1 + x2 tích x1.x2 Bước 4: Thay biểu thức Viet vào hệ thức f(x1 ; x2), giải phương trình ẩn m tìm tham số m B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG B 1: Cho Parabol (P): y x đường thẳng (d) có phương trình: y = 2x - Chứng tỏ đường thẳng (d) parabol (P) có điểm chung Xác định toạ độ điểm chung B Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = -x + parabol (P): y = x2 a) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) b) Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB B 3: Cho hai hàm số (P): y 1 x đường thẳng (d): y x 2 a) Vẽ đồ thị (P) (d) hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (d) B 4: Biết đường cong hình vẽ bên parabol y = ax2 a) Tìm hệ số a b) Gọi M N giao điểm đường thẳng y = x + với parabol Tìm tọa độ điểm M N B 5: Tìm toạ độ giao điểm A B đồ thị hai hàm số y = 2x + y = x2 Gọi D C hình chiếu vng góc A B trục hồnh Tính SABCD B 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) : y = 2x + a) Chứng minh (d) (P) có hai điểm chung phân biệt b) Gọi A B điểm chung (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB ( O gốc toạ độ) B 7: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) đường thẳng (d) qua điểm M (1;2) có hệ số góc k a/ Chứng minh với giá trị k đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B b/ Gọi xA xB hoành độ hai điểm A B Chứng minh xA + xB xA xB = B Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = -x2 đường thẳng (d): y = mx + (m tham số) Tìm m để (d) cắt (P) điểm B 9: Cho Parabol (P): y x đường thẳng (d) có phương trình: y = x + m a) Tìm m để đường thẳng (d) parabol (P) có điểm chung b) Tìm m để đường thẳng (d) parabol (P) cắt hai điểm phân biệt c) Tìm m để đường thẳng (d) parabol (P) khơng có điểm chung B 10: Cho Parabol (P): y x đường thẳng (d) có phương trình: y = ax+b Tìm a b để đường thẳng (d) parabol (P) tiếp xúc điểm A(1;1) B 11: Cho Parabol (P): y x a) Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k qua điểm M(1,5;-1) b) Tìm k để đường thẳng (d) Parabol (P) tiếp xúc c) Tìm k để đường thẳng (d) Parabol (P) cắt hai điểm phân biệt B 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đương thẳng (d): y = mx + a) Chứng minh (d) qua điểm A(0; 5) với giá trị m? b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P): y = x2 hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 (với x1 < x2) cho |x1| > |x2|? B 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2, đường thẳng (d): y = 3x + m2 - a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b) Gọi x1, x2 hoành độ giao điểm (d) (P) Tìm m để: (x1+1)(x2+1) = B 14: Cho parabol (P): y 1 x đường thẳng (d): y mx m2 m 2 a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A, B ( d) ( P) b) Tìm giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 cho: x1 x B 15: Cho parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) : y = 2x – m2 + a) Tìm tọa độ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d) m = b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm nằm hai phía trục tung B 16: Cho Parabol (P): y = - x2 đường thẳng (d) y = mx - a) CMR với m (d) ln cắt (P) điểm phân biệt b) Gọi x1,x2 hoành độ giao điểm (d) (P) Tìm m để : x12x2 + x22x1 - x1x2 = B 17: Cho parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = mx + a) Chứng minh với giá trị m đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt b) Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB theo m ( O gốc toạ độ ) B 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x - m +1 parabol (P): y = x a) Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm A(-1; 3) b) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) , (x2; y2) cho x1x y1 + y2 48 B 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình: y = x2 đường thẳng (d) có phương trình: y = 2mx – 2m + (m tham số) a) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) biết tung độ chúng b) Chứng minh (P) (d) cắt hai điểm phân biệt với m Gọi y1 , y2 tung độ giao điểm (P) (d), tìm m để y1 y2 B 20: Cho Parbol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = (m +2)x – m + Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ dương B 21: Cho parabol y = x2 (P) đường thẳng y = mx (d), với m tham số 1/ Tìm giá trị m để (P) (d) cắt điểm có tung độ 2/ Tìm giá trị m để (P) (d) cắt điểm, mà khoảng cách hai điểm B 22: Cho parabol (P) đường thẳng (d) có phương trình y mx y m x m (m tham số, m 0) a) Với m = –1 , tìm tọa độ giao điểm (d) (P) b) Chứng minh với m đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt B 23: Cho parapol P : y x đường thẳng d : y x m2 (m tham số) 1/ Xác định tất giá trị m để d song song với đường thẳng d ' : y 2m2 x m2 m 2/ Chứng minh với m, d cắt P hai điểm phân biệt A B 3/ Ký hiệu xA ; xB hồnh độ điểm A điểm B Tìm m cho xA2 xB 14 Câu 24: Cho parabol (P): y x đường thẳng (d): y = (m – 1)x – (với m tham số) a) Vẽ (P) b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) điểm có hồnh độ dương c) Với m tìm câu b), xác định tọa độ tiếp điểm (P) (d) Câu 25: Cho parabol (P): y = − x2 đường thẳng (d): y = (3 − m)x + − 2m (m tham số) a) Chứng minh với m ≠ −1 (d) ln cắt (P) điểm phân biệt A, B b) Gọi yA, yB tung độ điểm A, B Tìm m để |yA − yB| = Câu 26: Cho parabol (P): y = 2x2 đường thẳng (d): y = x + − 2m (m tham số) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác AOB vuông O ... phương trình tìm a b - Biết ĐTHS qua điểm (xo ; yo) vng góc (hoặc song song) với đường thẳng cho trước + Yếu tố vng góc (hoặc song song) với đường thẳng cho trước => hệ số góc a + Thay điểm (xo... thẳng cho khơng ? c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng song song với đường thẳng nói câu a Bài 9: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = -2x + thỏa mãn điều kiện : a) Đi... A < B A, B dấu B (+), A > B A, B dấu (-) * Để so sánh biểu thức rút gọn A với số k, ta xét hiệu: A – k + Nếu A – k > A > k + Nếu A – k < A < k * So sánh biểu thức rút gọn A với A + Xác định điều