1119 Phương pháp đại số cho bài toán exciton âm trong bán dẫn hai chiều.docx

Hồng Đỗ Ngọc Trầm tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ CHO BÀI TOÁN EXCITON ÂM TRONG BÁN DẪN HAI CHIỀU HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM*, LÊ QUÝ GIANG**, NGUYỄN THỊ MẬN***, LÊ VĂN HỒNG**** TĨM TẮT Phương pháp đại số xây dựng cho toán exciton âm hai chiều Hamiltonian hệ biểu diễn qua toán tử sinh hủy dạng chuẩn, thuận tiện cho việc tính tốn Bộ hàm sở xây dựng dạng đại số cho phép tính tất yếu tố ma trận cần thiết Kết bước chuẩn bị quan trọng để áp dụng phương pháp tốn tử FK giải phương trình Schrưdinger cho exciton âm hai chiều cơng trình Từ khóa: phương pháp đại số, phương trình Schưdinger, exciton âm, bán dẫn hai chiều ABSTRACT Algebraic method for the problem of a negatively charged exciton in twodimensional semiconductors The algebraic method is developed for the problem of a negatively charged exciton in twodimensional semiconductors The Hamiltonian is represented algebraically in the standard form of the annihilation thus being advantageous for calculation The basis set of wavefunctions is developed in the algebraic form that allows calculating all needed matrix elements This result is an important preparation step before applying the FK operator method to solve the Schrödinger equation of the problem in the next study Keywords: algebraic method, Schrödinger equation, negatively charged exciton, two dimensional semiconductors Mở đầu Khái niệm exciton, trạng thái liên kết điện tử lỗ trống bán dẫn, đưa Wannier vào năm 1937 [13] nghiên cứu tích cực với nhiều hiệu ứng vật lí [1, 10] Năm 1958, Lampert nêu khả tồn trạng thái exciton phức tạp mang điện [7], ví dụ exciton âm trạng thái liên kết hai electron với lỗ trống Trạng thái liên kết quan sát thực nghiệm sau giếng lượng tử pha tạp chênh lệch mật độ điện tử lỗ trống lớn (xem, ví dụ, [2, 4, 12]) Exciton âm hình thức giống i-ơn âm H − hay ngun tử heli, nhiên lượng liên kết nhỏ nhiều khối lượng * ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM ThS *** ThS, Trường PTTH Mạc Đĩnh Chi **** PGS TSKH, Trường Đại học Sư phạm TPHCM ** hiệu dụng điện tử lỗ trống nhỏ Chính kích thước exciton âm lớn nhiều so với kích thước nguyên tử heli Ngoài tương quan khối lượng hiệu dụng điện tử lỗ trống khác nhiều so với tương quan khối lượng điện tử hạt nhân heli Do vậy, Hamiltonian exciton âm khơng hồn tồn giống ngun tử heli Hệ bán dẫn dạng nhiều lớp quan tâm nhiều, đối tượng quan trọng nghiên cứu lí thuyết thực nghiệm exciton hai chiều Lời giải phương trình Schrưdinger cho hệ hai chiều tìm thấy, ví dụ cho heli [5, 11], nhiên cơng trình khơng có thảo luận liên quan đến exciton âm Bản thân phương pháp giải phương trình Schrưdinger đưa cơng trình [5, 11] cần phát triển Chúng nghiên cứu phương pháp tốn tử FK [3] ứng dụng thành cơng cho việc tìm nghiệm xác giải tích phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều từ trường [6] Việc phát triển phương pháp toán tử FK cho tốn exciton âm hai chiều khơng có ý nghĩa vật lí mà cịn có tầm quan trọng phát triển phương pháp tính tốn Để sử dụng phương pháp toán tử FK, bước quan trọng cần xây dựng phương pháp tính tốn đại số [8, 9] cho toán exciton âm hai chiều Đó động lực cơng trình Phương trình Schrưdinger cho exciton âm hai chiều Ta xét phương trình Schrưdinger cho tốn exciton âm hai chiều có dạng sau:  1  ∂2  − ∆1 − ∆2 − α h  2 ∂x ∂ x  + ∂2 ∂y ∂y 2   Z Z  Ψ(r1 ,r2 ) = E Ψ(r1 , r2 ) (1)  − − + r r r1  r2    Đây phương trình mơ tả chuyển động tương đối hai điện tử với lỗ trống Chuyển động khối tâm hệ gồm lỗ trống hai điện tử tách riêng ta không xét Các đại lượng x 112  y r1 = , r2 = x222  y tương đối điện tử đến lỗ trống, r = r − r = 12 khoảng cách hai điện tử Ta sử dụng kí hiệu : ∂ ∂2 ∆1 = ∂ + , ∆2 = ∂x ∂y ∂x 1 ∗ ∗ e h 2 ∂2 + ∂y khoảng cách (x 12 x )2  ( y 12y )2 , αh = + m∗ / m∗ h e m , m khối lượng hiệu dụng điện tử lỗ trống chất bán dẫn Ở ta sử dụng hệ đơn vị nguyên tử, đơn vị độ dài lượng bán kính Borh hiệu dụng r ∗ = 4πε h2 / μe2 số Rydberg hiệu dụng 0 R* = μ e4 /16π 2ε h2 Vì xét chuyển động tương đối điện tử lỗ trống y khối lượng tương đối hạt GaAs/AlGaAs ta sử dụng số liệu μ = m∗ m∗ /(m∗ + m∗ ) Ví dụ với hệ bán dẫn lớp e h e m∗ ; 0.067 m hvà m∗ ; 0.45 m e e h khối lượng e ∗ hiệu dụng tương đối μ ; 0.058 m e, dẫn đến bán kính Borh hiệu dụng dài bán kính Borh khoảng 17 lần số Rydberg hiệu dụng nhỏ khoảng 17 lần tương ứng Đây khác biệt exciton âm so với nguyên tử heli Ta ý phương trình (1) có thành phần: + ∂2  Jˆ = αh ∂ ∂x ∂ x ∂ y ∂y (2)  2  bỏ qua Hamiltonian nguyên tử heli Lí với heli khối lượng hạt nhân lớn khối lượng điện tử nhiều lần hệ số αh ; 0.00025 nhỏ Với trường hợp exciton âm hệ bán dẫn GaAs/AlGaAs khối lượng hiệu dụng lỗ trống lớn khối lượng hiệu dụng điện tử khoảng lần α h ; 0.13 thành phần (2) Hamiltonian bỏ qua Điều đặc biệt với thành phần (2) toán exciton âm có bảo tồn mơmen động lượng quỹ đạo Ta giải phương trình (1) với phương trình : Lˆz Ψ(r1 ,r2 ) = m Ψ(r1 ,r2 ) , Lˆ = ∂ ∂ ∂ z i  x1 − y1 ∂x + x2 ∂y (3) ∂  −  y2 (4) ∂x ∂y  1 2  với m số lượng tử từ có giá trị nguyên: m = 0, ±1, ±2, Phương pháp đại số biểu diễn Hamiltonian Phương pháp đại số sử dụng cho tính tốn thơng