(SKKN 2022) một số phương pháp giải các bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Người thực hiện: Phan Văn Ngà Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2022 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng đề tài 2.3 Các giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.3.2 Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo 10 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 18 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 19 TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Từ đầu lớp 11 trước: học sinh làm việc với phần lớn hình phẳng Mỗi hình biểu diễn cách tường minh, phản ánh trung thành hình dạng kích thước hình vẽ mặt giấy Mọi quan hệ đối tượng biểu diễn cách trực quan Đến chương II, III hình học lớp 11, hình vẽ hình phẳng khơng thể phản ánh trung thành Các quan hệ quan hệ vng góc, quan hệ đối tượng Đó khó khăn lớn học sinh - Sau giới thiệu quan hệ: quan hệ song song, quan hệ vng góc khơng gian, sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa hai khái niệm quan trọng là: “Khoảng cách” “góc” có tốn liên quan đến hai khái niệm khai thác nhiều kì thi kì thi Đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi Ngoài việc giải tốn khoảng cách cịn giúp ta giải tốn thể tích khối đa diện lớp 12 - Trong “Khoảng cách”: Do yêu cầu thời lượng chương trình sgk hình học lớp 11 đưa khái niệm khoảng cách nêu lên mối liên hệ khái niệm ý cuối chương hai ví dụ khoảng cách.Do đứng trước toán yêu cầu khoảng cách Từ dẫn đến học sinh khó tư hình học khơng gian, âm thầm bỏ khơng học phần Từ lý với kinh nghiệm q trình dạy học, tơi xin mạnh dạn đưa đề tài: “ Một số phương pháp giải tốn khoảng cách hình học khơng gian lớp 11” Thông qua nội dung đề tài tơi muốn cung cấp cho học sinh nhìn tổng quan phương pháp giải, từ có định hướng tốt để tìm lời giải khoảng cách Hy vọng đề tài nhỏ làm cho học sinh u mơn hình học khơng gian giúp đồng nghiệp có thêm tư liệu tham khảo trình giảng dạy 1.2 Mục đích nghiên cứu - Làm rõ vấn đề mà học sinh lúng túng , mắc nhiều sai lầm chí khơng có định hướng lời giải việc tính tốn khoảng cách - Góp phần gây hứng thú học tập phần khoảng cách đối cho học sinh, giúp em giải phần coi khó đề thi, địi hỏi phải có tư cao - Làm cho học sinh thấy tầm quan trọng chương học, vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận giải dạng toán - Nâng cao chất lượng mơn tốn theo chun đề khác góp phần nâng cao chất lượng dạy học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong chương trình phổ thơng để giải tốn khoảng cách cịn có cách: “Giải hệ trục tọa độ khơng gian” sau sử dụng tọa độ khơng gian để làm việc khuôn khổ không cho phép nên đề tài khai thác vấn đề góc độ nghiên cứu hình học khơng gian cách túy 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Tự tìm tịi, khám phá, đưa vào thực nghiệm đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ thống theo mức độ từ dễ đến khó NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận -Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp chung để giải vấn đề việc vơ quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp tốn tương tự Trong dạy học, giáo viên có vai trò thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học điều kiện lợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức phương pháp tiến hành có trải nghiệm thành cơng Do trang bị phương pháp cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên -Trong bài” Khoảng cách” sgk lớp 11 có đưa khái niệm khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng chéo “ Khoảng cách hai điểm A,B độ dài đoạn thẳng AB” Khái niệm em giới thiệu làm việc nhiều cấp học Trên tất khoảng cách thực tế Do có hệ thống phương pháp giải toán Bài toán 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Bài toán 2: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài tốn 3: Tính khoảng cách hai đường thẳng hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song Bài toán 4: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Hầu hết toán khoảng cách giải quyết, ngồi tốn ‘’Trừ toán 1”, toán quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vì tơi thấy việc đưa “một số phương pháp giải tốn khoảng cách hình học khơng gian lớp 11” việc cần thiết bổ ích cho việc dạy học giáo viên việc học hình khơng gian học sinh 2.2 Thực trạng đề tài Năm học 2016 - 2017 Bộ GD&ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia mơn tốn từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy học phải thay đổi cho phù hợp Trong đề minh họa GD - ĐT , đề thi THPT quốc gia đề thi thử trường THPT toàn Quốc , học sinh thường gặp số câu tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối tốn có liên quan, mức độ vận dụng để lấy điểm cao Hướng dẫn em vận dụng tốt phần tạo cho em có thêm phương pháp, có linh hoạt việc tìm cực trị hàm số nâng cao tư giải toán nhằm lấy điểm cao thi Trước áp dụng đề tài vào dạy học, khảo sát chất lượng học tập học sinh trường THPT Nông Cống I năm học 2021-2022 (thông qua lớp trực tiếp giảng dạy) tốn tính khoảng cách, thu kết sau: Lớp Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 11C2 35 0% 17,1 16 45,7 10 28,4 8,8% % % % 11C8 47 2,1 17,2 22 46,8 12 25,5 8,4% % % % % Như số lượng học sinh nắm bắt dạng tốn khơng nhiều, có nhiều em chưa định hướng lời giải chưa có nguồn kiến thức kĩ cần thiết Thực đề tài hệ thống lại phương pháp tìm khoảng cách thơng qua phương pháp cụ thể ví dụ tương ứng cho phương pháp Cuối tập tổng hợp đề học sinh vận dụng phương pháp học vào giải quyết2.3 Các giải pháp tổ chức thực Thực đề tài chia nội dung thành hai phần Phần Phương pháp tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phần Phương pháp tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo Mỗi phần thực theo bước: - Nhắc lại kiến thức sử dụng đề tài - Nêu ví dụ áp dụng - Đưa tập tương tự Nội dung cụ thể: 2.3.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng a Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D khoảng cách hai điểm M H H hình chiếu điểm đường thẳng D M b Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( a ) khoảng cách hai điểm M H H hình chiếu điểm M mặt phẳng ( a) 2.3.2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song a Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( a ) Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng ( a ) khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng ( a ) Ki hiệu ù dé ëa,( a ) û b Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từmột điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Dạng 