1231 Phạm trù mô hình và tính duy nhất của phạm trù ổn định.docx

Phan Duy Nhất Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ PHẠM TRÙ MÔ HÌNH VÀ TÍNH DUY NHẤT CỦA PHẠM TRÙ ỔN ĐỊNH PHAN DUY NHẤT* TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi giới thiệu phạm trù mơ hình chứng minh tính cấu trúc phạm trù mơ hình sai khác phép tương đương Quillen Cho C phạm trù mơ hình ổn định Nếu phạm trù đồng luân C phạm trù đồng luân – địa phương phổ tương đương với ý nghĩa phạm trù tam giác phân tồn tương đương Quillen C phạm trù mơ hình – địa phương phổ Từ khóa: phạm trù mơ hình, đồng ln, Quillen ABSTRACT Model category and the uniqueness of the stable category In the paper, we introduce model category and prove the uniqueness of model category structure underlying Quillen equivalence Let C be a stable model category If the homotopy category of C and the 2-local homotopy category of spectra are equivalent as triangulated categories, there exists a Quillen equivalence between C and the 2-local model category of spectra Keywords: model category, homotopy, Quillen Giới thiệu kiến thức chuẩn bị Phạm trù đồng luân ổn định nghiên cứu tôpô đại số thời gian dài Người ta xây dựng nhiều dạng mơ hình cho phạm trù đồng ln ổn định việc tính tốn nhóm đồng ln phụ thuộc vào mơ hình xây dựng Chúng tơi nghiên cứu tính cấu trúc mơ hình sai khác phép tương đương Quillen Định nghĩa 1.1 Cho f , g hai cấu xạ phạm trù C Chúng ta gọi f co rút g tồn sơ đồ giao hoán sau: X ↓ f X' * i→ Y ↓g i ' → Y ' r→ X ↓ f r ' → X ' ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM Trong đó: r oi = Id X r 'oi ' = Id X ' Định nghĩa 1.2 Một phạm trù mơ hình phạm trù C với loại lớp cấu xạ: i) Tương đương yếu ii) Phân thớ iii)Đối phân thớ Mỗi lớp cấu xạ bảo toàn quan hệ hợp thành chứa tất cấu xạ đồng Mỗi cấu xạ vừa phân thớ (tương ứng đối phân thớ) vừa tương đương yếu gọi phân thớ khơng tuần hồn (tương ứng đối phân thớ khơng tuần hồn), cho chúng thỏa mãn tiên đề sau: MC1: Tích trực tiếp tổng trực tiếp hữu hạn tồn C MC2: Nếu f g hai cấu xạ C cho g o f định nghĩa hai ba cấu xạ f , g, g o tương đương yếu cấu xạ cịn lại tương đương yếu f MC3: Nếu f co rút g g phân thớ, đối phân thớ hay tương đương yếu f MC4: Cho sơ đồ giao hoán sau A ↓i B f → X ↓p g → Y Tồn nâng lên sơ đồ giao hoán (nghĩa là, tồn cấu xạ h : B →X cho sơ đồ có dịng giao hốn h = p o f = g oi ) thỏa mãn hai điều kiện sau: i) i đối phân thớ p phân thớ không tuần hồn ii) i đối phân thớ khơng tuần hoàn p phân thớ MC5: Một cấu xạ f biểu diễn hai cách sau: i) f = p oi , i đối phân thớ p phân thớ khơng tuần hồn ii) f = p oi , i đối phân thớ khơng tuần hồn p phân thớ Chú ý: Từ sau kí hiệu C phạm trù mơ hình Phạm trù mơ hình C