Xây dựng phổ năng lượng của bài toán micz kepler bằng phương pháp đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ XÂY DỰNG PHỔ NĂNG LƢỢNG CỦA BÀI TOÁN MICZ-KEPLER BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ MÃ SỐ: CS.2014.19.66 Chủ nhiệm đề tài: ThS Phan Ngọc Hƣng Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2016 DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI STT Họ tên Phan Ngọc Hưng Đơn vị công tác Trường Đại học Sư phạm TPHCM Nhiệm vụ Chủ nhiệm Mục lục Tóm tắt kết đề tài (tiếng Việt) Tóm tắt kết đề tài (tiếng Anh) Mở đầu Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tương, phương pháp nghiên cứu Nội dung Nội dung nghiên cứu Bài tốn MICZ-Kepler chín chiều Đối xứng SO(10) tốn MICZ-Kepler chín chiều Toán tử Casimir C2 phổ lượng tốn MICZ-Kepler chín chiều 3.1 Toán tử Casimir C2 3.2 Phổ lượng tốn MICZ-Kepler chín chiều Kết luận, kiến nghị hƣớng phát triển 10 Kết luận 10 Kiến nghị 10 Hướng phát triển 10 Tài liệu tham khảo 11 TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƢỜNG Tên đề tài: XÂY DỰNG PHỔ NĂNG LƢỢNG CHO BÀI TOÁN MICZ-KEPLER BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ Mã số: CS2014.19.66 Chủ nhiệm đề tài: ThS Phan Ngọc Hƣng Tel: 093 219 0430 E-mail: hungpn@hcmup.edu.vn Cơ quan chủ trì đề tài : Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp.HCM Cơ quan cá nhân phối hợp thực : Khoa Vật lý, trƣờng Đại học Sƣ phạm TPHCM Thời gian thực hiện: từ tháng 9/2014 đến 9/2015 Mục tiêu: - Xây dựng phổ lượng cho toán MICZ-Kepler chín chiều phương pháp đại số Nội dung chính: - Xây dựng hệ tốn tử bất biến Casimir tốn MICZ-Kepler chín chiều - Xây dựng biểu thức liên hệ toán tử lượng (Hamiltonian) toán với toán tử bất biến Casimir - Xây dựng phổ lượng toán từ trị riêng tốn tử Casimir thơng qua mối quan hệ Kết đạt đƣợc (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tế-xã hội): - Phổ lượng tốn MICZ-Kepler chín chiều xây dựng tường minh phép tính đại số - Một phần kết báo cáo hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 40, năm 2015 Đà Lạt: Phan Ngọc Hưng, Dương Nhật Huy, Nguyễn Thành Sơn, Lê Văn Hoàng, “Parameterization of the SO(8) group and its Schwinger representation” - Một báo khoa học: Phan Ngọc Hưng, Thới Ngọc Tuấn Quốc, Lê Văn Hoàng (2016), “Tốn tử Casimir C2 cho nhóm đối xứng SO(10) tốn MICZ-Kepler chín chiều”, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm TPHCM (đã nhận đăng) SUMMARY Project Title: Building the energy spectrum of the MICZ-Kepler problem using algebraic method Code number: CS2014.19.66 Coordinator: M Sci Phan Ngoc Hung Implementing Institution : Ho Chi Minh City University of Education Cooperating Institution(s): Department of Physics, HCMC University of Education Duration: from September 2014 to Septemper 2015 Objectives: - Building the energy spectrum of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem using algebraic method Main contents: - Construct the invariant Casimir operators of the problem - Construct the relations between Hamiltonian and the Casimir