1091 Phương trình sóng tuyến tính liên kết với một bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường.docx

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Thanh Sơn tác giả PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI MỘT BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Phạm Thanh Sơn*, Lê Khánh Luận†, Trần Minh Thuyết‡ Giới thiệu Bài báo đề cập đến tốn giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng tuyến tính sau ìï u - m(t )u + Ku + l u = f (x, t ), < x < 1, < t < T , ï m(t t )u (1, t ) = l u (1, t ) a - u (1, t ), ïí tt )ux (0, txx) = Y (t ), - m(t x t t ï u(x, 0) = ïỵ u% (x u (x, 0) = t ), (1.1) u%1(x ), K , l , l , a số cho trước; m, f , u%, u% hàm cho trước thoả điều kiện đặt sau; ẩn hàm u(x, t ) giá trị biên chưa biết Y (t ) thoả mãn tốn Cauchy cho phương trình vi phân thường sau ì Y ¢¢(t ) + pY ¢(t ) + qY (t ) = ï t ), < t < T , bu (0, t (1.2)  ùợY (0) = Y 0, Y (0) = Y 1, p, q, b, Y , Y là0 các1 số cho trước, với p2 - 4q < Bài toán (1.1), (1.2) dạng tương tự với điều kiện biên khác quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả (xem [1] – [8]) tài liệu tham khảo Trong trường hợp m(t ) º 1, tác giả Nguyễn Thúc An Nguyễn Đình Triều [1] xét toán (1.1)1,3, (1.2), với f (x, t ) = 0, p = 0, q > 0, u%0 = u %1 = 0, Y = 0, (1.3) điều kiện biên (1.1)2 thay ux (0, t ) = Y (t ), * u(1, t ) = Học viên Cao học Giải Tích K18, ĐHSP Tp HCM, ThS, Trường ĐH Kinh tế Tp HCM, ‡‡ TS, Trường ĐH Kinh tế Tp HCM, † (1.4) Trong trường hợp này, toán (1.1)1,3, (1.2), (1.3), (1.4) mô tả dao động vật rắn đàn hồi nhớt tựa cứng Trong [2], Bergounioux, Long, Dinh, nghiên cứu toán (1.1)1,3, (1.2), với m(t ) º (1.5) 1, p = 0, q > 0, điều kiện biên (1.1)2 thay u (0, t ) = Y (t ), - u (1, t ) = l u (1, t ) + K u(1, t ), x với số cho trước x t l > 0, K ³ (1.6) Như toán xét với điều kiện biên phi tuyến tổng quát (1.6) tương ứng với K = Từ (1.2), ta biểu diễn Y (t ) theo dạng Y (t ) = t g(t ) + bu(0, t ) ò k(t - s)u(0, s)ds, (1.7) g(t ) = e- at é(Y - u (0))cos wt + w- (aY + Y + au (0) - u (0))sin wt ù, 1 úû ëê 0 k(t ) = bw- 1e - at éê2a w cos wt + (w2 ë p với a = , w = 4q p a ) sin wt ùú, û Do tốn (1.1), (1.2) đưa (1.1), (1.7) Bài báo gồm phần Ở phần 1, dựa vào phương pháp xấp xỉ Faedo Galerkin liên hệ với đánh giá tiên nghiệm, chúng tơi chứng minh tốn (1.1), (1.7) tồn nghiệm yếu toàn cục Các phần sau xét trường hợp a = Phần khảo sát tính trơn tính ổn định nghiệm phụ thuộc vào kiện toán Phần nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu l ® 0+ Cuối cùng, phần trình bày khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán (1.1) – (1.3) đến cấp N + theo ba tham số bé K , Kết l , l thu tổng quát hóa cách tương đối kết [1 – 5] Các kí hiệu Đặt W= (0,1) Trong này, kí hiệu Lp = Lp(W), H m = Hm (W) sử dụng cho phép bỏ qua định nghĩa khơng gian hàm thơng dụng Tích vơ hướng L2 chuẩn sinh tích vơ hướng kí hiệu á×, ×đ || ×|| Kí hiệu á×,×đ dùng để tích đối ngẫu phiếm hàm tuyến tính liên tục với phần tử không gian hàm Kí hiệu || ×| | chuẩn khơng gian Banach X Kí hiệu X Lp(0,T ;X ), £ p £ ¥ , để khơng gian Banach hàm thực u : (0,T ) ® X đo được, cho || u | | Lp( 0,T ;X ) < + Ơ vi ỡù ổ ù ỗ || u || p L ( 0,T ;X ) T p || u(t ) ||X dt = ïí p ứữ , Ê ỗ ố ũ0 ù ù ess sup || u(t ) ||X , ỵï 0< t 0, m Âẻ L1(0,T ), (0,T ), a = 2, b > 0, l Ỵ ¡ + , K , l Ỵ ¡ Khi đó, chúng tơi thu nghiệm yếu (u,Y ) có tính trơn tốt sau: Định lí 4.1 Cho T > Giả sử (B1) – (B5) Khi đó, toán (1.1), (1.7) tồn nghiệm yếu (u,Y ) cho ỡù u ẻ LƠ (0,T ;H 2), u ù 1,Ơ ẻ LƠ (0,T ;H 1), u ẻ LƠ (0,T ;L2 ), t ùợ tt u(0, ì) ẻ W 1,Ơ (4.1) (0,T ), u(1, ì) ẻ H (0,T ), Y Ỵ W phân với cận từ đến t , cuối áp dụng bổ đề Gronwall, thu kết bổ đề sau Bổ đề 4.2 Tồn số C T(2) phụ thuộc vào T cho t || u m¢¢(t ) ||2 + || umx¢ (t ) ||2 + | u ¢(0, t ) |2 m +l ị | u ¢¢(1, s) | m ds £ C "t Ỵ [0,T ], " m (2) ,0 Từ bổ đề 3.3 4.2, định lí 4.1 chứng minh Chú thích Ta suy từ (4.1) (4.2) ìï u Ỵ C 0([0,T ];H 1) ầ C 1([0,T ];L2) ầ LƠ (0,T ;H ù), ùợ Ơ Ơ ut Î C ([0,T ];L ) Ç L (0,T ;H ), utt Ỵ L (0,T ;L ) Do đó, u, u , u , u , u , u ẻ LƠ (0,T ;L2 ) Ì L (Q x t xx xt tt T ) Điều dẫn đến (4.3) u ẻ H 2(Q T ) ầ LƠ (0,T ;H ) Từ (4.3) (u%, u%) Ỵ H ´ H thành phần u nghiệm yếu (u,Y ) 1 thuộc vào không gian hàm nghiệm cổ điển thuộc C (W) ´ C (W) ) ầ LƠ (0,T ;H 2) Nghim ny khỏ ging với H (Q T T C 2(Q ), mà (u%0 , không thiết thuộc u%1 ) Sự ổn định nghiệm vào kiện tốn Trong phần này, chúng tơi khảo sát tính ổn nghiệm toán (1.1), (1.7) tương ứng với a = Giả sử hàm (u% , u% ) thỏa giả thiết (B1) Theo định lý 4.1, tốn (1.1), (1.7) có nghiệm yếu (u,Y ) phụ thuộc vào K , l , b, l 1, m, f , g, k u = u(K , l , b, l 1, m, f , g, k ), = Y (K , l , b, l 1, m, f , g, Y k ) (5.1) (K , l , b, l 1, m, f , g, k ) thỏa giả thiết (B2) – (B5) Đặt Á(m0 ) = {(K , l , b, l 1, m, f , g, k ) : (K , l , b, l 1, m, f , g, k ) thỏa (B2) – (B5)} với m0 > số cho trước Khi đó, ta có định lý sau Định lý 5.1 Giả sử (B1) – (B5) thỏa Khi đó, với T > 0, toán (1.1), (1.7) ổn