1303 NHÓM CON CỦA NHÓM NHÂN CỦA ĐẠI SỐ NHÓM.docx

TẠP CHÍ KHOA HỌCHO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINHJOURNAL OF SCIENCE Tập 18, Số (2021): 1064-1070Vol 18, No (2021): 1064-1070 ISSN: 2734-9918 Website: Bài báo nghiên cứu NHÓM CON CỦA NHÓM NHÂN CỦA ĐẠI SỐ NHÓM Lê Văn Chua Trường Đại học An Giang, Việt Nam Tác giả liên hệ: Lê Văn Chua – Email: lvchua.tag@moet.edu.vn Ngày nhận bài: 14-4-2021; ngày nhận sửa: 21-4-2021; ngày duyệt đăng: 12-5-2021 TĨM TẮT ∗ Cho G nhóm F trường Một nhóm H nhóm nhân (FG) đại số nhóm FG gọi gần chuẩn tắc tồn dãy nhóm  H1  H = Hr ≤ Hr −1 ≤ cho với hạn ir, H 0= (FG)∗ , Hi+1 có số hữu Hi+1 nhóm chuẩn tắc Hi Hi Trong báo này, chứng minh G nhóm luỹ linh hữu hạn, F trường pythagore, F thừa nhận thứ tự archimedes đại số chia quaternion A AF = ( −1, F đẳng cấu với đại số quaternion thơng thường nhóm gần chuẩn tắc −1) F nhóm nhân (FG)∗ đại số nhóm FG chuẩn tắc (FG)∗ Từ khóa: nhóm gần chuẩn tắc; đại số nhóm; Trường pythagore Giới thiệu Cho G nhóm Một nhóm H G gọi chuẩn tắc G tồn dãy nhóm H = Hr H1 H0 = G, Hr −1 H gần chuẩn tắc G tồn dãy nhóm H = Hr ≤ Hr −1 ≤ ≤ H1 ≤ H0 = G, cho với hữu hạn Hi ir, Hi+1 nhóm chuẩn tắc Hi Hi+1 có số (Hartley, 1989) Theo định nghĩa trên, ta dễ dàng nhận thấy nhóm chuẩn tắc nhóm nhóm gần chuẩn tắc Lớp nhóm gần chuẩn tắc nhóm tuyến tính tổng quát nghiên cứu Wehrfritz (1993) Gần đây, tác giả Nguyen, Mai Bui (2017) chứng minh rằng, D vành chia với tâm vô hạn n số ngun dương lớn nhóm gần Cite this article as: Le Van Chua (2021) Subgroups of the unit groups of a group algebra Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 18(6), 1064-1070 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM chuẩn tắc GLn ( D) Lê Văn Chua chuẩn tắc Tuy nhiên, với n = 1, tức với nhóm nhân GL ( D ) = vành chia D kết khơng cịn Cụ thể có nhiều lớp D∗ vành chia chứa nhóm gần chuẩn tắc không chuẩn tắc Greenfield (1978), xây dựng nhóm chuẩn tắc (do gần chuẩn tắc) vành chia, không chuẩn tắc Các tác giả Trinh, Mai Bui (2020) xây dựng ví dụ nhóm gần chuẩn tắc vành chia, khơng chuẩn tắc khơng chuẩn tắc Le (2019) chứng minh gần chuẩn vành chia quaternion thực nhóm Trong báo này, mở rộng tắc nhóm nhân chuẩn tắc kết luận cách chứng minh A đại số chia quaternion trường pythagore F , F thừa nhận thứ tự archimedes A đẳng cấu với đại số chia quaternion thông thường A = (−1, F −1)F nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân A∗ chuẩn tắc A∗ Áp dụng kết này, chứng minh G nhóm luỹ linh hữu hạn, F trường pythagore, F thừa nhận thứ tự archimedes đại số chia quaternion A F đẳng cấu với đại số quaternion thông thường AF = ( −1, −1) F nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân (FG)∗ đại số nhóm FG chuẩn tắc (FG)∗ Các kí hiệu báo kí hiệu thường dùng Chẳng hạn, D vành chia Z ( D) kí hiệu tâm D, tức Z ( D) gồm phần tử giao hoán với phần tử lại D, tập hợp ∗ D = D \ { 0} nhóm nhân D Giả sử G nhóm D∗ Ta nói G nhóm trung tâm G ⊆ Z ( D ) Nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân đại số nhóm trường pythagore Giả sử F trường Ta nói F trường thực hình thức −1 khơng tổng bình phương F Chú ý trường thực hình thức ln có đặc số Tuy nhiên, trường có đặc số chưa trường thực