Luận văn tính chất số học của dãy các số nguyên

Mở đầu Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, các bài toán liên quan tới các tính chất số học của dãy các số nguyên thường xuyên được đề cập Những dạng toán này thường được xem là thuộc loại khó[.]

Mở đầu Trong kì thi học sinh giỏi tốn cấp, tốn liên quan tới tính chất số học dãy số nguyên thường xuyên đề cập Những dạng toán thường xem thuộc loại khó phần kiến thức chun đề khơng nằm chương trình thức giáo trình số học bậc trung học phổ thơng Chun đề nằm chương trình bồi dưỡng HSG lớp THCS phục vụ kỳ thi HSG quốc gia khu vực Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề dãy số nguyên, chọn đề tài luận văn ”Tính chất số học dãy số nguyên” Tiếp theo, khảo sát số lớp toán từ đề thi HSG Quốc gia tỉnh thành nước năm gần Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Một số tính chất số học dãy số nguyên Chương Các dãy số liên quan đến đa thức nguyên phương trình đa thức Tiếp theo, cuối chương trình bày tập áp dụng giải đề thi HSG quốc gia Olympic liên quan Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY SỐ NGUYÊN Trong lý thuyết số, hàm số học có vai trò quan trọng Trong chương này, ta xét số hàm số học cổ điển (Phi hàm Euler, hàm M˝obuis, hàm đếm ước hàm tổng) xét tính chất số học dãy sinh chúng Ta chủ yếu khảo sát lớp hàm số học nhận giá trị nguyên Những trường hợp đặc biệt xét riêng có giải chi tiết Phần lý thuyết phần lựa chọn từ tài liệu [1]-[4] 1.1 Lớp hàm số học cổ điển dãy số liên quan Định nghĩa 1.1 (xem [1],[4]) Hàm số học hàm số có miền xác định tập số nguyên dương miền giá trị tập số thực phức Định nghĩa 1.2 (Hàm nhân tính) Một hàm số học f gọi hàm nhân tính với cặp số m, n nguyên tố nhau, ta có f (nm) = f (n)f (m) Trong trường hợp đẳng thức với m, n nguyên dương (không thiết nguyên tố nhau) hàm f gọi hàm nhân tính mạnh Định lý 1.1 (Tính chất hàm nhân tính) Nếu f hàm nhân tính f ([m, n])f ((m, n)) = f (m)f (n) với số nguyên dương m n Chứng minh Cho p1 , p2 , , pr số nguyên tố chia hết m n Khi n= r Y pki i i=1 m= r Y plii i=1 với k1 , , kr , l1 , , lr số nguyên không âm Suy [m, n] = r Y max(ki ,li ) pi i=1 (m, n) = r Y min(ki ,li ) pi i=1 Do {max(ki , li ), min(ki , li )} = {ki , li } f hàm nhân tính, ta thu f ([m, n])f ((m, n)) = = r Y i=1 r Y max(ki ,li ) f (pi ) r Y min(ki ,li ) f (pi ) i=1 f (pki i ) r Y i=1 f (plii ) i=1 = f (m)f (n) Vậy, ta thu điều phải chứng minh Hệ 1.1 Xét dãy số {un } với un = f (n), f hàm số học nhân tính Khi đó, n hợp số có dạng tắc n= m Y pαk k k=1 un = m Y f (pαk k ) k=1 Vì vậy, sau, ta quan tâm nhiều đến số nguyên tố dãy số