TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TẠP CHÍ KHOA HỌC ISSN: 18593100 JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC GIÁO DỤC Tập 14, Số (2017): 20-28 EDUCATION SCIENCE Vol 14, No (2017): 20-28 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn QUAN ĐIỂM TÍCH HỢP TRONG DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Ngơ Minh Đức* Ngày Tòa soạn nhận bài: 27-12-2016; ngày phản biện đánh giá: 03-02-2017; ngày chấp nhận đăng: 24-4-2017 TÓM TẮT Phần đầu báo trình bày dạy học tích hợp với chiến lược mơ hình cho phép tích hợp tốn với khoa học khác Việc vận dụng mơ hình chiến lược dạy học khái niệm tích phân yêu cầu phải làm rõ nghĩa khái niệm ứng dụng khoa học khác Kết thu cho thấy liên môn với Vật lí hướng phù hợp để dạy học khái niệm tích phân trường phổ thơng Từ khóa: dạy học tích hợp, liên mơn, tích phân ABSTRACT The integrated perspective in teaching the concept of integral The first part of this article presents the integrated teaching along with strategies and models for integrating mathematics into other sciences The application of these models and strategies in teaching the integral concept point out the requirement to clarify the meanings of this concept and its application in other sciences Results gathered show that integrating mathematics with physic is an appropriate direction to teach the concept of integral in high school Keywords: integrated teaching, interdisciplinary, integral Dạy học toán trọng vào mục tiêu thi cử tập trung nhiều vào việc giải dạng tập làm tốn học trở nên khơ khan dần ý nghĩa học sinh (HS) Để giúp HS có hứng thú thấy ý nghĩa học tốn cần cho em thấy ứng dụng hiệu toán học vấn đề thực tiễn sống môn khoa học khác Điều khơng cho HS thấy vai trị cơng cụ tốn học mà cịn giúp đem lại ý nghĩa cho khái niệm chúng công cụ để giải vấn đề Mà việc liên kết * dạy học tốn với môn học khác cần phải xem xét thỏa đáng Quan điểm tích hợp tốn học với mơn khoa học khác nhắc đến nhiều giáo dục tiên tiến giới phù hợp với xu hướng dạy học tích cực thừa nhận rộng rãi Bài báo này, nghiên cứu việc dạy học khái niệm tích phân, khái niệm quan trọng chương trình tốn phổ thơng Việt Nam theo quan điểm tích hợp – liên mơn Dạy học tích hợp 1.1 Dạy học tích hợp gì? Email: thienhamath@gmail.com TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số (2017): 2028 Theo từ điển Giáo dục học (2001) mối liên hệ tác động qua lại, nên tích hợp “hành động liên kết đối để giải vấn đề thực tiễn tượng nghiên cứu, giảng dạy, học tập người phải huy động kiến thức, kĩ lĩnh vực vài lĩnh vực khác năng, tư tưởng tổng hợp đến từ nhiều kế hoạch dạy học” ngành khoa học Theo nghĩa này, tích hợp hướng HS Sự thống cần thể đến huy động nội dung, kiến thức, kĩ giáo dục nhà trường phổ thông thuộc nhiều lĩnh vực khác nhằm quan điểm tích hợp dạy học giải tình hay vấn đề xu thừa nhận phổ biến đặt hoạt động học tập giới Thuật ngữ tích hợp có nguồn gốc từ 1.2 Các phương thức tích hợp tiếng La tinh “Integration” với nghĩa Theo D’Hainaut có bốn phương lồng ghép, sát nhập, hợp nhất, xác lập thức khác để tích hợp mơn học: chung, tồn thể, thống Tích hợp đơn mơn, đa mơn, liên mơn sở phận riêng lẻ Nghĩa là, việc xuyên môn hợp hiểu đơn giản - Tích hợp “đơn mơn” (hay tích hợp sát nhập nội dung môn học lại với nội môn học - Intradisciplinary mà cần phải dựa thống Integration): Hình thức tích hợp dựa nội phần liên kết Sự thống thống nội số tư ở “tư tưởng khoa học” trình tưởng nội mơn học Việc tích bày khái niệm nguyên lí khoa học hợp khai thác