Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Nội dung Chương 1 được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] và một phần nhỏ trong tài liệu [3] Các kiến thức ở chương này nhằm chuẩn bị những kiến thức cơ bản giúp cho việc tr[.]
Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung Chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] phần nhỏ tài liệu [3] Các kiến thức chương nhằm chuẩn bị kiến thức giúp cho việc trình bày chương sau hệ thống dễ theo dõi Mục 1.1 nhắc lại lý thuyết chia hết tập số nguyên; đồng thời mục nhắc lại khái niệm hệ số nhị thức định lý nhị thức Mục 1.2 nhắc lại khái niệm đồng dư thức thức, hệ thặng dư đầy đủ, định lý Euler, định lý Fermat nhỏ, phương trình đồng dư 1.1 Lý thuyết chia hết tập số nguyên Trong tập hợp số nguyên Z, phép toán cộng, trừ nhân thực được, nhiên phép chia cho số nguyên khác thực được, nghĩa phương trình ax = b, a, b ∈ Z; a 6= khơng phải lúc có nghiệm Z Trong trường hợp ax = b có nghiệm Z, đến khái niệm chia hết Định nghĩa 1.1.1 Giả sử a, b hai số nguyên, b 6= Ta nói b chia hết a hay b ước a kí hiệu b | a có số nguyên q cho a = bq Khi ta nói a chia hết cho b hay a bội b viết a b Khi b khơng chia hết a ta kí hiệu b - a Ví dụ 1.1.2 Trong tập số nguyên Z, ta có (i) −5 chia hết 10 hay 10 chia hết cho −5, 10 = (−2).(−5) (ii) −1 ước số nguyên a a = 1.a = (−1).(−a) (iii) bội số nguyên b 6= = b.0 Chú ý 1.1.3 Nếu b | a a 6= từ a = bq ta có q 6= |q| ≥ |a| = |b|.|q| ≥ |b| Các tính chất chia hết trình bày vắn tắt (i) Số nguyên a ước a = ±1 (ii) Nếu b | a ±b | ±a (iii) Nếu a | b b | a a = ±b (iv) Nếu b | a1 , b | a2 , , b | an , với b, a1 , a2 , , an ∈ Z b | (a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn ), ∀x1 , x2 , , xn ∈ Z Định lý 1.1.4 Với cặp số nguyên a, b cho trước (b 6= 0), tồn cặp số nguyên q, r thỏa mãn hệ thức a = bq + r, ≤ r < |b| Chứng minh Sự tồn cặp số nguyên q, r: Xét tập hợp M gồm bội b không vượt a M = {bx : x ∈ Z, bx ≤ a} Ta thấy −|b|.|a| bội b không vượt a nên M 6= ∅ Hơn nữa, M phận Z bị chặn a M có số lớn nhất, chẳng hạn bq, q ∈ Z Vì |b| ≥ nên ba + |b| > bq , bq + |b| ∈ / M bội b ta có bq ≤ a < bq + |b| hay ≤ a − bq < |b| Đặt r = a − bq ta r ∈ Z, a = bq + r ≤ r < |b| Để chứng minh tính cặp q, r ta giả sử có cặp số nguyên q1 , r1 thỏa mãn hệ thức a = bq + r, ≤ r < |b|; a = bq1 + r1 , ≤ r1 < |b| Từ ta có b(q − q1 ) = −(r − r1 ) |r − r1 | < |b| Khi |b| > |b||q − q1 | = |r − r1 | < |b| ta |q − q1 | < Do |q − q1 | = hay q = q1 kéo theo r = r1 Định nghĩa 1.1.5 Cho a, b số nguyên cho trước, b 6= Khi có đẳng thức a = bq + r, q số nguyên, ≤ r < |b|, ta nói a chia cho b thương q số dư r Kí hiệu a ≡ r (mod b) Chú ý 1.1.6 Trong trường hợp số dư r = 0, ta có a = bq, nghĩa a chia hết cho b Như vậy, phép chia hết trường hợp riêng phép chia có dư Số nguyên d gọi ước chung số nguyên a1 , a2 , , an d ước đồng thời số nguyên Một ước chung d số nguyên a1 , a2 , , an cho ước chung a1 , a2 , , an ước d gọi ước chung lớn (viết tắt ƯCLN) số Các số nguyên a1 , a2 , , an gọi nguyên tố ƯCLN số Số tự nhiên lớn khơng có ước khác ngồi gọi số nguyên tố Chúng ta nhắc lại định lý không đề cập đến chứng minh Định lý 1.1.7 (Định lý bản) Mỗi số tự nhiên lớn phân tích thành tích thừa số nguyên tố phân tích khơng kể đến thứ tự thừa số Nội dung định lý nói lên vai trị quan trọng số nguyên tố tập số tự nhiên: số tự nhiên lớn “cấu tạo” từ số nguyên tố phép nhân, mà biết số nguyên tố số có ước Từ định lý bản, nhà toán học đến ứng dụng như: tiêu chuẩn chia hết, ước chung lớn - bội chung nhỏ Các ứng dụng định lý đề cập chương trình học đại học, luận văn ta bỏ qua không nhắc lại Phần cuối mục ta nhắc lại khái niệm tính chất hệ số nhị thức Định nghĩa 1.1.8 Cho n, r số nguyên không âm, hệ số nhị thức n! r ≤ n ngược lại; ta kí hiệu nr = r!(n−r)! thường kí hiệu hệ số nhị thức Cnr n Từ định nghĩa, ta có n0 = = nn nr = n−r Định lý 1.1.9 (Đồng thức Pascal) Cho n r hai số nguyên n−1 + dương, r ≤ n Khi nr = n−1 r r−1 Chứng minh Ta biến đổi vế phải đưa vế trái: ! ! n−1 n−1 (n − 1)! (n − 1)! + = + r−1 r (r − 1)!(n − r)! r!(n − r − 1)! r(n − 1)! (n − r)(n − 1)! + r(r − 1)!(n − r)! r!(n − r)(n − r − 1)! r(n − 1)! (n − r)(n − 1)! = + r!(n − r)! r!(n − r)! (n − 1)![r + (n − r)] (n − 1)!n = = r!(n − r)! r!(n − r)! ! n! n = = r!(n − r)! r = Định lý sau ta sử dụng hệ số nhị thức để tìm khai triển (x + y)n Định lý 1.1.10 (Định lý nhị thức) Cho x, y hai số thực n P số nguyên không âm Khi (x + y)n = nr=0 nr xn−r y r Chứng minh Chứng minh phương pháp quy nạp Với n = 0, ta có P (x + y)0 = 0r=0 0r x0−r y r = x0 y = Do giả thiết với n = Giả sử định lý với số k ≥ đó, tức ! k X k k−r r (x + y)k = x y (1.1) r r=0 Khi " ! # k X k k−r r (x + y)k+1 = (x + y)k (x + y) = x y (x + y) theo công thức 1.1 r r=0 ! ! k k X k X k = xk+1−r y r + xk−r y r+1 r r r=0 r=0 " ! ! # " k−1 ! ! # k X X k k+1 k k+1−r r k k−r r+1 k k+1 = x + x y + x y + y r r k r=1 r=0 ! ! ! ! k k X X k + k+1 k k+1−r r k k + k+1 = x + x y + xk+1−r y r + y r r − r + r=1 r=1 ! " ! !