nguyên tố Định nghĩa 1.3 Dãy số nguyên tố dãy P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, , pk , } với pk số nguyên tố Ngoài dãy số ngun tố, cịn có dãy tạo lũy thừa số nguyên tố P Tính chất 1.1 Nếu f hàm nhân tính hàm F (n) = f (d) d|n hàm nhân tính Chứng minh Ta rằng, m, n số nguyên dương (m, n) = F (m.n) = F (m)F (n) Giả sử (m, n) = 1, ta có X F (mn) = f (d) d|mn Vì (m, n) = 1, ước số mn viết dạng tích ước d1 m, d2 n d1 , d2 nguyên tố nhau, đồng thời cặp ước nguyên tố d1 m, d2 n tương ứng với d = d1 d2 mn Do đó, ta viết X F (mn) = f (d1 d2 ) d1 |m d2 |n Vì f hàm có tính chất nhân tính (d1 , d2 ) = 1, nên X X X f (d1 )f (d2 ) = f (d1 ) f (d2 ) = F (m)F (n) F (mn) = d1 |m d2 |n 1.1.1 d1 |m d2 |n Phi hàm Euler Tiếp theo, ta xét số hàm số học Định nghĩa 1.4 (Phi hàm Euler ϕ(n)) Cho số tự nhiên n ≥ Ta ký hiệu ϕ(n) số số tự nhiên bé n nguyên tố với n Quy ước ϕ(1) = Định lý 1.2 (xem [4]) Hàm ϕ(n) hàm nhân tính Chứng minh Ta giả thiết a > 1, b > Các số nguyên dương không vượt ab liệt kê sau: a a+1 a+2 2a 2a + 2a + 3a ka + ka + (k + 1)a (b − 1)a + (b − 1)a + ba Các số thành bảng có dạng ax + y , ≤ x ≤ b − 1, ≤ y ≤ a Xét số cột thứ y Ta có (ax + y, a) = (y, a) Vì số nguyên tố với ab nguyên tố với a b, số phải nằm cột thứ y mà (y, a) = Có ϕ(a) cột Xét cột thứ y , với (y, a) = Các số cột y, a + y, 2a + y, , (b − 1)a + y Giả sử rx số dư chia ax + y cho b Như (ax + y, b) = (rx , b) Dễ dàng thấy (a, b) = nên rx1 6= rx2 với x1 6= x2 Như ta có đẳng thức tập hợp r0 , r1 , , rb−1 = 0, 1, , b − Vậy số x mà (ax + y, b) = số x mà (rx , b) = tức ϕ(b) Vậy có ϕ(a)ϕ(b) số nguyên tố với a ngun tố với b Đó số nguyên tố với ab Nói cách khác ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) Từ định lý ta suy công thức tính ϕ(n) sau Định lý 1.3 (xem [20, 30 - 33]) Giả sử n = pα1 pαk k phân tích tắc n > Khi   1  1 ϕ(n) = n − 1− − p1 p2 pk Chứng minh Theo Định lý 1.2, ta có ϕ(n) = ϕ(pα1 ) ϕ(pαk k ) Định lý chứng minh ta chứng tỏ ứng với p số nguyên tố ϕ(pα ) = pα (1 − ) Thật vậy, p nguyên tố nên với k ≤ pα p (k, p) = k p h pα i α Số số k ≤ p bội p = pα−1 p Vậy ϕ(pα ) = pα − pα−1 = pα (1 − ) p Bài toán 1.1 Tính ϕ(360) Lời giải Với n = 360 = 23 32    1 ϕ(360) = 360 − 1− 1− = 96 Bài toán 1.2 Cho n số nguyên dương Chứng minh X ϕ(d) = n d|n Lời giải Tổng lấy theo ước số n Ta phân chia tập hợp số tự nhiên từ đến n thành lớp theo cách sau Lớp Cd gồm số nguyên m, ≤ m < n, mà (m, n) = d Như m thuộc Cd d ước chung m, n (m|d, n|d) = Như vậy, số phần tử Cd số số nguyên dương không vượt n|d nguyên tố với n|d; tức Cd gồm ϕ(n|d) phần tử Vì số nguyên m từ đến n thuộc lớp Cd (d = (m, n)) nên n tổng số thành phần lớp Cd , d ước n Ta có X n ϕ n= d d|n Mặt khác, d chạy qua ước n n|d chạy qua ước n, nên từ suy X ϕ(d) n= d|n Nhận xét 1.1 Tầm quan trọng hàm ϕ(n) số học thể Định lý Euler Sau dạng mở rộng Định lý Euler Định lý 1.4 (Định lý Euler mở rộng) Cho a m hai số tự nhiên Khi am ≡ am−ϕ(m) (mod m) Chứng minh Ta phải chứng minh A = am − am−ϕ(m) = am−ϕ(m) (aϕ(m) − 1) chia hết cho m Giả sử m có phân tích tắc m = q1α1 q2α2 qkαk Ta chứng minh (a, qi ) = (aϕ(m) − 1) q αi , cịn a q am−ϕ(m) q αi , A m Thật vậy, (a, qi ) = theo Định lý Euler αi (aϕ(qi ) − 1) qiαi Mặt khác, ϕ(qiαi ) = qiαi (1 − ) qi ước ϕ(m) (suy từ cơng thức tính ϕ(m)) Do αi (aϕ(m) − 1) (aϕ(qi ) − 1) q αi Nếu a qi am−ϕ(m) q m−ϕ(m) Mặt khác, rõ ràng m − ϕ(m) ≥ αi (vì có αi số không nguyên tố với m q1α1 q2α2 qiαi ) Do am−ϕ(m) q m−ϕ(m) qiαi Định lý chứng minh Định lý 1.5 (Định lý Fermat) Cho p số nguyên tố a số nguyên không chia hết cho p Khi đó, ta có ap−1 ≡ (mod p) Chứng minh Theo giả thiết, ta có ϕ(p) = p − a nguyên tố với p nên theo Định lý Euler, ta thu ap−1 ≡ (mod p) Định lý 1.6 (Định lý Fermat dạng khác) Cho p số nguyên tố a số nguyên tùy ý ta có ap ≡ a (mod p) Chứng minh Nếu a chia hết cho p hiển nhiên ap ≡ a (mod p) Nếu a khơng chia hết cho p theo Định lý 1.5, ta có ap−1 ≡ (mod p) sau nhân hai vế đồng dư thức với a, ta thu ap ≡ a (mod p) Nhận xét 1.2 Ngược lại, từ Định lý 1.6 ta suy Định lý 1.5 Thật vậy, từ ap ≡ a (mod p) a số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p a nguyên tố với p nên cách chia cho a, ta thu ap−1 ≡ (mod p) Chính vậy, người ta nói Định lý 1.6 dạng khác Định lý Fermat Bài tốn 1.3 Tìm số ngun x để 9x + tích hai số nguyên liên tiếp Lời giải Giả sử 9x + = n(n + 1) với n ∈ Z, suy 36x + 20 = 4n2 + 4n Suy 36x + 21 = (2n + 1)2 hay 3(12x + 7) = (2n + 1)2 Số phương (2n + 1)2 chia hết chia hết cho Mặt khác (12x + 7) không chia hết 3(12x + 7) không chia hết cho Mâu thuẫn chứng tỏ không tồn số nguyên x để 9x + = n(n + 1) 1.1.2 Hàm tổng ước Tiếp theo, ta xét hàm tổng ước số tự nhiên Định nghĩa 1.5 (xem [4]) Cho số nguyên dương n Ta ký hiệu σ(n) tổng ước nguyên dương n σ(1) = σ(6) = + + + = 12 σ(2) = + = σ(7) = + = σ(3) = + = σ(8) = + + + = 15 σ(4) = + + = σ(9) = + + = 13 σ(5) = + = σ(10) = + + + 10 = 18 Nếu n ≥ σ(n) ≥ n + Ta sử dụng phép phân tích thành nhân tử n để tính σ(n) Bài tốn 1.4 Tính σ(180) Lời giải Ta có 180 = 22 32 Mọi ước d 180 có dạng d = 2a 3b 5c , với ≤ a ≤ 2, ≤ b ≤ o ≤ c ≤ Ta có X σ(180) = d d|180 = + + + + + + 10 + 12 + 15 + 18 + 20 + 30 + 36 + 45 + 60 + 90 + 180 = (1 + + 3)(1 + + 9)(1 + 5) = 546 Nhận xét 1.3 Ta tính