1: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng vng góc với đáy · Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác với AB = a, AC = 2a, BAC = 120° Cạnh bên SA vng góc với mp đáy Khoảng cách từ điểm B đến mp ( SAC ) A a B a C a D a Lời giải ( 1) Kẻ BH ^ AC ( H Ỵ AC ) ( 2) Lại có SA ^ BH (vì SA ^ ( ABC ) ) Từ ( 1) ( 2) , suy BH ^ ( SAC ) nên ù dé ëB ,( SAC ) û= BH Ta có · · BAC = 120°Þ BAH = 60° vuông ABH , a · BH = AB.sin BAH = có Chọn D Ví dụ Cho hình lăng trụ A đến mặt phẳng ( BCC ¢B¢) A a Tam giác B a ABC.A ¢B¢C ¢ có C tất cạnh a D a a Khoảng cách từ điểm Lời giải ABC Gọi M cạnh a, trung điểm suy AM ^ BC Vì ABC.A ¢B ¢C ¢ BB¢^( ABC ) Þ BB¢^ AM Ta có lăng ìïï AM ^ BC ị AM ^( BCC ÂBÂ) ùùợ AM ^ BB¢ BC Do tam giác AM = trụ a nên nên ù= AM = a dé êA ,( BCC ¢B¢) û ú ë Chọn A Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân đỉnh A , AB = a Gọi I trung điểm BC , hình chiếu vng góc H S mặt đáy ( ABC ) thuộc đường thẳng AI Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAH ) A a B C a a D 2a Lời giải Dễ dàng tính BC = 2a Ta có CI ^ SH (do SH ^ ( ABC ) ) ( 1) Tam giác ABC vuông cân đỉnh A , suy CB ^ AI ( 2) Từ ( 1) ( 2) , suy CI ^ ( SAH ) nên ù dé ëC ,( SAH ) û= CI = CB = a Chọn A Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, BD = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm B đến mp ( SAC ) A a B a C 2a D 4a 5 Cạnh bên Lời giải Tính BC = 2a ( 1) Kẻ BI ^ AC ( I Ỵ AC ) Lại có BI ^ SA (do SA ^ ( ABCD) ) ( 2) Từ ( 1) ( 2) , suy BI ^ ( SAC ) nên ù dé ëB ,( SAC ) û= BI Tam giác vng ABC, có BI = BA.BC BA + BC = 2a Chọn C Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên với mặt phẳng đáy SA = a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) A a B a C a D a SA vng góc Lời giải ( 1) Kẻ AH ^ SB ( H Ỵ SB) Ta có: CB ^ AB (vì ABCD hình vng); CB ^ SA (vì SA ^ ( ABCD) ) ( 2) Suy CB ^ ( SAB) Þ CB ^ AH Từ ( 1) ( 2) , suy AH ^ ( SBC ) nên ù dé ëA ,( SBC ) û= AH Tam giác vng có SAB, SA.AB AH = 2 SA + AB = a Chọn B Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B với AD = 2a AB = BC = a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) A 2a B Lời giải Gọi M C a trung điểm hình vng Do suy AD, CM = MA = vuông C Kẻ AK ^ SC Chứng minh AD a ABCM D 2a nên tam gác ACD AK ^ ( SCD ) SA.AC ù dé ëA,( SCD ) û= AK = SA + AC = nên a Chọn C · = 120° Hai mặt Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a BAD phẳng ( SAB) ( SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Góc mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD) 45° Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) A a B C 2a 3a D 2a Lời giải Từ giả thiết suy tam giác ABC cạnh 2a SA ^ ( ABCD) Gọi E trung điểm BC Þ AE ^ BC AE = 3a Xác định ( ) ( ) · , AE = SEA · 45 = (· SBC ) ,( ABCD) = SE AK ^ SE ( K Ỵ SE ) Kẻ Chứng minh AK ^ ( SBC ) ù dé ëA,( SBC ) û= AK = AE sin45°= nên 2a Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh hợp với mặt đáy góc 60° Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SBC ) A 42 B C D Lời giải 42 14 Cạnh bên Xác định ( ) ( ) · ,( ABCD ) = SB · ,OB = SBO · 600 = SB · SO = OB.tan SBO = Gọi M trung điểm BC, suy OM ^ BC Kẻ OK ^ SM Chứng minh OK ^ ( SBC ) nên ù dé ëO,( SBC ) û= OK = SO.OM SO +OM = 42 14 Chọn D Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B AB = 4a, BC = 2a Cạnh bên SB vng góc với mặt phẳng đáy SB = 3a Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SAC ) A 4a 14a 14 B C 12 29a 29 D 12 61a 61 Lời giải Từ giả thiết ta có: góc nên Suy BS, BA, BC đôi vuông 1 1 61 = + 2+ = 2 2é ù BA BC 144a2 d ëB,( SAC ) û BS ù dé ëB,( SAC ) û= 12a 61 61 Chọn D Ví dụ 10 Cho tứ diện ABCD có AC = a 2, tam giác vng A Khoảng cách từ điểm A a 66 11 B a C Các tam giác ABC , đến mặt phẳng ( BCD) AD = a A a 30 D ACD , ABD a Lời giải Ta có tam giác ABC, ACD, ABD tam giác vng đỉnh A Do AB , AC , AD đơi vng góc nên 1 1 11 = + + = 2 2 é ù AC AD 6a d ëA ,( BCD) û AB Suy ù dé ëA ,( BCD ) û= a 66 11 Chọn A Ví dụ 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông tâm O, cạnh mặt bên mặt đáy 60° Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SCD ) A a B a Lời giải Từ giả thiết suy Gọi I C a D SO ^ ( ABCD) ïì OI ^ CD · ,OI = SIO · CD Þ ïí 60°= (· SCD ) ,( ABCD ) = SI ïïỵ SI ^ CD Khi · OC = OD = a 2, OI = a SO = OI tan SIO = a ( trung điểm Tính a ) ( ) 2a Góc Ta có OC, OD, OS đơi vng góc nên 1 1 = + + = ù OC OD OS2 6a2 d2 é O , SCD ( ) ë û Suy ù a dé ëO,( SCD ) û= Chọn D · Ví dụ 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a ABC = 60° Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi O giao điểm hai đường chéo hình thoi Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SCD ) a A B 21 a C 21 a Lời giải Gọi T trung điểm SC, suy TO ^ ( ABCD) Từ giả thiết suy tam giác ABC Tính Ta có a a a OT = , OC = OD = 2 OC, OD, OT đôi vuông góc D 21 a 14 ù é ù dé ëO,( SCD) û= d ëO,( TCD ) û nên 1 1 28 = + + = 2 2 2é OD OT 3a d ëO,( TCD ) ù û OC Suy ù a 21 dé ëO,( TCD ) û= 14 Chọn D Quy tắc đổi điểm Ví dụ 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O Mệnh đề sau sai? A d éëB,( SCD) ùû= d éëA,( SCD) ùû B d éëC,( SBD) ùû= d éëA,( SBD) ùû C d éëB,( SCD) ùû= d éëO,( SCD) ùû D d éëC,( SAB) ùû= 2.d éëO,( SAB) ùû Lời giải AB P ( SCD ) · Vì · Ta có · Ta có · Ta có nên ù é ù dé ëB,( SCD ) û= d ëA,( SCD ) û Do A CO ù é ù = nên d é ëC,( SBD ) û= d ëA,( SBD ) û Do B AO BD ù é ù BO Ç ( SCD) = D = nên d é ëB,( SCD) û= 2.d ëO,( SCD ) û Do C sai OD CA ù é ù CO Ç ( SAB) = A = nên d é ëC,( SAB) û= 2.d ëO,( SAB) û Do D OA CA Ç ( SBD ) = O Vậy C mệnh đề sai Chọn C Ví dụ 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O Gọi M trung điểm cạnh BC Biết d éëM ,( SBD) ùû= k.d éëA,( SBD) ùû Mệnh đề sau đúng? A k = B C k= D k= 2 k= Lời giải MB ù é ù CM Ç ( SBD) = B = ) dé ëM ,( SBD ) û= 2.d ëC,( SBD ) û (vì CB CO Lại có d éëC,( SBD) ùû= d éëA,( SBD) ùû (vì CA Ç ( SBD ) = O AO = ) ( 2) 1 ®k = Từ ( 1) ( 2) , suy d éëM ,( SBD) ùû= d éëA,( SBD ) ùû¾¾ 2 Ta có ( 1) Chọn B Ví dụ 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính ù é ù AD Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Biết d é ëB,( SCD ) û= k.d ëA,( SCD ) û Mệnh đề sau đúng? A B k = k = Lời Giải Trong mặt phẳng ( ABCD) , gọi Ta có nên AB Ç ( SCD ) = E C k= D k= E = AB Ç CD BE EB BC = = = AE EA AD ù é ù dé ëB,( SCD) û= 2.d ëA,( SCD ) û Chọn C Dạng 2: khoảng cách hai đường thẳng chéo 2.1.3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo a Định nghĩa a) Đường thẳng D cắt hai đường thẳng chéo a, b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a b b) Nếu đường vng góc chung D cắt hai đường thẳng chéo