# ! k X k + k+1 k k k + k+1 = x + + xk+1−r y r + y r r − r + r=1 ! ! ! k k + k+1 X k + k+1−r r k + k+1 = x + x y + y (theo định lý 1.1.9) r r + r=1 ! k+1 X k+1 = xk+1−r y r r r=0 Do theo quy nạp, giả thiết với số nguyên n ≥ 1.2 Đồng dư thức phương trình đồng dư Đồng dư phương pháp có tính chất bổ trợ mặt kỹ thuật để giải đề chia hết vành số nguyên Chúng ta biết tập hợp số dư phép chia số nguyên cho số tự nhiên cho trước tập hữu hạn phần tử, tập hợp số nguyên Z tập vô hạn phần tử Vì ta chuyển việc nghiên cứu Z nghiên cứu tập hợp hữu hạn Định nghĩa 1.2.1 Cho < m ∈ Z a, b ∈ Z Ta nói a đồng dư với b theo modulo m, kí hiệu a ≡ b (mod m), phép chia a b cho m ta số dư, nghĩa có số nguyên q1 , q2 , r với ≤ r < m, cho a = mq1 + r b = mq2 + r Chú ý a ≡ b (mod m), ta nói a, b đồng dư với theo modulo m) Trong trường hợp không xảy a đồng dư với b theo modulo m ta viết a 6≡ b (mod m) Ví dụ 1.2.2 Ta có ≡ 10 (mod 7); −25 ≡ 23 (mod 8) Để thấy ý nghĩa đồng dư thức, ta nhắc lại điều kiện tương đương với định nghĩa định lý sau Định lý 1.2.3 Các mệnh đề sau tương đương (i) a, b đồng dư với theo modulo m; (ii) m chia hết a − b; (iii) Tồn số nguyên t cho a = b + mt Từ định nghĩa định lý trên, dễ dàng suy tính chất đồng dư thức sau đây: Chú ý 1.2.4 [(i)] Quan hệ đồng dư quan hệ tương đương tập Z, nghĩa có tính chất đơn giản sau: • ∀a ∈ Z : a ≡ a (mod m); • ∀a, b ∈ Z : a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m); • ∀a, b, c ∈ Z : a ≡ b (mod m) b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m) (ii) Ta cộng, trừ nhân vế nhiều đồng dư thức theo modulo Cụ thể • a1 ≡ b1 (mod m) a2 ≡ b2 (mod m) ⇒ a1 ± a2 ≡ b1 ± b2 (mod m) Thật vậy, từ a1 ≡ b1 (mod m) a2 ≡ b2 (mod m) ta có t1 , t2 ∈ Z cho a1 = b1 + mt1 , a2 = b2 + mt2 Do a1 ± a2 = b1 ± b2 + m(t1 ± t2 ) ⇒ a1 ± a2 ≡ b1 ± b2 (mod m) • a1 ≡ b1 (mod m) a2 ≡ b2 (mod m) ⇒ a1 a2 ≡ b1 b2 (mod m) Thật vậy, a1 a2 = b1 b2 + m(b2 t1 + b1 t2 + mt1 t2 ) ⇒ a1 a2 ≡ b1 b2 (mod m) (iii) a ≡ b (mod m) ⇒ an ≡ bn (mod m), ∀n ∈ N (iv) Ta chia hai vế đồng dư thức cho ước chung chúng nguyên tố với modulo 10 (v) Ta nhân hai vế modulo đồng dư thức với số nguyên dương Nghĩa a ≡ b (mod m) ⇒ ac ≡ bc (mod mc), ∀c ∈ Z, c > Tương tự, ta chia hai vế modulo đồng dư thức cho ước chung dương chúng Cụ thể a ≡ b (mod m), < δ ∈ Z, δ | ƯCLN(a,b,m) ⇒ b a ≡ δ δ (mod m ) δ Ta biết quan hệ đồng dư theo modulo m quan hệ tương đương tập số nguyên Z tồn tập thương Z quan hệ tương đương Định nghĩa 1.2.5 Tập thương Z quan hệ đồng dư theo modulo m gọi tập lớp thặng dư modulo m kí hiệu Zm Mỗi phần tử A Zm gọi lớp thặng dư modulo m Với A ∈ Zm a ∈ A, ta kí hiệu a = {x ∈ Z | x ≡ a (mod m)} a = A Như vậy, lớp thặng dư A modulo m có dạng a (mod m), với a