LƯỢNG TỬ HÓA BIẾN DẠNG TRÊN CÁC QUỸ ĐẠO ĐỐI PHỤ HỢP CỦA MỘT VÀI LỚP NHÓM LIE GIẢI ĐƯỢC 5 CHIỀU Dương Minh Thành* 1 Mở đầu Lượng tử hóa biến dạng là một lĩnh vực nghiên cứu rất được quan tâm trong Toán[.]
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Dương Minh Thành LƯỢNG TỬ HÓA BIẾN DẠNG TRÊN CÁC QUỸ ĐẠO ĐỐI PHỤ HỢP CỦA MỘT VÀI LỚP NHÓM LIE GIẢI ĐƯỢC CHIỀU Dương Minh Thành* Mở đầu Lượng tử hóa biến dạng lĩnh vực nghiên cứu quan tâm Toán học Cơ học lượng tử Mặc dù khái niệm đời sớm phải đến năm 70 kỉ trước người ta phát ứng dụng quan trọng nhờ vào cơng trình sâu sắc Bayen, Fronsdal, Lichnerowicz, Plato Sternheimer Một ứng dụng đáng ý lượng tử hóa biến dạng nghiên cứu biểu diễn nhóm Lie Cụ thể từ việc xây dựng cơng thức lượng tử hóa biến dạng quỹ đạo đối phụ hợp nhóm Lie, ta thu biểu diễn nhóm Lie Áp dụng tính chất này, Arnal, Cortet Ludwig tìm biểu diễn lớp nhóm Lie nilpotent lớp nhóm Lie giải exponent [1] Tuy nhiên, chưa có kết tổng quát tìm cho lớp nhóm Lie giải khơng exponent Một toán đặt tìm lớp đủ rộng nhóm Lie giải có chứa nhóm Lie khơng exponent mà việc xây dựng cơng thức lượng tử hóa quỹ đạo chúng thực Trong q trình nghiên cứu lớp MD-nhóm [2], tức lớp nhóm Lie thực giải mà quỹ đạo đối phụ hợp chúng 0-chiều có chiều cực đại, Đỗ Ngọc Diệp cộng phát rằng, lớp MD-nhóm thích hợp với cơng cụ lượng tử hóa biến dạng Năm 1999, Đỗ Ngọc Diệp Nguyễn Việt Hải xây dựng lượng tử hóa biến dạng K-quỹ đạo lớp MD nhóm (MD-nhóm mà chiều cực đại quỹ đạo đối phụ hợp với chiều nhóm) lớp MD4-nhóm (MD-nhóm chiều), đồng thời đưa biểu diễn unita vô hạn chiều tương ứng lớp nhóm [3,4] Áp dụng phương pháp này, năm 2007, tác giả xây dựng công thức lượng tử hóa đưa biểu diễn unita vơ hạn chiều nhóm thuộc lớp MD5-nhóm (MD-nhóm * Nghiên cứu sinh, Viện Toán học Bourgogne, Dijon, Pháp chiều) [5] Thật không may lớp MD5-nhóm đến chưa phân loại hồn tồn Tuy nhiên, cơng trình gần Lê Anh Vũ Kar Ping Shum, số lớp lớp MD5-đại số (đại số Lie tương ứng với MD5nhóm) liệt kê, có lớp chứa nhiều MD5-đại số [6] Lớp thứ lớp đại số giao hốn, tức có ideal dẫn xuất giao hoán đối chiều Lớp thứ hai có ideal dẫn xuất giao hốn đối chiều Điều gợi ý cho tác giả tiếp tục sử dụng cơng cụ lượng tử hóa biến dạng để tìm biểu diễn hai lớp đại số đặc biệt Nội dung báo xếp sau Chương chủ yếu nêu lại khái niệm quỹ đạo đối phụ hợp nhóm Lie kết liên quan đến toán phân loại MD-nhóm MD-đại số, liệt kê đầy đủ lớp MD5-đại số nêu đối