PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MỞ ĐẦU Trong kì thi ta thường thấy xuất số toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Những tốn tốn ta gặp dạng chúng biết phương pháp giải dạng điều đơn giản Tuy có tốn có độ khó định học sinh đa dạng để giải cần kết hợp nhiều kiến thức liên quan đến chúng Trong sử dụng phương pháp hàm số đóng vai trị quan trọng ứng dụng việc giải số dạng Toán nêu Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung thực trạng trên, để học sinh dễ dàng tự tin gặp số tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Giúp em phát huy khả phân tích, tổng hợp, khái qt hóa qua tập nhỏ, với tích lũy kinh nghiệm thân qua năm giảng dạy, đưa sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Phương pháp hàm số giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình” NỘI DUNG Kiến thức bản: Cho hàm số y=f(x) liên tục có đạo hàm D, ta có kết sau ( x) ≤ m ≤ max f ( x) 1/ Phương trình: f(x) = m có nghiệm D m inf x∈D x∈D 2/ BPT : f ( x) ≥ g ( x) nghiệm với x thuộc D minx∈fD( x) ≥ maxx∈gD ( x) ( x) ≥ m 3/ BPT : f ( x) ≥ m có nghiệm thuộc D m axf x∈D 4/ BPT : f ( x) ≥ m nghiệm với x thuộc D minx∈fD( x) ≥ m 5/ BPT : f ( x) ≤ m có nghiệm thuộc D minx∈fD( x) ≤ m ( x) ≤ m 6/ BPT : f ( x) ≤ m nghiệm với x thuộc D m axf x∈D MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA Bài1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x − 2(m + 4) x + 5m +10 + − x = (1) (m - tham số) Giải: (1) ⇔ x − 2( m + 4) x + 5m +10 Phương tình (1) có nghiệm ⇔ x − 2x + 2x − x −10 x + (2x − 5) Ta có bảng biến thiên: ⇔ với x ≥ f’(x) = -∞ +∞ x x≥   x − 2x +  x − = m ( 2)  phương tình (2) có nghiệm thỏa mãn x ≥ Xét phương tình (2) : Đặt f(x) = f’(x) = = x-3 ⇔ x≥   x − 2(m + 1)x + 5m + = ⇔ Ta có:  x− 3≥  2 x − ( m + ) x + m + 10 = ( x − )  x =1 x =4  ⇔ - f’(x) + + f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình (2) có nghiệm x ≥ ⇔ m ≥ Vậy phương trình (1) có nghiệm ⇔ m ≥ Bài : Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm: x2 + 2x + − x + = m (1) Giải: Đặt t = x + ≥ , phương trình trở thành: t + − t = m ( *) Nhận xét ứng với nghiệm không âm phương trình (*) có nghiệm phương trình cho, phương trình cho có nghiệm phương trình (*) có nghiệm khơng âm Xét hàm số f ( t ) = t + − t với t ≥ ⇒ f ' ( t ) = t3 4 (t + 3)3 − < f ( t ) = nên có bảng biến thiên: Mà f ( ) = xlim →+∞ t f’(t) - f(t) Từ bảng biến thiên suy giá trị cần tìm m là: < m ≤ Bài Tìm m để phương trình x − 13x + m + x − = có