a, b M , N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b b Cách tìm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a b Gọi ( b) mặt phẳng chứa b song song với hình chiếu vng góc a mặ phẳng ( b) 10 a, a¢ Vì a P ( b) nên a P a¢ Do a¢ b cắt điểm Gọi điểm N Gọi ( a ) mặt phẳng chứa a a¢, D đường thẳng qua N vng góc với ( b) Khi ( a ) vng góc với ( b) Như D nằm ( a ) nên cắt đường thẳng a M cắt đường thẳng b N , đồng thời D vng góc với a b Do D đường thẳng vng góc chung a b c Nhận xét a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Hai đường thẳng chéo – vng góc với Ví dụ 16 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc hai đường thẳng OA BC A a B a C a D a Khoảng cách a Lời giải Kẻ OH ^ BC ( H Ỵ BC ) ( 1) Từ giả thiết suy OA ^ ( OBC ) Þ OA ^ OH ( 2) Từ ( 1) ( 2) , suy OH đoạn vng góc chung OA BC Do d[OA, BC ] = OH = OB.OC OB +OC = a Chọn C Ví dụ 17 Cho hình trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢ có đáy tam giác AB = a Khoảng cách hai đường thẳng AA ¢ BC A a B a C a D ABC vuông A, BC = 2a, a 21 Lời giải Kẻ AH ^ BC ( H Ỵ BC ) Dễ dàng chứng minh AH đoạn vng góc chung hai đường thẳng AA ¢ BC nên ù dé ëAA ¢, BC û= AH = AB.AC a = BC Chọn A Ví dụ 18 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A Tam giác SBC tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Khoảng cách hai đường thẳng SA BC 11 a A Lời giải Gọi B a trung điểm H C BC Suy Ta có HK a ( 1) ïìï BC ^ SH Þ BC ^ ( SHA) Þ BC ^ HK í ïïỵ BC ^ AH Từ ( 1) ( 2) Þ D SH ^ ( ABC ) HK ^ SA ( K Ỵ SA) Kẻ a ( 2) đoạn vng góc chung SA BC Do d[ SA, BC ] = HK = SH HA SH + HA = a Chọn D Ví dụ 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm SA = a Khoảng cách hai đường thẳng BD SC A a 15 B a 30 C Lời giải Dễ dàng chứng minh BD ^ ( SAC ) Kẻ OH ^ SC ( H Ỵ SC ) Khi OH đoạn vng chung BD Ta có SO = SC - OC = a Suy OH = SOOC SO +OC = a = a 15 D O, cạnh 2a Cạnh bên a 30 SC a 30 Chọn B Ví dụ 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Khoảng cách hai đường thẳng SC BD A a B a C a D a Lời giải Gọi O = AC Ç BD, kẻ OK ^ SC ( K Ỵ SC ) Chứng minh OK đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo SC BD OK OC OC.SA a = ¾¾ ® OK = = SA SC SC a d[ SC, BD ] = OK = Ta có Vậy Chọn C Hai đường thẳng chéo có đường nằm mặt phẳng vng góc với đáy · Ví dụ 21 Cho hình hộp đứng ABCD.A ¢B¢C ¢D ¢ có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC = 120° Cạnh bên AA ¢= 4a Khoảng cách hai đường A¢C BB¢ A a B a C a 12 D a Lời giải Do BB¢P AA ¢ nên éBB¢,( ACC ¢ éB,( ACC ¢A ¢) ù ù dé A ¢) ù ú ú ëBB¢, A ¢C û= d ê ë û= d ê ë û Gọi E = AC Ç BD Dễ dàng chứng minh BE ^ ( AA ¢C ¢ C) Vậy a éBB¢,( ACC ¢A ¢) ù= d éB,( ACC ¢ ù dé A ¢) ù ê ú ê ú= BE = ëBB¢, A ¢C û= d ë û ë û Chọn C Ví dụ 22 Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢ có BB¢ Khoảng cách hai đường thẳng A a B a · AC = a, BC = 2a, ACB = 120° AM C a Gọi M trung điểm CC ¢ D a Lời giải Do CC ¢P AA ¢ nên éCC ¢,( ABB¢A ¢) ù= d éC,( ABB¢A ¢) ù ù dé ú ê ú ëAM ,CC ¢û= d ê ë û ë û Kẻ CH ^ AB ( H Î AB) Dễ dàng chứng minh Vậy CH ^ ( ABB¢A ¢) éC,( ABB¢A ¢) ù= CH = 2SD ABC = a 21 ù dé ú ëAM ,CC ¢û= d ê ë û AB Chọn B Ví dụ 23 Cho hình lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ có đáy tam giác cạnh 2a Hình chiếu vng góc A ¢ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H BC Khoảng cách hai đường thẳng BB¢ A¢H A 2a B a C a D a Lời giải Do BB¢P AA ¢ nên éBB¢,( AA ¢H ) ù= d éB ,( AA ¢H ) ù ù dé ê ú ê ú ëBB ¢, A ¢H û= d ë û ë û ìïï BH ^ AH Ta cú ớù BH ^ A ÂH ị BH ^ ( AAÂH ) nờn ùợ ự= BH = dộ ờB ,( AA ¢H ) û ú ë BC = a Vậy d éëBB¢, A¢H ùû= a Chọn B Ví dụ 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA , M trung điểm AE , N trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng MN AC A a B a C a 13 D a Lời giải Gọi P trung điểm SA Suy MP đường trung bình tam giác EAD nên MP song song nửa AD Do tứ giác MNCP hình hình hành Suy MN P PC Þ MN P ( SAC ) Do ù d[ MN , AC ] = d é ëMN ,( SAC ) û ù é ù = dé ëN ,( SAC ) û= d ëB,( SAC ) û ïì BO ^ AC Ta có ïíï BO ^ SO Þ BO ^ ( SAC ) nên d éëB,( SAC ) ùû= BO ïỵ Vậy 1 a dMN , AC = d é B,( SAC ) ù = BO = BD = ë û 2 4 Chọn A Ví dụ 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Gọi M , N , P trung điểm SB, BC, SD Khoảng cách hai đường thẳng AP MN A 2a B a C 3a Lời giải Gọi H trung điểm AB Từ giả thiết suy Gọi I trung điểm CD, suy MN P PI nên D a SH ^ ( ABCD) ù é ù d[ AP , MN ] = d é ëMN ,( API ) û= d ëN ,( API ) û Gọi E = AI Ç NP NE = DE nên ta có d éëN ,( API ) ùû= d éëD ,( API ) ùû Từ suy d[ AP, MN ] = d éëD ,( API ) ùû Dễ dàng tính Xét hình chóp PA.DI ta tính 3a ù a dé ëD ,( API ) û= Þ d[ AP , MN ] = Chọn C Ví dụ 26 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với có OA = a, OB = OC = 2a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng OM AB A a B a C a Lời giải Gọi D điểm đối xứng với C qua O, suy BD P OM Khi d[OM , AB] = d éëOM ,( ABD) ùû= d éëO,( ABD ) ùû Ta có: OA, OB, OD đơi vng góc nên 1 1 = + 2+ = 2 é ù OB OD 4a d ëO,( ABD ) û OA 14 D 2a Suy ù a dé ëO,( ABD ) û= Chọn C Ví dụ 27 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy góc 30° Khoảng cách hai đường thẳng SA CD A 10a Lời giải Gọi O CD P AB 14a C tâm hình vng Xác định Do B ( ABCD ) 5a Từ giả thiết suy 2a Cạnh bên D SA tạo với đáy 15a SO ^ ( ABCD ) · ,( ABCD ) = SAO · 30°= SA nên d[CD ,SA] = d éëCD ,( SAB) ùû ù é ù = dé ëC ,( SAB) û= 2d ëO ,( SAB) û Tính Ta có: SO = AO.tan30°= OS , OB , OA Suy d[CD ,SA] = a đơi vng góc nên 1 1 a 10 = + 2+ 2= é ù OB OS d ëO,( SAB) û OA 2a 10 Chọn A Ví dụ 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, tâm O Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi H K trung điểm cạnh BC CD Khoảng cách hai đường thẳng HK SD A a B 2a C 2a Lời giải Gọi E = AC Ç HK Dễ thấy E trung điểm Do HK P BD nên d[ HK ,SD ] = d éëHK ,( SBD) ùû Ta có: D a OC ù é ù = dé ëE ,( SBD) û= d ëA,( SBD ) û AS , AB , AD đơi vng góc nên 1 1 = + + = 2 2 é ù AB AD 4a d ëA,( SBD ) û AS a Suy d[ HK ,SD] = Chọn A Ví dụ 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = 2a, AD = 4a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA = 2a 15 Gọi M trung điểm BC, N điểm cạnh AD cho DN = a Khoảng cách hai đường MN SB A 8a 19 B 2a 95 19 C a 285 19 15 D 2a 285 19 Lời giải Lấy K AD cho AK = a, hình bình hành nên MN P BK suy BMNK Khi d[ MN ,SB] = d éëMN ,( SBK ) ùû ù é ù = dé ëN ,( SBK ) û= 2d ëA,( SBK ) û Ta có: AB, AK , AS đơi vng góc nên 1 1 19 = + + = 2 2é AK AS 15a2 d ëA,( SBK ) ù û AB Suy 285a 285a ù dé ® d[ MN , SB] = ëA,( SBK ) û= 19 ¾¾ 19 Chọn D Ví dụ 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 