định với kiện nghiệm (K , l , b, l 1, m, f , g, tron g k) nghĩa là: Á(m0 ), Nếu (K , l , b, l1 , m, f , g, k ), (K j , l j , b 1j , l j , mj , f j , g j , k j ) 0Ỵ Á(m ) cho ìï |Kj - K |+ |l j - l |+ |l j l ï || mj - m ||í ï ® 0, || f j - f || C ([0,T ]) ® 0, kh i j đ + Ơ , (5.2) + || f j - f || t L (Q ) t L (Q ) T j th ï || ì g T j - g || W ỵï 2,1 (0,T ) ® 0, || k - k || W 2,1( 0,T )đ 0, (u , u (1, ì),Y (u, u(1, ×),Y )® ), j |® 0, j W (T ) H 1(0,T ) L2(0,T ) kh j ® + ¥ , (5.3) ´ ´ i j u = j u(K j , l j , b j , l j , mj , f j , g j , k j = Y (K j , l j , b j , l j , mj , f j , gj , k j ) ), Y j Dáng điệu tiệm cận nghiệm l ® Trong phần này, ta giả sử 0+ a = (u%0, u%1, g, k, m, f , thỏa K,l,b) giả thiết (A1) – (A5) Với l > 0, định lí 3.1 tốn (1.1), (1.7) có nghiệm yếu (u,Y ) phụ thuộc vào l : u= u , l Y =Y l (6.1) Ta xét tốn nhiễu sau, với l ìï u - m(t )u + Ku + l u > tham số nhỏ = f (x, t ), < x < 1, < t < T , tt xx t ï m(t )u (0, t ) = Y (t ), - m(t )u (1, t ) = l u (1, t ), x x t ïï í u(x, 0) = u%(x u t (x, 0) = u%1(x ), ), ï t ï ïïY (t ) = g(t ) bu(0, t ) k(t s) u(0, s)ds ỵï ị + (P ) l Ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu (u,Y ) toán (P ) phụ thuộc vào tham số l l1 Khi đó, ta có định lí sau Định lí 6.1 Cho T > Giả sử (A1) – (A5) Khi (i) Bài tương ứng với (P0 ) tốn l1 = có nghiệm nht (u0,Y ) ẻ W (T ) Ơ L (0,T ) tha u0(0, ì) Ơ L (0,T ), u0(1, ì) H 1(0,T ) ẻ ẻ (6.2) (ii) Ng (ul ,Y ) hội tụ mạnh W (T ) L¥ (0,T ) (u0,Y ´ hiệ ) m l1® 0+ Hơn nữa, có đánh giá tiệm cận || u - u || l1 +l1 W (T ) || u ¢(1, ×) - u ¢(1, ×) || l1 + | Y L2( 0,T ) - Y || C l1 l , (6.3) £ L¥ ( 0,T ) T đó, C T số dương phụ thuộc vào T Chứng minh định lí 6.1 i) Tương tự chứng minh Định lí 3.1 ii) Xét dãy {l 1m } cho l ® , m đ Ơ , ta chng minh c rng 1m + {(u ,Y l 1m )} 1m dãy Cauchy W (T ) ´ (u ,Y ) hội tụ (u ,Y ) l1 L¥ (0,T ) Từ ta suy nghiệm l1 0 mạnh W (T ) L¥ (0,T ) l ® 0+ ´ Khai triển tiệm cận nghiệm theo ba tham số bé K , l , l Trong phần này, ta giả sử a = 2, b ³ (u%, u%, m, f , thỏa giả thiết g, k ) (A1) – (A4) Với (K , l ) ¡ ,l1 Ỵ ¡ Ỵ nghiệm yếu (u,Y ) từ định lí 3.1, tốn (1.1), (1.7) có + phụ thuộc vào(K , l , l1 ) : u = u(K , l , l1 ), P P (K , l , l 1) = Ta xét toán nhiễu theo ba tham số bé K , l , l thỏa | K | £ K , * |l |£ l *, £ l £ ( K , l , l số cố định) l 1* * * 1* ìï Au º u - m(t )u = - Ku - l u + f (x, t ), < x < 1, < t < T , tt xx t ïï m(t )u (0, t ) = Y (t ), - m(t )u (1, t ) = l u (1, t ), x x t ïíï ï u(x, 0) = ï u %0 (x ), (P