Giải bài toán hình học bằng phương pháp quy nạp

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN =============== HỒNG CẨM VÂN GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC Đà Nẵng, tháng 05 năm 2016 SVTH : Hồng Cẩm Vân Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN =============== GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Thị Sinh Người thực HỒNG CẨM VÂN (Khóa 2012-2016) Đà Nẵng, tháng 05 năm 2016 SVTH : Hồng Cẩm Vân Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phạm vi nghiên cứu Chương I: Cơ sở lí thuyết I Nguồn gốc đời quy nạp toán học Quy nạp ? Nguồn gốc đời quy nạp toán học II Nguyên lý quy nạp Nguyên lí quy nạp Phép chứng minh quy nạp 10 Một số dạng khác chứng minh quy nạp 10 Quy nạp hình học 10 Chương II: Ứng dụng phương pháp quy nạp giải toán hình học 12 2.1 Quy nạp đếm số miền mặt phẳng 12 2.2 Quy nạp tính tốn đại lượng hình học 17 2.3 Quy nạp dạng toán chứng minh 21 2.4 Quy nạp tốn dựng hình 29 2.5 Quy nạp tốn tìm quỹ tích 36 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 42 KẾT LUẬN 44 I.Nhận xét đánh giá chung đề tài 44 Kết đạt 44 Hạn chế 44 II Hướng phát triển đề tài 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 SVTH : Hồng Cẩm Vân Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh LỜI CẢM ƠN Trên thực tế, khơng có thành cơng mà không gắn liền với hỗ trợ, giúp đỡ dù hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp người khác Trong suốt thời gian nghiên cứu hồn thành luận văn tốt nghiệp này, tơi nhận quan tâm giúp đỡ Cô Nguyễn Thị Sinh, q thầy khoa Tốn – Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng, gia đình bạn bè Với lịng biết ơn sâu sắc nhất, tơi xin gửi đến cô Nguyễn Thị Sinh với tri thức tâm huyết để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho suốt thời gian nghiên cứu luận văn tốt nghiệp Và chân thành cảm ơn q thầy khoa Tốn – Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Luận văn tốt nghiệp thực thời gian khoảng tháng Bước đầu vào nghiên cứu chuyên sâu mơn khoa học, kiến thức tơi cịn nhiều hạn chế bỡ ngỡ Do vậy, không tránh khỏi thiếu sót điều kiện chắn, tơi mong ý kiến đóng góp q báu Nguyễn Thị Sinh q thầy khoa Tốn – Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng để hoàn thiện luận văn Sau cùng, tơi xin kính chúc Nguyễn Thị Sinh q thầy khoa Tốn – Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh truyền đạt kiến thức cho hệ mai sau Trân trọng ! Đà Nẵng, Ngày … tháng … năm 2016 Sinh viên thực Hoàng Cẩm Vân SVTH : Hoàng Cẩm Vân Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Quy nạp tốn học hình thức suy luận, phương pháp chứng minh cổ điển tốn học Có thể coi phương pháp chứng minh hiệu quả, việc đưa vào chương trình tốn trung học phổ thơng tất yếu Bên cạnh đó, việc thực bước chứng minh quy nạp giúp học sinh phát triển lực trí tuệ (tổng hợp, khái quát hóa) Phương pháp quy nạp thường em học sinh biết đến thơng qua tốn đại số chứng minh chia hết, tìm tổng hữu hạn dãy số, chứng minh bất đẳng thức … Tuy nhiên ứng dụng giải tốn hình