TÍNH SIÊU KHẢ TÍCH CỦA BÀI TOÁN MICZ KEPLER CHÍN CHIỀU PHAN NGỌC HƯNG*, LÊ VĂN HOÀNG** TÓM TẮT Bài toán MICZ Kepler chín chiều với thế đơn cực SO(8) được khẳng định có đối xứng SO(10) Trên cơ sở sử dụ[.]
Phan Ngọc Hưng tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ TÍNH SIÊU KHẢ TÍCH CỦA BÀI TỐN MICZ-KEPLER CHÍN CHIỀU PHAN NGỌC HƯNG*, LÊ VĂN HỒNG** TĨM TẮT Bài tốn MICZ-Kepler chín chiều với đơn cực SO(8) khẳng định có đối xứng SO(10) Trên sở sử dụng đối xứng này, hệ gồm toán tử độc lập giao hốn chứa Hamiltonian chúng tơi xây dựng tường minh Một toán tử bất biến độc lập khác Sự tồn đồng thời hai toán tử cho phép khẳng định tính siêu khả tích tối đa tốn Từ khóa: tốn MICZ-Kepler, đối xứng ẩn, siêu khả tích, khơng gian chín chiều, đối xứng SO(10) ABSTRACT Superintegrability of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem The nine-dimensional MICZ-Kepler system with the SO(8) monopole potential has been regarded to have SO(10) symmetry recently Based on this symmetry, in the present paper, a set of nine functionally independent, commutative each to other, and invariant operators including the Hamiltonian of the system is built explicitly Also, another set of eight invariant operators is built From the combination of those set, which are seventeen operators we conclude that the considered MICZ-Kepler problem is maximally superintegrable Keywords: MICZ-Kepler problem, hidden symmetry, superintegrability, ninedimensional space, SO(10) symmetry Khái niệm siêu khả tích Trong nghiên cứu hệ vật lí, việc xây dựng mơ hình tốn học khảo sát tính chất mơ hình hướng tiếp cận thơng dụng Cách tiếp cận thu nhiều thành cơng vật lí cổ điển lẫn vật lí lượng tử Tuy nhiên, mơ hình tốn học thường dẫn đến phương trình hệ phương trình vi phân phức tạp, mà đa phần khơng có lời giải giải tích, giải số Chỉ có số tốn có lời giải xác tường minh, gọi tốn khả tích Một nhóm chí cịn nhiều tốn có đồng thời lời giải giải tích lời giải đại số, gọi tốn siêu khả tích Các tốn siêu khả tích đóng vai trị quan trọng phát triển lí thuyết vật lí học, thường xem * ** ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: hungpn@hcmup.edu.vn PGS TSKH, Trường Đại học Sư phạm TPHCM tốn sở để tính tốn cho hệ phức tạp nhờ lí thuyết nhiễu loạn Một ví dụ tốn siêu khả tích tốn Kepler, xem tốn để phát triển tính tốn quỹ đạo thiên thể vật lí cổ điển, hay tính toán mức lượng nguyên tử vật lí lượng tử Một ví dụ khác tốn dao động tử điều hòa, xem sở tính tốn cho hệ boson Tuy hệ có tính siêu khả tích tốn Kepler-Coulomb hay dao động tử điều hòa quan tâm nghiên cứu từ lâu, lí thuyết đại cấu trúc phân loại hệ xem cơng trình Smorodinsky, Winternitz cộng năm 1965 [2, 3] Tính siêu khả tích hệ xác định thơng qua việc khảo sát đối xứng tốn, thường liên quan đến “đối xứng ẩn” hệ Các hệ siêu khả tích thừa nhận có đối xứng tối đa, dẫn đến khả giải phương pháp đại số lẫn giải tích [1-4, 7] Xét hệ lượng tử có phương trình Schưdinger dừng không gian N -chiều: H Ψ = EΨ, hệ gọi khả tích, tồn n tốn tử độc lập tuyến tính [ Xa , Xb ] = 0, đó, tốn tử X a thỏa: a, b = 1,…, n, X1 = H Hamiltonian hệ Hệ gọi siêu khả tích ngồi n tốn tử tốn tử {Y1,…,Yk } bảo tồn, tức [H ,Y j ] = j = 1,…, k, 0, Xa kể trên, tồn k đồng