hình thức, chẳng hạn trường số phức Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Văn Chua Một trường F gọi pythagore trường thực hình thức tổng bình phương F lại bình phương F Ví dụ, trường số thực pythagore, trường số hữu tỉ khơng pythagore Nếu F trường thực hình thức F có thứ tự tiêu chuẩn Artin-Schreier Giả sử ≤ thứ tự F Nhắc lại rằng, giá trị tuyết đối F ánh xạ :F→ 0 thoả mãn điều kiện sau: (i) α = α = (ii) αβ = α β với α , β ∈ F Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM (iii) α+ β với α , β ∈ F ≤α+ β Ta nói ε∈ F Tập 18, Số (2021): 10641070 vô bé n ≤1 với số nguyên dương n Một thứ tự ≤ ε F gọi khơng archimedes F có phần tử vơ bé khác 0, ngược lại, gọi archimedes Cho F trường a, b ∈ F ∗ Nhắc lại rằng, đại số chia quaternion A = (a,b)F F đại số chia F sinh phần tử i j thoả mãn i2 = a, j2 = b, ij = − ji Đặt k = ij ∈ A Chú ý k = −ab, ik = −ki = aj, kj = − jk = bi Khi a = b = −1, chia quaternion F = t AF = (−1, −1)F gọi đại số quaternion thông thường F Đặc biệt, A gọi vành chia quaternion thực kí hiệu xi yj zk A, ta liên hợp α gọi α ∈ A định nghĩa t2 N Chú A(1) ý A* | N đại số txiyjzk Giả sử A Chuẩn ax by2abz N N N với , A Đặt Dễ dàng kiểm tra A(1) nhóm chuẩn tắc không trung tâm A* Để đến kết luận báo này, trước hết, ta nhắc lại khái niệm lõi nhóm nhóm Lõi nhóm H nhóm G định nghĩa CoreG H aHa aG Chú ý CoreG H nhóm chuẩn tắc lớn G chứa H Hơn nữa, số G : H hữu hạn G : CoreG H chuẩn tắc có số hữu hạn G, hữu hạn Nếu H nhóm an H với a G:H n, G Tiếp theo, ta cần nhắc đến khái niệm đồng thức nhóm Giả sử G nghĩa G Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 1064sao1070 cho a giao hoán với phần nhóm với tâm Z ( G) tập hợp tất phần tử a tử g G, ,xn x ,x , x 12,x , ,x n n biến khơng giao hốn Một biểu thức có dạng a 1xm a xm i2 i 1 a txm a it t t gọi đơn thức suy rộng G, a j j i 1, 2,,t1, điều kiện j ij mj m G, ij 1,2,,n , kéo theo không thuộc Z G , aj với Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Văn Chua (Golubchik, & Mikhalev, 1982; Tomanov, 1985) Giả sử H nhóm G Ta nói G đồng thức H H thỏa đồng thức c1,c2, ,cn với c1 ,c2 ,,cnH Các tác giả Nguyen, Mai Bui (2017) chứng minh kết sau: Mệnh đề 2.1 Cho D vành chia với tâm F vô hạn H nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân D∗ Khi đó, H thỏa đồng thức D∗ H nhóm trung tâm Kết luận sau coi mở rộng kết Mahmoudi (2020) Mệnh đề 2.2 Cho A đại số chia quaternion trường pythagore F , F thừa nhận thứ tự archimedes A đẳng cấu với AF Giả sử H nhóm khơng trung tâm A Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i) H nhóm gần chuẩn tắc A (ii) H nhóm chuẩn tắc A (iii) H nhóm chuẩn tắc A (iv) H chứa A(1) (iv) Chứng minh Ta cần chứng minh (i) Giả sử H nhóm khơng trung tâm A Bởi kết luận Casolo Mainardis (2001), H chứa nhóm K A∗ cho K nhóm chuẩn tắc A∗ số [ H : K hữu hạn Đặt ] N = CoreH ( K ) lõi K H Dễ dàng nhận thấy N nhóm chuẩn tắc A∗ nhóm thương H N hữu hạn Ta chứng minh N nhóm khơng trung tâm A∗ Thật vậy, giả sử N nhóm trung tâm A∗, tức N ⊆ F Khi đó, với a ∈ H, ta có an ∈ N ⊆ F n cấp nhóm thương H N Lấy phần tử α ∈ A \ F Rõ ràng H thỏa đồng thức trung tâm xnα x−nα n −n = A Theo Mệnh đề 2.1, H nhóm A∗ Điều dẫn đến mâu thuẫn Do N nhóm khơng trung