operators - Building the energy spectrum from the above relations Results obtained: - The energy spectrum is explicitly built by algebraic calculation - Report at 40th National Conference on Theoretical Physics, Da Lat city, 27-29th July, 2015: Phan Ngoc Hung, Duong Nhat Huy, Nguyen Thanh Son, Le Van Hoang, “Parameterization of the SO(8) group and its Schwinger representation” - One paper: Phan Ngoc Hung, Thoi Ngoc Tuan Quoc, Le Van Hoang (2016), “Casimir operator C2 for symmetry group SO(8) of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem”, HCM city University of Education Journal of Science (accepted) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Năm 2009, đơn cực SO(8) ứng với không gian chiều phẳng nhóm nghiên cứu trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tìm cơng bố tạp chí Journal Physics A Đây mở rộng đơn cực số chiều thấp (đơn cực Dirac không gian chiều đơn cực Yang không gian chiều) Với bổ sung đơn cực SO(8), toán MICZ-Kepler chiều xem trường hợp cuối tốn MICZ-Kepler Tính đối xứng tốn khảo sát loạt cơng trình năm 2010, 2011 2012 Tuy nhiên, phổ lượng toán chưa xây dựng cách chặt chẽ từ tính đối xứng Việc xây dựng phổ lượng toán có ý nghĩa khoa học quan trọng, hồn thiện toán sở cho việc nghiên cứu hệ vật lý phức tạp có tham gia đơn cực SO(8) Mục tiêu nghiên cứu - Xây dựng phổ lượng cho toán MICZ-Kepler chín chiều phương pháp đại số Đối tƣợng nghiên cứu, cách tiếp cận, phƣơng pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu: Bài toán MICZ-Kepler khơng gian chín chiều trực giao b Phạm vi nghiên cứu: Xây dựng phổ lượng toán phương pháp đại số c Cách tiếp cận: Nghiên cứu lý thuyết, đại số d Phương pháp nghiên cứu: - Sử dụng lý thuyết nhóm, học lượng tử khảo sát tính đối xứng làm sở cho tính tốn đại số - Một số phép biến đổi tính tốn hỗ trợ ngơn ngữ lập trình Mathematica Nội dung chính: - Xây dựng toán tử bất biến Casimir toán - Xây dựng liên hệ toán tử bất biến với Hamiltonian toán - Xây dựng phổ lượng trị riêng Hamiltonian từ trị riêng toán tử bất biến Casimir NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Bài tốn MICZ-Kepler chín chiều Bài toán MICZ-Kepler mở rộng toán Coulomb với bổ sung đơn cực thích hợp Bài tốn lần xây dựng khảo sát từ năm 1970 không gian ba chiều [2,7] Bài toán mở rộng lên khơng gian có số chiều cao năm chiều [1] chín chiều [3,5,6] Đặc biệt, cơng trình [6] cho thấy việc mở rộng lên số chiều cao tùy ý, tốn MICZKepler chín chiều trường hợp cuối có liên hệ trực tiếp với tốn dao động tử điều hòa 16 chiều qua phép biến đổi song tuyến tính Trong tốn MICZ-Kepler chín chiều, đơn cực tác giả đưa ( ) Cụ thể hơn, phương trình Schrodinger dừng cách tường minh đơn cực toán hệ đơn vị nguyên tử có dạng:   Qˆ Z   H          E , 8r r  2  (1) đó,   ˆ ˆ  , (   1,,9 ) với thành phần xung lượng ˆ  có dạng tường minh: ˆ j  i   Ak (r )Qˆ kj , x j ˆ9  i  x9 j , k  1,,8, Các số hạng Ak (r )Qˆ kj đặc trưng cho tương tác hạt có isospin với đơn cực SO(8) với vec-tơ có dạng tường minh: xk r (r  x9 ) Toán tử Qˆ  Qˆ kj Qˆ kj ( j, k  1,,8 ) với Qˆ kj vi tử nhóm SO(8) , nghĩa thỏa Ak (r )  mãn hệ thức giao hoán: Qˆ jk , Qˆ mn   i jmQˆ kn  i knQˆ jm  i jnQˆ km  i kmQˆ jn ,   đó,  jk kí hiệu delta Kronecker Trong công thức từ sau, lặp lại số có nghĩa lấy tổng, kí tự latin ( j ) sử dụng cho số biến thiên từ đến 8, kí tự Hy Lạp (  ) sử dụng cho số biến thiên từ đến Đối xứng SO(10) toán MICZ-Kepler chín chiều Một tính chất quan tâm tốn MICZ-Kepler tính đối xứng chúng Được mở rộng từ toán Coulomb nên tốn MICZ-Kepler cho khơng làm tính đối xứng vốn có tốn Coulomb bổ sung đơn cực thích hợp Bài toán Coulomb đối tượng phổ biến học lượng tử chứng tỏ có đối xứng không gian SO(n  1) không gian n chiều Đối xứng bao gồm đối xứng phép quay không gian n chiều đối xứng ẩn, thường thể qua vec-tơ bất biến gọi vec-tơ Runge-Lenz Trong cơng trình [3], tác giả xây dựng cách tường minh biểu thức vec-tơ Runge-Lenz mở rộng cho trường hợp tốn MICZ-Kepler chín chiều, chứng tỏ đối xứng SO(10) tốn Coulomb chín chiều khơng bị phá vỡ bổ sung đơn cực SO(8) Moment xung lượng hệ biểu diễn qua thành phần dạng tensor: ˆ  x ˆ  x ˆ  ir  ,    (2)         Các thành phần hình chiếu vec-tơ Runge-Lenz có dạng tường minh:   ˆ  ˆ ˆ  Z x Mˆ   ˆ      r (3) Từ biểu thức tường minh này, mối liên hệ vec-tơ Runge-Lenz, tensor moment xung lượng Hamiltonian xây dựng: ˆ ˆ    , H   0,  Mˆ  , Hˆ   0,   ˆ ˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ    ,    i    i    i    i   , ˆ ˆ  ˆ ˆ    , M    i  M  i M  , ˆ  Mˆ  , Mˆ    2iHˆ     (4) Nhóm đối xứng tốn biểu diễn thơng qua ma trận Dˆ ma trận 10 10 với thành phần: ˆ  M  , N  ,  Dˆ MN   Mˆ    Mˆ  0  M   , N  10, M  10, N   , M  N, (5) Mˆ   (2Hˆ )( 1/2) Mˆ  Ở đây, ta sử dụng kí tự Latin in hoa cho số biến thiên từ đến 10 Các thành phần ma trận Dˆ thỏa mãn hệ thức giao hoán:  Dˆ MN , H   0,    Dˆ MN , Dˆ PQ   i MP Dˆ NQ  i NQ Dˆ MP  i MQ Dˆ NP  i NP Dˆ MQ   (6) Các hệ thức cho thấy 45 thành phần độc lập ma trận phản xứng Dˆ đại lượng bảo toàn tạo nên nhóm đối xứng SO(10) tốn MICZ-Kepler chín chiều Toán tử Casimir C2 phổ lƣợng tốn MICZ-Kepler chín chiều 3.1 Tốn tử Casimir C2 Với việc nhóm đối xứng tốn xây dựng cách tường minh cơng trình [6], tốn chúng tơi nhận định có lời giải đại số Một phương pháp để thu lời giải xây dựng mối liên hệ trực tiếp Hamiltonian toán hệ tốn tử bất biến Casimir nhóm đối xứng Toán tử Casimir bậc p với ( p  2,3,) nhóm định nghĩa tốn học: C p  X i1i2 X i2i3  X i pi1 , đó, X ij phần tử nhóm Trong trường hợp tốn MICZ-Kepler chín chiều, xây dựng từ thành phần nhóm đối xứng tốn, nên ta dễ dàng nhận thấy toán tử Casimir giao hoán với Hamiltonian, nói cách khác chúng tốn tử bất biến Theo lý thuyết tốn học, vơ số tốn tử Casimir, nhóm đối xứng SO(2n) , có n tốn tử Casimir bất biến độc lập, thường chọn C2 , C4 ,, C2n Để tìm phổ lượng tốn, tức trị riêng toán tử Hamiltonian, ta cần biểu diễn Hamiltonian theo toán tử bất biến Casimir Với nhận xét toán tử Hamiltonian chứa đạo hàm bậc tọa độ, ta suy toán tử bất biến liên hệ trực tiếp với Hamiltonian toán tử Casimir bậc C2 chứa