GIẢI BÀI TOÁN BA LÔ BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG

TỔNG LIÊN ĐOÀN LAO ĐỘNG VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC TƠN ĐỨC THẮNG KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN & TỐN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GIẢI BÀI TOÁN BA LÔ BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG Giảng viên hướng dẫn: ThS TRẦN THỊ THÙY NƯƠNG Sinh viên thực : NGUYỄN THANH CƯỜNG MSSV Lớp: 07TN1D Khóa: 11 : 070434M TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2011 Lời cảm ơn Khoá luận tốt nghiệp bước cuối đánh dấu trưởng thành sinh viên giảng đường Đại học Để trở thành cử nhân hay kỹ sư đóng góp học cho phát triển đất nước Trong trình thực khố luận tốt nghiệp, em giúp đỡ, hướng dẫn, hỗ trợ động viên từ gia đình, từ q thầy bạn Nhờ mà em hồn thành luận văn mong muốn, xin cho phép em gửi lời cám ơn sâu sắc chân thành đến: Ba mẹ người dạy dỗ nuôi em khôn lớn em bước chân vào giảng đường đại học, người bên cạnh em chia lúc em gặp khó khăn sống Các thầy khoa cơng nghệ thơng tin tốn ứng dụng trường Đại Học Tôn Đức Thắng truyền đạt kiến thức quý báu để từ em phát triển thêm vốn hiểu biết vận dụng công việc sau Ban giám hiệu trường Đại Học Tôn Đức Thắng tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trình học tập hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn cô ThS Trần Thị Thùy Nương, người trực tiếp hướng dẫn đề tài Trong q trình làm luận văn, tận tình hướng dẫn thực đề tài, giúp em giải vấn đề nảy sinh trình làm luận văn hồn thành luận văn định hướng ban đầu Xin chân thành cảm ơn thầy cô hội đồng chấm luận văn cho em đóng góp quý báu để luận văn thêm hoàn chỉnh Cuối xin gửi lới cảm ơn tới tất bạn bè người chia va giúp đỡ em hoàn thành luan van Một lần em xin chân thành cảm ơn Chúc tất người sức khỏe thành đạt Hồ Chí Minh, tháng năm 2011 Giải tốn Ba lô bẳng phương pháp quy hoạch động Nhận xét giảng viên hướng dẫn Giải toán Ba lô bẳng phương pháp quy hoạch động Nhận xét hội đồng phản biện Giải tốn Ba lơ bẳng phương pháp quy hoạch động MỤC LỤC Chương 1: BÀI TỐN BA LƠ – 1.Khái niệm tốn ba lơ 1 Ý tưởng phương pháp nhánh cận 1.1.1 Một số khái niệm bản: Ý tưởng phương pháp nhánh cận: Cơng thức tính cận tốn ba lơ (KP) 4 Tính cận toán Thuật toán nhánh cận Chương 2: QUI HOẠCH ĐỘNG 17 Giới thiệu: 17 Bài toán 1: Bài toán đường ngắn 17 Bài toán 2: 22 Bài toán 3: 27 Bài toán 4: 29 Tính tốn kinh tế DP : 30 Mơ hình nhiều giai đoạn : 30 Ví dụ thất bại: 33 Sự phân rã 34 10 Đệ quy ngược chuyển đệ quy 36 11 Những hệ thống với nhiều ràng buộc 38 12 Ứng dụng DP tới hệ thống liên tục 41 Chương 3: GIẢI BÀI TỐN BA LƠ BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH ĐỘNG 47 Khái niệm: 47 Đưa toán qui hoach ngun tốn ba lơ, phương pháp hợp 47 hóa 47 Thuật tốn giải tốn ba lơ 49 Ví dụ: 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO: 59 Giải tốn Ba lơ bẳng phương pháp quy hoạch động DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ĐK TH Xtb KPco KP Best : Điều kiện : Trường hợp : Trung bình X : Bài tốn : Bài tốn ba lơ : Tối ưu Giải tốn Ba lơ bẳng phương pháp quy hoạch động Lời mở đầu Trong năm gần đây, phương pháp Tối ưu hóa ngày áp dụng sâu rộng vào ngành kinh tế, kỹ thuật, tin học nhiều ngành khác Mơn học Tối ưu hóa chuyên đề thuộc lĩnh vực tăng cường nghiên cứu, giảng dạy trường đại học, cao đẳng viện nghiên cứu Với kiến thức học hướng dẫn thầy cô giáo môn, định chọn đề tài sau nội dung đề tài Nhằm mục đích phục vụ cho việc học tập thực hành hiệu đề tài với nội dung tương đối đầy đủ dễ hiểu, chủ yếu tập có tính chất minh họa cho phương pháp thuật tốn, khơng đề cập đến tốn q khó Đề tài gồm chương: Chương 1: Giới thiệu tốn ba lơ Chương 2: Qui hoạch động Chương 3: Giải toán ba lơ phương pháp qui hoạch động Chính rộng lớn đề tài hạn chế kiến thức nghiên cứu nên việc đề tài không tránh khỏi thiếu sót, mong q thầy người đóng góp ý kiến, xin chân thành cảm ơn Giải tốn Ba lơ bẳng phương pháp quy hoạch động Chương 1: BÀI TỐN BA LƠ – 1.Khái niệm tốn ba lơ Bài tốn ba lơ tốn qui hoạch tuyến tính ngun với ràng buộc dạng đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Về mặt hình thức, tốn ba lơ tốn tối ưu rời rạc nghiên cứu nhiều mơ hình tốn học cho nhiều tốn thực tế Cho đến nay, có nhiều thuật tốn đề suất để giải tốn ba lơ sử dụng phương pháp khác như: phương pháp nhánh cận, phương pháp phương trình truy tốn qui hoạch động hay đưa tốn ba lơ tốn tìm đường ngắn đồ thị… Mục dành để trình bày thuật tốn nhánh cận giải tốn ba lơ – 1 Ý tưởng phương pháp nhánh cận Xét toán qui hoạch nguyên max f(x) với điều kiện xD (IP) Trong f (x) = < c , x > với c  Rn \ {0} D Rn tập hữu hạn phần tử x = (x1,…, xn)T mà xj , j = 1,…, n , nhận giá trị nguyên xj  {0,1} Do D có hữu hạn phần tử nên tốn (IP) ln có nghiệm tối ưu, tức tồn xopt  D cho f (xopt) ≥ f (x) x  D Giá trị tối ưu toán fopt = f(xopt) Trước hết ta làm quen với số khái niệm 1.1.1 Một số khái niệm bản:  Một họ P chứa hữa hạn tập D, P := {Di  D|i  I} I tập hữu hạn số, gọi phân hoạch D D = ∪ Di Di ∩Dj = Ø i ≠ j Nói ta phân hoạch tập D tập Di , i  I có nghĩa ta có {Di  D | i  I} phân hoạch D Phân hoạch P’ := {D’j  D | j  I’} gọi mịn phân hoạch P := {Di  D | i  I} nếu: i  I tồn j  I’ cho D’j  Di tồn io  I, jo  I’ cho D’jo  Dio  Bài toán max f(x) với điều kiện x  Di (IPi) Chương 1: Bài tốn Ba lơ – Trang