thời 2n − toán tử gồm {H , X ,…, X n ,Y1,…,Yk } độc lập với Ở đây, tốn tử Y j khơng cần giao hốn với tốn tử X khơng cần giao hoán với a Số lượng toán tử Y j thỏa: ≤ k ≤ n −1 Trường hợp k = 1, hệ gọi “siêu khả tích tối thiểu” Trường hợp k = n − , hệ gọi “siêu khả tích tối đa” [4] Trong trường hợp cổ điển, khái niệm khả tích, siêu khả tích có định nghĩa tương tự trên, quan hệ giao hốn tử toán tử thay ngoặc Poisson Các hệ siêu khả tích nhận quan tâm đặc biệt tính chất sau [4], [5]: Trong học cổ điển, hệ siêu khả tích tối đa chứng tỏ có quỹ đạo khép kín chuyển động mang tính chu kì 2 Về mặt lí thuyết, quỹ đạo hệ siêu khả tích cổ điển thu mà khơng cần giải phương trình vi phân 3 Theo định lí Bertrand, hệ đối xứng cầu, có hai trường hợp có quỹ đạo khép kín: dao động tử điều hòa hệ Kepler-Coulomb Trong trường hợp đại số đại lượng bảo toàn bậc hai, phương trình Hamilton-Jacobi Schưdinger tương ứng hệ siêu khả tích tách biến Với hệ lượng tử, tính siêu khả tích dẫn đến tăng suy biến mức lượng, gọi “suy biến ngẫu nhiên” (accidental degenaracy) Sự gia tăng bậc suy biến giải thích tính siêu khả tích có liên quan đến “đối xứng ẩn” hệ Đối với hệ siêu khả tích cực đại lượng tử biết, lượng hệ giải phương pháp đại số giải tích Đối xứng tốn MICZ-Kepler chiều Bài toán MICZ-Kepler mở rộng tốn Kepler-Coulomb, hệ xét gồm hạt có điện tích isospin chuyển động dyon (một hạt có điện tích từ tích) Bài tốn MICZ-Kepler chín chiều mở rộng cách tự nhiên từ toán ba chiều năm chiều với đơn cực tương ứng thỏa tính chất đại số SO(8) giới thiệu cơng trình nhóm tác giả Van-Hoang Le năm 2009 [5, 6], nhóm tác giả gọi đơn cực SO(8) Trong mục này, chúng tơi tóm tắt kết đáng ý cơng trình [6] nhóm đối xứng tốn để làm sở khảo sát tính siêu khả tích Phương trình Schưdinger dừng toán hệ đơn vị nguyên tử ( m = c = = e = ) có dạng: Q2 Z H Ψ = π + − Ψ = EΨ, (1) 8r r 2 có dạng tường đó, π = π μ π μ , ( μ = 1,…, ) với thành phần xung lượng π μ minh: π j = −i ∂ + Ak (r)Qkj , ∂x π9 = −i j, k = 1,…,8, j ∂ ∂x Ak (r)Qkj đặc trưng cho tương tác hạt có isospin với đơn cực Các số hạng SO(8) với vector có dạng tường minh: Ak (r) = xk r(r + x9 ) Toán tử Q2 = Q Q kj kj ( j, k = 1,…,8) với Q vi tử nhóm so(8) , nghĩa thỏa kj mãn hệ thức giao hoán: Q jk ,Qmn = iδ jmQkn + iδ knQ jm − iδ jnQkm − iδ kmQ jn , đó, δ jk kí hiệu delta Kronecker Cũng giống trường hợp toán MICZ-Kepler ba chiều năm chiều, bổ sung đơn cực khơng làm phá vỡ tính chất đối xứng hình học SO(9) tốn Kepler-Coulomb chín chiều Cụ thể, nhóm đối xứng hình học tốn MICZKepler chín chiều biểu diễn N ( N − 1) / = thành phần moment xung lượng 36 độc lập dạng tensor: Λμν = xμπν − xνπμ + ir2 π μ ,πν , μ ,ν = 1,…, 9, μ < ν (2) Các hệ thức giao hoán thành phần chứng tỏ tốn có đối xứng SO(9) Λ μν , H = 0, Λ μν , Λσρ = iδ μσ Λνρ + iδνρ Λ μσ − iδ μρ Λνσ − iδνσ Λ μρ (3) Đối xứng ẩn toán thể qua vector Runge-Lenz suy rộng 9-chiều với thành phần có dạng tường minh: x (4) M = ( π Λ +Λ π ) +Z ν , ν = 1,…, ν μ μν μν μ r Các thành phần thỏa mãn hệ thức giao hoán: Mμ , H = 0, Λ μν , M ρ = iδ μρ Mν − iδνρ M μ , M μ , Mν = −2iH Λ μν Nhóm đối xứng so(10) tốn MICZ-Kepler chín chiều xác định từ 45 thành phần {Λˆ μν , Mˆ ρ } Trong hệ thức trên, H đóng vai trị “hằng số” nhóm đối xứng Các thành phần nhóm đối xứng sử dụng để khảo sát tính siêu khả tích tốn phần Tính siêu khả tích tối đa toán MICZ-Kepler chiều Trong trường hợp tốn MICZ-Kepler chín chiều, N = nên để hệ khả tích, cần tốn tử độc lập tuyến tính giao hốn với (trong có Hamiltonian H ) Thêm vào đó, để hệ siêu khả tích, ta cần thêm k tốn tử bảo tồn khác tạo với tốn tử trước tạo thành độc lập ( ≤ k ≤ n −1) 3.1 Tính khả tích Nhóm đối xứng khơng gian so(9) (và đầy đủ nhóm đối xứng so(10) ) toán xây dựng dựa toán tử bất biến sở tốt để chúng tơi xây dựng nên tốn tử thỏa mãn tính chất khả tích tốn, nhóm cấu tạo từ tốn tử bất biến Cụ thể, nhóm đối xứng khơng gian so(9) tốn MICZ-Kepler chín chiều biểu diễn tường minh qua ma trận × : Λ 21 Λ31 Λ 41 Λ= Λ51 Λ Λ61 71 Λ 81 Λ 91 Λ12 Λ13 Λ Λ32 Λ Λ 42 23 43 Λ14 Λ Λ15 Λ Λ16 Λ Λ17 Λ Λ18 Λ Λ34 24 Λ35 Λ 25 Λ36 Λ 26 Λ37 Λ 27 Λ38 Λ 46 Λ56 47 Λ57 Λ58 Λ19 Λ 29 Λ39 Λ 49 Λ Λ Λ Λ Λ Λ76 Λ Λ Λ52 Λ53 Λ54 Λ Λ Λ 62 Λ72 Λ Λ 82 92 63 Λ73 Λ Λ 83 93 64 Λ74 Λ Λ 84 94 45 65 Λ75 Λ Λ 85 95 Λ 86 96 67 Λ 87 97 28 48 68 Λ78 Λ 98 59 69 Λ79 Λ 89 đó, thành phần ma trận thỏa mãn tính chất phản đối xứng Λij = −Λ ji Trên sở nhóm đối xứng này, chúng tơi chọn nhóm bất biến gồm {so(2), so(3),…, so(9)} theo quy tắc: nhóm so(m) gồm thành phần ma trận khối m × m góc bên trái ma trận Λ , với biểu diễn tường minh sau: Λ 21 Λ= Λ31 Λ m Λ12 Λ13 Λ Λ32 Λm 23 Λ m3 Λ1m Λ 2m Λ3m Với cách chọn nhóm vậy, từ tính chất ma trận Λ , dễ dàng nhận thấy X (m) ma trận hoàn toàn phản đối xứng với thành phần tạo thành nhóm kín thỏa mãn tính chất giao hốn (3) đại số SO(m) Ứng với nhóm so(m) , tốn tử S (m) chúng tơi định nghĩa tốn tử Casimir bậc nhóm đối xứng so(m) : S (m) = − X (m) X (m) = ∑ Λ2 m = 2,…, 9, (5) , ij ji ij 1≤i< j≤m đó, số i , j lặp lại hiểu lấy tổng từ đến m Vì tốn tử Casimir nhóm đối xứng, nên tốn tử hồn tồn thỏa mãn tính chất bất biến: [S (m) , H ] = (6) Ngoài ra, cách chọn nhóm thỏa mãn so(2) ⊂ so(3) ⊂ …so(9) , nên tốn tử Casimir tương ứng nhóm hoàn toàn độc lập với Đặc biệt, tốn tử Hamiltonian H có vai trị “hằng số” nhóm so kể trên, xem vi tử nhóm so(1) nhóm bất biến tất nhóm này, nên H độc lập với toán tử S (m) Giao hốn tử tốn tử bình phương moment xung lượng tính trực tiếp từ hệ thức giao hốn nhóm so(9) : [Λ2 , Λ2 ] = iδ {Λ , Λ , Λ } + iδ {Λ , Λ , Λ } ij mn im ij mn jn jn ij mn im (7) −iδ in {Λij , Λmn , Λ jm } − iδ jm {Λij , Λmn , Λin }, đó, kí hiệu {A, B} = AB + BA phản giao hoán tử {A, B, C} = {A,{B,C}} Tính tốn trực tiếp từ đinh nghĩa toán tử bất biến S (m) sử dụng hệ thức (7), thu kết quả: [S (m) , S (n) ] = 0, m, n = 2,…, 9, (8) tức tốn tử S (m) hồn tồn tạo thành giao hốn với Như vậy, nhóm tốn tử {H , S(2) , S(3),…, S (9) } tạo thành toán tử bất biến độc lập, giao hoán với nhau, cho phép chúng tơi kết luận tốn MICZ-Kepler chín chiều có tính khả tích 3.2 Tính siêu khả tích tối đa Một cách khác để xây dựng nhóm {so(2) , so(3) , , so(9)} theo quy tắc: nhóm so(m) gồm thành phần ma trận khối m × góc bên phải m ma trận Λ , với biểu diễn tường minh sau: Λ10−m,7 Λ10−m ,8 Λ10−m,9 Λ79 Λ = Λ7,10−m Λ78 Λ Λ Λ 89 8,10−m Λ9787 Λ98 Λ 9,10−m Một cách tương tự phần trước, định nghĩa toán tử bất biến toán tử Casimir bậc nhóm này: (9) S = − Y (m) Y (m) Λ2 , m = 2,…, ∑ = ( m) ij ji ij 9−m