có vật đẩy phổ dụng θ vật kéo phổ dụng ∗ Một vật A nói có tính đối phân thớ θ →A đối phân thớ có tính phân thớ A →∗ phân thớ Ví dụ: Chúng ta định nghĩa cấu trúc mơ hình phạm trù khơng gian tơpơ Top Cho B không gian tôpô A không gian B Ánh xạ nhúng i : A →B gọi đối phân thớ Hurewicz đóng A khơng gian đóng B i có tính mở rộng đồng ln, nghĩa với khơng gian tơpơ Y sơ đồ giao hốn sau: B × ∪ A × [0,1] → Y ↓ ↓ B × [0,1] → ∗ tồn ánh xạ h : B ×[0,1] → cho sơ đồ có dịng giao hoán Y Một ánh xạ p : X →Y hai không gian tôpô gọi phân thớ Hurewicz p có tính nâng lên đồng ln, nghĩa với khơng gian tơpơ A sơ đồ giao hốn sau: ↓ A ×[0,1] → → X p↓ Y tồn ánh xạ h : [0,1] →X cho sơ đồ có dịng giao hốn Bây định nghĩa cấu trúc mơ hình Top Một ánh xạ f : X →Y hai không gian tôpô X , Y i) Một tương đương yếu f tương đương đồng luân, ii) Một đối phân thớ f đối phân thớ Hurewicz đóng, iii)Một phân thớ f phân thớ Hurewicz Với lớp cấu xạ Top phạm trù mơ hình Định nghĩa 1.3 Một vật trụ (cylinder object) vật A vật A ∧ I C với sơ đồ +i A C A i0 1→A ∧ I f→A Thỏa mãn f o(i +i ) = id + id : AC A →A f tương A A đương yếu Hai cấu xạ f, g : A →X C nói đồng luân trái tồn vật trụ A ∧ A thỏa mãn cấu xạ tổng f + g : AC A →X mở rộng thành cấu I xạ H : A ∧ I →X , nghĩa tồn cấu xạ H : A ∧ I →X thỏa H(i0 +i1) = f + g Định nghĩa 1.4 Một vật đường (path object) X vật XI C với sơ đồ X g→X I p→X×X thỏa mãn p og = (idX ,idX ) : X →X×X Trong g tương đương yếu Hai cấu xạ f, g : A →X C gọi đồng luân phải tồn vật đường XI X thỏa mãn cấu xạ tích (f, g) : A →X×X nâng lên thành cấu xạ H : A →XI Định lí 1.5 [1] Nếu A có tính đối phân thớ đồng luân trái quan hệ tương đương HomC (A,X) Nếu X có tính phân thớ đồng luân phải quan hệ tương đương HomC (A,X) Nếu A có tính đối phân thớ X có tính phân thớ quan hệ đồng luân trái phải HomC (A,X) trùng nhau, nghĩa f đồng luân trái với g f đồng luân phải với g Chú ý: Nếu A có tính đối phân thớ X có tính phân thớ quan hệ tương đương đồng luân trái phải HomC (A,X) gọi quan hệ tương đương đồng luân thu Tập hợp lớp tương đương kí hiệu π(A,X) Mỗi vật X C áp dụng MC5(i) cho cấu xạ θ →X phân thớ khơng tuần hồn pX:QX →X QX có tính đối phân thớ, áp dụng MC5(ii) cho cấu xạ X →* thu đối phân thớ khơng tuần hồn iX : X →RX RX có tính phân thớ Định nghĩa 1.6 Phạm trù đồng ln H o(C) phạm trù mơ hình C phạm trù với lớp vật C lớp cấu xạ HomHo(C) (X,Y) = π(RQX,RQY) Định nghĩa 1.7 Giả sử C, D hai phạm trù mơ hình 1 Chúng ta gọi F : C →D hàm tử Quillen trái F hàm tử liên hợp trái bảo toàn đối phân thớ đối phân thớ khơng tuần hồn G : D →C hàm tử Quillen phải G hàm tử liên Chúng ta gọi hợp phải bảo toàn phân thớ phân thớ khơng tuần hồn Giả sử (F liên hợp từ C vào D Có nghĩa, F hàm tử