học học sinh trung học phổ thơng cịn mẻ sử dụng Bởi lẽ, để áp dụng phương pháp quy nạp vào giải tốn hình học u cầu người học cần phải có khối lượng kiến thức hình học chắn, khả tư duy, kỹ đọc, phân chia, lắp ráp hình ảnh tốt Hơn nữa, với lực học mơn tốn đại đa số học sinh trung học phổ thông nay, khó truyền đạt ứng dụng phương pháp đến em cách rộng rãi Do nhằm khai thác rộng ứng dụng phương pháp quy nạp giúp phát triển lực tư giải toán học sinh giỏi trường THPT, tơi chọn đề tài “Giải tốn hình học phương pháp quy nạp” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Phạm vi nghiên cứu Đề tài “Giải tốn hình học phương pháp quy nạp” nghiên cứu tốn hình học phẳng nâng cao chương trình trung học phổ thơng SVTH : Hồng Cẩm Vân Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương: Chương I: Cơ sở lí thuyết Chương trình bày định nghĩa quy nạp toán học, lịch sử phương pháp quy nạp toán học nguyên lý quy nạp Chương II: Ứng dụng phương pháp quy nạp giải tốn hình học Chương trình bày ứng dụng phương pháp quy nạp giải toán hình học, bao gồm:  Quy nạp đếm số miền mặt phẳng  Quy nạp tính tốn đại lượng hình học  Quy nạp dạng toán chứng minh  Quy nạp tốn dựng hình  Quy nạp tốn quỹ tích SVTH : Hồng Cẩm Vân Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Chương I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT I Nguồn gốc đời quy nạp tốn học Quy nạp ? Mọi lập luận chuyển từ khẳng định riêng tới khẳng định chung mà tính đắn suy từ tính đắn khẳng định riêng gọi quy nạp Quy nạp toán học phương pháp chứng minh toán học đặc biệt, cho phép ta rút quy luật tổng quát dựa sở trường hợp riêng Nguồn gốc đời quy nạp tốn học Khi ta tính số tam giác Pat-xcan cách áp dụng cơng thức truy tốn, ta phải dựa vào hai số tìm cạnh đáy Cần nghiên cứu lược đồ tính tốn khơng phụ thuộc vào điều biết sơ Phép tính độc lập dựa vào công thức quen biết Cnr  n(n  1)(n  2) (n  r  1) 1.2.3 r mà ta gọi công thức tường minh để tính hệ số nhị thức Cnr Cơng thức tường minh có cơng trình Pat-xcan ( diễn đạt lời khơng phải kí hiệu đại) Pat-xcan không cho biết ông làm để rút cơng thức khơng phải bận tâm đến điều trước đến cơng thức ơng suy nghĩ (Có thể đầu đốn, ta thường phát quy luật nhờ quan sát lúc đầu, sau thử khái quát hóa kết có được) Tuy vậy, Pat-xcan đưa cách chứng minh xác cho cơng thức tường minh SVTH : Hồng Cẩm Vân Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Ta thấy có nhận xét sơ bộ: Công thức tường minh dạng viết không áp dụng trường hợp r  Tuy vậy, ta quy ước r  theo định nghĩa Cn0  Cịn trường hợp r  n cơng thức khơng ý nghĩa ta có: Cnn  n(n  1) 2.1 1 1.2 ( n 1) n kết Như vậy, ta cần chứng minh công thức 0r n, tức bên tam giác Pat-xcan, cơng thức truy tốn chứng minh Tiếp theo ta trích dẫn Pat-xcan với số thay đổi khơng bản, phần thay đổi dấu ngoặc vuông Mặc dầu mệnh đề xét (công thức tường minh hệ số nhị thức) có vơ số trường hợp riêng, ta chứng minh cách hồn toàn ngắn gọn dựa hai bổ đề Bổ đề thứ khẳng định mệnh đề với đáy thứ – điều hiển nhiên [khi n=1 cơng thức tường minh trường