qua toán tử sinh hủy định nghĩa sau: aˆ s  ω ∂ ∂x ∂  = ω  aˆ +s =  − ω  , + x x 2 s s ω ∂x  ,  + bˆ = s  ∂  y − ,   b=ˆ  s y +  ∂  (5) s ω   s ω ∂y s   s ω   s ω ∂y s   Ở đây, số s = 1, tham số ω số thực dương, không thứ nguyên gọi tham số tự [3] chọn Tham số có vai trị quan trọng việc giải phương trình Schrưdinger phương pháp toán tử FK Các toán tử loại sinh hay hủy giao hốn với nhau, cịn tốn tử sinh hủy thỏa hệ thức giao hốn sau:  aˆ , aˆ+  = δ ,  s  bˆ ,bˆ+  =δ t st  s t  (6) st Nhằm mục đích chéo hóa tốn tử mơ-men động lượng quỹ đạo tốn tử sinh hủy qua phép biến đổi tắc sau : + uˆ + =1 aˆ + + ibˆ , uˆ1 = (aˆ − ibˆ ), s s s s s s 2 1 + vˆ+ =2 aˆ+ − ibˆ , v2ˆ = aˆ + ibˆ ( ) ( s Lˆz , ta định nghĩa s ) s s s ( (7) ) s Các toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán toán tử (5) Bây ta biểu diễn tốn tử Hamiltonian phương trình (1) dạng toán tử sinh, hủy (7) sau: ω ∆ =− + (Mˆ − Nˆ + Mˆ ) , 2ω ∆ =− 2 2 x2+ y2 = Nˆ 1 + (Mˆ − Nˆ + Mˆ ) , 1 (Mˆ + + ) , Mˆ (8) + 1 2ω + x2+y2= (Mˆ + + Mˆ ) , Nˆ 2 2ω (x − x ) + ( y − y ) = (Mˆ  ∂ ∂x ∂x ∂ y∂ ∂y 2 = (mˆ + 2ω + + Mˆ + Nˆ − 2mˆ + − 2mˆ − 2nˆ) , 2ω + mˆ − nˆ ) Trong (8) ta sử dụng kí hiệu Mˆ + , Mˆ nˆ = nˆ1 + nˆ2 = Mˆ + Mˆ + với toán tử định nghĩa sau: + = ˆ Nˆ = + M ˆ M 2, Nˆ + Nˆ , + Mˆ = 2u1ˆ+ vˆ+ 1, Mˆ = 2uˆ1vˆ1 , + Mˆ = Mˆ = 2uˆ2vˆ2 , 2 2uˆ + vˆ + , Nˆ = 2uˆ + uˆ + 2vˆ + vˆ + , Nˆ = 2uˆ + uˆ + 2vˆ + vˆ 1 1 2 +2, 2 mˆ + = vˆ+ uˆ+ + uˆ+ vˆ+ , mˆ = vˆ uˆ + uˆ vˆ , 2 2 nˆ = uˆ+ uˆ + vˆ+ vˆ , nˆ = uˆ+ uˆ + vˆ+ vˆ 2 2 (9) Tốn tử mơ-men động lượng quỹ đạo có dạng: Lˆ = uˆ + uˆ − vˆ + vˆ + uˆ + uˆ − vˆ + vˆ z 1 1 2 (10) 2 tốn tử trung hịa giao hốn với tất toán tử (9) Một điểm quan trọng toán tử (9) tạo thành đại số kín với hệ thức giao hốn sau:  Mˆ ,  =  1  ˆ N 4Mˆ ,  Mˆ ,  =  2  Nˆ 4Mˆ ,  mˆ , mˆ +   = (Nˆ2   + , Mˆ  = 1  Mˆ 2Nˆ ,  + Nˆ + , Mˆ2   Mˆ 2Nˆ , 2 ), nˆ2  +  , Mˆ Nˆ 1 , Mˆ   =2  Nˆ [ nˆ1 , ] =− (Nˆ − Nˆ + ˆ , = 4M  +   ˆ = 4M + , ), (11) Nˆ , mˆ +      Nˆ , mˆ +     mˆ , Nˆ     mˆ , Nˆ   = 2mˆ , = 2mˆ + , = 2mˆ + , = 2mˆ ,  [ mˆ , nˆ1 ] , [ mˆ ] = , nˆ Mˆ , = Mˆ  Mˆ , nˆ1   =0,   nˆ , Mˆ 2  =0,  +  Mˆ , nˆ1    = 2mˆ ,  , Mˆ +   2mˆ + , nˆ 2 +  mˆ , Mˆ   2 = 2nˆ ,  nˆ , mˆ +  ˆ+    , mˆ +   = M , +  = Mˆ , nˆ 2  =  Mˆ , nˆ2    = 2mˆ ,  nˆ , Mˆ +    = 2mˆ + , 1  Mˆ , nˆ2  = ,    nˆ , Mˆ +  = ,    , mˆ +  =  , mˆ +  = 2nˆ2 ,  mˆ , Mˆ +        ˆ 2n , ˆ ˆ = 2nˆ , M M Nˆ , nˆ1    = −2nˆ1 ,      Nˆ , nˆ1 = 2nˆ1 , 1 Nˆ , nˆ2    = −2nˆ2 ,    Nˆ , nˆ2   = 2nˆ2 Ngoài giao hoán tử (11) ta cần lưu ý giao hoán tử khác không Cụ thể, ngoại trừ toán tử nˆ , nˆ Nˆ , Nˆ , tốn tử cịn lại với dấu (+) 2 tốn tử