Đang tải... (xem toàn văn)
1 Mục lục Mở đầu 2 1 Một số kết quả kinh điển về bài toán biểu diễn số nguyên dương 3 1 1 Biểu diễn số nguyên dương dưới dạng tổng của hai bình phương 3 1 2 Một số bài tập minh họa 9 1 2 1 Bài tập 1 9[.]
1 Mục lục Mở đầu Một số kết kinh điển toán biểu diễn số nguyên dương 1.1 Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng hai bình phương 1.2 Một số tập minh họa 1.2.1 Bài tập 1.2.2 Bài tập 1.2.3 Bài tập 1.3 Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng nhiều hai bình phương 10 Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng số hạng cấp số cộng 15 2.1 Những số nguyên dương biểu diễn dạng tổng số lẻ liên tiếp tổng số chẵn liên tiếp 15 2.2 Những số nguyên dương biểu diễn dạng tổng số nguyên dương liên tiếp 26 Kết luận 36 Mở Đầu Vấn đề biểu diễn số nguyên dương vấn đề quan trọng số học, có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác nhận quan tâm của nhà toán học Nhiều nhà toán học tiếng bỏ nhiều cơng sức để nghiên cứu nó, ví dụ Fermat, Lagrange, Wilson, Euler Albert Girard người đưa nhận xét "Mỗi số nguyên tố lẻ mà đồng dư với theo modulo biểu diễn dạng tổng số phương" vào năm 1632 Fermat người chứng minh đưa thông báo thư gửi cho Marin Mersenne năm 1640 Cũng Fermat, Lagrange nhà lý thuyết số kiệt xuất Trong cơng trình ơng, kể đến: chứng minh cho định lý Wilson n số nguyên tố (n − 1)! ≡ −1 (mod n); kiểm tra điều kiện để ±2 ±5 thặng dư phi thặng dư bình phương số nguyên tố lẻ (trường hợp −1 ±3 đề cập Euler); tìm nghiệm nguyên phương trình x2 − ay = lời giải số toán đặt Fermat, dẫn tới kết khẳng định số nguyên tố p ≡ (mod 8) có dạng p = a2 + 2b2 , Mục tiêu luận văn trình bày số kết liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu kể trên, cụ thể toán biểu diễn số nguyên dương dạng tổng bình phương, tốn biểu diễn số ngun dương dạng tổng số hạng cấp số cộng Chương Một số kết kinh điển toán biểu diễn số nguyên dương 1.1 Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng hai bình phương Về mặt lịch sử vấn đề "biểu diễn số nguyên dạng tổng bình phương" toán thu hút nhiều quan tâm ý Phần dành để trình bày số kết hướng nghiên cứu nhằm trả lời câu hỏi "Giá trị n nhỏ để số nguyên dương biểu diễn dạng tổng khơng q n bình phương?" Khi thử với vài số nguyên dương ta thấy: = 12 = + 12 = + 12 + 12 = 22 = 2 + 12 = 2 + 12 + 12 = 2 + 12 + 12 + 12 Do tổng bốn bình phương cần thiết biểu diễn số 7, ta suy số cần tìm phải thoả mãn n ≥ Vẫn khả xảy số nguyên biểu diễn dạng tổng nhiều bốn bình phương Tuy nhiên, định lý tiếng Lagrange chứng minh vào năm 1770, khẳng định n = 4 đủ, nghĩa là: Mọi số nguyên dương biểu diễn thành tổng bốn bình phương (trong = 02 ) Ta trường hợp đơn giản Trước tiên ta tìm điều kiện cần đủ để số nguyên dương biểu diễn thành tổng hai bình phương Vấn đề quy xem xét số nguyên tố bổ đề Bổ đề 1.1.1 Nếu m n tổng hai bình phương tích m.n Chứng minh ( m = a2 + b2 Giả sử với a, b, c, d nguyên n = c2 + d2 Ta có : m.n = (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 Bổ đề chứng minh Ví dụ 1.1 = 2 + 12 = 22 + 5.13 = 65 = 42 + 72 25 = 32 + 42 61 = 52 + 62 25.61 = 1525 = 252 + 302 Tuy nhiên số nguyên hay số nguyên tố viết dạng tổng hai bình phương Ví dụ 1.2 Khơng tồn a, b nguyên dương thỏa mãn = a2 + b2 Và trước chứng minh định lý Fermat ta chứng minh Bổ Đề