tâm Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Văn Chua A∗ Bởi A(1) H chứa A(1) kết luận Mahmo udi (2020), N chứa Mệnh đề chứng minh Như hệ Mệnh đề 2.2, ta nhận kết sau: Hệ 2.3 F thừa nhận F Cho A đại số chia quaternion trường pythagore , thứ tự archimedes A đẳng cấu với AF Khi đó, nhóm gần chuẩn tắc nhóm Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 10641070 A∗ nhân A∗ chuẩn tắc Áp dụng Hệ 2.3 để nghiên cứu cấu trúc nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân đại số nhóm Cho G nhóm F trường Nhắc lại rằng, đại số nhóm FG tập hợp tất phần tử có dạng ∑ ag g, ag ∈ F Phép toán cộng g∈G phép toán nhân FG cho g +  ∑ bg g  = ∑( ag + bg ) g g∈G   g∈G  g∈G a g ∑ ∑b h ∑ a g = b g,   h h∈G h h−1g  g   h∈G  g∈G     ∑a g ( ) Bây ta phát biểu chứng minh kết báo Định lí 2.4 Cho G nhóm luỹ linh hữu hạn F trường pythagore Giả sử F thừa nhận thứ tự archimedes đại số chia quaternion A F đẳng cấu với AF Khi đó, nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân (FG)∗ đại số nhóm FG chuẩn tắc (FG)∗ Chứng minh Giả sử H nhóm gần chuẩn tắc (FG)∗ Ta chứng minh H nhóm chuẩn tắc (FG)∗ Thật vậy, H nhóm trung tâm (FG)∗ rõ ràng H chuẩn tắc (FG)∗ Giả sử H nhóm khơng trung tâm (FG)∗ Chú ý F trường có đặc số Bởi kết luận Roquette (1958), tồn , nk số nguyên dương n1, n2, σ : FG →Mn Mn đẳng cấu Khi đại số chia quaternion ( A1 ) × ( A2 ) × × Mn k A1, A2 , ( F cho Ak ) σ cảm sinh đẳng cấu mà ta kí hiệu lại σ , σ : (FG) →GL ∗ , Ak ( A ) ×GL ( A )× A) Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM n1 n2 GLn  k Tập 18, Số (2021): 10641070 k Với ≤ i ≤ k, ta xét phép chiếu tắc π i : GLn ) ×GLn ( A1 ( A2 GLn  )× k Ak ) →GLn ( i Do H nhóm gần chuẩn tắc (FG)∗ Ai ) σ đẳng cấu nên dễ dàng kiểm tra ( A2 ) × GLn  σ k (H ) nhóm gần chuẩn tắc GLn ( A1 ) ×G Ln 10 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 10641070 Ak ) Chú ý σ ( H ) có dạng σ ( H ) = H1 × H2 ×× H k , 11 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Hi Lê Văn Chua nhóm GLn ( Ai ) với 1≤ i ≤ k Rõ ràng nhóm i πi ( σ ( H ) ) = Hi gần chuẩn tắc GLn ( Ai ) Nếu ni H nhóm chuẩn tắc GLn i i ≥2 ) kết luận Nguyen, Mai Bui (2017) Nếu ni = Hi GLn i số ( GLn ( ) ×GLn nhóm chuẩn tắc i A1 ni Điều dẫn đến σ ( H ) ( A2 ) × GLn  Ai i Ai ) Hệ 2.3 Do Hi nhóm chuẩn tắc GLn nguyên dương ( ( Ai ) với nhóm chuẩn tắc nhóm Ak ) Như hệ quả, ta có H nhóm chuẩn tắc k (FG)∗ Định lí chứng minh Kết luận Cho G nhóm luỹ linh hữu hạn , F trường pythagore F thừa nhận thứ tự archimedes đại số chia quaternion A F đẳng cấu với đại số quaternion thông thường AF Khi đó, chúng tơi nhận cấu trúc nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân đại số FG là, nhóm nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân (FG)∗ đại số nhóm FG chuẩn tắc (FG)∗ Với nhóm G trường F bất kì, chúng tơi tiếp tục nghiên cứu cấu trúc nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân (FG)∗ đại số nhóm FG  Tuyên bố quyền lợi: Tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Casolo, C., & Mainardis, M (2001) Groups in which every subgroup is f-subnormal J Group Theory, 4, 341-365 Golubchik, I Z., & Mikhalev, A V (1982) Generalized group identities in the classical groups Zap Nauch Semin Lomi