Luyện thi đại học chất lượng cao.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

LTĐH Chất Lượng Cao 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai -NT Bài số HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Trong năm gần , đề thi đại học Hệ phương trình đại số thường hay dạng hệ có cấu trúc đặc biệt Vì ta phải ngiên cứu cách giải chúng Thông thường ta có số phương pháp sau I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Là phương pháp chủ yếu dùng kỹ biến đổi hai phương trình hệ đưa phương trình đơn giản rút x theo y ngược lại để vào phương trình khác hệ Ta xét số ví dụ sau Loại 1: Trong hệ có phương trình bậc theo ẩn x theo ẩn y Khi ta rút x theo y y theo x thay vào phương trình cịn lại 2  x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x − x + ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình :   xy + y + = x ( ) Giải Ta thấy x=0 nghiệm phương trình (2) từ phương trình (2) ta có : y ( x + 1) = x − ⇒ y = x − ↔ y + = x thay vào phương trình (1) ta có : x ( x ) ( x + x ) = 3x − x + ⇔ ( x − 1) ( x + x − x − 1) = ( x − 1) ( 3x − 1) ⇔ ( x − 1) ( x + x − x ) = ⇔ x ( x − 1) ( x + x − ) = ⇒ x = 0; x = 1; x = −2  x + y + xy ( x + y ) = xy  x + y + xy ( x − y ) = xy Ví dụ Giải hệ phương trình :  Giải Ta có x=y=0 nghiệm hệ Các cặp số (x;y) với x = 0, y ≠ 0; x ≠ 0, y = không nghiệm hệ 1  x + y + 2x + y =  Xét xy ≠ chia hai vế phương trình cho xy ≠ ta :   + + 3x − y =  x y Suy : − x − y = + y − 3x ⇔ x = y − 1(*) thay vào phương trình thứ hai ta có : 2y-1+y+y(2y-1)(5y-3)=4(2y-1)y ⇔ y − + y ( 10 y − 11 y + 3) = y − y ⇔ 10 y − 19 y + 10 y − = ⇔ ( y − 1) ( 10 y − y + 1) = + 41 − 41 ;y= 20 20  + 41 41 −   − 41 − 41 −  ; ; ÷;  ÷ Đáp số : (x;y)= ( 1;1) ,  10 ÷ 10 ÷  20   20 ⇔ y − 1; y = Loại Một phương trình hệ đưa dạng tích hai phương trình bậc hai ẩn Khi ta dưa giải hai hệ tương đương  xy + x + y = x − y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình :   x y − y x − = x − y ( ) Giải Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Điều kiện : x ≥ 0, y ≥ x = − y x = y +1 Phương trình (1) ⇔ ( x + y ) ( x − y − 1) = ⇒  Ta thay lượt trường hợp vào phương trình (2) Giải kết 5 x y − xy + y − ( x + y ) = ( 1) Ví dụ ( ĐH-KA-2011) Giải hệ phương trình sau :  2 ( 2)  xy ( + y ) + = ( x + y ) Hướng dẫn 2 Từ (2) ta có : ( xy − 1) ( x + y − ) = ⇒ xy = ∨ x + y = • xy=1; từ (1) suy : y − y + = ⇔ y = ±1 Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(-1;1) • Với : x + y = ⇒ ( 1) ⇔ y ( x + y ) − xy + x y − ( x + y ) = 2 ⇔ y − xy + x y − ( x + y ) = ⇔ ( − xy ) ( y − x ) = → xy = ∨ x = y Xét : xy=1 Đã giải  10 10   10 10  2 ; ;− ÷,  − ÷ Với : x=2y , thay vào x + y = ⇒ ( x; y ) =  ÷ 5 ÷     10 10   10 10  ; ,  − ;− ÷ ÷ ÷   5 ÷  Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1),   x + y + x − y = + x − y ( 1) Ví dụ Giải hệ sau :  ( 2)  x + y = Giải Điều kiện : x ≥ 0; y ≥ (1) ⇔ x + y − x − y − = Suy hệ trở thành : ( )( )   x = 1; y =   x + y =   x = x + y =   ⇔   y = ⇒ ( x; y ) = ( 1;0 ) ; ( 0;1)   x − y =    x =   x + y =      y = y −3   x + y + x + = x ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình :   x+ y + x = x+3 ( 2)  Điều kiện : x>0; y ≥ y −3 Giải y −3 Ta có : ( 1) ⇔ x + y − +3 = x Suy : • Với y=3 ; ta có : x + = ⇔ x = −3 ( loại ) Th.s Nguyễn Dương Trang ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT  x + y − x + = x ⇒ x + − x = x + y = x + x + ⇔ y = Vậy • Với y ≠ ta có :   x + y + x = x + hệ có nghiệm : (x;y)=(1;8 ) * Chú ý : Trong số tốn đơi ta phải cộng trừ hai phương trình hệ sau xuất phương trình dạng tích  x + y + x y = 41 Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  2  xy ( x + y ) = 10 Hướng dẫn : Ta sử dụng đẳng thức : ( x + y ) = x + y + xy ( x + y ) + x y  x + y + x y = 41 Hệ cho ⇔  Ta cộng vế với vế hai phương trình ta : 2 4 xy ( x + y ) = 40 ↔ x + y + xy ( x + y ) + x y = 81 ⇔ ( x + y ) = 81 ⇒ x = ±3   x + y =   x + y =   2   xy ( x + y ) = 10  xy ( − xy ) = 10 ⇔ Hệ cho ⇔  Học sinh giải tiếp   x + y = −3   x + y = −3  2   xy ( − xy ) = 10    xy ( x + y ) = 10  xy + x + y = x − y Ví dụ ( ĐH-KD-2008 ) Giải hệ phương trình sau :   x y − y x − = x − y Hướng dẫn  y ( x + y ) + ( x + y ) + ( x − y ) ( x + y ) = Hệ viết lại :   x y − y x − = x − y ( x + y ) ( y + − x ) = ⇔  x y − y x − = x − y Học sinh giải tiếp Đáp số : (x;y)=(5;2) Loại 3: Một phương trình hệ phương trình bậc hai theo ẩn chẳng hạn x ẩn Khi ta coi y tham số  y = ( x + ) ( − x ) ( 1) Ví dụ Giải hệ sau ;  2  −5 x + y − xy + 16 x − y + 16 = ( ) Hướng dẫn : 2 Coi phương trình (2) phương trình theo ẩn y ta có : y − ( x + ) y − x + 16 x + 16 =  y = 5x + Giải theo y ta có :  Thay hai trường hợp vào phương trình (1) ta y = 4− x tìm nghiệm hệ  x + xy + y = Ví dụ Giải hệ phương trình sau :   y + xy + x = Hướng dẫn : Trừ hai phương trình hệ cho ta có : x − y + xy + y − x + = Th.s Nguyễn Dương Trang ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT y +1  x= 2  ⇔ x + ( y − 5) x − y + y + = ⇒ Thay trường hợp vào phương  x = − y  trình (1) ta tìm nghiệm hệ II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ * Quan trọng học sinh phải nhanh trí phát ẩn phụ : u=f(x;y) v=g(x;y) hai phương trình hệ , sau biến đổi để phát u v Thông thường phép biến đổi xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình chia vế phương trình cho số hạng khác khơng có sẵn phương trình hệ để tìm phần chung mà sau ta đặt ẩn phụ Việc phát ẩn phụ nhanh hay chậm phụ thuộc vào kỹ biến đổi kỹ nhìn học sinh  x + + y ( x + y ) = y Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  ( x + 1) ( y + x − ) = y ( 1) ( 2) Hướng dẫn : Ta thấy : y=0 không nghiệm hệ Chia hai vế phương trình (1) (2) cho y ta  x2 +  y +x+ y = u + v = x2 +  u = ;v = x + y − ⇒  có hệ :  Đặt : y u.v =  x +  ( x + y − ) =  ÷  y   Giải hệ suy u,v sau tìm x,y  y + xy = x ( 1) Ví dụ ( SPIHN-KA-2000) Giải hệ phương trình  2 1 + x y = x ( ) Hướng dẫn Nhận xét : x=0 không nghiệm hệ ( phương trình (2) vơ nghiệm ) Chia hai vế hai phương trình hệ cho x ≠ Khi hệ cho trở thành : 1  y  y1  y   x  x ÷+ y  x ÷ =  x  x + y ÷ =    ⇔   ⇔   + y2 =  + y2 =  x  x  sp = uy ( u + y ) = ⇔ Đặt : u = ; ⇒  2 x  s − 5s − = u + y = ( s = u + y; p = uy ) Học sinh giải tiếp : Đáp số (x;y)=(1;2),(1/2;1)  2 =7  xy + ( x + y ) + ( x + y)  Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  2 x + =  x+ y Hướng dẫn : Điều kiện : x + y ≠ Th.s Nguyễn Dương Trang ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT 2  =7 3 ( x + y ) + ( x − y ) + x + y ( )  Khi hệ trở thảnh :  Đặt : u = x + y + x + y ; v = x − y x + y + + ( x − y ) =  x+ y 3u + v = 13 Hệ :  Học sinh giải tiếp tìm u,v sau tìm x,y u + v =  x ( y + 1) = y − ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  2 2  x y + x y + y ( x + 1) = 12 y − ( ) Điều kiện : y ≠ 0; y ≠ −1 Giải : 4y − y +1 2 2 Khi : ( 1) ⇔ x y ( y + 1) = y − y ⇒ x − = y + ; x + = y + 2 2 2 2 Thay vào (2) , ta có : x y + x y + y + y − y = 12 y − ⇔ ( x − ) ( x + 3) y − y + = ⇔ ( y − 1) ( y + 1) y ( y + 1) y =1→ x = ± y =1  = y −1 ⇔  ⇔ y = → x =  ( y + 1) y = ( y + 1)     ( x + y ) 1 + ÷ = 18   xy  Ví dụ 5.( AN-98) Giải hệ phương trình sau :   x + y  +  = 208 )  x2 y2 ÷ (    Giải :  1  1  x + ÷+  y + ÷ = 18 x  y  Hệ cho viết lại :   x +  +  y +  = 208 ÷ ÷   x2   y2      x + x =   u =   y + = 14   y u + v = 18 u + v = 18 1  v = 14 ⇔   u = x + ; v = y + ⇒ ⇔ ⇔ Đặt :  2   u = 14 x y  uv = 56 u + v = 212    x + x = 14  v =   y + =   y    x = ±   x − x + =     y = ±   y − 14 y + = ⇔ ⇔ ⇒ ( x; y ) = − 3;7 − ; − 3;7 +   x − 14 x + =  y = ±     y − y + =    x = ± ( Th.s Nguyễn Dương Trang )( ) ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT  x y   + ÷( x + y ) = 15  y x  Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  2  x + y  x + y = 85 )  y x ÷(   Giải : x y Điều kiện : x ≠ 0, y ≠ Đặt : u = y + x ; v = x + y u > x2 y x2 + y2 v2 2 2 + = u − 2; x + y = x + y − xy = v − xy ; u = ⇒ xy = ( ) Khi ta có : 2 y x xy u+2 uv = 15  Hệ ⇔  u −  15v  = 85 Học sinh giải tiếp tìm u,v sau suy x,y )  u + ÷ (     ( x + y ) 1 + ÷ =   xy  Ví dụ Giải hệ phương trình sau :   xy + =  xy Hướng dẫn :  u =  u + v = 1 v = ⇔ Điều kiện : xy ≠ Đặt : u = x + ; v = y + ⇒   u = Học sinh giải tiếp x y uv =   v =  x y + y + x = xy  Ví dụ Giải hệ :  + + x =  x xy y  Hướng dẫn : Điều kiện : x ≠ 0, y ≠ Chia hai vế phương trình (1) cho xy , thêm vào hai vế  1 x + x + x + y =  phương trình (2) nhóm chuyển dạng tích ⇒   x +   +  = ÷ ÷  x  x y  u + v = 1 ⇔ u = v = Học sinh giải tiếp Đặt : u = x + ; v = + ⇒  x x y uv =  x ( x + y ) ( x − 1) = 14  x + x + y = Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  Hướng dẫn Th.s Nguyễn Dương Trang ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT   x = 1y =   x + x =   x = 2; y =  ( x + x ) ( x + y ) = 14    2 x + y = ⇔ ⇔   x = + 29 ; y = − 29 Hệ viết lại :  2 2  ( x + x ) ( x + y ) =   x + x =    2 x + y =   x = − 29 ; y = + 29   2 ( x + y ) − ( x − y ) − 10 ( x − y ) =  Ví dụ 10 Giải hệ phương trình sau :  =6 3 x + y + 3x − y  Hướng