từ C ,G,ϕ) vào D , G hàm tử từ D vào C , ϕ : D(FA, B) →C( A,GB) đẳng cấu tự nhiên Chúng ta gọi (F liên hợp Quillen F hàm tử Quillen ,G,ϕ) trái Một liên hợp Quillen (F ,G, ϕ ) : C →D gọi tương đương Quillen vật X ∈ có tính đối phân thớ vật Y ∈ D có tính phân thớ f : FX →Y C tương đương yếu D ϕ ( f ) : X →GY tương đương yếu C Chú ý Giả sử (F ,G, ϕ ) : C → liên hợp phạm trù mô hình D Khi (F ,G, ϕ ) liên hợp Quillen G hàm tử Quillen phải Mệnh đề 1.8 Giả sử (F ,G, ϕ ) : C → D tương đương liên hợp Quillen Khi mệnh đề sau (1) (F ,G, ϕ ) tương đương Quillen (2) X →GFX →GRFX η GiFX FpGX ε tương đương yếu với vật X có tính đối phân thớ, FQG →FGX →X tương đương yếu với vật X có tính X phân thớ (3) L(F , G, ϕ ) liên hợp tương đương phạm trù Giả sử (F (1) ⇒(2) ,G,ϕ) Chứng minh: tương đương Quillen X vật có tính đối phân thớ C Chúng ta có FX →RFX Do cấu xạ X →GRFX đối phân thớ khơng tuần hồn η GiFX phân tích thành X →GFX →GRFX đương yếu Tương tự vật X có tính phân thớ (2) ⇒(1) Giả sử (F ,G,ϕ) tương W thỏa mãn (2) Cho f : FX →Y tương đương yếu vật X có tính đối phân thớ vật Y có tính phân thớ Chúng ta có sơ đồ giao hốn sau η X || → X → GRFX GFX GiFX ↓ G(f) → GR ( f ) → GY GiY ↓ GRX G( f ) oη = ϕ ( f ) : X → Do GY tương đương yếu Tương tự, ϕ( f ) : X →GY tương đương yếu Chúng ta có sơ đồ giao hoán sau FQ(ϕ ( f )) → FQX ↓ FpX F (ϕ ( f )) → X Khi FQGY ↓ FpGX → Y || FGY → Y ε f = ε o F (ϕ( f )) : FX → tương đương yếu Y W (2) ⇔(3) Chúng ta có sơ đồ giao hốn sau GiFQ η GRFQX → GFQX X QX → ↓ GRFpX ↓ GFpX ↓ pX η GRFX GiX → GFX X → Do −1 pX X →RG o LF ( X ) đẳng cấu H oC X →QX GiFQX oη → GRFQX GiFQX oη đẳng cấu H oC QX → GRFX tương đương yếu GiFX oη với vật X X tính đối phân thớ → GRFX tương đương yếu với vật X có W Kết Trong phần chúng tơi chứng minh định lí báo Định lí 2.5 Trước chứng minh định lí này, chúng tơi cần số kết sau đây: Mệnh đề 2.1 [3] Cho C phạm trù mơ hình ổn định X vật có tính đối phân thớ phân thớ C Khi tồn hàm tử Quillen trái từ phạm trù phổ vào C mà ảnh phổ cầu X Nếu tự đồng cấu vành X phạm trù đồng luân C Z( p ) - đại số hàm tử hàm tử Quillen trái cấu trúc mơ hình ổn định p – địa phương cho phổ Bổ đề 2.2 [3] Cho F hàm tử khớp phạm trù tam giác sinh compact với đối tích vơ hạn Nếu F bảo tồn đối tích hạn chế tương đương phạm trù đầy đủ vật compact F tương đương Mệnh đề 2.3 [3] Cho p số nguyên tố F hàm tử khớp từ phạm trù đồng luân phổ p – địa phương hữu hạn vào mà bảo tồn phổ cầu p – địa phương (qua đẳng cấu) Nếu phần tử lọc Adams tự đồng cấu vành phân bậc [F (S ), F (S )] ảnh F F tự đương tương ( p) (p) * Mệnh đề 2.4 [3] Cho F hàm tử khớp từ phạm trù đồng luân phổ – địa phương hữu hạn vào mà bảo toàn phổ cầu – địa phương (sai khác phép đẳng