An SSSR, 114, 96-119 12 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Văn Chua Greenfield, G R (1978) A note on subnormal subgroups of division algebras Can J Math, 30, 161-163 Hartley, B (1989) Free groups in normal subgroups of unit groups and arithmetic groups Contemp Math, 93, 173-177 Hazrat, R., & Wadsworth, A R (2009) On maximal subgroups of the multiplicative group of a division algebra J Algebra, 322, 2528-2543 Le, V C (2019) Nhom cua nhom nhan vanh chia quaternion thuc [Subgroups of the multiplicative group of the division ring of real quaternions] Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 12(16), 975-981 13 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 10641070 Mahmoudi, M G (2020) On normal subgroups of the unit group of a quaternion algebra over a pythagorean field Bull Iran Math Soc, 46, 253-262 Nguyen, K N., Mai, H B., & Bui, X H (2017) Free subgroups in almost subnormal subgroups of general skew linear groups Algebra i Analiz, 28(5), 220-235, English translation in St Petersburg Math J., 28(5), 707-717 Roquette, P (1958) Realisierung yon Darstellungen endlicher nilpotenter Gruppen Archiv Math 9, 241-250 Tomanov, G M (1985) Generalized group identities in linear groups Math USSR, Sbornik, 51, 33-46 Trinh, T D., Mai, H B., & Bui, X H (2020) On division subrings normalized by almost subnormal subgroups in division rings Periodica Mathematica Hungarica, 80, 15-27 Wehrfritz, B A F (1993) A note on almost subnormal subgroups of linear groups Proc Am Math Soc, 117(1), 17-21 SUBGROUPS OF THE UNIT GROUPS OF A GROUP ALGEBRA Le Van Chua An Giang University, Vietnam Corresponding author: Le Van Chua – Email: lvchua.tag@moet.edu.vn Received: April 14, 2021; Revised: April 21, 2021; Accepted: May 12, 2021 ABSTRACT Let G be a group and F a field A subgroup H of the unit group (FG)∗ of the group algebra FG is said to be almost subnormal if there exists a sequence of subgroups H = (FG)∗ , H = Hr ≤ Hr −1 ≤  H1  such that for any ≤ i < r, either Hi+1 is normal in Hi or Hi+1 has the finite index in Hi In this paper, we show that if G is a finite nilpotent group, F is a pythagorean field, F admits only archimedean orderings, and every quaternion division algebra A over F is isomorphic to the ordinary quaternion algebra A = (−1, −1) , then almost every subnormal subgroup of the unit F F 14 group (FG)∗ of the group algebra FG is normal in (FG)∗ Keywords: almost subnormal subgroup; group algebra; pythagorean field ... tắc nhóm nhân đại số FG là, nhóm nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân (FG)∗ đại số nhóm FG chuẩn tắc (FG)∗ Với nhóm G trường F bất kì, chúng tơi tiếp tục nghiên cứu cấu trúc nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân. .. nghiên cứu cấu trúc nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân đại số nhóm Cho G nhóm F trường Nhắc lại rằng, đại số nhóm FG tập hợp tất phần tử có dạng ∑ ag g, ag ∈ F Phép tốn cộng g∈G phép toán nhân FG cho g... 2.4 Cho G nhóm luỹ linh hữu hạn F trường pythagore Giả sử F thừa nhận thứ tự archimedes đại số chia quaternion A F đẳng cấu với AF Khi đó, nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân (FG)∗ đại số nhóm FG chuẩn