MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN SỰ TỒN TẠI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM THEO BỐN THAM SỐ BÉ Trần Minh Thuyết *, Lê Khánh Luận † Trần Văn Lăng ‡, Võ Giang Gi[.]
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 MỘT PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN : SỰ TỒN TẠI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM THEO BỐN THAM SỐ BÉ Trần Minh Thuyết *, Lê Khánh Luận † Trần Văn Lăng ‡, Võ Giang Giai § Mở đầu Trong này, chúng tơi xét tốn giá trị biên-ban đầu cho phương trình sóng tuyến tính utt − μ(t)uxx + Ku + λ ut = F (x,t), < x < 1, < t < T , μ (t)u (0,t) = K u(0, t) p0 x −2 (1) u(0,t) + λ u (0,t) q0 0 t −2 u (0,t) + g(t), (2) t − μ(t)u (1,t) = K u(1, t) p1 u(1,t) + λ u (1,t) q1 u (1,t), x u(x,0) = u0 (x), trong trước u0 , u1, μ, F , g 1 t (3) t ut (x,0) = u1(x), p0 , q0 , p1, q1 ≥ 2, K , K0 , K1, λ ≥ 0, λ0 , λ1 > (4) số cho hàm cho trước thỏa số điều kiện rõ sau Bài tốn (1)-(4) mơ hình tốn học mơ tả dao động dọc đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi nhớt phi tuyến biên Gần đây, toán (1)-(4) nhiều nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu nhiều chủ đề tồn tại, tính trơn, tính chất định tính định lượng nghiệm, xấp xỉ tuyến tính nghiệm, khai triển tiệm cận nghiệm,…[1-3, 5-15] Bài báo gồm ba phần Trong phần 1, điều kiện / ( u , u ) ∈ H , μ )q ∈ L2 (Q ) × L1 (0,T ) × H (0,T ), μ(t) ≥ μ × L , ( F , g Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM > 0, Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận 0 T * TS, Trường ĐH Kinh tế Tp.HCM ThS, Trường ĐH Kinh tế Tp.HCM ‡ PGS.TS, Phân viện Cơng nghệ Thơng tin Tp.HCM § ThS, Cộng tác viên khoa Toán – Tin, Trường ĐH Kinh tế Tp.HCM † Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai μ / (t) ≤ 0, p ,q , p, q0 1 ≥ 2, q/ = q (q (K, λ, K , K ) ∈ □ × □ , − 1)−1, 0 chứng + minh định lí tồn tồn cục nghiệm yếu u toán (1)-(4) Chứng minh nhờ vào phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với số đánh giá tiên nghiệm lí luận quen thuộc hội tụ yếu, toán tử đơn điệu tính compact Trong phần 2, chúng tơi chứng minh nghiệm yếu u ∈ L∞ (0,T ; H ), với u ∈ L∞ (0,T ; H ), t u( 0, u ∈ L∞ (0,T ; L2 ), ⋅ t (u , u ) ∈ H × H , q = q = 2, p , ≥ p 2, 1 ), u( 1,⋅ ) ∈ H (0,T ), ta giả sử số điều kiện khác Cuối cùng, phần 3, thu khai triển tiệm cận nghiệm u toán (1)-(4) đến cấp N + theo bốn tham K , λ, K0 , K1 Các kết thu số tổng quát hoá tương đối kết [1-3, 5-15] Định lí tồn nghiệm Đặt Ω = (0,1), QT = Ω × (0,T ), T > Chúng ta bỏ qua định nghĩa p không gian thông dụng C m (Ω), L (Ω), W m, p (Ω) Ta kí hiệu W m, p = W m, p (Ω), Lp = W 0, p (Ω), H m = W m,2 (Ω), ≤ p ≤ ∞, m = 0,1, Chuẩn L2 kí hiệu ⋅ Ta kí hiệu 〈⋅ ,⋅ 〉 tích vơ hướng L2 hay cặp tích đối ngẫu phiếm hàm tuyến tính liên tục với phần tử khơng gian hàm Ta kí hiệu ⋅ X chuẩn không gian Banach X X / Lp (0,T ; X ), 1≤ p≤ ∞ không gian đối ngẫu X Ta kí hiệu cho khơng gian Banach hàm u : (0,T ) →X đo được, cho u dt L (0,T ; X ) = ∫ T u(t) X p 1/ p < ∞ với ≤ p ≤ ∞, u L∞ (0,T ; X ) = ess sup u(t) 0 Khơng làm tính tổng qt ta giả sử λ0 = λ1 = Khi ta có định lí sau Định lí Cho T > Giả sử (H1 ) − (H6 ) Khi đó, tồn nghiệm yếu u toán (1)-(4) cho u ∈ L∞ (0,T ; H ), ut ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u(0,⋅ ) ∈W 1, q0 (0,T ), u(1,⋅ ) ∈W 1,q1 (0,T ) Hơn nữa, p0 , p1 ∈{2} ∪[3, +∞) (6) nghiệm có Chú thích Định lí chưa khẳng định tính nghiệm < p0 < < p1 < Tuy nhiên, việc xây dựng giả thiết (H1) − (H6 ) với p0 , p1 (H ) thỏa < p0 < < p1 < cho tốn (1)-(4) có hai nghiệm thỏa (6) tốn mở Trong định lí 2, chúng tơi tăng cường giả thiết (H1 ) − (H6 thu tính nghiệm ) trường hợp p , p ≥ 2, q = q = 1 Chứng minh Định lí Sự tồn nghiệm chứng minh nhờ vào phương pháp xấp xỉ Galerkin [4] kết hợp với số đánh giá tiên nghiệm lí luận quen thuộc hội tụ yếu kĩ thuật qua giới hạn số hạng phi tuyến phương pháp đơn điệu Tính nghiệm dựa vào bổ đề Gronwall Phần sau đây, để thu nghiệm tốt hơn, ta tăng cường thêm giả thiết sau (H / ) (u , u ) ∈ H × H 1, (H / ) F , F ∈ L2 (Q ), (H / ) μ ∈W 2,1(0,T ), μ (t) ≥ μ > 0, t T (H /4 ) g ∈ H 1(0,T ), (H / ) K,λ ∈ □ ; K , K1 (H / ) ≥ 0, p , p ≥ 2, q = q = 1 Khi ta có định lí sau Định lí Cho T > Giả (H / ) − (H / Khi đó, tồn ) sử nghiệm yếu u toán (1)-(4) cho ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u ∈ L (0,T; H ), u ∈ L (0,T ; H ), u ∞ ∞ t u(0,⋅ ), u(1,⋅ ) ∈ H (0,T ) tt (7) Chú thích Từ (7), ta suy u ∈ L∞ (0,T ; H ) ∩ C (0,T ; H 1) ∩ C1(0,T ; L2 ), ∈ L∞ (0,T ; H 1), u ∈ L∞ (0,T ; L2 (8) ut ), t t u(0,⋅ ), u(1,⋅ ) ∈ H (0,T ) u, u x , u t , u xx, u xt, u ∈ L∞ (0,T ; L2 ) Mặt khác, từ (7) ta nhận thấy ⊂ L2 (Q ), u ∈ H (Q ) Từ (u , u ) ∈ H (Ω) × H (Ω) nghiệm T T yếu u thuộc vào không gian hàm H ) ∩ L∞ (0,T ; H Và nghiệm (Q T ) phần giống với nghiệm cổ điển thuộc C (Q ), kiện đầu (u ,u ) T không cần thiết thuộc C (Ω) × C1(Ω) Chứng minh Phần chứng minh định lí gồm bước Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với đánh giá tiên nghiệm, từ rút dãy hội tụ yếu nghiệm khơng gian hàm thích hợp nhờ số phép nhúng compact Chú thích Trong trường hợp p , p > nghiệm toán (1)-(4) câu hỏi mở Khai triển tiệm cận theo tham số Trong phần này, ta kí hiệu u~ , u ,u u~ , q0 = q1 = 2, p0 , p1 ≥ N + 1, N ≥ 2, λ0 = λ1 = 1, thiết (H ) − (H Giả sử ( u~ ,1 u~ , F , μ , g) tồn thỏa mãn giả Với (K, λ, K , K ) ∈ □ × □ theo Định lí 1, tốn (1)-(4) , ) K0 < K1 < 0, + có nghiệm yếu u phụ thuộc (K , λ, K0 , K1 ) : u = u(K , λ, K0 , K1 ) Xét toán nhiễu sau, ≤ K ≤ K∗ , < λ ≤ λ∗ , ~ x (PK ,λ , K , K ) K , λ, K0 , K1 tham số bé, ≤ K0 ≤ K0∗ ≤ K1 ≤ K1∗ : , Au ≡ utt − μ(t)uxx = −Ku − λut + F < x < 1, < t < T , (x,t), u (0,t) = K H (u(0, t)) + u (0, t) + g(t), p0 t − u (1,t) = K H (u(1,t)) + u (1,t), p1 t x u(x,0) = u~ (x), u (x,0) = u~ (x), t H p Với (z) = z p− z, p ∈{ p , p } đa số K = ( K, λ, K0, K1 ) ∈ □ +× □ , ta đặt γ= (γ , γ ,γ 3,γ ) ∈Z + vectơ γ →= γ + γ + γ + γ , γ != γ 1!→γ 2!γ 3!γγ 4!,γ γ γ K λ2 K 01 2K2 γ K , K = K λ K0 K1 , = α , β ∈ Z , β ≤ α ⇔β ≤ α , ∀i = 1, 2, 3, 4, + i i β α! Cα = β!( α − β ) ! Trước tiên, ta có bổ đề sau chi tiết chứng minh xem [11] [13] Bổ đề Cho m, N ∈ □ vα ∈ □ , α ∈ Z+4 , ≤ α ≤ N Khi đó, →αm ∑vα K = ∑T m≤ α mN 1≤ α ≤ N hệ số T (m)[v]α , m ≤ α ≤ mN → ( m) α (9) [v]α K , v = (vα ), α ∈ Z , ≤ α ≤ N phụ thuộc vào + thỏa mãn công thức qui nạp sau ≤ N, (1) T [v]α = vα , ≤ α (m) = T [v] v[v] T (m −1) α−β α ∑ β ∈I ( α m) I (m) = Gọi u0 α 0,0,0,0 ≡u { β ∈Z β ,αm ≤ :β ≤α ,1≤ α − β ≤ β N,m−1≤ + nghiệm yếu tốn lí 1, tương ứng với (K , λ, K0 , K1) = (10) } ≤ (m − 1)N ~ (P0,0,0,0 Định ) i.e., (0,0,0,0), ( ) ≤ 2, mN, m ≥ Au0 = F0,0,0 ≡ F (x, t), < x < 1, < t < T , ~ u x P 0,0,0,0 (0, t) = u / (0, t) + − ux (1, t) = u / (1, t), g(t), u (x,0) = u0~ ( x), u / (x,0) = u~ (x), 0 ∞ ∞ 1 / u ∈ L (0,T ; H ), u0 ∈ L (0,T ; L ), (0,⋅ ) u (1, ⋅ ) ∈ H (0,T ) , u + Ta xét dãy hữu hạn nghiệm yếu u , γ ∈ Z , ≤ γ ≤ N xác định γ , toán sau ~ = Fγ , < x < 1, 0