hợp giá trị r, nghĩa r=0, r=1, rơi vào điều nhận xét trên] Bổ đề thứ hai khẳng định sau: mệnh đề ta với đáy tùy ý [đối với giá trị n tùy ý] với đáy [đối với r=n+1] Từ hai bổ đề đó, suy đắn mệnh đề với giá trị n Thật vậy, bổ đề thứ mệnh đề với n=1; đó, theo bổ đề thứ hai với n=2, tiếp tục theo bổ đề thứ hai với n=3, n=4 tới vô hạn Như vậy, ta cần chứng minh bổ đề thứ hai Theo cách phát biểu bổ đề đó, ta giả thiết cơng thức ta với đáy thứ n, nghĩa đối SVTH : Hoàng Cẩm Vân Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh với giá trị tùy ý n với giá trị r (với  r  n ) Đặc biệt, đồng thời với cách viết Cnr  n(n  1)(n  2) (n  r  1) 1.2.3 r Ta viết (với r  ): Cnr 1  n(n  1)(n  2) (n  r  2) 1.2.3 (r  1) Cộng hai đẳng thức áp dụng cơng thức truy tốn ta hệ quả: Cnr1  Cnr  Cnr 1  n(n  1) (n  r  2)  n  r     1 1.2 (r  1) r     n(n  1) (n  r  2) n  1.2 (r  1) r (n  1)n(n  1) ( n  r  2) 1.2.3 r Nói cách khác, đắn công thức tường minh giá trị n kéo theo tính chất đắn với n  Chính điều khẳng định bổ đề thứ hai Như vậy, ta chứng minh bổ đề Những lời Pat-xcan trích dẫn có giá trị lịch sử chứng minh ơng vận dụng lần phương pháp suy luận mẻ, sau ta gọi Phép quy nạp toán học II Nguyên lý quy nạp Nguyên lí quy nạp Nguyên lí quy nạp phát biểu sở phương pháp chứng minh thơng dụng tốn học, gọi phép chứng minh quy nạp Ta có định lí sau: Định lí: Giả sử hàm mệnh đề P(n) với biến tự nhiên n, thỏa mãn điều kiện: SVTH : Hồng Cẩm Vân Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh (1) P(0) (2) Nếu P(n) P(n  1) Khi P(n) với số tự nhiên n Phép chứng minh quy nạp Theo định lí trên, để chứng minh mệnh đề P(n) với số tự nhiên n  N , ta cần tiến hành theo bước : Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n  Bước 2: Giả sử mệnh đề với n ( giả thiết quy nạp ) chứng minh mệnh đề với n+1 Đó phép chứng minh quy nạp Một số dạng khác chứng minh quy nạp a) Để chứng minh mệnh đề P(n) với số tự nhiên n ta tiến hành theo bước sau: Bước : Kiểm tra P(0) Bước 2: Giả sử P(k ) với số tự nhiên k  n ; ta chứng minh P(k  1) Ở phép chứng minh quy nạp theo kiểu này, giả thiết quy nạp là: mệnh đề với số tự nhiên k  n Do chứng minh P(k  1) đúng, ta có giả thiết nhiều phép chứng minh quy nạp ban đầu b) Để chứng minh mệnh đề P(n) với số tự nhiên n  a ta tiến hành bước trên, bước ta cần kiểm tra P(a) bước ta giả sử P(n) với n  a chứng minh P(n  1) Quy nạp hình học Quy nạp phương pháp quen thuộc hữu dụng, ứng dụng nhiều đại số lý thuyết số, chí ta bắt gặp tốn dùng phương pháp quy nạp giải Không quy nạp SVTH : Hồng Cẩm Vân Page 10 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Xét 2(k  1)  điểm A1 , A2 , , A2 k 1, A2 k 2 , A2 k 3 tùy ý, khơng có ba điểm thẳng hàng Giả sử điểm trung điểm cạnh B1B2 , B2 B3 , , B2k 2 B2k 3 , B2 k 3 B1 Khi ta có điểm A2 k 1 , A2 k 2 , A2 k 3 trung điểm cạnh B2k 1B2k 2 , B2k 2 B2k 3 , B2k 3 B1 Ta gọi A trung điểm cạnh B2 k 1B1 Ta dễ dàng chứng minh tứ giác AA2k 1 A2k 2 A2k 3 hình bình hành Theo giả thiết quy nạp ta dựng đa giác B1 , B2 , , B2k 1 nhận 2k điểm Ai (1  i  2k ) làm trung điểm A trung điểm B2 k 1 B1 Từ B1 kẻ đường thẳng song song với cạnh AA2k 1 cắt đoạn thẳng B2k 1 A2k 1 kéo dài điểm B2 k  Từ B2 k 1 kẻ đường thẳng song song với cạnh AA2k 3 cắt đoạn thẳng B1 A2k 3 điểm B2 k 3 Khi ta dựng đa giác thỏa mãn u cầu tốn Chứng minh: sử dụng tính chất đường trung bình tam giác ta dễ dàng chứng minh tốn SVTH : Hồng Cẩm Vân Page 31 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Bài toán 2.4.2: Cho hai đường thẳng d d1 song song với Bằng thước chia đoạn AB d1 làm n phần Giải: * Với n  Chọn điểm S ( S  d , S  d1 ) Gọi C,D giao điểm SA,SB với d Gọi T2  CB  AD Đường thẳng ST2 cắt d d1 Q2 P2 Chứng minh AP2  AB Ta có: T2 P2 B ∽ T2Q2C  SAP2 ∽ SCQ2  Từ (1)(2) suy ra: P2 B T2 B AB (1)   Q2C T2C CD P2 A SA AB (2)   Q2C SC CD AB P2 B P2 A   P2 B  P2 A hay AP2  Q2C Q2C * Với n  k , giả sử dùng thước thẳng dựng d1 điểm Pk cho APk  AB k SVTH : Hồng Cẩm Vân Page 32 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh * Với n  k  , cần chứng minh dùng thước thẳng chia đoạn AB d1 thành k  phần Với giả thiết quy nạp chia đoạn AB thành k phần Gọi Tk 1  AD  CPk Gọi Qk 1  STk 1  d , Pk 1  STk 1  d1 Cần chứng minh APk 1  AB k 1 Ta có: CQk 1Tk 1 ∽ Pk Pk 1Tk 1  CTk 1D ∽ PkTk 1 A  Từ (3)(4) suy Pk Pk 1 Pk Tk 1 (3)  CQk 1 CTk 1 Pk Tk 1 APk (4)  CTk 1 DC Pk Pk 1 APk (5)  CQk 1 DC Lại có: SAB ∽ SCD , SAPk 1 ∽ SCQk 1  Lấy (5) chia (6) APk 1 SA AB (6)   CQk 1 SC CD Pk Pk 1 APk  APk 1 AB k Mặt khác: Pk Pk 1  APk  APk 1 APk  AB 1 AB  APk 1 AB 1 k k  AB  APk 1  APk 1 APk 1 AB k k SVTH : Hồng Cẩm Vân Page 33 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh  APk 1  AB k 1 Vậy toán chứng minh Bài toán 2.4.3: Chỉ thước compa có độ a Hãy dựng đoạn thẳng có độ dài a n Giải: Phân tích: Giả sử dựng đoạn thẳng OAn  a n Trên tia OAn xác định điểm Bn cho OBn = a Qua An vẽ đường thẳng d bất kỳ, qua O Bn vẽ đường thẳng song song cắt d điểm An-1 Bn+1 ta có: a OAn 1 OAn   n  Bn Bn 1 An Bn a  a n  n Vậy OAn 1  Bn Bn 1 n 1 Nhưng dùng thước compa độ a nên việc dựng OAn1 / / Bn Bn1 cách dựng hình thoi OBn1Bn Bn1 cạnh a  SVTH : Hoàng Cẩm Vân OAn 1  a n 1 Page 34 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Như dựng OAn 1  a a ta dựng OAn  n n 1 đỉnh Bn1 , Bn , Bn1 đỉnh lục giác cạnh a nội tiếp đường tròn (O, a) với B6k i  Bi ( i  1, 2, ,6 ) Cách dựng : Dựng lục giác B1B2 B6 nội tiếp đường tròn (O;a) * Với n  toán hiển nhiên A1  B1 * Với n  k , giả sử dựng điểm Ak đoạn OBk cho OAk 1  a k 1 * Với n  k  , nối Ak với B1 cắt OBk 1 Ak 1 OAk 1 đoạn thẳng cần dựng, tức OAk 1  a k 1 Chứng minh: Theo cách dựng ta có :  OAk OAk 1  B1 Bk 1 Ak 1 Bk 1 a k  a k OAk 1 a   k OAk 1  a  OAk 1  OAk 1  a  OAk 1 k k 1 Vậy toán với n  k  Vậy ta dựng đoạn SVTH : Hoàng Cẩm Vân a thỏa mãn yêu cầu tốn n Page 35 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh 2.5 Quy nạp toán tìm quỹ tích Đối với dạng tập tìm quỹ tích, phương pháp quy nạp đa số hỗ trợ để giải phương pháp giải triệt dạng tập Bài toán 2.5.1: Cho trước n điểm phân biệt Tìm tập hợp điểm mặt phẳng