PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU

TỔNG LIÊN ĐOÀN LAO ĐỘNG VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC TƠN ĐỨC THẮNG KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN & TỐN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU Giảng viên hướng dẫn : ThS TRẦN THỊ THÙY NƯƠNG Nhóm sinhviên thực : TĂNG PHẠM HỒNG OANH TRẦN VƯƠNG HOÀNG VIỆT Lớp : 07TN1D Khóa : 11 Tp Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2011 070481M 070522M Luận văn toán Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu LỜI CẢM ƠN Chúng em xin chân thành cảm ơn Khoa Công Nghệ Thơng Tin Tốn Ứng Dụng, trường Đại Học Tôn Đức Thắng tạo điều kiện tốt cho chúng em thực đề tài luận văn tốt nghiệp Chúng em xin chân thành cảm ơn Cô, ThS Trần Thị Thùy Nương tận tình hướng dẫn, bảo chúng em suốt thời gian thực đề tài Chúng em xin thể kính trọng lịng biết ơn đến Q Thầy Cơ Khoa Tốn-Tin, người trang bị cho chúng em nhiều kiến thức chuyên ngành, bảo, giúp đỡ tận tình q Thầy Cơ chúng em suốt trình học tập Tất kiến thức mà chúng em lĩnh hội từ giảng Thầy Cô vô quý giá Chúng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Bố, Mẹ người thân gia đình, cảm ơn tình cảm lời động viên chúng suốt q trình hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn anh chị bạn bè ủng hộ , giúp đỡ động viên chúng em thời gian học tập nghiên cứu Mặc dù chúng em cố gắng hoàn thành luận văn phạm vi khả cho phép cịn nhiều thiếu sót Chúng em kính mong nhận cảm thơng tận tình bảo Cơ Nhóm sinh viên thực Tăng Phạm Hồng Oanh – Trần Vương Hồng Việt Tháng 7/2011 Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN Luận văn toán Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN PHẢN BIỆN Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải toán đa mục tiêu MỤC LỤC DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU 1.1 Mơ hình toán học toán 1.2 Phương pháp thỏa dụng mờ Pgs Nguyễn Hải Thanh 1.3 Phương pháp đồ thị 1.3.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 1.3.2 Phương pháp giải QHĐMT dựa vào hình thức thỏa hiệp 10 1.4 Phương pháp nhượng dần 18 1.5 Phương pháp thỏa hiệp TAMM 19 1.6 Phương pháp tìm nghiệm có khoảng cách ngắn đến nghiệm lý tưởng 19 1.7 Phương pháp bước Benayoun 21 1.8 Phương pháp trọng số 22 1.9 Phương pháp ràng buộc 23 1.10 Phương pháp giải theo dãy mục tiêu xếp 24 CHƯƠNG II: GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU 26 2.1 Phương pháp đơn hình giải tốn mục tiêu 26 2.1.1 Mơ hình quy hoạch tuyến tính mục tiêu 26 2.1.2 Bổ sung thêm phương pháp đơn hình: 34 2.1.3 Một số ứng dụng phương pháp đơn hình: 37 2.2 Phương pháp đơn hình giải toán đa mục tiêu 39 2.2.1 Cách tiếp cận theo mục tiêu cực tiểu hàm phạt 39 2.2.2 Tiếp cận theo tối ưu PARETO 42 2.2.3 Phương pháp thỏa dụng mờ Pgs Nguyễn Hải Thanh 48 2.2.4 Phương pháp đơn hình đa mục tiêu 51 CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG CỦA ĐA MỤC TIÊU TRONG KINH TẾ 65 3.1 Các ví dụ mơ hình đa mục tiêu kinh tế 66 3.1.1 Kinh tế phúc lợi 66 3.1.2 Chính sách kinh tế định lượng 70 3.1.3 Chính sách tiền tệ tối ưu 72 3.1.4 Tối ưu hóa hành vi độc quyền với hàm mục tiêu 73 3.1.5 Mơ hình ô nhiễm Leontief đa mục tiêu 74 3.1.6 Mơ hình kiểm sốt mơi trường phi tuyến tính 77 3.2 Các điều kiện Kuhn–Tucker cho vấn đề quy hoạch đa mục tiêu 78 3.3 Các vấn đề đối ngẫu tối ưu hóa đa mục tiêu 85 3.3.1 Các vấn đề đối ngẫu tối ưu đa mục tiêu dạng tham số 85 3.3.2 Lý thuyết đối ngẫu cho quy hoạch từ điển lồi “Convex Lexicographic Programming” 86 3.4 Hành vi công ty đối mặt với hàm mục tiêu ràng buộc quy định 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO 91 Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải toán đa mục tiêu DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT QHĐMT QHTT QHTTĐMT NNLG PATƯ OR MS: MOLP BFSs : Quy hoạch đa mục tiêu : Quy hoạch tuyến tính : Quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu : Người nhận lời giải : Phương án tối ưu : Operations Research : Management Science : Multiobjective Linear Programming (Quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu) : Basic feasible solutions (Phương án sở chấp nhận được) Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Bảng 1.1 Bảng thưởng phạt phương pháp nhượng dần 18 Bảng 1.2 Bảng thưởng phạt phương pháp ràng buộc 23 Bảng 2.1 Các bảng đơn hình giải toán QHTT 31 Bảng 2.2 Các bảng đơn hình giải tốn M 37 Bảng 2.3 Quy hoạch đa mục tiêu không ưu tiên 39 Bảng 2.4 Quy hoạch đa mục tiêu có ưu tiên 41 Bảng 2.5 Bảng pay – off 49 Bảng 2.6 Số liệu điểm cực biên hữu hiệu 59 Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Minh họa đồ thị toán QHTT hai mục tiêu Hình 1.2 Minh họa toán đồ thị Hình 1.3 Minh họa toán đồ thị Hình 1.4 Thỏa hiệp 13 Hình 1.5 L* thỏa hiệp 13 Hình 1.6 L* thỏa hiệp 13 Hình 1.7 Sơ đồ khối giải QHĐMT phương pháp đồ thị 17 Hình 2.1 Phương pháp đồ thị giải tốn quy hoạch tuyến tính 27 Hình 2.2 Sơ đồ khối giải toán QHTT 29 Hình 2.3 Quy tắc hình chữ nhật 32 Hình 2.4 Tập hữu hiệu chấp nhận 64 Hình 3.1 Đồ thị biểu diễn thiệt hại mà môi trường gây 76 Luận văn toán Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu LỜI MỞ ĐẦU Trong nhiều ứng dụng thực tế gắn liền với việc thiết kế kế hoạch hóa ngành kinh tế - kỹ thuật, điều khiển hoạt động sản xuất, thường hay gặp toán liên quan đến việc phân tích, lựa chọn định hướng vào nhiều mục tiêu khác Chẳng hạn, đơn vị sản xuất kinh doanh nên chọn định cho giá thành sản phẩm hạ, suất lao động cao, quy trình sản xuất đơn giản, thời gian ngắn… Đó tốn QHĐMT Mơ hình tốn học tốn là: Có k hàm mục tiêu ký hiệu Y1, Y2, …Yk với Yi: D ® R Trong đó: D tập phương án chấp nhận Xi nói chung tập xếp có quan hệ thứ tự xác định Ri Vấn đề đặt phải tìm X0 làm tối ưu hóa (cực đại cực tiểu) đồng thời giá trị hàm Y1,…., Yk Trong trường hợp nếu: "X Î D, "i : XR i X X0 phương án tối ưu cần tìm Song khả tồn X0 lí tưởng (mà thường khơng có) hàm mục tiêu Yi (tương ứng quan hệ Ri) thường khơng hồn tồn độc lập với nhau, chí cịn có mâu thuẫn Vậy khó khăn chủ yếu việc chọn lựa định tập X1,…, Xk (tích Decart Xi) chưa có mối quan hệ thứ tự xác định Bài toán nhiều người quan tâm, giải Cho đến có nhiều phương pháp giải Tuy nhiên phương pháp có ưu khuyết điểm Nhưng tập trung lại ta thấy toán QHĐMT thường qua bước sau đây: Yi ³ Yi' , "i Bước 1: Tìm tất phương án tối ưu Pareto Yn (nghĩa là: "Y, Y’ Ỵ Yn khơng có Yi ³ Yi' , "i Yi' ³ Yi , "i có đẳng thức chặt) Ta nhận thấy nghiệm tối ưu toán nghiệm tối ưu Pareto Song điều ngược lại chưa Vì ta phải sang bước Bước 2: Xử lý, thu gọn tập tối ưu Pareto để thu nghiệm tối ưu (Nhiều người ta thay cho việc đòi hỏi ưu tiên hàm mục tiêu đòi hỏi ưu tiên phương án với phương án để nhanh chóng tìm phương án tốt hơn) Thực tế có nhiều phương pháp giải khác nhau: Các phương pháp giải tốn QHĐMT qua hai bước chủ yếu Hoặc dùng để xử lý tập phương án tối ưu Pareto Cũng có phương pháp giải gộp hai bước lại Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải toán đa mục tiêu CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU 1.1 Mơ hình tốn học tốn Trong tốn kỹ thuật, cơng nghệ, quản lý, kinh tế nông nghiệp v.v nảy sinh từ thực tế, thường phải xem xét để tối ưu hoá đồng thời lúc nhiều mục tiêu Các mục tiêu thường khác thứ nguyên, tức chúng đo đơn vị khác Những tình tạo tốn tối ưu đa mục tiêu Như vậy, cần phải tối ưu hoá (cực đại hoá cực tiểu hoá tuỳ theo tình thực tế) khơng phải mục tiêu đó, mà đồng thời tất mục tiêu đặt Bài toán tối ưu đa mục tiêu mà miền ràng buộc D tập lồi đa diện mục tiêu zi = fi (X), với i = 1, 2,…, p hàm tuyến tính xác định D, gọi tốn QHTTĐMT Khi đó, ta có mơ hình tốn học sau gọi mơ hình QHTTĐMT: Max CX Ràng buộc X Ỵ D Trong đó: C ma trận cấp p x n D = { X Ỵ R n : AX £ B} Với A ma trận cấp m