σ(n) theo cách với số nguyên dương n Nếu d ước n d viết dạng Y d= pap , p|n với ≤ ap ≤ νp (n) Khi đó, ta có σ(n) = X d= pa p p|n ap =o d|n = p (n) Y νX Y pνp (n)+1 − p−1 p|n Đây cơng thức biểu diễn σ(n) n Bài tốn 1.5 Tính σ(20) Lời giải Ta có 23 − 52 − σ(20) = σ(2 ) = = 48 Định lý 1.7 (xem [1],[4]) Hàm số học σ(n) hàm nhân tính Chứng minh Giả sử m n hai số nguyên tố Do khơng có số ngun tố ước m n, ta có Y pνp (mn)+1 − σ(mn) = p−1 p|mn = Y pνp (m)+1 − Y pνp (n)+1 − p|m p−1 p|n p−1 = σ(m)σ(n) Vậy định lý chứng minh Định lý 1.8 (xem [1],[4]) a) n số nguyên tố σ(n) = n + n b) σ(n) số lẻ n số phương số phương Chứng minh a) Nếu n số nguyên tố σ(n) = n + Ngược lại, σ(n) = n + n hợp số n có ước 1, a n với (1 < a < n) Vậy σ(n) ≥ n + + a > n + Nếu n = σ(n) = < n + b) Nếu n = m2 n = 2m2 n = 2α pα1 pα2 pαk k , p1 , p2 , , pk số nguyên tố lẻ αi chẵn Khi σ(n) = σ(2α )σ(pα1 )σ(pα2 ) σ(pαk k ) Ta có σ(2α ) = 2α+1 − số lẻ, σ(pαi i ) = + pi + · · · + pαi i số lẻ tổng số lẻ số lẻ Vậy σ(n) lẻ Ngược lại, giả sử σ(n) lẻ, giả sử n = 2α pα1 pα2 pαk k Khi với i, σ(pαi i ) số lẻ Mặt khác σ(pαi i ) = + pi + · · · + pαi i ≡ α1 + (mod 2), nên αi chẵn Do đó, n α chẵn n số phương Nếu α lẻ số phương Bài tốn 1.6 Tìm tất số tự nhiên n có tính chất n chia hết cho ϕ(n), ϕ phi hàm Euler Lời giải Hiển nhiên, n = ϕ(n)|n Ta xét n > Giả sử n có khai triển tắc dạng n = pk11 pki i Ta có  ϕ(n) = n − p1   − pi  Từ điều kiện ϕ(n)|n, chẳng hạn n = xϕ(n), suy p1 pi = x (p1 − 1) (pi − 1) Như vậy, phải có pi (nếu ngược lại vơ lí, vế trái số lẻ, vế phải số chẵn) Giả sử p1 = 2, ta có 2p2 pi = x (p2 − 1) (pi − 1) Do p2 , , pi khác 2, nên từ đẳng thức trên, suy n có nhiều ước nguyên tố lẻ, chẳng hạn p2 Đặt p2 = 2y + Ta có 2p2 = x(2y) Do p2 nguyên tố, nên suy x = p2 , y = Vậy p2 = n có dạng n = 2k 3m , k ≥ 1, m ≥ Dễ dàng thử lại rằng, số n nói thỏa mãn điều kiện (n)|n 1.1.3 Hm s Mă obius nh ngha 1.6 Hm s Măobius c nh ngha nh sau: nu n = µ(n) = (−1)k n tích k số nguyên tố phân biệt  n chia hết cho bình phương số nguyên tố 10 ... Một số dạng toán số học dãy số nguyên Trong phần này, ta trình bày tính chất phương pháp giải tốn dãy số ngun 1.2.1 Các dạng tốn số phương dãy số Trong phần này, ta xét số dạng tốn số phương dãy. ..Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY SỐ NGUYÊN Trong lý thuyết số, hàm số học có vai trị quan trọng Trong chương này, ta xét số hàm số học cổ điển (Phi hàm Euler, hàm M˝obuis,... hàm sinh ước số hàm số học liên quan đến tính tốn ước số số nguyên dương Hàm gắn với phép đếm số ước số số nguyên dạng toán liên quan đến biểu diễn ước số số nguyên dương cho trước Các kết gắn