sau: Bổ đề 1.1.2 Với p số nguyên tố gcd(a, p) = phương trình đồng dư ax ≡ y(modp) có nghiệm x0 , y0 thoả mãn ( √ < |x0 | < p √ < |y0 | < p Chứng minh √ Đặt k = [ p] + tập số nguyên: S = {ax − y|0 ≤ x ≤ k − 1; ≤ y ≤ k − 1} Từ ax − y nhận k > p giá trị, theo nguyên lý chuồng bồ câu Dirichlet tồn hai phần tử tập S đồng dư theo modulo p Giả sử hai phần tử ax1 − y1 ax2 − y2 với x1 6= x2 y1 6= y2 Ta viết: a(x1 − x2 ) ≡ (y1 − y2 )(modp) Đặt ( x0 = x1 − x2 y0 = y1 − y2 Ta có x0 , y0 thỏa mãn phương trình đồng dư ax ≡ y(modp) Nếu nghiệm x0 = y0 = gcd(a, p) = suy nghiệm lại khơng, mâu thuẫn với giả thiết Do đó: ( √ < |x0 | ≤ (k − 1) < p √ < |y0 | ≤ (k − 1) < p Bây ta chứng minh định lý Fermat Định lý 1.1.1 (Định lý Fermat) Một số nguyên tố lẻ p biểu diễn dạng tổng hai bình phương p ≡ 1(mod4) Chứng minh: Giả sử p = a2 +b2 Vì p số nguyên tố nên p | a, p | b (Nếu p | a p | b2 nên p | b dẫn đến mâu thuẫn p2 | p) Vì theo thuyết đồng dư tuyến tính tồn số c để bc ≡ (mod p) Theo modulo p quan hệ (ac)2 + (bc)2 = pc2 trở thành: (ac)2 ≡ −1(modp) Như vậy, (−1) thặng dư bình phương p, theo kết −1 biết, ( ) = p ≡ 1(mod4) p Điều ngược lại, giả sử p ≡ 1(mod4) Vì (−1) thặng dư bình phương p nên tồn số nguyên a " cho # a2 ≡ −1(modp) (p − 1) Một giá trị a thoả mãn : a = ! Do (a, p) = phương trình đồng dư ax ≡ y(modp) nhận nghiệm x0 , y0 ta có −x20 ≡ a2 x20 ≡ (ax0 )2 ≡ y02 (modp) x20 + y02 ≡ 0(modp) Suy x20 + y02 = kp với số nguyên k ≥ Mặt khác theo bổ đề ta có ( √ < |x0 | < p √ < |y0 | < p suy < x20 + y02 < 2p suy k = x20 + y02 = p Vậy định lí chứng minh Để ý (−a)2 = a2 , ta có hệ sau Hệ 1.1.1 Số nguyên tố p có dạng 4k + biểu diễn (không kể thứ tự số hạng) thành tổng hai bình phương Ví dụ 1.3 Xét số nguyên tố p = 13 Số" nguyên#a tương ứng (p − 1) ! = 6! = 720 chứng minh định lý lấy a = Một nghiệm phương trình đồng dư 720x ≡ y(mod13) hay 5x ≡ y(mod13) tìm cách xét tập hợp S = {5x − y|0 ≤ x, y < 4} Các phần tử tập S số nguyên: −1 −2 −3 10 15 14 13 12 Theo modulo 13 trở thành 10 12 11 10 12 Trong số khả khác ta có 5.1 − ≡ ≡ 5.3 − 0(mod13) 5(1 − 3) ≡ 3(mod13) Vì ta lấy ( x0 y0 = −2 =3 để 13 = x20 + y02 = 22 + 32 Chú ý: 13 = 22 + 32 = 22 + (−3)2 = (−2)2 + 32 = (−2)2 + (−3)2 = 32 + 22 = 32 + (−2)2 = (−3)2 + 22 = (−3)2 + (−2)2 Tám cách viết không kể đến thứ tự Nên biểu diễn 13 = 22 + 32 Ta số nguyên tố có dạng p = 4k + biểu diễn thành tổng hai bình phương, câu hỏi đặt là: Số ngun tố tích có chứa thừa số 4k + có tính chất khơng? Để trả lời câu hỏi ta xét định lý sau Định lý 1.1.2 Cho số nguyên dương n có dạng n = N m, m số squarefree (số khơng có ước phương khác 1) Khi n biểu diễn dạng tổng hai bình phương m không chứa thừa số nguyên tố dạng 4k + Chứng minh • Nếu m = n = N + 02 : ln • Giả sử m > 1 Điều kiện đủ: m > 1, ta phân tích m thành tích thừa số nguyên tố m = p1 p2 p3 pr Mỗi số nguyên tố pr = có dạng 4k + 1, viết dạng tổng hai bình phương Khi đồng thức (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 , rằng, tích hai (và theo quy nạp, tích hữu hạn tuỳ ý) số nguyên, mà số biểu diễn dạng tổng hai bình phương, biểu diễn dạng Do tồn hai số nguyên x, y thỏa mãn m = x2 + y , suy n = N m = N (x2 + y ) = (N x)2 + (N y)2 tổng hai bình phương Điều kiện cần: Giả sử n = a2 + b2 = N m Giả sử p ước nguyên tố lẻ tuỳ ý m (khơng tính tổng qt ta giả sử m > 1) Nếu d = gcd(a, p) a = rd b = sd với gcd(r, s) = Ta được: d2 (r2 + s2 ) = N m Do đó, m số squarefree nên suy d2 |N Nhưng r2 + s2 = (N /d2 )m = với t nguyên đó, suy r2 + s2 ≡ (modp) Do gcd(r, s) = nên suy số r s, chẳng hạn r, nguyên tố với p Giả sử r0 thỏa mãn phương trình đồng dư rr0 ≡ (mod p) Khi nhân phương trình r2 + s2 ≡ 0(modp) với (r0 )2 ta được: (sr0 )2 + ≡ 0(modp) Hay nói cách khác (−1/p) = Do (−1) thặng dư bình phương p nên p ≡ 1(mod4) Như vậy, khơng có số ngun tố dạng 4k + ước m Ta có hệ sau Hệ 1.1.2 Một số nguyên dương n biểu diễn dạng tổng hai bình phương thừa số nguyên tố dạng 4k + xuất với lũy thừa chẵn Ví dụ 1.4 Số 459 = 33 17 nên 459 không biểu diễn qua tổng hai bình phương có số mũ lẻ Số 153 = 32 17 biểu diễn qua tổng hai bình phương có số mũ chẵn Chú ý tồn số nguyên dương (không phải số nguyên tố dạng 4k +1) biểu diễn nhiều cách thành tổng hai bình phương, chẳng hạn 25 = 42 + 32 = 52 + 02 , 745 = 272 + 42 = 242 + 132 1.2 1.2.1 Một số tập minh họa Bài tập Biểu diễn số nguyên tố 113; 229; 373 thành tổng hai bình phương Hướng dẫn: 113 = 64 + 49, 229 = 225 + 4, 373 = 324 + 49 1.2.2 Bài tập a) Có giả thuyết nói tồn vơ số số nguyên tố p có dạng p = n2 + (n + 1)2 với số ngun n đó, ví dụ: = 12 + 22 ; 13 = 22 + 32 Tìm số nguyên tố Hướng dẫn: 41 = 42 + 52 số số có tính chất tương tự là: 61, 113, 181, 313 b) Một giả thuyết khác có vơ số số nguyên tố p dạng p = 22 + p21 , với p1 số nguyên tố Hãy tìm số nguyên tố 1.2.3 Bài tập Tìm số ngun dương có ba cách biểu diễn khác thành tổng hai bình phương, khơng tính dấu thứ tự số hạng Hướng dẫn: Chọn số nguyên có thừa số nguyên tố phân biệt dạng 4k + 10 1.3 Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng nhiều hai bình phương Khơng phải số ngun dương viết dạng tổng hai bình phương, với tổng ba bình phương sao? (ở 02 chấp nhận) Ví dụ với số 14; 33; 67 ta không biểu diễn dạng tổng hai bình phương ta lại có: 14 = 32 + 22 + 12 , 33 = 52 + 22 + 22 , 67 = 72 + 32 + 32 Vẫn tìm số nguyên dương không biểu diễn thành tổng ba bình phương Định lý sau nói lên điều Định lý 1.3.1 Khơng có số ngun dương dạng 4n (8m + 7) (với m, n số ngun khơng âm) biểu diễn thành tổng ba bình phương Chứng minh: Trước tiên ta chứng minh số nguyên có dạng 8m + khơng biểu diễn thành tổng ba bình phương Với số nguyên a ta có a2 ≡ 0, 4(mod8) Suy a2 + b2 + c2 ≡ 0, 1, 2, 3, 4, 6(mod8), với a, b, c Vì 8m + ≡ 7(mod8) nên đẳng thức a2 + b2 + c2 = 8m + xảy Tiếp theo ta giả sử 4n (8m + 7) = a2 + b2 + c2 (1.1) với n ≥ Khi số nguyên a, b, c chẵn Đặt a = 2a1 b c = 2b1 = 2c1 ta 4n−1 (8m + 7) = a21 + b21 + c21 Nếu n − ≥ ta lập luận suy 8m + biểu diễn thành tổng ba bình phương Điều mâu thuẫn với (1.1) Vậy định lý chứng minh ... toán biểu diễn số nguyên dương dạng tổng bình phương, tốn biểu diễn số ngun dương dạng tổng số hạng cấp số cộng 3 Chương Một số kết kinh điển toán biểu diễn số nguyên dương 1.1 Biểu diễn số nguyên. .. nội dung biểu diễn số nguyên dương dạng cấp số cộng 2.1 Những số nguyên dương biểu diễn dạng tổng số lẻ liên tiếp tổng số chẵn liên tiếp Cho a, a + 2, a + 4, , b cấp số cộng, với a, b số nguyên. .. Chương Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng số hạng cấp số cộng Một chuỗi dài khám phá khả biểu diễn số nguyên dương nêu bật số liên hệ tính nhân tính cộng chúng Đặc biệt quan tâm đến việc biểu diễn