Với Di  D gọi toán toán toán qui hoạch nguyên (IP) hàm mục tiêu tập chấp nhận bé  Số thực α  R gọi cận toán (IP) α ≤ fopt Hiển nhiên tìm phương án chấp nhận xtb  D f(xtb) ≤ fopt , tức f(xtb) cận tốn (IP) Khi xtb gọi kỷ lục & f(xtb) gọi giá trị kỷ lục  Số thực β  R gọi cận toán (IP) fopt ≤ β Trong q trình tính tốn, tìm kỷ lục cuong cận βbest toán (IP) cho βbest = f(xtb) xopt = xtb nghiệm tối ưu fopt = f(xtb) giá trị tối ưu toán Ý tưởng phương pháp nhánh cận: Ý tưởng phương pháp nhánh cận “chia để trị” , tức thay giải trực tiếp tốn qui hoạch nguyên (IP) ta giải toán max f (x) với ĐK xDi (IPi) Trong Di thuộc phân hoạch P := {Di D | i  I } Hiển nhiên việc giải toán (IPi) , i  I, mắc phải khó khăn tương tự giải tốn qui hoạch nguyên (IP) Tuy nhiên, ta xác định cận β (Di) toán nhờ đó, xác định cận toán ban đầu Giả sử tập chấp nhận D toán (IP) phân hoạch tập Di , i  I, ta biết cận β (Di) toán (IPi) Đặt β = max { β (Di) | iI } Vì Di  D i  I nên max {f (x) | x  D} ≤ β Tức β cận toán qui hoạch nguyên (IP) Rõ ràng ta phân hoạch D tập nhỏ ta nhận đánh giá cận β toán ban đầu (IP) sát giá trị tối ưu Đầu tiên, chưa biết phương án chấp nhận tốn (IP) ta đặt α = - ∞ cận toán Trong trình tính tốn, tìm nghiệm tối ưu tốn (IPk) (hiển nhiên xk  D) ta tính lại cận α = max {α, f(xk)} ta có kỷ lục xtb  D với giá trị kỷ lục α = f(xtb) Điểm đặc sắc thuật toán nhánh cận xuất phát từ tập chấp nhận ban đầu D, qua vòng lặp, việc phân hoạch mịn dần tập D xác định cận toán ta loại dần tập Dk Chương 1: Bài tốn Ba lơ – Trang  D mà ta biết chắn nghiệm tối ưu tốn ban đầu (IP) khơng thể thuộc Dk ta biết phương án tốt Dk (phương án nghiệm tối ưu toán tương ứng) Đến “kiểm duyệt” hết (tức loại hết) tập cần xét thuật tốn kết thúc ta nhận nghiệm tối ưu toán ban đầu Một tập Dk  D loại bỏ, tức khơng cần xem xét đến vịng lặp tiếp theo, thỏa mãn ba tiêu chuẩn sau:  Tiêu chuẩn 1: Tập Dk tập rỗng;  Tiêu chuẩn 2: Tìm nghiệm tối ưu xk  Dk  D toán (IPk) Vì vậy, tập Dk xét xong Tính lại giá trị kỷ lục α = max {α, f(xk)} Và ta kỷ lục xtb  D tương ứng với giá trị kỷ lục này, tức f(xtb) = α  Tiêu chuẩn 3: Cận β (Dk) tốn (IPk) khơng vượt q giá trị kỷ lục Do tập Dk chứa phương án tốt kỷ lục ta không cần phải xét đến tập Tại vòng lặp, ta có danh sách D tập D cần phải xem xét Như nói: - Nếu D = Ø dửng thuật tốn ta nhận nghiệm tối ưu toán ban đầu (IP) - Ngược lại, ta chọn D tập Dk  D mà ta cho có nhiều khả chứa nghiệm tối ưu cần tìm nhất, rời phân hoạch Dk số hữu hạn tập Dk (cơng việc gọi “chia nhánh”) Tiếp đó, ta lại tính lại cận trên, cận (giá trị kỷ lục) loại bỏ dần tập con… Xét tốn ba lơ – n  KP  f ( x)   C j x j  max j 1  x  D   x  Rn  n a x j j 1 j   b, x j  