10 Cạnh bện SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 10 Gọi M , N trung điểm SA CD Khoảng cách hai đường thẳng BD MN A B C D 10 Lời giải Gọi P trung điểm BC I = NP Ç AC Suy PN P BD nên ta có ù é ù OI é ù é ù d[ BD, MN ] = d é ëBD,( MNP ) û= d ëO,( MNP ) û= AI d ëA,( MNP ) û= 3.d ëA,( MNP ) û Gọi E = NP Ç AB F = NP Ç AD Tính AE = 15, Ta có: AE , AF , AM đơi vng góc nên AF = 15 AM = 1 1 1 = = + + = 2 é ù é ù AF AM 45a2 d ëA,( MNP ) û d ëA,( MEF ) û AE ® d[ BD, MN ] = Suy d éëA,( MNP ) ùû= ¾¾ Chọn A Ví dụ 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng BC SD A a B a C a D a Lời giải Gọi H trung điểm AB Từ giả thiết suy SH ^ ( ABCD) Do BC P AD nên ta có d[ BC,SD ] = d éëBC,( SAD) ùû= d éëB,( SAD ) ùû= 2d éëH ,( SAD ) ùû 16 HK ^ SA ( K Ỵ SA) Kẻ HK ^ ( SAD ) Ta nên có HK = Chứng minh ù dé ëH ,( SAD ) û= HK SH = a HA = a , Suy SH HA a = SA Þ d[ BC,SD ] = 2HK = a Chọn C Ví dụ 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh 4a Cạnh bên SA = 2a Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm H đoạn thẳng AO Khoảng cách hai đường thẳng SD AB A 4a 22 11 B 3a 11 C D 2a 4a Lời giải Do AB P CD nên d[ SD, AB] = d éëAB,( SCD ) ùû= d éëA,( SCD ) ùû= d éëH ,( SCD ) ùû Kẻ HE ^ CD kẻ HL ^ ( SCD) nên Tính HL ^ SE Chứng ù dé ëH ,( SCD ) û= HL minh AD = 3a SH HE 3a ù dé = ëH ,( SCD ) û= HL = 2 11 SH + HE SH = SA2 - AH = a 2, HE = Khi Vậy d[ SD, AB] = 4a 22 HL = 11 Chọn A Ví dụ 33 Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác với AB = AC = 2a BC = 2a Cạnh bên SA = a Hai mặt phẳng ( SAB) ( SAC ) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng SM AC A a B a C a Lời giải Từ giả thiết suy SA ^ ( ABC ) tam giác Gọi N trung điểm AB suy MN P AC nên ta có D ABC a vng cân A ù é ù d[ AC, SM ] = d é ëAC,( SMN ) û= d ëA,( SMN ) û Kẻ AH ^ SN Chứng minh AH ^ ( SMN ) nên ù dé ëA,( SMN ) û= AH Tính SA = AN = a Þ AH = Vậy d[ AC,SM ] = AH = a SA.AN SA + AN = a Chọn B Ví dụ 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M trung điểm SD Khoảng cách hai đường thẳng AB CM 17 A a Lời giải Do B AB P CD 2a C a D 3a nên ta có ù é ù d[ AB,CM ] = d é ëAB,( SCD ) û= d ëA,( SCD ) û Kẻ AK ^ SD AK ^ ( SCD ) Chứng minh nên ù dé ëA,( SCD ) û= AK Tam giác vuông SAD, có SA.AD AK = SA + AD = a Chọn A Ví dụ 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc ( SAB) ( SCD ) 45° Gọi M trung điểm SB Khoảng cách hai đường thẳng AM SD A a B Lời giải Xác định a C ( a ) ( ) · ,SD = ASD · 45°= (· SAB) ,( SCD) = SA Gọi N trung điểm AB, suy Khi d[ AM ,SD ] = d éëSD,( AMO) ùû D Suy MN ^ ( ABCD ) ; O = AC Ç BD, a SA = AD = a suy MO P SD ù é ù é ù = dé ëD,( AMO) û= d ëB,( AMO) û= 2d ëN ,( AMO) û Gọi E trung điểm AO, suy NE ^ AO Kẻ NK ^ ME Chứng minh NK ^ ( AMO) nên ù dé ëN ,( AMO) û= NK = NE MN NE + MN = a Chọn C 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Thực tiễn giảng dạy trường THPT Nông Cống I năm học 2021-2022, nhà trường giao cho giảng dạy hai lớp 11C2, 11C8 Sau thử nghiệm dạy nội dung qua việc lồng gép dạy lớp, dạy tự chọn, bồi dưỡng thấy học sinh hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu chất lượng học tốn nâng lên rõ rệt Sau áp dụng đề tài khảo sát lại học sinh thu kết sau: Lớp Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 11C2 35 11 31,4 15 42,8 17,3 8,5% % % % 