mối liên hệ định nghĩa UNESCO: phân môn hay phần Tích hợp giáo dục cách phân mơn cụ thể qua cịn loại trình bày khái niệm ngun lí bỏ nội dung trùng lắp khoa học cho phép diễn đạt thống - Tích hợp “đa môn” (Multidisciplinary tư tưởng khoa học, Integration): Một số chủ đề tránh nhấn mạnh sớm nghiên cứu từ góc độ ngành sai khác lĩnh vực KH khoa học khác hội tụ chủ khác (Hội nghị phối hợp đề Trong phương thức tích hợp này, chương trình UNESCO, Paris cấu trúc môn học giữ 1972) nguyên, nhiên HS mong đợi Sự thống mặt tư tưởng khoa tạo sợi dây kết nối học thể hai khía cạnh: Một mặt mơn để thu kiến thức hoàn chỉnh nhiều tư tưởng, khái niệm tảng cốt lõi - Tích hợp “liên mơn” (Interdisciplinary (chẳng hạn như: tuyến tính, thay đổi, đối Integration): Ở phương thức tích hợp này, xứng…) xuất nhiều ngành phân cách môn khoa học có khoa học khác Mặt khác, giới thể bị làm mờ nội dung học tập thực thể thống với vô số thiết kế thành tình mà muốn giải HS phải huy động kiến thức, kĩ nhiều mơn học khác Việc tích hợp liên mơn tiến hành số chủ đề hay việc dạy học số tri thức định Ngồi ra, người ta liên kết môn học liên quan lại với để hình thành mơn học với cấu trúc mơn học tổ chức lại cách phù hợp - Tích hợp xuyên môn (Transdisciplinary Integration): Phương thức hướng tới việc phát triển kĩ mà HS sử dụng tất môn học việc giải tình đa dạng Để làm điều này, việc tổ chức hoạt động học tập cần xoay quanh vấn đề xuất phát từ ngữ cảnh sống thực, có ý nghĩa thu hút quan tâm người học Học sinh phát triển kĩ xuyên môn tạo hội áp dụng kĩ môn học liên môn vào ngữ cảnh thực tế sống Nếu xếp theo mức độ tích hợp mơn khoa học với phương thức biểu diễn theo sơ đồ sau: Hình Các phương thức tích hợp Tích hợp dạy học tốn 2.1 Mơ hình dạy học tích hợp toán với ngành khoa học Hội nghị Cambridge tích hợp tốn khoa học giáo dục năm 1967 (Education Development Center, 1970) đưa loại hình tương tác tốn học khoa học bao gồm: - Toán học cho toán học (Math for math: M); - Toán học với ngữ cảnh khoa học (Math – Science context: Ms); - Toán học khoa học liên kết (Math and Science: MS); - Khoa học ứng dụng toán học (Science – apply Math: Sm); - Khoa học cho khoa học (Science for Science: S) Dựa tương tác này, D Berlin A White (1994) đưa mơ hình tích hợp tốn học khoa học gọi tắt BWISM (Berlin-White Integrated Science and Mathematics Model), mơ tả tâm chuỗi tương tác trên: Toán học khoa học (MS) Hình Mơ hình BWISM Theo mơ hình này, việc dạy học tích hợp – liên mơn tốn mơn khoa học kết nối với việc dạy học toán ngữ cảnh khoa học (MS – Ms) với việc ứng dụng công cụ tốn học phục vụ cho lợi ích mơn khoa học khác (MS – Sm) Cũng theo mơ hình BWISM điểm sau cần phải xem xét tích hợp tốn với khoa học khác: Cách học (Ways of learning): Tích hợp phải phù hợp với đặc điểm, kinh nghiệm, suy nghĩ HS toán học khoa học Cách để biết (Ways of knowing): Kiến thức hình thành thơng qua kết nối trình quy nạp diễn dịch Nội dung kiến thức (Content knowledge): Hướng tới ý tưởng lớn, cốt lõi chẳng hạn như: thay đổi, bảo tồn, đối xứng, cân bằng, vector, mơ hình… tìm thấy tốn học ngành khoa học khác Kĩ tư (Thinking skills): Việc tích hợp tốn học với khoa học giúp HS phát triển lực giải vấn đề, hay tư bậc cao Các kĩ như: Phân loại, thu thập tổ chức liệu, mơ hình hóa, thực nghiệm, vẽ đồ thị, đặt giả thuyết… Thái độ nhận thức (Attitudes and Perceptions): Việc tích hợp phải tính đến thái độ, động cơ, tự tin mối quan tâm HS vấn đề khoa học toán học 2.2 Các chiến lược dạy học tích hợp tốn khoa học Mặc dù khơng phải tri