TÌM HIỂU KHẢ NĂNG CỦA HỌC SINH LỚP 12 VỀ VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ MŨ THÔNG QUA MỘT THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM NGUYỄN HỮU LỢI* TÓM TẮT Bài toán xét tính đơn điệu của một hàm số kh[.]
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Hữu Lợi TÌM HIỂU KHẢ NĂNG CỦA HỌC SINH LỚP 12 VỀ VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TỐN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ MŨ THÔNG QUA MỘT THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM NGUYỄN HỮU LỢI* TĨM TẮT Bài tốn xét tính đơn điệu hàm số phổ biến chương trình tốn phổ thơng Để giải tốn có công cụ giải khác nhau: dùng định nghĩa, dựa vào yếu tố đặc trưng hàm số cho, dựa vào đồ thị hàm số hay tính đạo hàm cấp hàm số Trong báo này, chúng tơi thiết kế tình dạy học nhằm tìm hiểu khả học sinh lớp 12 việc vận dụng công cụ giải tốn xét tính đơn điệu hàm số mũ Đồng thời thơng qua phát sai lầm học sinh mắc phải giải tốn Từ khóa: tính đơn điệu, đạo hàm, hàm số mũ ABSTRACT A research on twelfth graders’ ability in solving the problem of examining the monotonicity of an exponential function through an educational experiment The problem of examining the monotonicity of an exponential function is quite common in high school math curriculum To solve this problem, there are various tools such as: definition, characteristics of the given function, fucntion graphs, or the first derivative of the function In this article we designed a teaching scenario to examine the ability of twelfth graders in applying mathematical tools to solve the problem of examining the monotonicity of an exponential function At the same time we also wish to detect mistakes students often make when solving this type of problem Keywords: monoticity, derivative, exponential function Đặt vấn đề Chúng bắt đầu nghiên cứu từ việc phân tích sách giáo khoa (SGK) Tốn 12 (nâng cao) Một điều thú vị chúng tơi có liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số mũ Các hàm số xét tính đồng biến, nghịch biến có dạng y=ax đưa dạng y=ax Lời giải mong đợi SGK cho thấy học sinh cần dựa vào số hàm số cho để đưa kết luận Liệu SGK giới hạn việc khảo sát * ThS, Sở Giáo dục Đào tạo TPHCM hàm số mũ dạng y=ax đưa dạng y=ax có giúp học sinh khai thác hết cơng cụ để giải tốn xét tính đơn điệu hàm số mũ hay không? Những sai lầm học sinh mắc phải giải toán dạng Chúng tơi thiết kế tình dạy học nhằm tìm hiểu khả học sinh việc vận dụng cơng cụ giải tốn xét tính đơn điệu hàm số mũ Đồng thời thơng qua phát sai lầm học sinh mắc phải giải toán Thực nghiệm học sinh Thực nghiệm tiến hành học sinh lớp 12 ban khoa học tự nhiên với chương trình tốn nâng cao Thời điểm thực sau học sinh học xong hàm số mũ Thời gian thực nghiệm dành cho toán 15 phút Học sinh làm việc cá nhân Học sinh phát giấy làm có in đề tốn Giấy nháp Hàm số Được Không phát cho học sinh thu lại sau làm Điều cho phép thu thập thêm dấu vết thể mối quan hệ cá nhân học sinh Bài tốn thực nghiệm: Có thể biết tính đồng biến nghịch biến hàm số