phần tử tùy ý A Phần tử a gọi đại diện lớp A gọi thặng dư modulo m Ta dễ thấy tập hợp Zm có m phần tử Ví dụ 1.2.6 Trong Z8 , lớp thặng dư (mod 8) = {x ∈ Z : x ≡ (mod 8)} = { − 15, −7, 1, 9, 17, } Nhận xét 1.2.7 (i) ƯCLN lớp thặng dư A với modulo m xác định ƯCLN thặng dư tùy ý lớp với modulo m, kí hiệu ƯCLN(A, m) Nói cách khác ƯCLN(A, m) = ƯCLN(a, m) với a ∈ A (ii) Trong Zm , tập hợp lớp thặng dư nguyên tố với modulo m kí hiệu Z∗m Như Z∗m = {A ∈ Zm : ƯCLN(A, m) = 1} Số phần tử tập hợp Z∗m kí hiệu ϕ(m) (ta gọi hàm Euler) 11 Chú ý 1.2.8 Vì vậy, nói ϕ(m) số tự nhiên không vượt m − nguyên tố với m Ta biết Zm = {1, 2, , m}, nên Z∗m = {a ∈ Zm : ≤ a ≤ m, ƯCLN(a, m) = 1} Ví dụ 1.2.9 Trong Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ta có ƯCLN(0, 8) = 8, ƯCLN(1, 8) = 1, ƯCLN(2, 8) = 2, ƯCLN(3, 8) = 1, ƯCLN(4, 8) = 4, ƯCLN(5, 8) = 1, ƯCLN(6, 8) = 2, ƯCLN(7, 8) = Các lớp nguyên tố với modulo 1, 3, 5, Ví dụ 1.2.10 Ta có ϕ(1) = 1, ϕ(5) = 4, ϕ(9) = 6, Tổng quát ta có ϕ(p) = p − với p số nguyên tố Định nghĩa 1.2.11 Cho < m ∈ N Tập hợp H gồm số nguyên lấy lớp thặng dư Zm số gọi hệ thặng dư đầy đủ modulo m Như vậy, tập hợp H bao gồm số nguyên hệ thặng dư đầy đủ modulo m • Các phần tử H đôi không đồng dư với theo modulo m; • Mỗi số nguyên tùy ý đồng dư theo modulo m với số thuộc H Ví dụ 1.2.12 Với m = ta có {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} hệ thặng dư đầy đủ modulo 8, gọi hệ thặng dư đầy đủ không âm nhỏ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} hệ thặng dư đầy đủ modulo 8, hệ gọi hệ thặng dư đầy đủ giá trị tuyệt đối nhỏ Tổng quát hơn, ta có: H = {0, 1, , m − 1} hệ thặng dư đầy đủ modulo m nóđược gọi hệ thặng dư đầy đủ khơng âm nhỏ Với m−1 m−1 m−1 ,− + 1, , hệ thặng dư m số lẻ, H = − 2 đầy đủ modulo m, gọi lànhệ thặng dư đầy đủ giá trị o tuyệt đối nhỏ m m m Với m số chẵn, H = − , − + 1, , − hệ thặng dư đầy 2 đủ giá trị tuyệt đối nhỏ Định nghĩa 1.2.13 Cho m số nguyên dương Tập hợp K gồm số nguyên lấy lớp nguyên tố với modulo m Z∗m số gọi hệ thặng dư thu gọn modulo m 12 Vậy, tập hợp K gồm số nguyên gọi hệ thặng dư thu gọn modulo m • Các phần tử thuộc K đơi khơng đồng dư với theo modulo m; • Các phần tử thuộc K nguyên tố với modulo m; • Mỗi số nguyên tùy ý nguyên tố với modulo m đồng dư với số thuộc K Ví dụ 1.2.14 Với m = ta có {1, 3, 5, 7} hệ thặng dư thu gọn không âm nhỏ {−3, −1, 1, 3} hệ thặng dư thu gọn giá trị tuyệt đối nhỏ Nếu m = p số nguyên tố {1, 2, , p − 1} hệ thặng dư thu gọn p−1 p−1 , , −2, −1, 1, 2, , không âm nhỏ p > − 2 hệ thặng dư thu gọn giá trị tuyệt đối nhỏ Định lý 