thức tốn học dễ dàng tiến hành dạy học theo hướng tích hợp – liên mơn với khoa học khác Tuy nhiên, mơ hình BWISM ra, mối liên kết MS nằm trung tâm hàng loạt nối kết khác mà ta tận dụng để tiến hành tích hợp dạy học toán Nikitina Mansilla (2003) chiến lược tích hợp nhằm vượt qua lập mơn khoa học tốn học trường trung học phổ thông truyền thống Ba chiến lược là: Thiết lập khái niệm cốt lõi (essentializing), bối cảnh hóa (contextualizing) xây dựng tốn – tâm (problem-centering) Thiết lập khái niệm cốt lõi: Như nói, nhiều ý tưởng lớn (big ideas) xuất toán học ngành khoa học khác Essentializing chiến lược nâng tầm khái niệm, nguyên lí, lí thuyết toán học khoa học lên thành khái niệm cốt lõi, tảng từ tạo liên kết nội thống toán học khoa học Một khái niệm tốn học cốt lõi (tổng qt) phạm vi ứng dụng khoa học rộng tìm nhiều điểm kết nối tích hợp Chẳng hạn khái niệm đạo hàm toán học: lẫn khoa học khác để giải Kiến thức toán học khoa học hội tụ tốn – tâm, từ tạo hồn cảnh thuận lợi cho việc tích hợp chúng lại với Những tốn tìm từ thực tiễn sống, từ ứng dụng cơng cụ tốn học vào khoa học đến từ phân tích nguồn gốc lịch sử, động lực cho hình thành khái niệm Ba chiến lược là yếu tố cần phân tích để tích hợp tốn học với ngành khoa học tự nhiên khác Phần báo xem xét Δ� Δ hướng tiếp cận tích hợp với ƒ′(�) = lim∆�→0 � đối tượng tri thức toán học cụ thể: Khái nâng lên thành khái niệm “tốc độ biến niệm tích phân thiên” đại lượng “Biến thiên” Dạy học khái niệm tích phân theo khái niệm tảng có mặt quan điểm tích hợp ngành khoa học, đạo hàm có ứng Việc xem xét mơ hình chiến dụng rộng rãi lược tích hợp trình bày cho thấy Bối cảnh hóa: Đặt bối cảnh cho cần thiết phải tìm hiểu ý tưởng tổng khái niệm, ý tưởng… đưa vào quát tảng cho ứng dụng tích mơi trường, hoàn cảnh rộng lớn hơn, phân vào lĩnh vực khác Mà muốn có ý nghĩa thật đầy đủ điều cần làm phải tìm hiểu Chiến lược đặt kiến thức tốn học nghĩa tích phân xuất từ lịch khoa học vào bối cảnh lịch sử hình sử tiến triển thành phát triển ý tưởng Việc 3.1 Nghĩa khái niệm tích phân tìm hiểu lịch sử tiến triển khái niệm tốn học giúp tìm ngữ cảnh - Bài toán cầu phương ý nghĩa hình học khái niệm tích phân thích hợp cho phép tích hợp tốn học với Bài tốn tính diện tích (cầu phương) ngành khoa học khác có nhiều liên hệ hình có yếu tố cong nguồn động lực mật thiết vật lí, hóa học… chủ yếu hình thành nên ý tưởng Bài toán – tâm: Là chiến lược xây tảng khái niệm tích phân từ thời điểm dựng tốn tâm điểm, thường cách khoảng 2500 năm Cụ thể hơn, để toán “thực tiễn” tính diện tích hình, người ta chia hình cần huy động kiến thức kĩ tốn học cần tính thành tập hợp hình Từ “thực tiễn” hiểu theo nghĩa rộng ngun tố (có thể tính diện tích), tổng toán từ thực tế sống từ ngành khoa học các diện tích chúng cho ta xấp xỉ diện tích hình ban đầu Edoxus Archimedes phát triển phương pháp “vét kiệt” cho phép chuyển qua giới hạn tổng để xác định xác diện tích cần tìm Phương pháp sau phát triển nhà tốn học kỉ XVII Pascal, Fermat… đem lại cơng cụ giúp nhà tốn học tính tốn xác diện tích Tích phân hiểu giới hạn tổng diện tích nguyên tố giúp giải tốn cầu phương theo mang lại cho khái niệm nghĩa hình học rõ ràng: “diện tích hình phẳng đường cong” Chính b xác hơn, f (x) ≥ ∫ f ( x)dx Theo đó, nhiều đại lượng vật lí liên quan đến yếu tố “biến đổi” (chẳng hạn tốn tìm qng đường vận tốc thay đổi, công lực biến đổi…) người ta giải cách chia nhỏ thành thành phần nguyên tố, lập tổng chuyển qua giới hạn Một khái niệm thường mang nhiều nghĩa khác nhau, nghĩa lộ diện qua tình mà khái niệm xuất (ngầm ẩn hay tường minh) công cụ để giải tình Theo tiến trình lịch sử hình thành phát triển khái niệm, nghĩa dần xuất Tuy nhiên, tư tưởng chia nhỏ, lập tổng sau chuyển qua giới hạn xem nghĩa khởi thủy tích a diện tích hình phẳng đường cong y = f ( x) từ a đến b phân bắt đầu xuất Chúng gọi nghĩa “nghĩa tổng quát” - Tích phân mối quan hệ ngược với đạo hàm Vào kỉ XVII, khái niệm đạo hàm đời giúp nhà toán học giải toán xác định tiếp tuyến đường cong xác định tốc độ biến thiên đại lượng Barrow sau người - Tổng tích phân nghĩa tổng quát nhận mối quan hệ đảo Với việc hoàn thiện sở lí thuyết ngược hai khái niệm đạo hàm tích giới hạn thực Cauchy vào phân trước Newton Leibniz dựa kỉ XVIII, khái niệm tích phân xây dựng giải tích thành hệ thống định nghĩa cách chặt chẽ hơn, chẳng hoàn chỉnh hạn theo giới hạn tổng Riemann: b n Phát mối quan hệ đảo ngược ∫ f (x)dx = lim ∑ f (ξi )∆xi đưa đến phương pháp thuận tiện để tính tích phân (thay phải xác định a max ∆xi →0 i =1 Thế kỉ XVIII nở rộ ứng dụng giải tích nói chung tích phân nói riêng vào việc giải toán lĩnh vực khác mà đặc biệt vật lí được giới hạn tổng Riemann) Lúc này, tích phân tính gián tiếp thơng qua khái niệm ngun hàm2 (phép tốn - Giải tốn tìm đại lượng ngược đạo hàm) thao tác tính phép tốn ngược với phép toán đạo hàm: toán đơn giản nhiều nhờ vào cơng Chẳng hạn tìm qng đường biết thức Newton – Leibniz: hàm số vận tốc, tìm vận tốc biết gia b tốc… F (x) - Giải toán cách lập ∫ f (x)dx =F (b) − F (a) , a nguyên hàm f (x) Đặc tổng tích phân Ở lớp 10 lớp 11 tích phân chưa giảng dạy q trình lập trưng tích phân mang lại cho tổng tích phân nhằm mục đích biểu diễn nghĩa mới: phép toán ngược đạo hàm đại lượng vật lí dạng diện tích 3.2 Tích hợp tích phân theo mơ hình hình phẳng đường cong Từ đó, xác BWISM định đại lượng vật lí thơng qua việc tính Dựa theo mơ hình BWISM đặt mối diện tích quan hệ liên mơn tốn khoa học trung Như vậy, việc áp dụng mơ hình tâm tương tác với M, Ms Sm, BWISM dạy học khái niệm tích phân việc dạy học khái niệm tích phân theo tiến hành theo hướng sau: hướng tích hợp xem xét ba khía cạnh: Tích hợp nội mơn - Tích hợp nội mơn tốn (M): Giữa hình học – giải tích, việc giải tốn (M); cơng cụ tốn học ứng dụng tốn tìm diện tích hình thang cong đưa khoa học (Sm) cuối tận đến đời khái niệm tích phân dụng ngữ cảnh khoa học để hình thành Tốn học với ngữ cảnh vật lí (Ms): Tận nghĩa cho khái niệm (Ms) dụng tình vật lí, mà việc Các cơng cụ giải tích nói chung giải chúng cần tiến hành việc chia tích phân nói riêng có nhiều ứng nhỏ, lập tổng chuyển qua giới hạn Đại dụng ngành khoa học khác lượng vật lí cần tìm xác định thông bật vật lí Để tận dụng qua diện tích hình phẳng đường cong tương tác Sm Ms cần tìm hiểu Mỗi ngữ cảnh khác đem đến xem tốn vật lí ứng dụng cơng cụ nghĩa vật lí khác từ có tích phân sao, ngữ cảnh vật lí hội hình thành nghĩa tổng qt cho khái xây dựng thành tình dạy học niệm tích phân giúp hình thành nghĩa cho khái niệm? Trong chương trình Vật lí phổ thơng - Ứng dụng tích phân vào vật lí (Sm): Nghĩa tổng quát sau hình thành tích phân ứng dụng theo hai hướng quay ngược trở lại vận dụng vào nhiều chính: tốn đa dạng khác vật lí 3.3 Các chiến lược tích hợp dạy Phép tính nguyên hàm tích phân thật khơng đồng nhất, tồn hàm số khơng có nguyên hàm sơ cấp học khái niệm tích phân tính tích phân đoạn mà Việc phân tích chiến lược liên tục, chẳng hạn hàm số � = 𝑠i𝑛�/� Nikitina Mansilla đề xuất đưa đến hướng phù hợp việc tích hợp tốn học với khoa học khác liên