0,1 j  1, 2, , n   Trong cj , aj , j =1,…,n b số thực cho trước Từ ý nghĩa thực tiễn toán, giả thiết b > 0, cj > , b > aj > , j = 1,2,…,n đánh số đồ vật cho: c c1 c2    n a1 a2 an Chương 1: Bài tốn Ba lơ – 1 Trang Giải quy hoạch động: 2)  g  x   max i i i  60 i 1 x i 1 xi  0, i  1, 2, 3, Với số liệu cho bảng sau: gi g1 g2 g3 g4 0 0 15 16 30 24 18 30 46 36 40 52 45 62 54 60 64 60 80 74 90 78 xi Ta áp dụng công thức: f k    max  g k  xk   f k 1   xk   xk  f0(0) = 0, α biến đổi từ 0, 15, 30, 45, 60 k biến đổi từ 1, 2, 3, f1(0) = g1(0) = f1(15) = g1(15) = 16 f1(30) = g1(30) = 46 f1(45) = g1(45) = 62 f1(60) = g1(60) = 80 * k = 2, ta có: f 15   max  g    f1 15  ; g 15   f1    max 0  16;30  0  30 0 x2 15 0 x2 15 f3  30   max  g    f  30  ; g 15   f 15  ; g  30   f    max 0  46; 24  30; 40  0  54 0 x3  30  x3 30 f3  45   max  g3    f  45  ; g3 15   f  30  ; g3  30   f 15  ; g  45   f    x3  45  max 0  76; 24  46; 40  30; 60  0  76  x3  30 f3  60   max  g3    f  60  ; g 15   f  45  ; g3  30   f  30  ; g3  45   f 15  ; g  60   f   0 x3  60  max 0  92; 24  76; 40  46;  30;90  0  100 0 x3  60 Chương 2: Quy hoạch động Trang 45 * k = 3, ta có: f3 15   max  g    f 15  ; g3 15   f    max 0  30; 24  0  30 0 x3 15 0 x3 15 f3  30   max  g    f  30  ; g 15   f 15  ; g  30   f    max 0  46; 24  30; 40  0  54 0 x3 30  x3  30 f3  45   max  g3    f  45  ; g3 15   f  30  ; g3  30   f 15  ; g  45   f    x3  45  max 0  76; 24  46; 40  30; 60  0  76  x3  30 f3  60   max  g3    f  60  ; g 15   f  45  ; g3  30   f  30  ; g3  45   f 15  ; g  60   f   0 x3  60  max 0  92; 24  76; 40  46;  30;90  0  100 0 x3  60 với k = 4, ta xét với α = 60 khơng cần giá trị trung gian f4(α) với α ≤ 45 f  60   max  g    f3  60  ; g 15   f  45  ; g  30   f  30  ; g  45   f 15  ; g  60   f3    x4  60  max 0  100;18  76;52  54;64  30; 78  0  106 0 x4  60 f4(60) = 106 ứng với x4 = 30 f3(30) f3(30) = 54 ứng với x3 = 15 f2(15) f2(15) = 30 ứng với x2 = 15 x1 = Vậy ta có phương án tối ưu: x1 = 0; x2 = 15; x3 = 15; x4 = 30, f4(60) = 106 Chương 2: Quy hoạch động Trang 46 Chương 3: GIẢI BÀI TOÁN BA LÔ BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH ĐỘNG Khái niệm: Một người du lịch muốn mang theo túi với tổng trọng lượng khơng vượt q b (kg) Có n loại đồ vật mà định đem theo, biết trọng lượng đồ vật loại j aj có giá trị cj , xác định số lượng đồ vật loại mang theo để tổng trọng lượng ≤ b, giá trị túi lớn Ký hiệu xj số đơn vị đồ vật loại j cần đem theo n f = å ci x j ® max j=1 n åax j j £b j =1 x j ³ 0, j =1, n Hàm mục tiêu: jaê0,  xnguy  j1  nb1,j=  Đưa toán qui hoach nguyên tốn ba lơ, phương pháp hợp hóa Xét hệ hai ràng buộc: axb   j n( )I a jxb j1 aij ≥ nguyên b1, b2 > nguyên  Định lý: Giả sử số t1 t2 (t1 , t2 N*) thỏa mãn điều kiện sau: (t1 , t2) = 1, t1 t2 nguyên tố t1 không chia hết cho b2; t2 không chia hết cho b1 t1 > (b2 – amin); t2 > (b1 – amin); amin = min(aij > 0} Khi tập nghiệm ngun khơng âm hệ phương trình (I) trùng với tập nghiệm ngn khơng âm phương trình sau (hợp hai phương trình trên) n  (t a 1j  t2 a2 j ) x j  t1b1  t2b2 j 1 Chương 3: Giải tốn Ba lơ phương pháp qui hoạch động Trang 47 Mở rộng với hệ phương trình: ìn ïå a ij x j = bi , i =1, m j =1 ï ï (II )íaij ³ 0, a ij Ỵ N ù * ùbi ẻ N ù ợ Khi ú $ti > 0, i =1, m Sao cho :tập nghiệm ngun khơng âm hệ phương trình (II) m ổ t a x = ỗ ữ ồ i ij j åi =1 ti bi j =1, n èj =1, m ø trùng với tập nghiệm nguyên khơng âm phương trình sau Ví dụ: đưa phương trình tương đương hệ sau đây: xn,123   guyxên013  Ta thêm vào biến phụ x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ để đưa hệ ràng buộc dạng tắc x1  x2  x1  x1  x2 x2 x3  x4  10 (1)  10  x5  13 (2) (3) x j  0, j  1, b1  10, b2  11, a  Ta chọn t1 = 12, t2 = 11 Hợp (1) (2) suy (36+11)x1 + (24+44)x2 + 12x3 +11x4 = 120 + 121 47x1 + 68x2 + 12x3 + 11x4 = 241 (1’) Ghép tiếp với (3) gọi (2’): t’1 = 15, t’2 = 242 (47 * 15 + 242 * 3)x1 + (68 * 15 + 242 * 3)x2 + 12 *15x3 +11 * 15x4 + 242x5 = 3615 + 13 *242 = 6761 Suy 1431x1 + 1746x2 +180x3 +165x4 + 242x5 = 6761 Chương 3: Giải toán Ba lô phương pháp qui hoạch động Trang 48 Thuật tốn giải tốn ba lơ Xét phương pháp giải dựa quan điểm Qui Hoạch Động k åcx j j ® max j £a j=1 k åax j j=1 x j ³ 0, j =1, k xj Ỵ N Xét toán với k loại đồ vật trọng lượng túi không lớn α , 10 ja   xN   jk1,  Bài toán Pk(α), Giá trị tối ưu fk(α) Áp dụng phương pháp phương trình truy tốn ta có: f k ( )  max ck xk  f k 1 (  ak xk ) xk  X k      X k  0,1, ,     ak    f ( )  f1 ( )  max c1 x1  f   a1 x1  x1  X      X  0,1, ,     a1       f1 ( )  c1    a1  f ( )  max c2 x2  f (  a2 x2 ) x2  X      X  0,1, ,      a2   Ví dụ: Giải tốn ba lơ: Chương 3: Giải tốn Ba lơ phương pháp qui hoạch động Trang 49 ì8 x1 + x + x3 ® max ï í3 x1 + x + x3 £13 ïx ³ 0, x ngun j ỵ j *k  1, *k  2,   0,      X  0,1, ,      a1   f1      1, f1 1    2, f1      3, f1  3    4, f1      5, f1      6, f1    max  16   7, f1    16   8, f1    16   9, f1    24 a1  3, *    10, f1 10   24   11, f1 11  24   12, f1 12   32   13, f1 13  32 *  *  * a2  2, f    max c2 x2  f1   a2 x2  , c2    0, f2  0    1, f 1  max  f1 1    2, f    max 5.0  f1   ,5.1  f1      3, f  3  max 5.0  f1  3 , 5.1  f1       4, f    max 5.0  f1   ,5.1  f1   ,5.2  f1    10 Chương 3: Giải tốn Ba lơ phương pháp qui hoạch động Trang 50 Tương tự ta có:   5, f    13   6, f    16   7, f    18   8, f    21   