cho bảng sau hay không? (Đánh dấu X vào ô mà em lựa chọn giải thích cho lời giải tương ứng) - Nếu khơng, giải thích sao? - Nếu có, trình bày lời giải em 1x a) y = 3x b) y = π c) y = 3x2 d) y = 21−x 2.1 Phân tích số yếu tố trước thực nghiệm Ta biết rằng, hàm số mũ y = ax có miền xác định R Vì vậy, hàm số dạng 2.1.1 Các biến hàm số mũ biến t = y = au( x) Việc chọn toán thực nghiệm u(x) miền giá trị u(x) R đặt sở lựa chọn giá trị Trường hợp đặc biệt : u(x) biểu diễn biến didactic sau tuyến tính theo x au(x) hàm số mũ • V1: “Hàm số hàm số mũ Ngược lại, hàm số cho biến đổi hàm số mũ biến x hay ‘‘một phần’’ hàm số mũ (đồ thị khơng?” tập thực hàm số Hai giá trị biến: mũ), không hàm số mũ - Hàm số hàm số mũ biến • V3: “Đồ thị hàm số qua (0 ,1) (1, đổi hàm số mũ biến x a) hay không?” - Hàm số không hàm số mũ không - Đồ thị hàm số qua (0 ,1) (1, thể biến đổi hàm số mũ biến x a) • V2: “Biểu thức mũ tuyến tính hay - Đồ thị hàm số khơng qua (0 ,1) (1, a) khơng tuyến tính theo x?” Trong a số hàm số cho - Biểu thức mũ tuyến tính theo x 2.1.2 Đặc trưng toán lựa - Biểu thức mũ khơng tuyến tính theo x chọn Bài cho với nhiều hàm số - Xét tính đồng biến, nghịch biến khác nhau, có hàm số hàm thành phần quen thuộc (được cho SGK - Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm SBT) không quen thuộc Điều cho hợp cho phép chúng tơi tìm hiểu ứng xử học • STđh: “Chiến lược đạo hàm”: sinh trước hàm số khơng quen Xét tính đồng biến, nghịch thuộc kiểu nhiệm vụ xét tính biến hàm số dựa vào dấu đồng biến, nghịch biến hàm số Đặc đạo hàm biệt, giá trị biến V1 chọn 2.1.4 Những quan sát câu c) hàm số khơng hàm số mũ, 1x cho phép làm rõ mối quan hệ cá nhân a) y =2 học sinh việc xét tính đơn điệu hàm số Sự lựa chọn hàm số Chúng dự đốn lời giải • Hàm số tương ứng với giá trị thứ học sinh sử dụng kĩ thuật xét số tất biến V1, V2, V3 để suy tính đơn điệu hàm số Đây dạng hàm số hoàn toàn quen cho thuộc học sinh mà SGK đề 2.1.3 Các chiến lược cập Chúng tơi chọn với mục đích Với hàm số lựa chọn, làm sở để so sánh ứng xử học sinh toán bao gồm dạng hàm số khác dạng hàm số khác Từ liên quan đến hàm số mũ Tính chất thấy ràng buộc thể chế lên hàm nhiều có liên quan học sinh việc xét tính đơn điệu đến tính chất hàm số mũ Và hàm số mũ chúng hàm số mũ • Các chiến lược có thể: phần hàm số mũ Các chiến lược sau STcs: “Chiến lược số”: dựa sở tính chất hàm nói, dạng hàm số hàm số mũ hàm mũ, sát với định nghĩa • STcs: “Chiến lược số”: hàm số y trình bày SGK, mà = au(x), áp dụng kĩ thuật so sánh số với chiến lược số chắn học sinh lựa chọn - Nếu a > hàm số đồng biến STđl: “Chiến lược định lí”; STđh: - Nếu a < hàm số nghịch biến “Chiến lược đạo hàm” • STđl: “Chiến lược định lí”: Hai chiến lược STđl STđh - Nếu (∀ x1 > x2 ⇒f(x1) > f(x2) ) f giải tốn, nhiên chúng đồng biến khơng có hội để xảy với hàm số - Nếu (∀ x1 > x2 ⇒f(x1) < f(x2) ) f chiến lược số thống lĩnh nghịch biến Cái quan sát từ • SThh: “Chiến lược hàm hợp”: học sinh: - Lời giải tương ứng với chiến lược số STcs: Vì 1 < nên x nghịch = y 2 biến y = π 3x b) Sự lựa