tượng nghiên cứu báo Trong Chương 3, ta nhắc lại số khái niệm liên quan đến lượng tử hóa biến dạng Phương pháp xây dựng cơng thức lượng tử hóa biến dạng quỹ đạo đối phụ hợp mô tả đầy đủ chương kèm theo ví dụ chi tiết, ví dụ dành cho nhóm khơng exponent, ví dụ dành cho nhóm exponent Các biểu diễn lớp MD5-đại số liệt kê Chương Quỹ đạo đối phụ hợp MD5-đại số 2.1 Quỹ đạo đối phụ hợp Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm tác động đối phụ hợp nhóm Lie Cho G nhóm Lie liên thơng đơn liên, g đại số Lie G Với phần tử g ∈ G , ta định nghĩa ánh xạ: A(g) : G →G A(g)(a) = gag −1 Ánh xạ cảm sinh tác động đại số Lie g : A(g)* : g →g X ∈g d dt t =0 g exp(tX )g −1 ∈ g Ta thường kí hiệu tác động Ad Khi tác động đối phụ hợp K nhóm Lie G khơng gian đối ngẫu g* định nghĩa sau: K (g)F , X với := F , Ad (g −1) X F ∈g*, X ∈g and g ∈ G Định nghĩa 2.1 Quỹ đạo tác động K gọi quỹ đạo đối phụ hợp, hay gọi K-quỹ đạo Với F ∈ g* , ta kí hiệu ΩF (hoặc đơn giản Ω ) quỹ đạo đối phụ hợp chứa F, ta có: ΩF = K (G)F = { K (g)F : g ∈ G} ⊆ g* Định nghĩa 2.2 Ta nói nhóm Lie giải G thuộc lớp MDnhóm quỹ đạo đối phụ hợp 0-chiều có chiều cực đại Đại số Lie tương ứng với MD-nhóm gọi MD-đại số Chiều quỹ đạo đối phụ hợp chẵn Hơn nữa, với quỹ đạo ΩF , tồn dạng vi phân tự nhiên liên kết với dạng song tuyến tính khơng suy biến không gian tiếp xúc TF Ω quỹ đạo ΩF : BF ( X ,Y ) = F ,[ X ,Y , X ,Y ∈g ] Dạng symplectic tương ứng gọi dạng Kirillov quỹ đạo đối phụ hợp ΩF Trong trường hợp quỹ đạo đối phụ hợp có số chiều là dim G G gọi MD -nhóm Bài tốn nghiên cứu liệt kê MDnhóm MD-đại số xuất phát từ việc nghiên cứu C* -đại số nhóm Lie giải Đồng thời tốn dẫn tới tốn nghiên cứu không gian phân tạo quỹ đạo đối phụ hợp khơng tầm thường MD-nhóm C* -đại số liên kết với phân Vì ta xét nhóm G liên thơng đơn liên nên việc phân loại MD-nhóm tương đương với việc phân loại MDđại số tương ứng Lớp MD -đại số MDn-đại số (MD-đại số n chiều), n ≤ , liệt kê hoàn toàn [2] Tuy nhiên, chưa có phân loại hồn tồn MDn-đại số, với n ≥ Gần Lê Anh Vũ Kar Ping Shum đưa số lớp lớp MD5-đại số [6], có lớp chứa số lượng đáng kể MD5-đại số mà ta liệt kê 2.2 MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán đối chiều Định lý 2.3: Cho g đại số Lie thực giải chiều, sở g Giả { e1, e2 , e3, e4 , e5} sử ta có ideal dẫn xuất g g1 = [g, g] =< 3e ,4e ,5 e >≅ R3 , đại số Lie g MD-đại số bất khả phân g thỏa mãn điều kiện [ e1 , e2 ] ad = ad ∈ End ( g1 ) ≅ Mat3 (□ ) , , e1 e2 = e3 g đẳng cấu với đại số sau: g : 5,3,1(λ ,λ g5,3,2(λ ) : ) λ1 0 ade = λ λ1, λ2 ∈ □ \ { 0,1} , λ1 ≠ λ2 ; 0 1 λ ∈ □ \ { 0,1} 1 ad e = ; 0 00 λ g5,3,3(λ ) : g5,3,4 : λ 0 ad = λ ∈ □ \ {1} ; e 00 1 0 ad e = 00 1 g5,3,5(λ ) : λ 0 g5,3,6(λ ) : g5,3,7 : ade = 1 ; λ ∈ □ \ {1} 0 1 1 ade = 0 ; λ ∈□ \ { 0,1} 0 λ 1 0 ad e = 1 0 1 ad e g : 5,3,8(λ ,ϕ ) cos ϕ = sin ϕ −sin ϕ cosϕ 0 ; λ ∈ □ \{0},ϕ ∈(0,π ) λ Chú ý 2.4: Một nhóm Lie đơn liên giải G exponent ánh xạ ad : g →g khơng có giá trị riêng ảo Do đó, dễ dàng kiểm tra X rằng, nhóm Lie tương ứng với đại số g , g5,3,2(λ ) , g5,3,3(λ ) , g5,3,4 , 5,3,1(λ ,λ ) g5,3,5(λ ) , g , g5,3,7 , g 5,3,6(λ ) exponent nhóm Lie tương ứng với đại số π 5,3,8 λ ,ϕ ≠ 2 g π không exponent 5,3,8 λ ,ϕ = 2 2.3 MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hốn đối chiều Định lý 2.5: Cho g đại số Lie thực giải chiều, sở g Giả sử ta có ideal dẫn { e1, e2 , e3, e4 , e5} xuất g g1 = [g, g] =< 2e ,3e ,4 e 5, e >≅ R4 , g MD-đại số bất khả phân g thỏa mãn điều kiện đại số sau: ade ∈ End(g1) ≅ Mat4(□) λ1 λ2 : ad = g 5,4,1(λ1 ,λ2 ,λ3 ) e1 0 λ3 0 λ1 g 5,4,2(λ1,λ2 ) : ad = e1 0 g đẳng cấu với 0 ; λ,λ , λ 0 0 0 ; 1 λ ∈□ \ { 0,1} λ, λ ∈ □ \ { 0,1} , λ ≠ λ 0 1 2 g5,4,3(λ ) : λ 0 λ ad = ; e1 0 0 0 0 0 λ ∈ □ \ 0,1 { } 0 λ g5,4,4(λ ) ade = 0 1 : g5,4,5 : ade 0 0 λ ∈ □ \ { 0,1} 0 0 0 1 ; 0 0 0 = 0 0 0 0 0 1 λ1 g : ad = λ 0 e1 1 ; 0 ∈ □ \ { 0,1} , λ ≠ λ 5,4,6(λ1 ,λ2 ) λ, λ 1 g5,4,7 (λ ) : g5,4,8(λ ) : g5,4,9(λ ) : λ ad = e1 0 λ ad = e1 0 λ 0 0 0 ; λ ∈ □ \ { 0,1} 0 λ 1 0 1 0 ; λ ∈ □ \ { 0,1} λ 0 1 0 1 0 0 1 0 ; 1 0 1 1 0 g5,4,10 : ad e = ; e1 0 1 0 0 ad = 1 λ ∈ □ \ { 0,1} λ ∈ □ \ { 0,1} Fp ( f )( x, q ) = ( ∫ phép biến đổi Fourier ngược: F p−1 ( f q) = )( n / e−ip.x f 2π ) p, q) dp ( x, q) dx Rn ( p, ( ∫ 2π ) n/2 eip.x f Rn ( Hiển nhiên rằng, nhóm Lie G liên thơng đơn liên exp l A biểu diễn G Hơn nữa, G nhóm exponent tất biểu diễn unita vơ hạn chiều G có dạng l A Mục tiêu báo tìm tất toán tử đại số Lie liệt kê l A Phương pháp xây dựng cơng thức lượng tử hóa biến dạng chia làm bước: 1) Mô tả tường minh quỹ đạo đối phụ hợp nhóm Lie G Cách mơ tả thao khảo chi tiết [7] 2) Đưa công thức ánh xạ symplectic ψ thỏa mãn tính tương thích atlas Bước dể dàng thực nhờ vào công thức mô tả quỹ đạo đối phụ hợp Vấn đề lại kiểm tra tính tương thích ánh xạ ψ 3) Từ hàm Hamilton, ta nhận công thức lượng tử hóa biến dạng quỹ đạo đối phụ hợp Khi ta thu biểu diễn đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G Ví dụ 1: Xét nhóm Lie G5,3,8(λ ,ϕ tương ứng với đại số Lie g = g5,3,8(λ ,ϕ ) G5,3,8(λ ,ϕ ) , ) nhóm exponent ϕ≠ π Các móc Lie g5,3,8(λ ,ϕ ) viết lại ) sau: Gọi [ e2 , e3 ] = cosϕ.e3 + sin ϕ.e4 , [ e2 , e4 ] = −sin ϕ.e3 + cosϕ.e4 , g* không gian đối ngẫu g sở đối ngẫu tương ứng {e ,e * * [ e2 , e5 ] } , e3*, e4*, e5* = λe5 , giả sử F = αe1* + βe2* + γ e3 * + δe4 * + σ5e * ∈g* Khi quỹ đạo đối phụ hợp G chứa F mơ tả sau: Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Dương Minh Thành x = α + cosϕ -eqcosϕ cos(ϕ -qsinϕ ) γ + − sin ϕ + e qcosϕ ϕ-qsinϕ) δ sin( y= p z = γeqcosϕ cos(qsinϕ)+δeqcosϕsin(qsinϕ) p, q ∈ R qcos bcosϕ cos(qsinϕ) t = − γ ϕ sin(qsinϕ) + δe e s = σeλq Nếu ϕ ≠ π , ta có kết sau: ΩF ⊂ g* , ánh xạ Mệnh đề 3.3: Với quỹ đạo khơng tầm thường symplectic tồn cục ψ có công thức: ( ψ ( p, q) = α + γ ( cos ϕ − eqcosϕ cos(ϕ − q sin ϕ ) ) + δ ( − sin ϕ + eqcosϕ sin(ϕ − q sin ϕ ) ) , p, γeqcosϕ cos(q sinϕ) + δeqcosϕ sin(q sinϕ), − γeqcosϕ sin(q sinϕ) + δeqcosϕ cos(q sinϕ),σeλq ) ∈Ω F Hơn nữa, ( Ω ,ψ ) F −1 tạo thành atlas tương thích Chứng minh: Để chứng minh (Ω F ) ,ψ −1 tạo thành atlas tương thích ta cần phải chứng minh dạng Kirillov atlas có dạng chuẩn tắc, tức ω = dp ∧ dq Điều dễ dàng suy trực tiếp từ việc tính tốn so sánh cơng thức ξA ⊗ ξB , ∈g A = ae1 + be2 + ce3 + de4 + fe5 , F ,[ A, B] , B = a 'e1 + b 'e2 + c 'e3 + d 'e4 + f 'e5 Từ công thức hàm Hamilton A : ( ( ) ( A ψ ( p, q) = a α + γ cos ϕ − eqcosϕ cos(ϕ − q sin ϕ ) + δ − sin ϕ + eqcosϕ sin(ϕ − q sin ϕ ) +c ( γe qcosϕ ) cos(q sinϕ) + δeqcosϕ sin(q sinϕ) +d ( − γe qcosϕ ) sin(q sinϕ) + δeqcosϕ cos(q sinϕ) )) + bp + + f σ e λq 19 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 ta có định lý sau: Định lý 3.4: Biểu diễn đại số g nhận từ lượng tử hóa biến dạng có cơng thức sau: 20 ... nói nhóm Lie giải G thuộc lớp MDnhóm quỹ đạo đối phụ hợp 0 -chiều có chiều cực đại Đại số Lie tương ứng với MD -nhóm gọi MD-đại số Chiều quỹ đạo đối phụ hợp chẵn Hơn nữa, với quỹ đạo ΩF , tồn dạng. .. đủ lớp MD5-đại số nêu đối tượng nghiên cứu báo Trong Chương 3, ta nhắc lại số khái niệm liên quan đến lượng tử hóa biến dạng Phương pháp xây dựng cơng thức lượng tử hóa biến dạng quỹ đạo đối phụ. .. đại số Poisson đối phụ hợp Ω có dạng: ( C ( Ω) ,{ ,} ) ∞ Hơn dạng symplectic ω quỹ đạo ω ( ξA , ξB ) = BF ( A, B ) = F ,[ A, B] ; A, B ∈g Trong trường hợp quỹ đạo đối phụ hợp nhóm Lie G vi phơi