thỏa mãn điều kiện tổng bình phương khoảng cách từ điểm tới n điểm cho ln bình phương số Giải: Bài tốn khái qt lại sau: Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức MA12  MA22   MAn2  c2 * Với n  , tốn trở thành tìm tập hợp điểm M mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức MA12  MA22  c2 Dễ thấy tập hợp điểm M đường tròn Lấy I trung điểm đoạn thẳng A1 A2 Sử dụng cơng thức tính đường trung tuyến ta tính 2c  A1 A22 A1 A22 MA  MA  2MI   MI  2 2 2 Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm I bán kính SVTH : Hồng Cẩm Vân Page 36 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh 2c  A1 A22 R * Với n  k , giả sử tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu toán đường tròn * Với n  k  , xét hệ điểm A1 , A2 , , Ak , Ak 1 Ta tìm điểm I thuộc đoạn Ak Ak 1 cho MAk2  MAk21  2MI  Ak Ak21 Kết hợp giả thiết quy nạp, tốn trở thành tìm điểm m cho MA12  MA22   MAk21  2MI =const Hệ có k điểm nên theo giả thiết quy nạp tập hợp điểm M đường trịn Vậy tập hợp điểm cần tìm đường trịn Bài tốn 2.5.2: Cho n đoạn thẳng B1C1 , B2C2 , , Bn Cn đoạn nằm cạnh n-giác lồi A1A2 An Tìm quỹ tích điểm M nằm đa giác cho tổng diện tích tam giác MB1C1 , MB2C2 , , MBn Cn số (và tổng SM B C  SM B C   SM B C , với M điểm xác định đa 1 2 n n giác) Giải: * Với n  , n-giác lồi trở thành tam giác A1 A2 A3 Trên cạnh A3A lấy điểm P cho A3 P  B2C2 cạnh A3A1 lấy điểm Q cho A3Q  B3C3 ta có: SM0B2C2  SM0B3C3  SM0PA3  SM0QA3  SPQA3  SM0PQ  Do đó: SM0B1C1  SM0B2C2  SM0B3C3  SPQA3  SM0B1C1  SM0PQ   Tương tự: SMB1C1  SMB2C2  SMB3C3  SPQA3  SMB1C1  SMPQ  Ta thấy quỹ tích cần tìm xác định điều kiện sau đây: SVTH : Hồng Cẩm Vân Page 37 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SMB1C1  SMPQ  SM0B1C1  SM0PQ Gọi N giao điểm A1A PQ thì: + Nếu chúng song song quỹ tích đoạn thẳng đường thẳng song song với A1A , PQ qua M + Nếu chúng khơng song song hai cạnh góc A2 NP ta lấy NR  PQ , NS  B1C1 Khi đó: SM0B1C1  SM0PQ  SM0 NS  SM0 NR  SNRS  SM0RS Và tương tự: SMB1C1  SMPQ  SNRS  SMRS Do quỹ tích cần tìm tập hợp điểm M nằm tam giác cho SMRS  SM RS , đoạn XY đường thẳng qua M song song với RS * Với n  k , giả sử ta biết quỹ tích cần tìm k-giác đoạn thẳng qua M * Với n  k  , xét (k  1) _ giác A1A2 Ak A k 1 Gọi B1C1 , B2C2 , , Bk Ck , Bk1Ck1 đoạn thẳng cho nằm cạnh đa giác M điểm nằm (k  1) _ giác SVTH : Hoàng Cẩm Vân Page 38 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Trên hai cạnh góc A1Ak 1Ak , từ đỉnh A k 1 ta lấy đoạn Ak 1P  Bk Ck Ak 1Q  Bk 1Ck 1 , đó: SMBk Ck  SMBk1Ck1  SMAk1P  SMAk1Q  SAk1PQ  SMPQ Do với điểm M quỹ tích cần tìm ta có: SMB1C1  SMB2C2   SMBk1Ck1  SMPQ  SM0B1C1  SM0B2C2   SM0Bk1Ck1  SM0PQ Nhờ giả thiết quy nạp, quỹ tích cần tìm đoạn thẳng qua M *Nhận xét: Ở ví dụ mấu chốt toán giả thiết quy nạp giả sử tập hợp đường trịn Ví dụ cần phải hình dung quỹ tích đường thẳng qua điểm M Nhìn chung hai tập có mấu chốt cần tháo gỡ, tháo gỡ mấu chốt tốn trở nên dễ dàng nhiều so với ban đầu Bài toán 2.5.3: Trong không gian cho mặt cầu (C) tâm O bán kính