dẫn Điều kiện : 3x − y ≠ ⇒ y ≠ 3x Chia hai vế phương trình (1) cho 3x − y ≠ Khi Phương trình (1) hệ trở thành :  3x + y   3x + y  3x + y 3x + y = 5∨ = −2 Khi  ÷ − 3 ÷− 10 = ⇒ 3x − y 3x − y  3x − y   3x − y   3x + y 3 x + y =  x = 1; y =  3x − y =   ⇔ ⇔ * Trường hợp 1:  x = ; y = = 3 x + y +  =6 5   3x − y  3x − y ( ) ( )  3 + 11  3x + y + 11 = −  x + y =  x= ;y=  3x − y    12 ⇔ ⇔ Trường hợp 2:  3 − 11 3 x + y + =  3x − y =  − 11  x = ; y =  3x − y   x ( x + y − 1) =  Ví dụ 11 (ĐH-KD-2009 ) Giải hệ :  ( x + y ) − + = x  Hướng dẫn : Điều kiện : x ≠ Chia hai vế phương trình (1) cho x ≠ , (1) trở thành : 3 = ⇔ x + y = − Thế vào phương trình (2) hệ (2) trở thành : x x 1  x = 1; y =  x =1 x = 3   3 ⇔  − 1÷ − + = ⇔ − + = ⇔  ⇔ ⇒ ⇔ ( x; y ) = ( 1;1) ,  2; ÷ x x x  x  2  x =  x = 2; y = 1 =   x  xy + x + = y Ví dụ 12 ( ĐH-KB-2009 ) Giải hệ sau :  2  x y + xy + = 13 y ⇔ x + y +1− Hướng dẫn Nhận xét : y=0 không nghiệm (1) vơ lý , ta chia hai vế phương trình (1) (2) hệ cho y ≠ 0; y ≠ Khi hệ trở thành : Th.s Nguyễn Dương Trang ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT  1 x x 1   x + ÷+ = ( ) x + + = x + = −5    y y y y y  1  1   ⇔ ⇔ ⇔  x + ÷ −  x + ÷− 20 = ⇒  x 1 y  y    x2 + + = 13  x +  − x = 13 ( ) x+ =4  ÷   y y y  y y    x = 12 y   x = 1; y =  1  12 y + y + =  ⇔ ⇔ ⇒ ( x; y ) = 1; ÷, ( 3;1)  x = 3y  3 x = 3; y =     3 y − y + =  x + y + x y + x y + xy = −  Ví dụ 13 ( ĐH-KA-2008 ) Giải hệ :   x + y + xy ( + x ) = −  Hướng dẫn : 5    x + y + xy ( x + y ) + xy = − u + v + uv = − ⇔ ( u = x + y; v = xy ) Hệ viết lại :  5 ( x + y ) + xy = − u + v = −   4  x + y =  u =      xy = −  v=−     4  25   3   3 ⇔ ⇒ x ; y = ; − , 1; − ( )  ÷ Học sinh giải tiếp ta :    ÷   x2 + y = − 16 ÷ 2 u=−          3   xy = −  v = −   2     x + x y + x y = −2 x + Ví dụ 14 ( ĐH-KB-2008 ) Giải hệ :   x + xy = x + Hướng dẫn : ( x + xy ) = x + 9(3)  x ( x + y ) = x +  ⇔ Hệ viết lại :  Thay (4) vào (3) rút gọn ta có : x + − x2  xy = (4)  x + xy = x +  x = x = x = ⇔ x + 12 x + 48 x + 64 x = ⇔  ⇔ ⇒   ( x + ) =  x = −4  x + 12 x + 48 x + 64 = 17   Học sinh giải tiếp Đáp số nghiệm hệ : (x;y)=  −4; ÷ 4   x − x = y − y Ví dụ 15 ( ĐH-KA-2003 ) Giải hệ :  2 y = x3 +  Điều kiện : x, y ≠ Th.s Nguyễn Dương Hướng dẫn Trang ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT  x − y = 1  Từ (1) hệ : x − y − + = ⇔ ( x − y ) 1 + ÷ = ⇒  x y  xy   xy = −1 • Nếu : x=y , thay vào (2) hệ : ⇔ x − x + = ⇔ x = → ( x; y ) = ( 1;1) 2 1 • Nếu xy=-1 , thay vào (2) hệ : x + x + = ⇒  x − ÷ +  x + ÷ + = 2  2  Phương trình vơ nghiệm Do hệ vơ nghiệm III PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Loại Một phương trình hệ có dạng : f(x)=f(y) Một phương trình cho ta biết tập giá trị x y Từ suy hàm số f(x) đơn điệu suy x=y 3  x − x = y − y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  8  x + y = 1( ) Hướng dẫn : Từ (2) suy : x , y ≤ Từ (1) ta xét hàm số : f(t)= t − 5t ⇒ f '(t ) = 3t − < ∨ t ∈ [ −1;1] Do f(t) hàm số nghịch biến Vậy để có (1) xảy x=y  1   1  Khi (2) trở thành : x = ⇔ x = ± ⇒ ( x; y ) =  − ; − ÷;  ; ÷ 2 2 2     3  x − x = y − y Ví dụ 2.( Ngoại thương -2000) Giải hệ phương trình :  6  x + y = Hướng dẫn : Học hinh giải ví dụ , từ suy cách giải ví dụ Loại Hệ đối xứng mà sau biến đổi thường đưa dạng f(x)=f(y) f(x)=o Trong f hàm số đơn điệu  x + x − x + = y −1 + Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  x −1  y + y − y + = + Hướng dẫn giải u + u + = 3v Đặt u=x-1;v=y-1 hệ có dạng :  v + v + = 3u Trừ hai phương trình vế với vế ta có phương trình : u + u + + 3u = v + v + + 3v (*) u Xét hàm số : f (u ) = u + u + + ⇒ f '(u ) = + Để có (*) xảy u=v.Thay vào (1) ( ) u u +1 ( + 3u ln > Hàm số đồng biến ) ⇔ u + u + = 3u ⇔ ln u + u + = u ln ⇒ f (u ) = ln u + u + − u ln Th.s Nguyễn Dương Trang ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT 1+ ⇔ f '(u ) = u u + − ln = − ln < ∨ u Chứng tỏ hàm số nghịch biến Nhưng u + u2 +1 u2 +1 ta lại có f(0)=0 phương trình có nghiệm u=0 v=0 Do hệ có nghiệm : x=y=0 ( x + 1) x + ( y − 3) − y = Ví dụ ( ĐH-KA-2010 ) Giải hệ phương trình sau :  2  x + y + − x = Hướng dẫn 2  5−t  3 ⇔ x3 + x = t  − ÷⇔ 8x + x = t + t   Điều kiện : x ≤ , y ≤ Đặt : t = − y ⇒ y = − t ) , thay vào (1)của hệ ta có : ( Xét hàm số : f ( x) = x3 + x ⇒ f '( x) = 3x + > ∨ x → f ( x) đồng biến vế trái chẳng qua t=2x Do : − y = x ⇔ y = − x2 Thay vào phương trình (2) 2  − x2   3 hệ ta : g ( x) = x +  ÷ + − x = ∨ x ∈  0; ÷  4   Dễ thấy x=0 x=3/4 không nghiệm  2 Ta xét : g '( x) = x − x  − x ÷− 2 4  3 = x ( x − 3) − < ∨ x ∈  0; ÷, − 4x − 4x  4  1 với : g ( ) = ⇒ x = ; y = nghiệm hệ 2  x + xy = y10 + y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình sau :   x + + y + = ( ) Hướng dẫn Điều kiện : x ≥ − Chia hai vế phương trình (1) cho y ≠ x x ⇒  ÷ +  ÷ = y + y Hàm số : f (t ) = t + t ; f '(t ) = 5t + > ∨ t ∈ R  y  y x Chứng tỏ f(t) đồng biến Cho nên để có (*) xảy y = y ↔ x = y Thay vào phương trình (2) ta : x + + x + = ⇒ x = Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;-1) IV PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Với phương pháp học sinh cần quan sát nắm biểu thức không âm hệ để vận dụng bất đẳng thức Cơ si để đánh giá Th.s Nguyễn Dương Trang 10 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT xy  = x2 + y x + x − 2x +  Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  xy y + = y2 + x  y − 2y + Hướng dẫn Cộng hai vế phương trình hệ vế với vế ta có : xy x − 2x + + xy y − 2y + = x + y Ta có : x=y=0 nghiệm hệ Ta có : x − x + = ( x − 1) + ≥ ⇒ VT ≤ xy + xy = xy Khi : VP = x + y ≥ xy Cho nên dấu xảy : x=y=1 Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(o;0);(1;1)  y = − x + x + Ví dụ Giải hệ phương trình sau :   x = y − y − Hướng dẫn ( y − ) = − ( x + 1) ( x − ) ( 1) ( x − ) = ( y + 1) ( y − ) ( )  Hệ cho ⇔  Nếu y>2 từ (1)suy x x ⇔ + x7 = ( + y ) ( + y ) ( + y ) = + y + y + y3 + y + y + y + y > + y ⇒ x > y Vậy hệ vô nghiệm Tương tự y>0 hệ vô nghiệm Xét : x + x ⇒ y > x Tương tự yy Hệ vơ nghiệm Xét trường hợp -1