x n B Ỵ Rm Ví dụ: Bài tốn QHTT với mục tiêu: f1 ( X ) = x1 + x2 ® f ( X ) = x2 ® max Với ràng buộc: ì - x1 + x2 £ ï í x1 + x2 ³ ï x ,x ³ ỵ Ta viết toán dạng ma trận sau: Max CX với ràng buộc X Ỵ D = {X Ỵ R : AX £ B} Trong X = ( x1 , x2 ) , B = ( 3, -3, 0, ) cịn T ỉ -1 -2 C=ỗ ữ ố 2ứ T ; 1ử ổ -1 ỗ ữ -1 -1 ữ ỗ A= ỗ -1 0ữ ỗ ữ ố -1 ứ Lun văn tốn Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu 3.1.6 Mơ hình kiểm sốt mơi trường phi tuyến tính Trong nghiên cứu Mastenbroek and Nijkamp, mơ hình kiểm sốt mơi trường phi tuyến tính trình bày Các thiệt hại nhiễm mơi trường bao gồm phận Thiệt hại phá hủy môi trường (thiệt hại môi trường) thiệt hại gây hoạt động làm giảm chất lượng môi trường (chi phí kiểm sốt mơi trường) Người ta giả định chi phí nhiễm, ký hiệu kp, tăng liên tiếp tăng lên mức nhiễm p Trong dạng tốn học, mối liên hệ loại biểu diễn hàm phi tuyến tính sau (xem hình 3.1) k p = apk với k > a>0 Thành phần thứ hình thành từ chi phí việc đo lường hoạt động làm giảm chất lượng mơi trường Các chi phí kiểm sốt mơi trường (nghĩa chi phí cho việc đầu tư môi trường) tăng dần, mức giảm ô nhiễm mơi trường u cầu giảm Điều mơ hình hóa sau: Người ta giả định tổng số ô nhiễm p bao gồm ô nhiễm sinh từ sản xuất hàng hóa (y) tiêu dùng (c): p = by + dc, Trong b d hệ số khí thải tương ứng Tương phản với mơ hình nhiễm Leontief mục 3.1.5, hệ số khí thải b cho phép để thay đổi việc tăng khoản đầu tư môi trường (ví dụ, xanh cơng nghệ lọc mới, …) Theo Mastenbroek Nijkamp, gi nh rng: m ổi b = b0 ỗ ữ vi < < 1, ố i ø Trong b0 thể hệ số khí thải trung bình ước lượng mức nhiễm p0 lượng i0 khoản đầu tư môi trường Biến số b hệ số khí thải sau đo lường hành động làm giảm chất lượng môi trường đưa vào dùng Chúng ta thấy rõ b = b0 i0 = i b giảm với giảm khoảng đầu tư mơi trường i Sản lượng y phân bổ khoản đầu tư môi trường tiêu dùng: i+c £ y Câu hỏi phát sinh làm để điều tiết phân bổ sản lượng chi phí kiểm sốt mơi trường tiêu dùng để giữ mức tiêu dùng cao chất lượng môi trường mức cao lúc Nói cách khác, mức tiêu dùng tối đa hóa chi phí thiệt hại mơi trường nên tối thiểu hóa Điều dẫn đến mơ hình lập trình đa mục tiêu phi tuyến tính sau: 77 Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu Tìm cực tiểu : f1 ( p) = apk Tìm cực đại: f (c ) = c m Phụ thuộc vào: ỉi b0 ỗ ữ y + dc = p, ố i ø i + c £ y, c > 0, i > 0, p > 0, y > 0, Sau làm phép biến đổi đơn giản, mơ hình lập trình hình học đa mục tiêu đạt được: Tối thiểu hóa : f1 ( p) = apk Tối thiểu hóa : ( f (c)) -1 = c -1 Phụ thuộc vào: li - m yp -1 + dcp -1 £ 1, iy -1 + cy -1 £ 1, c > 0, i > 0, p > 0, y > 0, với l = b 0i 0m > 3.2 Các điều kiện Kuhn–Tucker cho vấn đề lập trình đa mục tiêu Các vấn đề lập trình tính tốn đa mục tiêu mơ tả phần trước biểu diễn tổng quát sau: Tìm cực tiểu F(x) = (f1(x), f2(x), , fs (x)) Phụ thuộc vào G(x) £ (3.12) xỴRn, Trong F G hàm giá trị vectơ từ Rn → Rs Rn → Rm Chúng ta giả định tất hàm khả vi điểm điểm tối ưu hay ứng cử viên cho điểm tối ưu cho vấn đề chủa (3.12) Không tính tổng quát, xem xét vấn đề tìm cực tiểu vectơ voi s mục tiêu, n biến, m ràng buộc Việc tối thiểu hóa (hay Min) tối thiểu hóa (min) ký hiệu cho việc tìm cực tiểu vấn đề đa mục tiêu tìm cực tiểu mục tiêu riêng lẻ Trong nghiên cứu có ảnh hưởng Kuhn and Tucker nghiên cứu theo sau Geoffrion, Bitran, Marusciac, and Singh—chỉ liệt kê tên ít— mở rộng cần thiết cách tối ưu điều kiện Kuhn–Tucker (hay Karush–John) phân loại vấn đề đa mục tiêu đưa ra: Xét M = {1, 2, , m}, K = {x|x Ỵ Rn,G(x) £ 0}, I = {i Ỵ M|gi (x0) = với giá trị cố định x0 Ỵ K} 78 Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu Thuật ngữ vấn đề vectơ cực tiểu (cực đại) Kuhn Tucker giới thiệu sau: Định nghĩa 3.3 Để tìm x0 làm cực tiểu hóa (cực đại hóa) hàm vectơ F(x) bị ràng buộc G(x) £ 0, nghĩa tìm x0 thỏa mãn ràng buộc F(x) ≤ F(x0) [F(x) ≥ F(x0)] với khơng có x thỏa mãn ràng buộc