11C8 47 12 25,5 21 44,9 10 21% 6,5% 2,1% % % Như qua kết trên, so sánh với số liệu khảo sát lần đầu nhận thấy chất lượng học tập mơn tốn học sinh nâng lên rõ rệt, số lượng học sinh giỏi tăng lên nhiều Với đề tài đưa trước tổ môn để trao đổi, thảo luận rút kinh nghiệm Đa số đồng nghiệp tổ đánh giá cao vận dụng có hiệu 18 quả, tạo hứng thú cho học sinh giúp em hiểu sâu, nắm vững vấn đề tính khoảng cách, tạo thói quen sáng tạo nghiên cứu học tập KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Dạy Toán trường THPT trình sáng tạo Mỗi giáo viên tự hình thành cho đường ngắn nhất, kinh nghiệm hay để đạt mục tiêu giảng dạy đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, chủ nhân tương lai đất nước Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệu tham khảo ôn thi THPT quốc gia rút số kinh nghiệm nêu Như với đề tài “một số phương pháp giải tốn khoảng cách hình học khơng gian lớp 11” giúp học sinh có hệ thống kiến thức, linh hoạt việc định hướng biến đổi có kinh nghiệm việc tìm khoảng cách nói chung Từ góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng yêu cầu đổi dạy học Cuối dù cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng học hỏi đồng nghiệp song khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý , bổ sung đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị 3.2.1 Đối với tổ chuyên môn : Cần có nhiều buổi họp thảo luận nội dung phương pháp tìm cực trị hàm số Khuyến khích học sinh xây dựng tập tốn liên quan đến dạng tập giảng 3.2.2 Đối với trường : Cần bố trí tiết thảo luận để thơng qua học sinh bổ trợ kiến thức.Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải toán 3.2.3 Đối với sở giáo dục : Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời sau năm sở tập hợp sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội để gửi trường làm sách tham khảo cho học sinh giáo viên Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN thân viết, khơng chép nội dung người khác Phan Văn Ngà 19 Tài liệu tham khảo [1] Sách giáo khoa Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) – Văn Như Cương( Chủ biên) [2] Sách tập Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam Văn Như Cương ( Chủ biên) [3] Đề minh họa, đề thi THPT QG từ năm 2017, đề thi thử THPT QG trường nước Danh mục Sáng kiến kinh nghiệm Hội đồng SKKN Ngành GD huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên Cấp đánh giá Kết xếp loại đánh giá TT Tên đề tài SKKN (Ngành GD cấp xếp loại huyện/tỉnh; (A, B, Tỉnh…) C) Phương pháp tính nguyên hàm Ngành GD cấp C toán nguyên hàm tỉnh đặc biệt Bất Đẳng thức bất đẳng Ngành GD cấp C thức xếp tỉnh 20 Năm học đánh giá xếp loại 2018 2020 ... cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên -Trong bài? ?? Khoảng cách? ?? sgk lớp 11 có đưa khái niệm khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách. .. việc đưa ? ?một số phương pháp giải toán khoảng cách hình học khơng gian lớp 11? ?? việc cần thiết bổ ích cho việc dạy học giáo viên việc học hình khơng gian học sinh 2.2 Thực trạng đề tài Năm học 2016... thống phương pháp giải tốn Bài tốn 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Bài toán 2: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài toán 3: Tính khoảng cách hai đường thẳng hai mặt phẳng song song, khoảng