sinh, khơng có dấu gọi toán tử hủy Các toán tử sinh giao hoán với toán tử sinh, toán tử hủy giao hốn với tốn tử hủy Ngồi ra, toán tử khác số (1 2) giao hoán với nhau, ngoại trừ hai toán tử nˆ1 , nˆ2 Việc xây dựng đại số kín (11) biểu diễn Hamiltonian hệ qua toán tử (9) quan trọng việc tính tốn sử dụng phương pháp đại số Ví dụ tốn tử tương tác Coulomb Hamiltonian đưa dạng chuẩn theo nghĩa toán tử sinh sang bên trái, toán tử hủy sang bên phải Ta thu : 2ω Z ˆ Z V1 = = − π r +∞ dtt ∫ ˆ V2 = r exp  − 2ω Z = −π t ˆ+ M1  + 2t  × Z  (  ex p − Nˆ ln + 2t +∞ dtt ∫  exp − ( ) exp  − ˆ+ t + 2t  dt t   ∫ t exp  −   ) exp  1−+ 2tt   ˆ+ + 4t + 2t  M1 ˆ , M2  × exp − ln Nˆ2  2t 2ω V12 = r1  r2 = π  t  2t M  exp     Mˆ  ,  + + 4t mˆ   (12) exp − ˆ n ln Nˆ  4t  4t exp ln     t 2t     × exp − Mˆ exp mˆ     + 4t + 4t     Để có tốn tử tương tác Coulomb dạng chuẩn công thức (12), trước tiên ta sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa tọa độ mẫu dạng hàm mũ Sau sử dụng giao hốn tử (11) quy trình biến đổi trình bày cơng trình [8] để thu (12) × ( ) Mˆ n, j1 , j2 = j1(n − j2 n −1, j1 −1, j2 ) + (n − j1 − j2 )(n − j1 − j2 −1) n −1, j1 , j2 +1 , Mˆ n, j , j2 = j2 (n − j1 ) n −1, j1 , j2 −1 + (n − j1 − j2 )(n − j1 − j2 −1) n −1, j1 +1, j2 , mˆ n, j1 , j2 Kết luận = (n + j1 + j2 +1)(n − j1 − j2 n −1, j1 , j2 ) + j1 j2 n −1, j1 −1, j2 −1 Như ta xây dựng thành cơng đại số kín bao gồm toán tử bậc hai toán tử sinh hủy biểu diễn Hamiltonian exciton âm hai chiều qua toán tử Kết cho phép ứng dụng tính tốn đại số giải phương trình Schrưdinger cho tốn xét phương pháp toán tử FK Bộ hàm sở xây dựng qua biểu diễn đại số công thức cần thiết đưa cho việc tính yếu tố ma trận ứng với hàm sở Trong cơng trình chúng tơi vận dụng phương pháp tốn tử FK để tìm nghiệm số xác cho phương trình Schrưdinger cho exciton âm hai chiều Chú ý cơng trình Hamiltonian exciton âm hai chiều đưa với điều kiện khối lượng điện tử bỏ qua so với khối lượng lỗ trống Ghi chú: Cơng trình thực phạm vi đề tài tài trợ Quỹ phát triển khoa học công nghệ quốc gia (NAFOSTED), mã số 103.01.2011.08 Tác giả Hoàng Đỗ Ngọc Trầm cám ơn tài trợ đề tài cấp sở Trường Đại học Sư phạm TPHCM TÀI LIỆU THAM KHẢO Ashkinadze B., Linker E., Cohen E., Dzyubenko A., and Feiffer L (2004), “Photoluminescence of a two dimensional electron gas in a modulation-doped GaAs/AlxGa1-x As quantum well at filling factors ν < 1”, Phys Rev B 69, 115303-7 Astakhov G V., Yakolev D R., Rudenkov V V., Christianen P C H., Barrick T., Gooker S A., Dzyubenko A B., Ossau W., Maan J C., Karczewshi G., Wojtowicz T (2005), “Definitive observation of the dark