9, f    24   10, f 10   26   11, f 11  29   12, f 12   32   13, f 13  34 *k  3, a3  1, X  0,1, ,13 , c3  Ta xét cho α = 13: f3(13) = max {1 x + f2(13), x + f2(12), x + f2(11), x + f2(10), x + f2(9), x + f2(8), x + f2(7), x + f2(6), x + f2(5), x + f2(4), x 10 + f2(3), x 11 + f2(2), x 12 + f2(1), x 13 + f2(0)} f3(13) = max {0 + 34, + 32, + 39, + 26, + 24, + 21, + 18, + 16, + 13, + 10, 10 + 8, 11 + 5, 12 + 0, 13 + 0} = 34 Ta có phương án tối ưu: f3(13) = 34 với x3 = f2(13) = 34 f2(13) = 34 với x2 = f1(9) = 24 f1(9) = 24 với x1 = Vậy: x1 = 3, x2 = 2, x3 = 0; f3(13) = 34 Giải tốn ba lơ: x1 + x2 +3 x3 +x4 ® max ì6 x1 + x2 +2 x3 + x4 £20 ï ï íx j ³ 0, j =1, ï j=1, ï ỵx j ngun; Chương 3: Giải tốn Ba lơ phương pháp qui hoạch động Trang 51 * k=1, a = 0, f1 (0 ) = a =1, é1 f1 (1) = ê ë6 a = 2, a = 3, é2 ù f1 (2 ) = ê ú=2 ´0 =0 ë6 û é3 ù f1 (3 ) = ê ú= ´0 =0 ë6 û a = 4, é4 f1 (4 ) = ê ë6 a = 5, é5 f (5 ) = ê ë6 a = 6, a = 6, a = 7, a = 8, a = 9, a =10, ù ú=2 ´0 =0 û é6 f1 (6 ) = ê ë6 é6 f1 (6 ) = ê ë6 é7 f1 (7 ) = ê ë6 ù =2 ´0 =0 ú û ù =2 ´0 =0 ú û ù =2 ´1 =2 ú û ù ú=2 ´1 =2 û ù ú=2 ´1 =2 û é8 ù f1 (8 ) =2 ê ú=2 ´1 =2 ë6 û é9 ù f1 (9 ) = ê ú= ´1 =2 ë6 û é10 ù f (10 ) =2 ê ú=2 ´1 =2 ë6 û Chương 3: Giải toán Ba lô phương pháp qui hoạch động Trang 52 a =11, a =12, a =13, é13 f1 (13 ) =2 ê ë6 ù ú=2 ´2 =4 û a =14, é14 f (14 ) =2 ê ë6 ù ú=2 ´2 =4 û é15 f1 (15 ) =2 ê ë6 é16 f (16 ) =2 ê ë6 ù =2 ´2 =4 ú û a =17, é17 f1 (17 ) =2 ê ë6 ù ú=2 ´2 =4 û a =18, é18 f1 (18 ) =2 ê ë6 ù ú= ´3 =6 û a =19, é19 f (19 ) =2 ê ë6 a =15, a =16, a = 20, *k=2 é11 ù f1 (11 ) = ê ú=2 ´1 =2 ë6 û é12 ù f (12 ) =2 ê ú=2 ´2 =4 ë6 û α = 0; α = 1; α = 2; α = 3; α = 4; α = 5; α = 6; α = 7; α = 8; α = 9; α = 10; ù ú=2 ´2 =4 û ù ú=2 ´3 =6 û é20 ù f1 (20 ) = ê ú=2 ´3 =6 ë6 û f2(0) = f2(1) = max (7 x + f1(1)) = f2(2) = max (7 x + f1(2)) = f2(3) = max (7 x + f1(3), x + f1(0)) = f2(4) = max (7 x + f1(4), x + f1(1)) = f2(5) = max (7 x + f1(5), x + f1(2)) = f2(6) = max (7 x + f1(6), x + f1(3), x + f2(0)) = + 2, + 0, 14 + = 14 f2(7) = max (7 x + f1(7), x + f1(4), x + f1(1)) = + 2, + 0, 14 + = 14 f2(8) = max (7 x + f1(8), x + f1(5), x + f1(2)) = + 2, + 0, 14 + = 14 f2(9) = max (7 x + f1(9), x + f1(6), x + f1(3), x + f1(0)) = + 2, + 0, 14 + 0, 21 + = 21 f2(10) = max (7 x + f1(10), x + f1(7), Chương 3: Giải tốn Ba lơ phương pháp qui hoạch động Trang 53 α = 11; α = 12; α = 13; α = 14; α = 15; α = 16; α = 17; α = 18; x + f1(4), x + f1(1)) = + 2, + 2, 14 + 0, 21 + = 21 f2(11) = max (7 x + f1(11), x + f1(8), x + f1(5), x + f1(2)) = + 2, + 2, 14 + 0, 21 + = 21 f2(12) = max (7 x + f1(12), x + f1(9), x + f1(6), x + f1(3), x + f1(0)) = + 2, + 2, 14 + 2, 21 + 0, 28 + = 28 