nghiệm Giải: Ta có: x − 13x + m + x − = ⇔ x − 13x + m = − x  x ≤ x ≤ ⇔ ⇔  4x − 6x − 9x − = −m  x − 13x + m = ( − x ) Yêu cầu tốn trở thành tìm m để đường thẳng y = -m cắt phần đồ thị f(x) = 4x3–6x2–9x–1 ứng với x ≤ điểm Xét hàm số f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – nửa khoảng ( −∞;1] Ta có: f'(x) = 12x2 – 12x – = 3(4x2 – 4x – 3) − Cho f'(x) = ⇔ 4x2 – 4x – = ⇔ x = − ∨ x = x –∞ + f’(x) − −12 f(x) −∞ Từ bảng biến thiên ta thấy: 3   − m = m = − Yêu cầu toán xảy  ⇔    − m < −12  m > 12 Đó giá trị cần tìm tham số m Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004) Tìm m để phương trình : m ) ( + x − − x + = − x + + x − − x có nghiệm Giải: Điều kiện xác định phương trình : x ∈ [ −1;1] Đặt t = + x − − x Với x ∈ [−1;1] , ta xác định điều kiện t sau : Xét hàm số t = + x − − x với x ∈ [ −1;1] Ta có : t ' = x + + x2 x t’ t x − x2 = −1 x ( − x2 + + x2 − x4 ) , cho t ' = ⇔ x = 0 − + 2 Vậy với x ∈ [−1;1] t ∈ 0;  Từ t = + x − − x ⇒ − x = − t Khi đó, phương trình cho tương đương −t + t + m ( t + 2) = −t + t + ⇔ =m t+2 với : −t + t + Bài tốn trở thành tìm m để phương trình = m có nghiệm t ∈ 0;  t+2 − t − 4t −t + t + < 0, ∀t ∈ 0;  Xét hàm số f (t) = với t ∈ 0;  Ta có : f '(t) = ( t + 2) t+2 f (t) = f (0) = 1, f (t) = f Suy : t∈max  0;  t∈0;      ( 2) = −1 f (t) ≤ m ≤ max f (t) ⇔ − ≤ m ≤ Đây Bây giờ, yêu cầu toán xảy t∈min 0;  t∈ 0;      giá trị cần tìm tham số Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2006) Tìm m để phương trình Giải: x + mx + = 2x + có nghiệm thực phân biệt 1  x ≥ − x + mx + = 2x + ( 1) ⇔  (*) 3x + 4x − = mx ( )  Ta có: NX : x = nghiệm (2) Do vậy, ta tiếp tục biến đổi :   x ≥ − (*) ⇔   3x + 4x − = m ( 3)  x     Bài tốn trở thành tìm m để (3) có nghiệm thực phân biệt x ∈  − ; +∞ ÷ \ { 0} Xét hàm số f (x) =   3x + 4x − với x ∈  − ; +∞ ÷ \ { 0} Ta có :   x 3x +   f '(x) = > 0, ∀x ∈  − ; +∞ ÷\ { 0} x   BBT : x f’(x) f(x) –∞ + + +∞ +∞ –∞ Từ BBT, ta thấy : Yêu cầu toán xảy m ≥ Vậy với m ≥ phương trình cho có nghiệm thực phân biệt Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2007) Tìm m để phương trình x − + m x + = x − ( 1) có nghiệm Giải: Điều kiện xác định phương trình : x ≥ x −1 x2 −1 x −1 x −1 + m = 24 ⇔ + m = ( 1) ⇔ ( 2) x +1 x +1 x +1 ( x + 1) Khi : Đặt t = x −1 ( t ≥ ) Vì x +1 x −1 = 1− < nên t < Vậy với x ≥ ≤ t < x +1 x +1 Khi đó, (2) ⇔ 3t + m = 2t ⇔ −3t + 2t = m (3) Bây tốn trở thành tìm m để (3) có nghiệm t ∈ [ 0;1) Xét hàm số f(t) = −3t + 2t nửa khoảng [ 0;1) Ta có : f’(t) = -6t + 2, cho f’(t) = ⇔ −6t + = ⇔ t = t f’(t) + − 1 f(t) −1 Từ BBT, ta thấy yêu cầu toán xảy −1 < m ≤ Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2007) Chứng minh với m > 0, phương trình: x + 2x − = m(x − 2) ln có hai nghiệm thực Giải: Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2008) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2x + 2x + − x + − x = m (m ∈ ¡ ) Giải: 2x + 2x + − x + − x = m (1) ĐK: 0≤x≤6 Xem hàm số y = 2x + 2x + − x + − x , x ∈ [ 0;6 ] Ta cã: y′ = 24  1 =  −  2x ( )  ( 2x ) ( − x)3 ) 2x − 24 ( −x ) (   = − x − 2x    ( + ( − −x ) ( ) , x ∈( 0;6 )  − x − 2x ÷+  −  + ÷ = ÷  2x 3 6−x  ÷  ( 2x ) ( − x )  6−x ) + ( − x ) 2x + 2.4 ( 2x ) ( − x ) ( 2x ) − x − 2x 2x ( − x )  − x + 2x  +  2x ( − x )    − x − 2x = 6 − x = 2x y′ = ⇔  ⇔ ⇔x=2 x ∈ 0;6 ( ) x ∈ 0;6 ( )   Bài Tìm m để phương trình : x − + 4m x − 3x + + ( m + 3) x − = có nghiệm giải: x ≥  ⇔ x≥2 ĐK  x ≥  x − 3x + ≥  *) Với x=2 không thỏa mãn *) Với x > 2, ta quan sát kỹ mối liên hệ đại lượng pt ; ta có x − x + = ( x − 1)( x − 2); x − = ( x − 1) ; x − = ( x − 2) Chai hai vế cho Đặt t = f '(t ) = ( x − 1)( x − 2) Pt x −1 x−2 + 4m + (m + 3) =0 x−2 x −1 x −1 m+3 t2 + ⇒ t > (do x-1>x-2) Pt trở thành t + 4m + = ⇔ f (t ) = =m x−2 t −4t − −4t − 2t + ; f '(t ) = ⇔ t = / ∨ t = −2(loai) (−4t − 1) t + ∞ 3/2 f’ f(t) + -3/4 - - ∞ -4/5 Vậy m ≤ −3 / Bài 10 Tìm m để phương trình : x + x + = m( x + 1) x + có nghiệm thực Giải: TXĐ: D=R PT trơ thành : 3( x + 1) + 2( x + 2) = m( x + 1) x + Do x=-1 không thỏa mãn, ta chia hai vế cho ( x + 1) x + x +1 Ta x +2 -∞ x x +1 x2 + = m Đặt t = x +1 +2 x2 + + ;t ' = ⇔ x =  t ∈  −1;  6   t t Pt trở thành: 3t + = m; f (t ) = 3t + ⇒ f '(t ) = − ( x + 2)3 +∞ -1 f’ 2− x t’(x) t(x) t ;t ' = − -1 + 2 ; f '(t ) = ⇔ t = ± (tm) t 3 - - + f +∞ -2 6 -∞ -5 ĐS: m ≤ − ; m ≥ Bài 11 ( Học viện KTQS 1997) Cho bất phương trình m ( 15 ) x − 2x + + + x(2 − x) ≤ Tìm m để bất phương trình có nghiệm x∈ 0,1 +  Giải: Xét bất phương trình : m ) ( x − 2x + + + x(2 − x) ≤ (1) Đặt t = x2 − 2x + ⇒ x2 − 2x = t2 − Ta xác định điều kiện t : Xét hàm số t = x2 − 2x + với x∈ 0,1 +  Ta có: t ' = x −1 x − 2x + x , t' = ⇔ x =1 1+ − t’ 2 t + Vậy với x∈ 0,1 +  ≤ t ≤ Khi : (1) ⇔ m ≤ Xét hàm số f(t) = Ta có: f’(t) = t2 − với t ∈ [1;2] t+1 t2 − với t ∈ [1;2] t+1 t2 + 2t + (t + 1)2 > 0,∀x∈ [1;2] Vậy hàm số f tăng [1; 2] Do đó, u cầu tốn trở thành tìm m để (1) có nghiệm t∈[1,2] ⇔ m ≤ max f(t) = f(2) = Đó giá trị cần tìm tham số t∈1;2 Bài 12: Cho bất phương trình: mx - x −3 ≤ m + (1) (m - tham số) a Tìm m để bất phương trình có nghiệm b Tìm m để bất phương trình có nghiệm ∀ x ∈ [ 3; ] Giải: TXĐ: D = [3; +) Trên D, (1) m(x - 1) (vì: x D nên x - > 0) Khi đó: f’(x) = 7-2 x −3 + ⇔ m ≤ x +1 x Đặt f(x) = x − +1 x −1 5−x−2 x−3 5−x−2 x−3 , f’(x) = ⇔ 2 x − 3(x − 1) x − 3( x − 1) víi x = ∈ D ⇔ x = Ta có bảng biến thiên: - x + f(x) 7-2 + - - 1+ f(x) 2 Dựa vào bảng biến thiên ta có: a Bất phơng trình có nghiệm m ≤ max f (x ) D ⇔ m ≤ 1+ b Bất phơng trình nghiệm x ∈ [ ; ] ⇔ m ≤ m ≤ Bài 13 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2007) 10 f ( x ) ⇔ [ 3;7] Giải:  x − 10 x + ≤ 0(1) Bài 14 Tìm m để hệ sau có nghiệm :   x − mx x + 12 = 0(2) Từ (1) ≤ x ≤ (*) Bài toán trở thành tìm m để pt (2) có nghiệm x thỏa mãn ĐK (*) (2) ⇔ f ( x) = x + 12 x (4 x − x − 36) x − 36 = m, f ' = = ; f ' = ⇔ x = ∨ x = −6(loai) x x 2x4 x 2x x x 11 f’ f - + 13 31/9 Vậy hệ có nghiệm ≤ m ≤ 13  x + y = m(1) Bài 15: Tìm m để hệ sau có nghiệm phân biệt :  ( y + 1) x + xy = m( x + 1)(2) (HSG –Nghệ An – Bảng A -2010) Từ (1) y=m-x vào pt (2) m(x2-1)=x3 m= x3 x ( x − 3) = f ( x ), f ' = ; f ' = ⇔ x = 0; x = ± x2 −1 ( x − 1) -∞ x f’ f’ + -1 -3 /2 - +∞ - - +∞ + +∞ +∞ -∞ -∞ 3 /2 - ∞  m ≤ −3 / ĐS:   m ≥ 3 /  x − 12 x − y + y − 16 = 0(1) Bài 16.Tìm m để hệ sau có nghiệm :  2  x + − x − y − y + m = 0(2) (HSG –Nghệ An – Bảng B -2012)  −2 ≤ x ≤  − x ≥ ⇔ 0 ≤ y ≤  y − y ≥ ĐK:  PT(1) x3 − 12 x = ( y − 2)3 − 12( y − 2) (3) Ta xét hàm số đại diện f(t) = t3-12t , với ĐK x y ta có ĐK t : −2 ≤ t ≤ f’(t) = 3t2-12 f(t) hàm nghịch biến [-2;2] , nên từ (3) => x =y-2 Thay y=x-2 vào (2) ta : − x − x = m (*) Xét hàm số   − 8x = − x  + ÷; g '( x) = ⇔ x = − x2  4− x  Hệ có nghiệm (*) có nghiệm ⇔ g ( x) ≤ m ≤ max g ( x) ⇔ −16 ≤ m ≤ g ( x) = − x − x ; g '( x) = 12 −3 x Bài 17 Thi thử ĐH L1 Chuyên QB 2012-2013 Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: x + − x + 2m x ( − x ) − x ( − x ) = m Phương trình x + − x + 2m x ( − x ) − x ( − x ) = m3 (1) Điều kiện : ≤ x ≤ Nếu x ∈ [ 0;1] thỏa mãn (1) – x thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm điều kiện cần x = − x ⇔ x = 1 Thay x = vào (1) ta được: 2 m = 1 + m − = m3 ⇒  2  m = ±1 * Với m = 0, (1) trở thành: ( x − 1− x ) Phương trình (1) có nghiệm * Với m = - 1, (1) trở thành: x + − x − x ( − x ) − x ( − x ) = −1 ⇔ ⇔ ( x − 1− x ) +( x − 1− x ) =0⇔ x= ( ) ( ) x + − x − x ( 1− x ) + x + 1− x − x ( 1− x ) = =0  x − − x = ⇔ ⇔x=  x − − x = Phương trình (1) có nghiệm * Với m = (1) trở thành: x + 1− x − 24 x ( 1− x) = 1− x ( 1− x) ⇔ Ta thấy x = 0, x = ( x − 1− x ) =( x − 1− x ) thỏa phương trình Phương trình (1) có nghiệm KL: m = 0, m = - Bài 18 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: Giải: Đặt Ta có phương trình : 13 Xét hàm số Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 12 Tìm m để phương trình : có ba nghiệm phân biệt Giải: Phương trình (do ) Xét hàm số Dựa vào bảng biến thiên Bài 19 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Giải: 1) Phương trình Xét hàm số với Ta có: Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm 14 2) Điều kiện: Khi phương trình (Vì ) Xét hàm số với Ta có: Do Vậy f(x) hàm đồng biến [0;4] Suy phương trỡnh cú nghim Bài 20: Cho phơng trình: 42xx + 2x−x +1 (1) +m−3=0 (m - tham số) Tìm m để phơng trình có nghiệm x ∈0 ;    Gi¶i: Đặt t = 2 x x đây, điều kiện cần t > nhng có điền kiện cha đủ ta cha giải đợc Ta phải tìm điều kiện t cách xét hàm số Xét hàm số y = 2x - x2 víi x ∈0 ;    Ta cã: y’(x) = - 2x y(x) = Ta có bảng biến thiên: - x +∞ y’(x) ⇔ x=1 + - y(x) 15 Tõ ®ã suy tập giá trị y y [0 ;1] ⇒ 20 ≤ 2 x −x ≤ 21 ⇔ ≤ t ≤ Víi ®iỊu kiƯn ®ã t phơng trình (1) trở thành: t2 + 2t + m - = m = -t2 - 2t + (2)  3 Ph¬ng trình (1) có nghiệm x ; phơng tr×nh (2) cã nghiƯm  ≤ t ≤ XÐt hµm sè: g(t) = -t2 - 2t + g(t) = -2t - Từ ta có bảng biÕn thiªn: -∞ x +∞ y’(x) 2 víi t ∈[1; 2] g’(t) = ⇔ t = -1 y(x) -5 Dựa vào bảng biến thiên ta có: phơng trình (2) có nghiệm t m [ ; 0] Vậy phơng trình (1) có nghiệm x 3 ∈  0;   2 ⇔ m ∈ [1; 2] ∈[−5 ; 0] BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tìm m để phương trình − x + + x − − x = m có nghiệm Bài Tìm tất giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x − x + 16 x + m + x − x + 16 x + m = Bài Tìm m để phương trình : m x + = m + x có ba nghiệm phân biệt Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) x −13x + m + x − = b) x x + 16 x + 12 = m ( − x + − x ) Bài Cho phương trình: 42x−x + 2x−x +1 +m−3=0 (1) (m - tham số)  3 Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈0 ;   ( x + 4) ( − x ) Bài Tìm m để bất phương trình 2 ≤ x − 2x + m với x ∈ [ −4;6] Bài Tìm m để bất phương trình x + − − x ≥ m có nghiệm Bài Tìm m để bất phương trình ( x + 4) ( − x ) ≤ x − 2x + m với x ∈[−4;6] ĐS : m ≥ x + − − x ≥ m có nghiệm Bài 10 Tìm m để bất phương trình ĐS : m ≤ Bài 11 Tìm m để phương trình − x + + x − − x = m có nghiệm ĐS : 2 − ≤ m ≤   x + y =1 Bài 12 Tìm m để hệ phương trình    x x + y y = − 3m ĐS: ≤ m ≤ có nghiệm 17