Khái niệm tương đương với khái niệm điểm cực tiểu (cực đại) Pareto Marusciac trình bày Định nghĩa 3.4 Một điểm x0 Ỵ K điểm cực tiểu (cực đại) Pareto F K không tồn x Ỵ K làm cho F(x) ≤ F(x0) [F(x) ≥ F(x0)] Định nghĩa 3.5 Một điểm x0 Ỵ K điểm cực tiểu (cực đại) Pareto yếu F K không tồn x Ỵ K làm cho F(x) < F(x0) [F(x) > F(x0)] Một khái niệm tương đương loại điểm hiệu Koopman lý thuyết sản xuất Định nghĩa 3.6 Một điểm khả khơng gian hàng hóa gọi hiệu có tăng thêm kết hợp (sản lượng thực hàng hóa) đạt giảm chi phí phối hợp khác (sản lượng thực hàng hóa khác) Người đọc xác nhận tất định nghĩa tương ứng với Định nghĩa 5.10 phần trình bày sau, dùng thuật ngữ hiệu Pareto–Koopmans Định lý sau cung cấp điều kiện cần cho vấn đề điểm tối thiểu Pareto–Koopmans (3.12) Định lý 3.1 Xét: (i) x0 điểm cực tiểu Pareto–Koopmans (một điểm cực tiểu Pareto– Koopmans yếu ) vấn đề (3.12); (ii) F(x), G(x) khả vi x0; (iii) gi (x), với i Ỵ I , thỏa mãn ràng buộc số lượng x0 Khi tồn a ẻ R S+ , a , vectơ số Lagrange u Î R m a 0'ÑF(x ) + u 0'ÑG(x ) = 0, (3.13) u 0'G(x ) = 0, (3.14) G(x ) £ 0, (3.15) u ³ 0, (3.16) Trong Đ F(x ) ký hiệu ma trận cấp s × n, dịng độ nghiên x0 phận F Ñ G(x0) ký hiệu cho ma trận cấp m×n với dịng độ nghiên x0 phận G (Jacobians F G điểm x0) 79 Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải toán đa mục tiêu Giả sử hàm lồi f1(x), f2(x), ,fs (x) g1(x), g2(x), ,gm(x), điều kiện (3.13)–(3.16) đủ cho x0 điểm cực tiểu Pareto–Koopmans vấn đề (3.12) chứng Singh Định lý 3.2: Giả sử điều sau: (i) F(x), G(x)là hàm khả vi x0; (ii) F(x), G(x) hàm lồi; (iii) Tồn a > vectơ u Ỵ R m cho điều kiện (3.13)–(3.16) thỏa mãn Khi x0 (yếu) Pareto–Koopmans điểm cực tiểu F(x) K Người đọc kiểm lại điều kiện (3.13)–(3.16) xác điều kiện Kuhn–Tucker cho vấn đề tham số S Tìm cực tiểu hàm: åa k =1 k f k ( x) (3.17) Phụ thuộc vào: xỴK , Trong α = (α1, ,αs ) vectơ với thành phần không âm Điều thú vị vấn đề (3.17) phát sinh từ thật α.>0, định lý 3.2 giải pháp cho vấn đề (3.17) hệ số Pareto–Koopmans vấn đề (3.12) Geoffrion cố ngăn điểm hiệu với đặc tính lợi nhuận biên tiêu chí làm tùy ý, lớn cách tương thua lỗ biên xảy tiêu chí khác Do đó, ông ta giới thiệu khái niệm giải pháp hiệu hợp lý, định nghĩa sau: Định nghĩa 3.7: Một điểm x phải pháp hiệu hợp lý vấn đề (3.12) (Pareto–Koopmans) hiệu có vơ hướng ξ> cho xỴK , é f k ( x ) - f i ( x) ùû fk(x) < fk(x0) ám ë £x éë f l ( x) - f l ( x ) ùû với vài l với fl (x)>fl (x0) Những thuộc tính vấn đề tham số (3.17) cho phép ứng dụng lý thuyết lập trình phi tuyến tính đến vấn đề (3.17) để nghiên cứu mô tả điểm hiệu Theo cách này, mối liên hệ điểm đường yên ngựa hàm Lagrange giải pháp hiệu hợp lý vấn đề vectơ tối thiểu (3.12) đạt Định lý 3.3: (Định lý tương đương) Xét hàm lồi khả vi f1(x), f2(x), , fs(x), g1(x), g2(x), , gm(x) với x ³ Khi x0 giải pháp hiệu hợp lý vấn đề (3.12) có vài a > x0 vài u0 cho giải pháp vấn đề giá trị đường yên ngựa cho F(x, u) = a 0' F (x) + u 'G (x) 80 Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu Đối với ứng dụng kinh tế, phương pháp tiếp cận dựa hàm Lagrange giá trị - vectơ, ma trận U cấp (s x m) biến đối ngẫu liên quan đến ràng buộc K Dường hợp lý cho ma trận biến đối ngẫu chứa nhiều thông tin cặp (a , u) Các biến đối ngẫu uki thông dịch điều kiện cụ thể đạo hàm phần mục tiêu thành phần vectơ b gi (x) viết sau: gi (x) = hi (x) − bi (i = 1, 2, ,m) Các hàm số thể tỷ lệ thay đổi (f1,f2, ,fs ) x0 thay đổi nhỏ vế phải ràng buộc Nói cách khác, yếu tố ma trận U diễn giải giá ngầm, tương tự diễn giải biến đối ngẫu mơ hình tối ưu mục tiêu (tuy nhiên, mở rộng mục tiêu khác ) Trong cách tiếp cận tham số đề cập bên trên, a vectơ u biến đối ngẫu có liên quan với ràng buộc xem kết hợp ma trận U Thực tế, vấn đề cố định (3.17) thơng dịch tập hợp phiên vấn đề (3.12) Ý tưởng ma trận biến đối ngẫu, vectơ, vừa sử dụng Ritter, Zowe, Craven, Bitran