f2(13) = max (7 x + f1(13), x + f1(10), x + f1(7), x + f1(4), x + f1(1)) = + 4, + 2, 14 + 2, 21 + 0, 28 + = 28 f2(14) = max (7 x + f1(14), x + f1(11), x + f1(8), x + f1(5), x + f1(2)) = + 4, + 2, 14 + 2, 21 + 0, 28 + = 28 f2(15) = max (7 x + f1(15), x + f1(12), x + f1(9), x + f1(6), x + f1(3), x + f1(0)) = + 4, + 4, 14 + 2, 21 + 2, 28 + 0, 35 + = 35 f2(16) = max (7 x + f1(16), x + f1(13), x + f1(10), x + f1(7), x + f1(4), x + f1(1)) = + 4, + 4, 14 + 2, 21 + 2, 28 + 0, 35 + = 35 f2(17) = max (7 x + f1(17), x + f1(14), x + f1(11), x + f1(8), x + f1(5), x + f1(2)) = + 4, + 4, 14 + 2, 21 + 2, 28 + 0, 35 + = 35 f2(18) = max (7 x + f1(18), x + f1(15), x + f1(12), x + f1(9), x + f1(6), x + f1(3), x + f1(0)) Chương 3: Giải tốn Ba lơ phương pháp qui hoạch động Trang 54 α = 19; α = 20; *k=3 α = 0; α = 1; α = 2; α = 3; α = 4; α = 5; α = 6; α = 7; α = 8; α = 9; α = 10; = + 6, + 4, 14 + 4, 21 + 2, 28 + 2, 35 + 0,42 +0 = 42 f2(19) = max (7 x + f1(19), x + f1(16), x + f1(13), x + f1(10), x + f1(7), x + f1(4), x + f1(1)) = + 6, + 4, 14 + 4, 21 + 2, 28 + 2, 35 + 0,42 +0 = 42 f2(20) = max (7 x + f1(20), x + f1(17), x + f1(14), x + f1(11), x + f1(8), x + f1(5), x + f1(2)) = + 6, + 4, 14 + 4, 21 + 2, 28 + 2, 35 + 0,42 +0 = 42 f3(0) = f3(1) = max (3 x + f2(1)) = + = f3(2) = max (3 x + f2(2), x + f2(0)) = f3(3) = max (3 x + f2(3), x + f2(1)) = + 7, + = f3(4) = max (3 x + f2(4), x + f2(2), x + f2(0)) = + 7, + 0, + = f3(5) = max (3 x + f2(5), x + f2(3), x + f2(1)) = + 7, + 7, + = 10 f3(6) = max (3 x + f2(6), x + f2(4), x + f2(2), x + f2(0)) = + 14, + 7, + 0, + = 14 f3(7) = max (3 x + f2(7), x + f2(5), x + f2(3), x + f2(1)) = + 14, + 7, + 7, + = 14 f3(8) = max (3 x + f2(8), x + f2(6), x + f2(4), x + f2(2), x + f2(0)) = + 14, + 14, + 7, + 0, 12 + = 17 f3(9) = max (3 x + f2(9), x + f2(7), x + f2(5), x + f2(3), x + f2(1)) = + 21, + 14, + 7, + 7, 12 + = 21 f3(10) = max (3 x + f2(10), x + f2(8), x + f2(6), Chương 3: Giải tốn Ba lơ phương pháp qui hoạch động Trang 55 x + f2(4), x + f2(2), x + f2(0)) = + 21, + 14, + 14, + 7, 12 + 0, 15 + = 21 α = 11; α = 17; α = 18; f3(11) = max (3 x + f2(11), x + f2(9), x + f2(7), x + f2(5), x + f2(3), x + f2(1)) = + 21, + 21, + 14, + 7, 12 + 7, 15 + = 24 α = 12; f3(12) = max (3 x + f2(12), x + f2(10), x + f2(8), x + f2(6), x + f2(4), x + f2(2), x + f2(0)) = + 28, + 21, + 14, + 14, 12 + 7, 15 + 0, 18 + = 28 α = 13; f3(13) = max (3 x + f2(13), x + f2(11), x + f2(9), x + f2(7), x + f2(5), x + f2(3), x + f2(1)) = + 28, + 21, + 21, + 14, 12 + 7, 15 + 7, 18 + = 28 α = 14; f3(14) = max (3 x + f2(14), x + f2(12), x + f2(10), x + f2(8), x + f2(6), x + f2(4), x + f2(2), x + f2(0)) = + 28, + 28, + 21, + 14, 12 + 14, 15 + 7, 18 + 0, 21 = 31 α = 15; f3(15) = max (3 x + f2(15), x + f2(13), x + f2(11), x + f2(9), x + f2(7), x + f2(5), x + f2(3), x + f2(1)) = + 35, + 28, + 21, + 21, 12 + 14, 15 + 7, 18 + 7, 21 = 35 α = 16; f3(16) = max (3 x + f2(16), x + f2(14), x + f2(12), x + f2(10), x + f2(8), x + f2(6), x + f2(4), x + f2(2), x + f 2(0)) = + 35, + 28, + 28, + 21, 12 + 14, 15 + 14, 18 + 7, 21 + 0, 24 + = 35 f3(17) = max (3 x + f2(17), x + f2(15), x + f2(13), x + f2(11), x + f2(9), x + f2(7), x + f2(5), x + f2(3), x + f 2(1)) = + 35, + 35, + 28, + 21, 12 + 21, 15 + 14, 18 + 7, 21 + 0, 24 + = 38 f3(18) = max (3 x + f2(18), x + f2(16), x + f2(14), Chương 3: Giải tốn Ba lơ phương pháp qui hoạch động Trang 56 α = 19; α = 20; x + f2(12), x + f2(10), x + f2(8), x + f2(6), x + f2(4), x + f 2(2), x + f2(0)) = + 42, + 35, + 28, + 28, 12 + 21, 15 + 14, 18 + 14, 21 + 7, 24 + 0, 27 = 42 f3(19) = max (3 x + f2(19), x + f2(17), x + f2(15), x + f2(13), x + f2(11), x + f2(9), x + f2(7), x + f2(5), x + f 2(3), x + f2(1)) = + 42, + 35, + 35, + 28, 12 + 21, 15 + 21, 18 + 14, 21 + 7, 24 + 7, 27 +0 = 41 f3(20) = max (3 x + f2(20), x + f2(18), x + f2(16), x + f2(14), x + f2(12), x + f2(10), x + f2(8), x + f2(6), x + f 2(4), x + f2(2), x 10 + f2(0)) = + 42, + 42, + 35, + 28, 12 + 28, 15 + 21, 18 + 14, 21 + 14, 24 + 7, 27 + 0, 30 + = 45 *k=4 f3(20) = max (1 x + f3(20), x + f3(19), x + f3(18),1 x + f3(17), x + f3(16), x + f3(15), x + f3(14), x + f3(13), x + f 3(12), x + f3(11), x 10 + f3(10), x 11 + f3(9), x 12 + f3(8), x 13 + f3(7),1 x 14 + f3(6), x 15 + f3(5), x 16 + f3(4), x 17 + f3(3), x 18 + f3(2), x 19 + f 3(1), x 20 + f3(0)) = + 45, + 42, + 42, + 38, + 35, + 35, + 31, + 28, + 28, + 24, 10 + 21, 11 + 21, 12 + 17, 13 + 14, 14 + 14, 15 + 10, 16 + 7, 17 + 7, 18 + 3, 19 + 0, 20 + = 45 f4 (20) = 45 x4 = 0; f3(20) = 45 f3(20) = 45 x3 = 1; f2(18) = 42 f2(18) = 42 x2 = 6; f1(0) = f1(0) = x1 = Chương 3: Giải tốn Ba lơ phương pháp qui hoạch động Trang 57 Ta có phương án tối ưu: x1 = 0; x2 = 6; fmax = 45 x3 = 1; x4 = Chương 3: Giải tốn Ba lơ phương pháp qui hoạch động Trang 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO: Tiếng Việt [1] GS TSKH PHAN QUỐC KHÁNH, 2006, Vận trù học, NXB Giáo Dục [2] PGS.TS BÙI MINH TRÍ, 2008, Bài tập Tối ưu hóa, NXB KH&KT HÀ NỘI Tiếng Anh [3] Bellman R., 1969, Quy hoạch động, “Mir” [4] Gabaxov R., Kirilova F M, 1975, Những sở Quy hoạch động, NXB ĐHTH Minsk Chương 3: Giải tốn Ba lơ phương pháp qui hoạch động Trang 59 ... gọi giá trị kỷ lục  Số thực β  R gọi cận tốn (IP) fopt ≤ β Trong q trình tính tốn, tìm kỷ lục cuong cận βbest toán (IP) cho βbest = f(xtb) xopt = xtb nghiệm tối ưu fopt = f(xtb) giá trị tối