quan đến việc dạy học khái niệm tích phân Tích phân – khái niệm cốt lõi: Cùng với đạo hàm, tích phân khái niệm tảng giải tích có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác Như nói, khái niệm tảng, tổng qt phạm vi ứng dụng rộng, theo hội để dạy học tích hợp – liên mơn khả thi Tích phân trường hợp vậy, việc dạy học tích phân theo quan điểm tích hợp cần phải hình thành nghĩa tổng qt Tích phân – nguồn gốc lịch sử: Giải tích nói chung lịch sử phát triển có gắn bó mật thiết với vật lí Bởi lẽ, tốn vật lí vừa động lực hình thành khái niệm mà vật lí cịn mảnh đất màu mỡ để gieo trồng phát triển ứng dụng đa dạng giải tích Tích phân với cương vị khái niệm giải tích hịa chung vào mối liên hệ mật thiết Việc phân tích tiến triển lịch sử khái niệm tích phân mối liên quan với vật lí làm lộ điểm kết nối tận dụng để dạy khái niệm theo hướng tích hợp Tích phân – cơng cụ giải tốn thực tiễn: Tích phân ứng dụng để giải nhiều tốn vật lí khác Ở tốn vậy, HS phải huy động kiến thức kĩ vật lí tốn Ngồi ra, khái niệm dùng để giải tốn thực tiễn khác sống ta tận dụng ứng dụng để xây dựng toán – tâm dạy học tích hợp Kết luận Xem xét mơ hình chiến lược tích hợp liên quan đến dạy học khái niệm tích phân chúng tơi nhận thấy việc liên mơn tốn với vật lí hướng phù hợp Tích phân khơng cơng cụ hiệu giải tốn vật lí xuất chương trình phổ thơng mà việc tận dụng ngữ cảnh vật lí cịn đem lại tình cho phép hình thành nghĩa tổng quát cho khái niệm Khi đặt cho HS tốn thực tiễn vấn đề vật lí địi hỏi cơng cụ tốn, cho em lí để sử dụng tốn Tốn học sau trở nên ý nghĩa với HS Những nghiên cứu khái niệm tích phân thể chế dạy học tốn vật lí trường phổ thơng, cho thấy nối khớp hai thể chế nhìn từ quan điểm liên mơn đảm bảo hay chưa Qua đó, yếu tố cần tính đến muốn đảm bảo mối quan hệ liên mơn Tốn – Vật lí Kết nghiên cứu chúng tơi trình bày báo TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Thị Hoài Châu (2004) Khai thác lịch sử toán dạy học khái niệm tích phân Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TPHCM, (2) Lê Thị Hồi Châu (2014) Mơ hình hóa dạy học khái niệm đạo hàm Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TPHCM, (65) Ngô Minh Đức (2013) Khái niệm đạo hàm dạy học Tốn Vật lí trường phổ thơng Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Bùi Hiền (2001) Từ điển giáo dục học, Hà Nội: NXB Từ điển Bách khoa, 383 Berlin, F.D., & White, L A (1994) The Berlin-White Integrated Science and Mathematics Model School Science and Mathematics Volume 94 Education Development Center (1970) Final report of Cambridge Conference on School Mathematics, January 1962 – August 1970 Cambridge, MA: Author Nikitina, S., & Mansilla, V.B (2003) Three Strategies for Interdisciplinary Math and Science Teaching A Case of the Illinois Mathematics and Science Academy D'hainaut, l (1980) Des fins aux objectifs de l'éducation Brussels, Labor; Paris, Nathan, (1977), 2nd edition (1980), p445 ... toán học cụ thể: Khái nâng lên thành khái niệm “tốc độ biến niệm tích phân thiên” đại lượng “Biến thiên” Dạy học khái niệm tích phân theo khái niệm tảng có mặt quan điểm tích hợp ngành khoa học, ... hướng phù hợp việc tích hợp toán học với khoa học khác liên quan đến việc dạy học khái niệm tích phân Tích phân – khái niệm cốt lõi: Cùng với đạo hàm, tích phân khái niệm tảng giải tích có nhiều... BWISM dạy học khái niệm tích phân việc dạy học khái niệm tích phân theo tiến hành theo hướng sau: hướng tích hợp xem xét ba khía cạnh: Tích hợp nội mơn - Tích hợp nội mơn tốn (M): Giữa hình học