có liên quan với vấn đề tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Gale, Kuhn, and Tucker, Isermann, Rưdder,cho lập trình tuyến tính từ điển Isermann Turnovec.Trong nghiên cứu này, mở rộng điều kiện Kuhn–Tucker cho cặp (x0,U0) cung cấp lý thuyết đối ngẫu cho vấn đề tối ưu đa mục tiêu phát triển Theo Bitran, điều kiện Kuhn–Tucker cho vấn đề (3.12) sử dụng ma trận biến đối ngẫu U phát biểu sau Định lý 3.4: Giả sử ta có giả thuyết sau: (i) x0 đểm cực tiểu Pareto–Koopmans vấn đề (3.12); (ii) F(x), G(x) khả vi x0 Khi có cặp (x0,U0) a > thỏa a [ÑF(x ) + U 0ÑG(x )] = 0, a [ÑF(x ) + U 0ÑG(x )] = 0, (3.18) a 0' U ³ 0, a 0' U ³ 0, (3.19) U G(x ) = 0, U G(x ) = 0, (3.20) 81 Luận văn toán Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu G(x ) £ 0, G(x ) £ 0, (3.21) Nếu F(x) G(x) hàm lồi điều kiện Kuhn–Tucker (3.18)–(3.21) thỏa cặp (x0,U0), x0 Pareto–Koopmans hiệu vấn đề (3.12) Như đề cập trước đó, cách tiếp cận tham số tối ưu đa mục tiêu bao gồm việc xác định điểm hiệu vấn đề (3.12) cách giải vấn đề lập trình tính tốn loại (3.17) Nhằm mục đích liên hệ cách tiếp cận sử dụng ma trận số Lagrange U cách tiếp cận tham số, Bitran chứng minh điều sau Định lý 3.5 Xét F(x) G(x) hàm khả vi lồi Rn Khi có mơt cặp (x0,U0) thỏa điều kiện Kuhn–Tucker (3.18)–(3.21) x0 giải vấn đề (3.17) với số a > 0, nghĩa là, x0 điểm cực tiểu Pareto–Koopmans x0 giải xấp xỉ tuyến tính vấn đề (3.17) x0 Hơn nữa, Bitran u U liên hệ qua đẳng thức sau: a 'U = u' , (3.22) Trong a ' hiểu trọng số tương ứng với mục tiêu Theo cách này, đề cập, vectơ u biến đối ngẫu diễn đạt tập hợp ma trận U Như trường hợp đặc biệt vấn đề cực tiểu đa mục tiêu (3.12), xem xét vấn đề cực tiểu hóa từ điển lex min{ F(x) | x Ỵ Rn, G(x) £ } (3.23) n Một vectơ x Ỵ R gọi không âm, ký hiệu bới x lex ³ 0, x = hay thành phần dương Một ma trận A cấp m × n gọi khơng âm, ký hiệu A lex ³ 0, tất cột không âm Xét F hàm giá trị - vectơ s chiều xác định Rn K Ì Rn A vectơ x*Ỵ K coi điểm tối thiểu F K với x Ỵ K , Các vấn đề tìm điểm cực tiểu từ điển F K gọi vấn đề tối thiểu hóa, ký hiệu bằng: lex min{F(x)| x Ỵ K } Định nghĩa K ={x|G(x) £ 0}, đạt vấn đề (3.23) Trong tài liệu nghiên cứu việc đưa định nhiều tiêu chuẩn, vài mơ hình tối ưu hóa tìm thấy Behringer báo cáo vài ứng dụng lý thuyết trị chơi tính tốn Nijkamp mơ tả ứng dụng mơ hình tối ưu vấn đề sử dụng đất cho hoạt động công nghiệp khu vực châu 82 Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu thổ Rhine gần Rotterdam (cái gọi miền Meuse) Các mơ hình thể cấu trúc trình bày việc xếp hạng mục tiêu thay vấn đề tối ưu thông thường với hàm mục tiêu giá trị vô hướng Một giải pháp hiệu hợp lý cho vấn đề tối ưu định nghĩa sau Định nghĩa 3.8 Một điểm cực tiểu x0 giải pháp tối ưu hợp lý (3.23) không tồn y Ỵ Rn cho ĐF(x )ylex < 0, ĐG1 (x )y £ 0, GI vectơ G bao gồm tất thành phần G tương ứng với ràng buộc có tác dụng x0, nghĩa là, gi (x0) = Bây giờ, điều kiện Kuhn–Tucker cho vấn đề (3.23), cung cấp Luptáˇcik Turnovec, viết lại sau Định lý 3.6 (i) Nếu x0 giải pháp tối ưu hợp lý vấn đề (3.23), tồn ma trận U0 với s × m chiều cho ÑF(x ) + U 0ÑG(x ) = 0, (3.24) G(x ) £ 0, (3.25) U G(x ) = 0, (3.26) U lex ³ (3.27) (ii) Nếu vấn đề (3.23) lồi, điều kiện (3.24) –(3.27) đủ cho x giải pháp tối ưu hợp lý (3.23) Người đọc thấy dạng điều kiện (3.24)–(3.27), trừ ma trận số Lagrange U0 thay vectơ u0 mối liên hệ từ điển “lexicographic relation” (3.27) thay khơng âm theo cách hiểu thơng thường, giống điều kiện Kuhn–Tucker cho vấn đề tối ưu mục tiêu mô tả chương Để minh họa, xem xét vấn đề cực tiểu hóa từ điển sau: 2 ỉ f1 ( x) ỉ x1 - x1 x2 + x2 - x1 + x2 ö lex minF( x) = ỗ = ữữ ữ ỗỗ - x1 + x22 è f ( x) ø è ø g1 ( x) = x1 + x2 - £ g ( x) = - x1 + x2 + £ 83 Luận văn toán Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu Chúng ta tính: æ x - x2 - - x1 + x2 + ẹF(x) = ỗ ÷ -1 + x2 è ø ỉ 1ử ẹG(x) = ỗ ữ ố -1 