ut (x, 0) = u%1(x ), ïïY (t ) = g(t ) + bu(0, t ) ỵ - t ị - k(t ) K ,l ,l s)u(0, s)ds Chúng khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán (P K ,l ,l )º (Pre ) theo ba tham số bé K , l , l tức ta xấp xỉ nghiệm yếu u đa thức theo ba biến K , l , l đánh giá sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ Ở đây, ta dùng kí hiệu sau, với đa số g = (g , g , g ) ẻ  v r ) e = (K , l , Ỵ l ¡ 3, ta đặt ìï | g | = g + g + g , g ! = g !g !g !, ïï r g 1g r g g ï = K l , || e ||= K + l + l , í l e ï ï a , b ¢ , b £ a Û b £ a , " i = 1, 2, ẻ + i i ùợ Gi s u 0r º u 0,0,0 nghiệm yếu toán + (7.1) (P%r ( %0,0,0 ) (như P )º định lí 3.1) ứng với (K , l , l ) = (0, 0, 0), tức ìï ï Au r = Fr º f (x, t ), < x < 1, < t < T , 0 ï m(t )u r (0, t ) = Y r (t ), m(t ) (1, t ) = 0, ur 0x 0x % ï r r r ¢ (P ) í u (x, 0) = u%0(x ) , u (x, 0) = u%(x ), ï 0 ï t ï Y r (t ) = g(t ) + bu r (0, t ) - ò k(t - s)u r (0, s)ds, 0 ï ¥ ¥ r ,Y r ) Ỵ W (T ) ´ L (0,T ), u r (0, ì) ẻ L (0,T ), u r (1, ì) ẻ H (0,T ) (u ù 0 îï 0 Xét dãy hữu hạn nghiệm yếu định tốn sau ¢ 3+ , £ g £ N xác (ug ,Y g ), g Ỵ ìï ï Au = F , < x < 1, < t < T , g g ï m(t )u (0, t ) = (t ), m(t ) (1, t ) = Z , u Y gx g gx g ï ï % (P )í (x, 0) = 0, u (x, 0) = 0, u g g gt ï t ï Y (t ) g(t ) + bu (0, t ) ï g g k(t s)ug (0, s)ds, ị =ï ï (u ,Y ) Ỵ W (T ) LƠ (0,T ), u (0,ì) ẻ LƠ (0,T ), u g ợù g g ú F , Z (t g g (1,×) H 1(0,T ) Î g g £ N , xác định cơng thức truy hồi sau ), ìï f (x, t ï ), ï ïï 0, ï Fg = í - ug - 1,g ,g , ïï - u ¢1 , ï g1,g2 - 1,g3 ï ï- u - u ,  g1,g2 - 1,g3 ợù g1- 1,g2 ,g3 g = 0, g1 = g2 = 0, £ g £ N g1 ³ 1, g2 = 0, £ g £ N , g = 0, g ³£ 1, g £ N , (7.2) g ³ 1, g ³ 1, 2£ g £ N, ìï g(t ï), ï g = 0, g3 = 0, £ g £ N Z = 0, ïí g ï u r¢(1, t ), ïu¢ (7.3) g = g = 0, £ g £ N , (1, t ), 2£ g £ N îï g1 ,g2 ,g3 - Giả sử (u,Y ) = (u r ,Y r ) nghiệm yếu tốn (Pr ) Khi v= u- å e e ... - u (1, t ) = l u (1, t ) + K u(1, t ), x với số cho trước x t l > 0, K ³ (1.6) Như toán xét với điều kiện biên phi tuyến tổng quát (1.6) tương ứng với K = Từ (1.2), ta biểu diễn Y (t ) theo... éê2a w cos wt + (w2 ë p với a = , w = 4q p a ) sin wt ùú, û Do tốn (1.1), (1.2) đưa (1.1), (1.7) Bài báo gồm phần Ở phần 1, dựa vào phương pháp xấp xỉ Faedo Galerkin liên hệ với đánh giá tiên nghiệm,... Phần khảo sát tính trơn tính ổn định nghiệm phụ thuộc vào kiện toán Phần nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu l ® 0+ Cuối cùng, phần trình bày khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán (1.1) –