R hệ điểm A1 , A2 , , An Gọi G trọng tâm hệ điểm n  GA i 1 i  O Tìm tập hợp trọng tâm hệ điểm A1 , A2 , , An , M với M điểm di động mặt cầu (C) SVTH : Hoàng Cẩm Vân Page 39 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Giải: * Với n  trọng tâm A1M trung điểm A1M Ta có: GA1  GM  O  A1G  A1M Vậy G ảnh M qua phép vị tự tâm A1 tỉ số Tức : VA2 : M  G; R  R1  1 R Vậy tập hợp G mặt cầu (C1 ) ảnh mặt cầu (C) qua phép vị tự A1 V * Với n  k , giả sử ta tìm tập hợp trọng tâm Gn hệ điểm A1A2…An,M mặt cầu ( Cn ) tâm On bán kính Rn Khi ta có: Gn A1   Gn An  Gn M  * Với n  k  Ta tìm tập hợp trọng tâm Gn1 hệ A1 A2 An , An1 , M Ta có:  Gn1 A1  Gn1 A2   Gn1 An1  Gn1M   Gn1Gn  Gn A1  Gn1Gn  Gn A2   Gn1Gn  Gn An1  Gn1Gn  Gn M   (n  2)Gn1Gn  (Gn A1   Gn An  Gn M )  Gn An1   (n  2)Gn1Gn  Gn An1  (Theo giả thiết quy nạp Gn A1   Gn An  Gn M  ) SVTH : Hoàng Cẩm Vân Page 40 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Vậy: Gn1 A1  Gn1 A2   Gn1 An1  Gn1M   (n  2)Gn1Gn  Gn An1   (n  2)Gn1Gn  An1Gn  (n  2)Gn1Gn  An1Gn1  Gn1Gn  (n  1)Gn1Gn  An1Gn1  (n  1)( An1Gn  An1Gn1 )  An1Gn1  An 1Gn 1  n 1 An 1Gn n2 n 1 n An1 Do Gn1 ảnh Gn qua phép vị tự: V : Gn  Gn1 Theo giả thiết quy nạp ta có quỹ tích Gn mặt cầu (Cn), quỹ tích Gn 1 n 1 n An1 V mặt cầu ( Cn1 ) ảnh ( Cn ) qua phép vị tự : : (Cn )  (Cn1 ); Gn  Gn 1 Vậy quỹ tích điểm Gn1 mặt cầu ảnh mặt cầu (C) tâm O bán kính R qua n  phép vị tự SVTH : Hoàng Cẩm Vân Page 41 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Bài tập đề nghị Bài tập 1: Hãy tìm cách chia tam giác thành thành n_tam giác cân với n số tự nhiên lớn Bài tập 2: Cho tam giác nhọn ABC với 𝐴̂ = 𝑛𝐵̂, với n số nguyên dương Chứng minh tam giác chia thành tam giác cân mà tất cạnh bên chúng Bài tập 3: Xác định độ dài cạnh 2n _giác nội tiếp đường trịn bán kính R với n  Bài tập 4: n_giác lồi lõm, không tự cắt chia đường chéo không cắt có tam giác Bài tập 5: Trong đa giác lồi n cạnh (n  3) Có nhiều cạnh đường chéo lớn Bài tập 6: Tìm số lượng mặt phẳng, mà chia khối lập phương khơng nhỏ 300 phần Bài tập 7: Cho n hình vng Chứng minh cắt chúng (bằng nhát cắt thẳng) làm số mảnh đa giác để từ ghép lại thành hình vng Bài tập 8: Trong mặt phẳng có 2n điểm (n  2) , khơng có ba điểm thẳng hàng Một số chúng nối thành đoạn thẳng theo nguyên tắc sau: điểm A nối với điểm B, A khơng nối với C Chứng minh với cách nối ta thu không n đoạn thẳng Bài tập 9: Trên mặt phẳng cho số hữu hạn điểm không nằm đường thẳng Chứng minh tồn điểm cho đường trịn qua khơng chứa điểm bên Bài tập 10: Chứng minh 2n điểm khác đa giác lồi, tồn phép cắt đa giác thành n  đa giác lồi cho 2n điểm nằm cạnh đa giác SVTH : Hồng Cẩm Vân Page 42 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Bài tập 11: Chứng minh chia tam giác thành 2n tam giác cân với n  Bài tập 12: Chứng minh chia tam giác thành n tam giác vuông với n  Bài tập 13: Chứng minh ln chia tam giác thành tam giác nhọn Bài tập 14: Chứng minh tổng góc đa giác lồi n cạnh ( n  ) Sn  (n  2).1800 Bài tập 15: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi Cn  n(n  3) , n  Bài tập 16: Trong mặt phẳng cho n(n  3) đa giác lồi Biết ba đa giác ln có điểm chung Chứng minh tồn điểm chung tất đa giác Bài tập 17: Trên mặt phẳng cho đường tròn n điểm Hãy nội tiếp đường trịn n-giác có cạnh qua điểm cho Bài tập 18: Trên mặt phẳng cho n điểm Hãy dựng n-giác có cạnh đáy tam giác cân, tam giác nhận n điểm làm đỉnh góc đỉnh có số đo cho trước 1 , , ,  n Bài tập 19: Cho n điểm A1 , A2 , , An n số a1 , a2 , , an ( dương âm ) Tìm quỹ tích điểm M để tổng a1MA12  a2 MA22  a3MA32   an MAn2 số Bài tập 20: Tìm quỹ tích điểm cho tỉ số khoảng cách từ đến điểm cho trước số SVTH : Hoàng Cẩm Vân Page 43 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh KẾT LUẬN I.Nhận xét đánh giá chung đề tài Kết đạt Đề tài “ giải tốn hình học phương pháp quy nạp ” đạt kết sau: - Đưa định nghĩa quy nạp, lí thuyết sở phương pháp quy nạp - Ứng dụng phương pháp quy nạp vào giải tốn hình học phẳng, bao gồm phần: + Quy nạp đếm số miền mặt phẳng + Quy nạp tính tốn đại lượng hình học + Quy nạp dạng toán chứng minh + Quy nạp toán dựng hình + Quy nạp tốn quỹ tích - Đề tài nêu lời giải, phân tích cụ thể, nhận xét 18 tập nhằm liệt kê, phân loại dạng tốn hình học phẳng dùng phương pháp quy nạp để giải, giúp người đọc thấy vai trò phương pháp quy nạp tất dạng tốn, đặc biệt hình học phẳng Hạn chế Đây đề tài tương đối khó, kèm theo kiến thức, thời gian, tài liệu tham khảo hạn chế nên khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót Rất mong đóng góp q thầy bạn để đề tài phong phú hoàn thiện III Hướng phát triển đề tài Hy vọng đề tài tiếp tục nghiên cứu mở rộng nữa, để bổ sung dạng toán liên quan đến giải tốn hình học phương pháp quy nạp ứng dụng vào việc giải tốn cấp trung học phổ thơng SVTH : Hồng Cẩm Vân Page 44 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đức Chính - Phạm Tấn Dương - Lê Đình Thịnh, Tuyển tập toán sơ cấp, tập III, hình học, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp [2] Nguyễn Tiến Tài - Nguyễn Hữu Hoan,1998, Số học, Nhà xuất giáo dục [3] L.I.GOLOVINA-I.M.YAGLOM, Phép quy nạp hình học [4]ihttps://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web& cd=1&ved=0ahUKEwjVjenX1KLMAhUIv5QKHQpFB5wQFggdMAA &url=http%3A%2F%2Fdiendantoanhoc.net%2Findex.php%3Fapp%3Dc ore%26module%3Dattach%26section%3Dattach%26attach_id%3D2368 3&usg=AFQjCNHUMH3UaCNYswtr7FuGCZ_ATlHylQ&sig2=v6Lp0 DuZ3UNvq18zv8MNtg SVTH : Hoàng Cẩm Vân Page 45 ... nghĩa quy nạp toán học, lịch sử phương pháp quy nạp toán học nguyên lý quy nạp Chương II: Ứng dụng phương pháp quy nạp giải tốn hình học Chương trình bày ứng dụng phương pháp quy nạp giải tốn hình. .. “ giải tốn hình học phương pháp quy nạp ” đạt kết sau: - Đưa định nghĩa quy nạp, lí thuyết sở phương pháp quy nạp - Ứng dụng phương pháp quy nạp vào giải tốn hình học phẳng, bao gồm phần: + Quy. .. tốn hình học phẳng nâng cao dành cho học sinh giỏi bậc trung học phổ thông giải phương pháp quy nạp sau: - Quy nạp đếm số miền mặt phẳng - Quy nạp tính tốn đại lượng hình học - Quy nạp dạng toán