1ứ Cỏc kiện Kuhn–Tucker (7.24) trở thành æ x1 - x2 - - x1 + x2 + ổ u11 u12 ổ ỗ ữ+ỗ ữỗ -1 + x2 ố ứ ố u 21 u 22 ø è -1 1ư ỉ0 0ư = , 1ữứ ỗố 0 ữứ Hay 2x1 2x2 − + u11 − u12 = 0, −2x1 + 2x2 + + u11 + u12 = 0, −1 + u21 − u22 = 0, 2x2 + u21 + u22 = Các điều kiện (3.25) điều kiện khả thi x1 + x2 − £ 0, −x1 + x2 + £ Từ (3.26), có: (3.28) (3.29) (3.30) (3.31) (3.32) (3.33) ỉ u11 u12 ưỉ x1 + x2 - ỉ ỗ ữỗ ữ = ỗ ữ, ố u 21 u 22 øè - x1 + x2 + ø è ø Hay u11(x1 + x2 − 8) + u12(−x1 + x2 + 2) = 0, u21(x1 + x2 − 8) + u22(−x1 + x2 + 2) = Theo điều kiện (7.27), ma trận số Lagrange U0 phải khơng âm: ỉ u11 u12 ỉ0 0ử ỗ ữ lex ỗ ữ ố0 0ứ ố u 21 u 22 ø (3.34) (3.35) (3.36) Như đề cập, biến đối ngẫu uki (k = 1, 2; i = 1, 2) thơng dịch giá ảo nguồn lực i mục tiêu k Bắt nguồn từ (3.34) (3.35) ta có có uki (k = 1, 2) khác 0, ràng buộc thứ i tương ứng phải thỏa mãn đẳng thức; nguồn lực thứ i khan Chúng ta hay giả định u11 = 0, u21 = 0, u12 = Khi xuất phát từ (3.34) điều kiện (3.33) thỏa đẳng thức x2 = x1 − Giải (3.28) (3.29), có giải pháp u12 = Khi (3.30) cho u22 =−1, hệ (3.31) cho x2 = ½ Cuối , x1 = + x2 = 5/2 Người đọc kiểm chứng hai hàm 84 Luận văn toán Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu ỉ5 1ư mục tiêu f1(x) f2(x) lồi, nh lý 7.5 x = ỗ , ữ l giải pháp tối ưu è2 2ø hợp lý ví dụ 3.3 Các vấn đề đối ngẫu tối ưu hóa đa mục tiêu Đối ngẫu khái niệm thú vị hữu ích lập trình tính tốn mục tiêu kinh tế Mơ hình quan tâm đến phân bổ hàng hóa, đối ngẫu quan tâm đến giá Cả khái niệm giao vấn đề điểm cân liên quan đến vấn đề phân bổ giá Dường khơng có cách tiếp cận thống tối ưu hóa đa mục tiêu đối ngẫu Một khó khăn thật giải pháp hiệu vấn đề đa mục tiêu không cách tổng quát trở thành tập lời giải Các định nghĩa việc khơng có cực tiểu (hay khơng có cực đại) tập hợp với “partial order” đóng vai trị phát triển lý thuyết đối ngẫu tối ưu đa mục tiêu Bởi tiếp cận đối ngẫu khác tối ưu đa mục tiêu – đòi hỏi sâu tảng toán học – nhấn mạnh ứng dụng kinh tế, hạn chế mô tả vấn đề tham số (3.17) vấn đề cực tiểu hóa từ điển học (3.23) 3.3.1 Các vấn đề đối ngẫu tối ưu đa mục tiêu dạng tham số Như đề cập phần trước, phương pháp tham số tối ưu đa mục tiêu bao gồm việc xác định điểm hiệu vấn đề (3.12) cách giải vấn đề lập trình phi tuyến tính loại sau: minimize {a ' F ( x) | x Î R n , G ( x) £ 0}, (3.37) Trong F(x) G(x) giả định khả vi lồi Rn Theo lý thuyết đối ngẫu cho lập trình lồi từ mục 3.3, vấn đề đối ngẫu đến vấn đề (3.37) trở thành Tìm cực đại F( x, u) = a F ( x) + uG ( x) Phụ thuộc vào a ' [ÑF ( x)] + u ' [ÑG ( x)] = 0, u ³ (3.38) Trong định lý 3.5, tính tương đương điều kiện Kuhn–Tucker (3.18)– (3.21) giải pháp hiệu thích đáng x0 vấn đề (3.37) với a >0 trình bày Hệ sau mở rộng kết thành đối ngẫu mạnh cho cách tiếp cận tham số này: 85 Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu Hệ 3.1 Xem x0 U thỏa mãn điều kiện Kuhn–Tucker (3.18)–(3.21) Khi x0 giải vấn đề (3.37) với a > 0, điều kiện (3.18)– (3.19) giữ Hơn nữa, a U giải vấn đề đối ngẫu lập trình phi tuyến tính (3.38) đến vấn đề (3.37) Các thuộc tính vấn đề tham số cho phép áp dụng lý thuyết đối ngẫu lập trình phi tuyến tính vấn đề (3.37) để nghiên cứu mô tả điểm hiệu Các điều kiện Kuhn–Tucker cung cấp mối liên hệ a , u, U, mối liên hệ hữu ích cho mục đích thực tiễn, ví dụ để sinh trọng số để xem xét lựa chọn ưa thích người ta định với khía cạnh thay hiệu Vài phương pháp tương tác khác, giống phương pháp Zionts, Wallenius, Steuer người khác dựa giải pháp vấn đề (3.37) 3.3.2 Lý thuyết đối ngẫu cho quy hoạch từ điển lồi “Convex Lexicographic Programming” Chúng ta xem xét vấn đề cực tiểu hóa lập trình từ điển “lexicographic minimization problem” (3.23), lex min{F ( x) | x Ỵ R n , G ( x) £ 0}, Dùng khái niệm tương tự mục 3.2 Trong vần đề tiếp sau, vấn đề (3.23) gọi vấn đề chủ yếu Các điều kiện Kuhn–Tucker cho vấn đề (3.23) cho (3.24)–(3.27) Với hàm