1.2.15 (Định lý Euler) Giả sử < m ∈ N a ∈ Z thỏa mãn ƯCLN(a, m) = Khi ta có aϕ(m) ≡ (mod m) Chứng minh Cho x chạy qua hệ thặng dư thu gọn modulo m không âm nhỏ {r1 , r2 , , rϕ(m) } Khi đó, tập hợp {ar1 , ar2 , , arϕ(m) } hệ thặng dư thu gọn modulo m Gọi s1 , s2 , , sϕ(m) thặng dư không âm nhỏ tương ứng lớp với ar1 , ar2 , , arϕ(m) ta có ar1 ≡ s1 (mod m), ar2 ≡ s2 (mod m), arϕ(m) ≡ sϕ(m) (mod m), ta {s1 , s2 , , sϕ(m) } hệ thặng dư thu gọn modulo m không âm nhỏ Bằng cách nhân vế với vế ϕ(m) đồng dư ta aϕ(m) r1 r2 rϕ(m) ≡ s1 s2 sϕ(m) (mod m) Bởi {r1 , r2 , , rϕ(m) } {s1 , s2 , , sϕ(m) } hệ thặng dư thu gọn modulo m không âm nhỏ nên ta có r1 r2 rϕ(m) = s1 s2 sϕ(m) , 13 từ aϕ(m) r1 r2 rϕ(m) ≡ r1 r2 rϕ(m) (mod m) Nhưng tích r1 r2 rϕ(m) nguyên tố với m (vì thừa số nguyên tố với m), nên chia hai vế đồng dư thức cho r1 r2 rϕ(m) ta aϕ(m) ≡ (mod m) Hệ 1.2.16 (Định lý Fermat nhỏ) Cho p số nguyên tố a số nguyên không chia hết cho p Khi ta có ap−1 ≡ (mod p) Chứng minh Theo giả thiết ta có ϕ(p) = p − a nguyên tố với p nên theo định lý Euler ta ap−1 ≡ (mod p) Sử dụng hệ ta có cơng thức khác định lý Fermat sau Định lý 1.2.17 Cho p số nguyên tố a số nguyên Khi ta có ap ≡ a (mod p) Tiếp theo ta nhắc lại kiến thức phương trình đồng dư Định nghĩa 1.2.18 Giả sử g(x), h(x) ∈ Z[x] < m ∈ N Khi đồng dư thức g(x) ≡ h(x) (mod m) f (x) = g(x) − h(x) ≡ (mod m) gọi phương trình đồng dư ẩn Định nghĩa 1.2.19 Cho f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ∈ Z[x] Nếu với x = x0 ∈ Z thỏa mãn f (x0 ) ≡ (mod m) (1.2) ta nói x0 nghiệm phương trình f (x) ≡ (mod m) Giải phương trình đồng dư tìm tập hợp giá trị nghiệm phương trình đồng dư Giả sử g(x), h(x) ∈ Z[x] Hai phương trình đồng dư g(x) ≡ (mod m1 ), h(x) ≡ (mod m2 ) tương đương với tập hợp giá trị nghiệm phương trình tập hợp giá trị nghiệm phương trình Khi ta viết g(x) ≡ (mod m1 ) ⇔ h(x) ≡ (mod m2 ) Sử dụng tính chất đồng dư thức ta có nhiều phép biến đổi tương đương phương trình đồng dư 14 ... 2.4 trình bày ứng dụng cấp cho số nguyên theo modulo vào nhận diện nguyên thuỷ cho số nguyên tố Mục 2.5 khảo sát ứng dụng cấp cho số nguyên modulo vào toán nhận diện số nguyên có nguyên thủy Mục... cấp số số nguyên Nội dung Chương đề cập đến khái niệm ứng dụng cấp cho số nguyên theo modulo, nguyên thủy modulo, số cho số nguyên theo modulo Mục 2.1 đề cập đến khái niệm tính chất cấp cho số. .. 3, 10, 13, 14 15 Như nguyên thủy modulo 19 2, 3, 10, 13, 14 15 2.3 Cấp cho số nguyên theo modulo ứng dụng để kiểm tra tính ngun tố Ta sử dụng khái niệm cấp cho số nguyên theo modulo để phát triển