triplet ground state of charged exciton in high magnetic fields”, Phys Rev B 71, 201312-4 (R) Feranchuk I D., Komarov L I., Nichipor I V., Ulyanenkov A P (1995), “Operator Method in the problem of Quantum Anharmonic Oscillator”, Ann Phys 238, 370440 Finkelstein G., Shtrikman H., and Bar-Joseph I (1996), “Negatively and positively charged excitons in GaAs/Al Ga As quantum wells”, Phys Rev B 53, R1709x 1-x R1712 Hilico L., Gremaud B., Jonckheere T., Billy N., and Delande D (2002), “Quantum three-body Coulomb problem in two dimensions”, Phys Rev A 66, 022101-4 Hoang-Do Ngoc-Tram, Pham Dang-Lan and Le Van-Hoang, “Exact numerical solutions of the Schrödinger equation for a two-dimensional exciton in a homogeneous magnetic field of arbitrary strength”, Physica E (submitted) Lampert M A (1958), “Mobile and immobile effective-mass-particle complexes in nonmetallic solids”, Phys Rev Lett 1, 450-453 Le Van-Hoang (2004), “Algebraic method with the use of many-particle Coulomb Green function for atomic calculations”, in book “Etude on Theor Phys.”, World Scientific, Singapore, pp 231-249 Le Van-Hoang and Nguyen Thu-Giang (1993), “The algebraic methods in twodimensional quantum systems”, J Phys A 26, 1409-1418 10 Nichel H A., Yeo T M., Dzyubenko A B., Mcombe B D., Petrou A., Sivachenko A Yu, Schaff W., Umansky V (2002), “Internal transitions of negative charged magneto excitons and many body effects in a two-dimensional electron gas”, Phys Rev Lett 88, 056801-4 11 Patil S H (2008), “The helium atom and isoelectronic ions in two dimensions”, Eur J Phys 29, 517–525 12 Solovyev V and Kukushkin I (2009), “Measurement of binding energy of negatively charged excitons in GaAs/Al0.3Ga0.7As quantum wells”, Phys Rev B 7, 233306-4 13 Wannier G H (1937), “The Structure of electronic levels in insulating crytals”, Phys Rev 52, 191-197 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 07-01-2013; ngày phản biện đánh giá: 17-01-2013; ngày chấp nhận đăng: 18-02-2013) ... tốn đại số [8, 9] cho toán exciton âm hai chiều Đó động lực cơng trình Phương trình Schrưdinger cho exciton âm hai chiều Ta xét phương trình Schrưdinger cho tốn exciton âm hai chiều có dạng sau:... công đại số kín bao gồm tốn tử bậc hai toán tử sinh hủy biểu diễn Hamiltonian exciton âm hai chiều qua toán tử Kết cho phép ứng dụng tính tốn đại số giải phương trình Schrưdinger cho tốn xét phương. .. cứu phương pháp tốn tử FK [3] ứng dụng thành cơng cho việc tìm nghiệm xác giải tích phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều từ trường [6] Việc phát triển phương pháp toán tử FK cho tốn exciton