L(x, U) = F(x) + UG(x), ký hiệu hàm Langrange giá trị vectơ Giả định tính lồi tất hàm fk(x)(k = 1, 2, ,s) and gi(x)(i = 1, 2, ,m), vấn đề tìm cựa đại điển “ lexicographic maximization” lex max{L( x,U ) | Ñ x L( x,U ) = 0, U lex ³ 0} (3.39) gọi vấn đề đối ngẫu Ñ x L( x,U ) ký hiệu ma trận s ×n với dịng có độ cong ứng với hệ số x thành phần L Đối với cặp vấn đề lập trình từ điển “Lexicographic Programming” (3.23) (3.39), thuộc tính đối ngẫu yếu có giá trị Định lý 3.7 Xem F, G hàm lồi với đạo hàm phần bậc nhất, x giải pháp khả thi (7.23), x0 giải pháp tối ưu hợp lý (3.23) (y, U) giải pháp khả thi cho vấn đề đối ngẫu tương ứng (3.39) Khi đó, (i) F ( x) lex ³ L( y,U ) ; (ii) Nếu F(x) = L(y, U), x giải pháp tối ưu hợp lý cho (3.23) (y, U) giải pháp tối ưu cho (3.39); (iii) Tồn ma trận U0 cho (x0,U0) giải pháp tối ưu (3.39) F(x0) = L(x0, U0) 86 Luận văn toán Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu Để minh họa vấn đề này, xem xét ví dụ với số mục 3.2: æ f ( x) ỉ x12 - 2x1 x2 + x22 - 2x1 + 2x2 ö lex F ( x) = ç ÷=ç ÷ - x1 + x22 è f ( x) ø è ø phụ thuộc vào g1 ( x) = x1 + x2 - £ 0, g ( x) = - x1 + x2 + £ Bởi tính lồi tất hàm f1(x), f2(x), g1(x), g2(x), vấn đề đối ngẫu (3.39) triển khai Hàm Lagrange với trị vectơ L(x, U) xác định L(x, U) æ x12 - 2x1 x2 + x22 - 2x1 + 2x2 ỉ u11 u12 ỉ x1 + x2 - =ỗ ữ+ỗ ữỗ ữ - x1 + x22 è ø è u21 u22 ø è - x1 + x2 + ø æ x12 - 2x1 x2 + x22 - 2x1 + 2x2 + u11 ( x1 + x2 - 8) + u12 (- x1 + x2 + 2) =ỗ ữữ ỗ x + x + u ( x + x 8) + u ( x + x + 2) è 21 22 ø Theo (3.39), ta viết vấn đề đối ngẫu lex max L(x,U) phụ thuộc vào: æ x1 - x2 - + u11 - u12 - x1 + x2 + + u11 + u12 ỉ 0 ỗ ữ=ỗ ữ - + u 21 - u 22 x2 + u 21 + u 22 è ø è 0ø Như đề cập mục 3.2, yếu tố uki ma trận U biến đối ngẫu liên quan đến mục tiêu thứ k ràng buộc thứ i Xem x* = (3, 0) giải pháp khả thi vấn đề chớnh v y* = (2, 0) v 2ử ổ0 ỗ ữ U* = 1 ỗ - ữ ố2 2ứ giải pháp khả thi vấn đề đối ngẫu Người đọc dễ dàng kiểm lại é ỉ ứ ỉ 0ư ê F ( x*) = ỗ ữ ỳ lex > L( y*,U *) = ç ÷ è -3 ø û è -5 ø ë Kết minh họa phần định lý 3.7 Như thể mục trước, sử dụng điều kiện Kuhn–Tucker (3.24)–(3.27), giải pháp tối ưu hợp lý vấn đề x0 ma trận Lagrange số U0 c lng nh sau: ổ5 1ử x0 = ỗ , ữ , ố2 2ứ ổ0 2ử U0 = ỗ ữ è -1 ø 87 Luận văn toán Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu Bởi F(x0) = L(x0,U0), x0 giải pháp tối ưu hợp lý cho vấn đề chủ yếu (x0, U0) giải pháp tối ưu cho vấn đề đối ngẫu 3.4 Hành vi công ty đối mặt với hàm mục tiêu ràng buộc quy định Hành vi công ty quy định “lãi suất công bằng” đề nghị Averch phân tích Kết “sự phân bổ sai nguồn lực kinh tế” cơng ty “có động lực để thay nhân tố theo cách không kinh tế Công ty thay vốn cho lao động (hiệu vốn mức) Giả định mơ hình Averch–Johnson cơng ty tối đa hóa lợi nhuận Bailey Malone tranh luận cơng ty tối đa hóa doanh thu sản lượng, bỏ vốn khơng đủ Xem xét kết quả, câu hỏi sau phát sinh: “Tác động quy định lãi suất cho công ty tối đa hóa doanh thu lợi nhuận mô tả 3.1.4?” Để trả lời câu hỏi này, chấp nhận giả định tương tự trình bày Averch Johnson Mơ hình tĩnh đề cập trước đó, trễ phá giá đồng tiền luật lệ không đề cập, mức lãi suất cho phép ban hành bời nhà điều hành giả định lớn chi phí vốn doanh nghiệp, cơng ty giả định sản xuất sản phẩm đơn giản Do vấn đề công ty đối diện với hàm mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận doanh thu phụ thuộc vào ràng buộc luật lệ Vấn đề tối ưu đa mục tiêu phát sinh sau: Tìm cực đại ìÕ ( x ) ü F(x) = ý ợR( x) ỵ Ph thuc vo Trong ú pq – sx1 – c2x2 £ q = f(x1,x2), f(0,x2) = f(x1,0) = 0, p = p(q) với p ' (q) = dp < dq Doanh thu cho R = p(q)q Và hàm lợi nhuận cho Õ = p(q)q - c1x1 - c2x2, Trong x1 x2 ký hiệu số lượng vốn lao động c1, c2 giá vốn lao động Ứng dụng điều kiện Kuhn–Tucker (3.13)–(3.16) cho vấn đề lập trình đa mục tiêu a1 [(p + p’q) f1 – c1] + a (p+ p’q)f1 – u([(p + p’q)f1 – s]=0, (3.40) a1 [(p + p’q) f2 – c2] + a (p+ p’q)f2 – u([(p + p’q)f2 – c2]=0, (3.41) u(pq – sx1 – c2x2) = 0, pq – sx1 – c2x2 £ 0, u ³ 0, 88 Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải toán đa mục tiêu Ký hiệu ( p + p’q) f1 doanh thu biên vốn MR1 ký hiệu (p + p’q) f2 doanh thu biên lao động MR2, (7.40)–(7.41) viết lại sau: ( a1 + a − u) MR1 +us = a1 c1, (3.42) ( a1 + a − u) MR2 +uc2 = a1 c2 Hơn nữa, công thức (3.42) (3.43) MR f a c - us = = 1 MR f (a1 - u)c (3.43) (3.44) Đối với việc tối đa hóa lợi nhuận độc quyền không điều tiết, (u = a1 = 1, a1 = 0), tỷ lệ thay biên vốn cho lao động với tỷ lệ giá chúng Dưới điều kiện ràng buộc luật lệ hiệu (u > 0) s > c1 (u ¹ 1) , (7.44) thể cơng tỷ lệ thay biên tỷ số giá đầu vào thỏa mãn Đối với cơng ty tối đa hóa doanh thu ràng buộc luật lệ ( a1 = 0; u > 0), dạng (3.44) thể hiện: f1 s c1 = > f c2 c Nghĩa là, tác dụng tác động thiếu vốn trình bày Bailey and Malone Kết cơng ty tối đa hóa lợi nhuận: thừa thiếu vốn? Câu trả lời phụ thuộc vào mối liên hệ a1 u Nếu a1 > u (sự ưu thích tối đa hóa lợi nhuận tương đối cao ràng buộc luật lệ chặt ),thì với giả định s > c1 cơng thức biểu f1 a1c1 - us c1 = < , f (a1 - u)c c Nghĩa là, hiệu ứng Averch–Johnson hay dư thừa vốn xảy Cơng ty tối đa hóa lợi nhuận ( a1 = 1, a = 0) với < u < trường hợp đặc biệt mơ hình xác nhận kết Trong trường hợp ngược lại, α1 < u ám f1 a1c1 - us c1 = > f (a1 - u)c c Kết cấp vốn khơng đủ cơng ty có động để thay lao động cho vốn Hệ từ (3.44) có vấn đề cần giải sau: Vấn đề 3.1 Trong công ty tối đa hóa doanh thu lợi nhuận ràng buộc luật lệ (u > 0), phân bổ tối thiểu hóa chi phí nhân tố sản xuất theo cách f1 c1 = f c2 89 Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải tốn đa mục tiêu Khơng thể đạt cách độc lập với mục tiêu tham chiếu Tác động thiếu vốn tối đa hóa lợi nhuận khơng thể bù đắp tác động thiếu vốn tối đa hóa doanh thu Điều theo sau vấn đề cần giải bên không kể đến mục tiêu công ty, quy định lãi suất dẫn đến phân bổ tối ưu nhân tố sản xuất 90 Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải toán đa mục tiêu TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Xuân Hải Trường Đại học Bách khoa, ĐHQG-HCM Nguyễn Thị Lan Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng, 2008, Tối ưu đa mục tiêu với chuẩn tối ưu tổ hợp S R ứng dụng trình chiết tách chất màu ANTHOCYANIN [2] Nguyễn Hải Thanh, 2006, Tối ưu hóa – Giáo trình cho ngành Tin học Cơng nghệ thơng tin, NXB Bách khoa – Hà Nội [3] Nguyễn Hải Thanh, 2005, Toán ứng dụng, NXB Đại học sư phạm Hà Nội [4] Bùi Minh Trí,2005, Quy hoạch tốn học, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội Tiếng Anh [5] Harold P.Benson, 1997, An Outer Approximation Algorithm for Generating All Efficient Extreme Points in the Outcome Set of a Multiple Objective Linear Programming Problem [6] Matthias Ehrgott, 2005, Multicriteria Optimization 2nd [7] Mathematical Optimization and Economic Analysis (Springer Optimization and Its Applications) [8] Mikulas Luptacik, 2009, Mathematical Optimization and Economic Analysis (Springer Optimization and Its Applications) [9] Paul Armand, 1992, Finding all maximal efficient faces in multiobjective linear programming [10] Hiệu Pareto http://vi.wikipedia.org/wiki/Hi%E1%BB%87u_qu%E1%BA%A3_Pareto 91 ... thiếu sót Chúng em kính mong nhận cảm thơng tận tình bảo Cơ Nhóm sinh viên thực Tăng Phạm Hồng Oanh – Trần Vương Hoàng Việt Tháng 7/2011 Luận văn tốn Phương pháp đơn hình giải toán đa mục tiêu... đến việc phân tích, lựa chọn định hướng vào nhiều mục tiêu khác Chẳng hạn, đơn vị sản xuất kinh doanh nên chọn định cho giá thành sản phẩm hạ, suất lao động cao, quy trình sản xuất đơn giản, thời... biểu cách tổng qt giải phương pháp đơn hình Hơn nữa, lĩnh vực quy hoạch sản xuất hay quản lý kinh doanh, nói riêng ngành khí điện lực, toán QHTT ứng dụng rộng rãi mang lại hiệu cần thiết 2.2 Phương