cấu) Khi tất đồng cấu lọc Adams tự đồng cấu vành phân bậc [F (S ), F (S )] ảnh F ( 2) (2) * Định lí 2.5 Cho C phạm trù mơ hình ổn định mà phạm trù đồng luân sinh compact Giả sử phạm trù đầy đủ vật compact phạm trù đồng luân C phạm trù đồng luân phổ – địa phương hữu hạn tương đương phạm trù tam giác phân Khi tồn tương đương Quillen C phạm trù mơ hình – địa phương phổ, thỏa mãn hàm tử liên hợp trái có C mục tiêu Chứng minh: Cho F tương đương phạm trù tam giác phân từ phạm trù đồng luân phổ – địa phương hữu hạn vào vật compact phạm trù đồng luân C Chúng ta chọn vật đối phân thớ phân thớ X C mà đẳng cấu với F (2) ) phạm trù đồng luân C Theo mệnh đề 2.1, tồn hàm tử (S Quillen trái, cấu trúc mơ hình ổn định – địa phương, từ phạm trù phổ vào C mà ảnh phổ cầu X Chúng ta kí hiệu hàm tử X ∧ − Hàm tử Quillen trái có hàm tử dẫn xuất trái khớp X ∧L − bậc phạm trù đồng luân Chúng ta có X ∧ L 0(2) = X , hàm tử biến vật compact thành vật S compact Thật vậy, cách chứng minh quy nạp theo số chiều cellules vật compact Chúng ta có dãy cofiber ∨S τ (Y )−1 I τ (Y ) →Y ' →Y →∨ SI Trong τ (Y ) số chiều cellules lớn vật compact Y τ (Y ') < τ (Y ) Từ X ∧L − hàm tử khớp nên có dãy cofiber sau X ∧L ∨S τ (Y )−1 I →X ∧L Y ' →X ∧L Y →X ∧L ∨ Sτ (Y ) I Do X ∧L Y vật compact Chúng ta kí hiệu ( X ∧L −) | giới hạn smal l phổ – địa phương hữu hạn Hàm tử Φ = F −1 o( X ∧L −) smal biến phổ cầu – | l địa phương thành nó, qua đẳng cấu, mệnh đề 2.3 2.4 hàm tử Φ tự tương đương phạm trù đồng luân ổn định – địa phương hữu hạn Từ Φ L and tương F tương đương phạm trù, ( X ∧ −) −1 | smal đương Từ bổ đề 2.2, hàm tử X ∧L − tương đương lphạm trù, hàm tử Quillen trái X ∧ − hàm tử liên hợp phải tương đương Quillen mệnh đề 1.8 W TÀI LIỆU THAM KHẢO Dwyer W.G., Spalinski J (1995), “Homotopy theories and model categories”, Elsever science B V Hovey M (1999), Model categories, American Mathematical Society, Providence, RI, XII, 209 pp Nhat P D (2010), Unicité de la catégorie stable, Mémoire master 2, Université Strasbourg (Ngày Tòa soạn nhận bài: 07-5-2013; ngày phản biện đánh giá: 05-6-2013; ngày chấp nhận đăng: 21-6-2013) ... 2.5 Cho C phạm trù mơ hình ổn định mà phạm trù đồng ln sinh compact Giả sử phạm trù đầy đủ vật compact phạm trù đồng luân C phạm trù đồng luân phổ – địa phương hữu hạn tương đương phạm trù tam... đề 2.1 [3] Cho C phạm trù mơ hình ổn định X vật có tính đối phân thớ phân thớ C Khi tồn hàm tử Quillen trái từ phạm trù phổ vào C mà ảnh phổ cầu X Nếu tự đồng cấu vành X phạm trù đồng luân C... QX có tính đối phân thớ, áp dụng MC5(ii) cho cấu xạ X →* thu đối phân thớ khơng tuần hồn iX : X →RX RX có tính phân thớ Định nghĩa 1.6 Phạm trù đồng luân H o(C) phạm trù mơ hình C phạm trù với