chọn hàm số • Giá trị biến chọn: Bài xây dựng dựa Có hai trường hợp tương ứng với chiến lược này: TH1 y = π : = Ta có 3x (π )x π > nên hàm số đồng biến TH2: đồng tính đơn điệu hàm y = π 3x với hàm y = π t Do đó, tính đơn điệu hàm cho xác định sau: Vì π > nên nên hàm số cho biến V2 với giá trị: Biểu thức mũ tuyến đồng biến tính theo x - Lời giải tương ứng với chiến lược • Các chiến lược có thể: định lí STđl: - STcs: “Chiến lược số”: chiến ∀ x1, x2: x1 > x2 ta có: 3x1 > 3x2 ⇒ lược ưu tiên hàm số dạng π 3x1 > π 3x2 ⇒hàm số đồng biến mũ Vì vậy, có nhiều hội để xảy chiến lược cho dù hàm số cho có - Lời giải tương ứng với chiến lược hàm hợp SThh: thỏa mãn điều kiện hàm số mũ u(x) = 3x đồng biến tên R hay không π x đồng biến R nên π u(x) - STđl: “Chiến lược định lí”: đồng biến R xảy chiến lược dạng hàm số chưa thật với dạng định - Lời giải tương ứng với chiến lược đạo hàm STđh: nghĩa, chúng tơi chọn giá trị thứ y’ = 3π 3xlnπ > với x thuộc R biến V2 - ST : “Chiến lược hàm hợp”: nên hàm số y = π 3x đồng biến R hh x hội xảy chiến lược c) y = “chiến lược định lí” Sự lựa chọn hàm số Hàm y = π 3x hợp hai hàm • Giá trị biến thành phần u(x) = 3x y = π u Hàm u(x) chọn: dễ dàng biết tính đơn điệu Do tính đơn điệu hàm π u Hàm số y = thỏa giá trị x dễ dàng xác định biến sau: - STđh: “Chiến lược đạo hàm” - Giá trị thứ hai biến V1: Hàm số khơng thể biến đổi hàm số Cái quan sát từ học sinh: mũ biến x ( y = a x ) - Lời giải tương ứng với chiến lược số STcs: - Giá trị thứ hai biến V2: Biểu thức mũ không tuyến tính theo x - Giá trị thứ biến V3: Đồ thị hàm - Lời giải tương ứng với chiến lược số qua (0,1) (1,a) số STcs: Hàm số thỏa hai điểm đặc biệt Vì > nên y x= đồng biến 32 hàm số mũ (0,1) (1, a) (trường R hợp a 3) Tuy nhiên, hàm - Lời giải tương ứng với chiến lược hàm “một phần” hàm số mũ hợp SThh: tập giá trị [1,+∞) Hàm số x2 đồng biến [0, +∞) x Hàm y = khơng có tính chất nghịch biến (-∞, 0] ln tăng ln giảm tính đơn Do hàm số y = 3x2 đồng điệu hàm số mũ Do đó, khơng thể biến [0, +∞) nghịch biến (-∞, khảo sát tính chất kĩ thuật so 0] sánh số với - Lời giải tương ứng với chiến lược Các chiến lược có thể: đạo hàm STđh: Nếu học sinh cho biết y ' = 2x3x2 tính đồng biến, nghịch biến Khi x ≥ y’ ≥ nên hàm hàm số y = 3x2 chiến lược sau số đồng biến xảy ra: Khi x ≤ y’ ≤ nên hàm - STcs: “Chiến lược số”: số nghịch biến y = 3x hàm số mũ d) y = 21-x Sự lựa chọn hàm số hàm có hai điểm đặc biệt (0,1) • Giá trị biến (1,a) có dạng au(x) nên có nhiều hội chọn: xuất chiến lược - Giá trị thứ biến V1: Hàm số - SThh: “Chiến lược hàm hợp”: chiến lược hàm số mũ biến đổi hàm xảy trường hợp học số mũ biến x (y = ax) sinh nhận dạng hàm Tuy nhiên - Giá trị thứ biến V2: Biểu thức theo chúng tôi, thể chế không tạo mũ tuyến tính theo x hội cho chiến lược xảy Hàm cho với mục đích - STđh: “Chiến lược đạo hàm”: có tìm hiểu mối quan hệ cá nhân học SGK có giới thiệu phương pháp xét tính sinh hàm số mũ Một cách rõ ràng biến thiên hàm số đạo hàm, muốn kiểm chứng có phải nhiên phương pháp học sinh thật gắn liền hay đồng đạo hàm khơng trọng tâm, chúng hàm số mũ với biểu diễn bao nghĩ có hội xảy chiến gồm số a biểu thức mũ lược Hàm số y = 21-x hàm số mũ, Cái quan sát từ học sinh: nhiên hàm mũ với số 12 Và tính đơn điệu xét theo TH2: y = 21-x , lời giải sau: x Vì > nên hàm cho đồng biến biểu thức y = 2. - Lời giải tương ứng với chiến lược hàm định lí STđl: 2 • Các chiến lược có thể: Với x1 > x2 ta có: STcs: “Chiến lược số”; STđl: -x1 < -x2 ⇒ - x1 < - x2 ⇒ “Chiến lược định lí”; SThh: “Chiến lược 21−x1 < 21−x2 hàm hợp”; STđh: “Chiến lược đạo hàm” Vậy hàm số cho nghịch biến Cái quan sát từ học sinh: - Lời giải tương ứng với chiến lược hàm - Lời giải tương ứng với chiến lược số hợp SThh: STcs: Hàm u(x)=1-x nghịch biến R Có hai trường hợp xảy với chiến nên hàm 21-x nghịch biến R lược này: - Lời giải tương ứng với chiến lược TH1: y = 21-x biến đổi thành đạo hàm STđh: x1 y’ = -21-xln2 < ∀ x ∈ R nên y = 21-x nghịch biến dạng , lời giải sau: y = 2. 2.2 Phân tích chi tiết kết thực nghiệm 2 Vì < nên hàm cho nghịch biến Bảng thống kê lời giải học sinh Câu Cơ số Chiến lược Khơng biết Định lí Hàm hợp Đạo hàm Bỏ trống a 61 12 b 38 (π) , 22(π 3) 14 c 31 14 21 74 d 33 (1/2), 14 (2) 1 13 6 74 Trong bảng, đặc biệt ý đến số có đóng khung Những số phản ánh quan hệ cá nhân học sinh hàm số mũ Đúng dự đoán, đa số học sinh sử dụng chiến lược số để xét tính đồng Tổng số 74 74 biến, nghịch biến hàm số Đặc biệt lưu ý hàm số câu c) Đây hàm số mũ định nghĩa SGK, nhiên có 31/74 (41,8%) học sinh áp dụng kĩ thuật xét tính đơn điệu hàm số mũ để giải Lời giải điển hình trường hợp là: “a=3>1⇒hàm số đồng biến” Ngồi có 21/74 (28,3%) học sinh cho khơng thể biết tính đơn điệu hàm số mũ x Các giải thích tương ứng là: “Vì chưa biết giá trị x nên không xác định đồng biến, nghịch biến”; “không thể biết tính đồng biến, nghịch biến khơng có dạng y=ax”; “vì khơng biết giá trị x thuộc khoảng nên khơng xét tính đồng biến, nghịch biến” Một số lời giải thích khác có dùng đạo hàm để khảo sát đến kết luận là: “Vì y’ cịn chứa tham số x nên dấu y’ chưa xác định Vì khơng thể xác định hàm số đồng biến hay nghịch biến” Rõ ràng học sinh không kiểm tra hàm cho có hàm số mũ hay khơng, nhiên họ áp dụng tính chất hàm số mũ (đạo hàm không chứa tham số) để giải Một trường hợp tương tự thấy câu b) sau: Theo SGK y=π 3x hàm số mũ số π 3, nhiên có đến 38/74 (51,3%) học sinh giải hàm với số π Đối với hàm số câu d) y=21-x có đến 14/74 (18,9%) học sinh giải hàm với số Điều cho thấy học sinh không kiểm tra thỏa đáng hàm số Kết luận Thực nghiệm đưa đến số kết sau: Từ kết có được, chúng tơi nhận thấy đa số học sinh lớp thực nghiệm tập trung cách giải vào việc xét số: a > hàm số đồng biến, < a < 1thì hàm số nghịch biến Các em khơng có nhiệm vụ kiểm tra hàm số cho có hàm số mũ hay khơng? Do đó, em khơng thể giải câu c d Ngồi ta cịn thấy, không nhiều học sinh sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số Nếu có, em không thành công để đưa đến kết sau Điều giải thích SGK đưa dạng toán cần xét đến số kết luận tính đơn điệu hàm số mũ Thực nghiệm mở hướng xây dựng tập cho học sinh mà giáo viên cần phải cân nhắc Không phải lúc đề xuất cho học sinh tập quen thuộc Do đó, giáo viên tạo tình học tập nhằm giúp học sinh vận dụng kiến thức có liên quan Chẳng hạn, hàm số mũ, giáo viên cần xây dựng hệ thống tập cho buộc em phải vận dụng phương pháp giải khác để giải hết hệ thống tập Từ góp phần khắc phục lỗi mắc phải học sinh thực nghiệm TÀI LIỆU THAM KHẢO Cục Nhà giáo Cán quản lí Giáo dục (2008), Hướng dẫn thực chương trình sách giáo khoa lớp 12 THPT, Nxb Giáo dục Ngơ Viết Diễn (2001), Phương pháp chọn lọc giải Tốn hàm số mũ logarit, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần (1991), Sách giáo viên Đại số giải tích 11, Nxb Giáo dục Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ (2000), Toán cao cấp, Nxb Giáo dục 5 Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ trường Trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp giảng dạy Toán, Trường Đại học Sư phạm TPHCM Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Đại số Giải tích 11 nâng cao, Nxb Giáo dục Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Sách Giáo viên Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học mơn Tốn trường phổ thơng, Nxb Đại học Quốc gia TPHCM (Ngày Tòa soạn nhận bài: 20-02-2012; ngày chấp nhận đăng: 19-6-2012) SỰ CẦN THIẾT CỦA MÔ HÌNH HĨA (Tiếp theo trang 121) TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thị Tân An, Trần Dũng (2009), “Sử dụng mơ hình hóa tốn học việc dạy học tốn”, Tạp chí Giáo dục, (219) Gabriele Kaiser, Werner Blum, Rita Borromeo Ferri, Gloria Stillman (2011), Trends in Teaching and Learning of Mathematical Modelling, Springer Gabriele Kaiser, Bharath Sriraman (2006), A Global Survey of International Perspectives on Modelling in Mathematics Eduacation, ZDM Vol 38(3) Hans-Stefan Siller, Modelling in Classroom ‘Classical Models’ (in Mathematics Education) and recent developments www.algebra.tuwien.ac.at/kronfellner/ ESU-6/ /1-13-Siller.pdf OECD (2003), The Pisa 2003 - Assessment Framework – Mathematics, Reading, Science and Problem Solving Knowledge and Skills, OECD, Paris, France Rita Borromeo Ferri (2006) Theoretical and Empirical Differentiations of Phases in the Modelling Process ZDM Vol.38(2) Werner Blum, Peter L Galbraith, Hans-Wolfgang Henn, Mogens Niss (2007), Modelling and Applications in Mathematics Education Springer (Ngày Tòa soạn nhận bài: 01-02-2012; ngày chấp nhận đăng: 19-6-2012) ... • V1: ? ?Hàm số hàm số mũ Ngược lại, hàm số cho biến đổi hàm số mũ biến x hay ‘? ?một phần’’ hàm số mũ (đồ thị khơng?” tập thực hàm số Hai giá trị biến: mũ) , không hàm số mũ - Hàm số hàm số mũ biến... sinh việc xét tính đơn điệu đến tính chất hàm số mũ Và hàm số mũ chúng hàm số mũ • Các chiến lược có thể: phần hàm số mũ Các chiến lược sau STcs: “Chiến lược số? ??: dựa sở tính chất hàm nói, dạng hàm. ..2 Thực nghiệm học sinh Thực nghiệm tiến hành học sinh lớp 12 ban khoa học tự nhiên với chương trình tốn nâng cao Thời điểm thực sau học sinh học xong hàm số mũ Thời gian thực nghiệm dành cho toán