thành phần đạo hàm bậc tọa độ: C2  DMN DNM  (  M 2 ), đó,   ˆ  ˆ  M 2  M / (2Hˆ )  Mˆ  Mˆ  / (2Hˆ ) Sử dụng định nghĩa toán tử thành phần vec-tơ Runge-Lenz, ta thu kết quả: C2   Z2  Q  16 ˆ 2H 3.2 Phổ lƣợng tốn MICZ-Kepler chín chiều Với ý Q tốn tử Casimir bậc nhóm SO(8) (nhóm đối xứng đơn cực), mối liên hệ toán tử Hamiltonian toán tử Casimir bậc biểu diễn tường minh: Hˆ   Z2 2(C2  Q  16) (7) Từ đó, ta thu biểu thức phổ lượng tốn MICZ-Kepler chín chiều, thơng qua trị riêng tốn tử Casimir bậc hai: Z2 E , 2(c2  c2  16) (8) đó, c2 c2 trị riêng tốn tử Casimir bậc hai nhóm SO(10) SO(8) [4]: c2  1 ( 1  8)  2 ( 2  6)  3 ( 3  4)  4 ( 4  2)  52 , c2  q1 (q1  6)  q2 (q2  4)  q3 (q3  2)  q42 , với  j q j số nguyên bán nguyên thỏa mãn 1  2  3  4  5  q1  q2  q3  q4  KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN Kết luận Như vậy, đề tài đạt mục tiêu đưa ban đầu Các kết gồm có: i Xây dựng mối liên hệ Hamiltonian toán với toán tử bất biến Casimir ii Biểu thức lượng toán đưa cách tường minh Hƣớng phát triển Trong biểu thức lượng toán, giá trị số lượng tử lý thuyết nhóm xác định, cần nghiên cứu sâu để làm rõ ý nghĩa vật lý số lượng tử Đây vấn đề chúng tơi tiếp tục tìm hiểu nghiên cứu Ngoài ra, tồn đối xứng ẩn, lời giải đại số dấu hiệu đáng tin cậy cho tính siêu khả tích, khả tách biến tốn Đây vấn đề mà quan tâm 10 Tài liệu tham khảo Mardoyan L.G., Sissakian A.N., and Ter-Antonyan V.M (1999), “Hidden symmertry of the Yang-Coulomb monopole”, Mod Phys Lett A, 14(19), pp 1303-1307 McIntosh H.V and Cisneros A (1970), “Degeneracy in the Presence of a Magnetic Monopole”, J Math Phys., 11, pp.896-916 Ngoc-Hung Phan, Van-Hoang Le (2012), “Generalized Runge-Lenz vector and ninedimensional MICZ-Kepler problem”, J Math Phys., 53, pp.082103-7 Perelomov A.M and Popov V.S (1965), “Casimir operators for the orthogonal and symplectic groups”, J Exp Theo Phys Lett., 2, tr 20-22 Van-Hoang Le, Thanh-Son Nguyen (2011), “A non-Abelian SO(8) monopole as generalization of Dirac and Yang monopoles for a nine-dimensional space”, J Math Phys., 52, pp 032105-11 Van-Hoang Le, Thanh-Son Nguyen, Ngoc-Hung Phan (2009), “A Hidden NonAbelian Monopole in a 16-Dimensional Isotropic Harmonic Oscillator”, J Phys A, 42, pp 175204-8 Zwanziger D (1968), “Exactli Soluble Nonrelativistic Model of Particles with Both Electric and Magnetic Charges”, Phys Rev., 176, pp.1480-1488 11 ... MICZ- Kepler chín chiều phương pháp đại số Nội dung chính: - Xây dựng hệ toán tử bất biến Casimir tốn MICZ- Kepler chín chiều - Xây dựng biểu thức liên hệ toán tử lượng (Hamiltonian) toán với toán tử bất... giao b Phạm vi nghiên cứu: Xây dựng phổ lượng toán phương pháp đại số c Cách tiếp cận: Nghiên cứu lý thuyết, đại số d Phương pháp nghiên cứu: - Sử dụng lý thuyết nhóm, học lượng tử khảo sát tính... NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƢỜNG Tên đề tài: XÂY DỰNG PHỔ NĂNG LƢỢNG CHO BÀI TOÁN MICZ- KEPLER BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ Mã số: CS2014.19.66 Chủ nhiệm đề tài: ThS Phan Ngọc Hƣng Tel: