PHẦN ÔN TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN 12 ppt

Chủ đề II : C/ Hàm sô lũy thừa, Mũ và logarit 1Phương trình, Bất phương trình mũ và Lô ga rít.. aPhương trình mũ : Bước 1/ Dùng tính chất của luỹ thừa, đưa phương trình mũ đã cho về phươ

PHẦN ÔN TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN 12 Dùng cả cho ôn thi TN , Chủ đề I,II,III)

Chủ đề I : A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN

VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: 8 bước( 8 dấu :+ )

I / Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) 1) Tập xác định : +/ D = R

2) Sự biến thiên :

+/ Chiều biến thiên :

 y’ = 3ax2 + 2bx + c

 y’ = 0 <=> xi = ? ; f(xi) = ?

+/ trên các khoảng (….) và (… ) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến

Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến

+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số

Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = …

Hàm số đạt cực Đại tại x = …., yCĐ = …

+ / Giới hạn ở Vô cực :







y

x

lim ? ; 





y

x

lim ?

+/ Bảng biến thiên :

x - ∞ ? ? ? + ∞

3) Đồ thị :

+ ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d

 Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? , Các điểm khác : … +) Đồ thị : y

0 x

II / Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0)

1) Tập xác định : +/ D = R

2) Sự biến thiên :

+/ Chiều biến thiên :

 y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b )

 y’ = 0 <=> 

















) ( ) ( ) 0 (

? 0

x f x f c f

x x

+/ trên các khoảng (….) và (… ) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến

Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến

+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số

Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = …

Hàm số đạt cực đại tại x = …., yCĐ = …

+ / Giới hạn ở Vô cực :







y

x

lim ? ; 





y

x

lim ?

+/ Bảng biến thiên :

x - ∞ ? ? ? + ∞

3) Đồ thị :

 Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng

 Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? Các điểm khác …

Đồ thị : y

0 x

III / Hàm số :

d cx

b ax y







1) Tập xác định : +/ D = R /{ - d c }

2) Sự biến thiên :

+/ Chiều biến thiên :

 y’ = (cx d) 2

bc ad





 y’ > 0 ( y < 0 ) , xD

+/ : Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) trên các khoảng (….) và (… )

+/ Cực trị : Hàm số không có cực trị

+ / Tiệm cận và Giới hạn :







y

x

lim

c

a





y

x

lim

c

a

=> tiệm cận ngang : y = a c







y

c

a

x

lim ? Và 





y

c

a x

lim ? => tiệm cận đứng : x =

c

d



+/ Bảng biến thiên :

x - ∞ ? ? + ∞

3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d b

Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = a b , Đồ thị nhận giao điểm I( c d ;a c ) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

y

0

x

B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1/ y = ax3 + bx2 + cx + d ( C )

2/ y = ax4 + bx2 + c ( C )

BÀI 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a’x3 + b’x2 + c’x + n = 0 (2)

 (2)  ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; (  ax4 + bx2 + c = k.m )

 Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với đường thẳng d: y = k.m (vẽ d)

 Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT và yCĐ của ( C )

Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại :

1) Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C )

2) Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p )

3) Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p

HƯỚNG DẪN :

1/ Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) :

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :

y = k(x – x0 ) + y 0 ( * )

 k = f’(x0) ; thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm

2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ).

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :

y = k(x – x0 ) + y0 ( * )

k = f’(x0 )  giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0

 Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm

3/ Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :

y = k(x – x0 ) + y0 ( * )

 Trong đó k.k’ = -1  k = k1'

thế k = f’(x0 )  giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0

 Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm

4/ Các dạng khác : cho biết x0 hoặc y 0 tìm các yếu tố còn lại suy ra có (*)

3/ y cx ax d b





 ( C )

Bài toán : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ?

Hướng dẫn : Số giao điểm của f(x;m ) với ( C ) , bằng số nghiệm phương trình : f( x ) = f ( x ;

m ) Từ đó ta tìm ra điều kiện của m cần tìm

Chủ đề II : C/ Hàm sô lũy thừa, Mũ và logarit

1)Phương trình, Bất phương trình mũ và Lô ga rít.

a)Phương trình mũ :

Bước 1/ Dùng tính chất của luỹ thừa, đưa phương trình mũ đã cho về phương trình đặt được

ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp ( t = aX , t > 0 )

Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm ra nghiệm của biến t

Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm ra nghiệm của bài toán Và kết luận nghiệm

b)Phương trình logarít:

Bước 1/ Dùng tính chất của lô ga rít, đưa phương trình lô ga rít đã cho về phương trình đặt được ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp ( t = logaX , điều kiện X > 0 )

Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm ra nghiệm của biến t

Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm ra nghiệm của bài toán Và kết luận nghiệm

c) Bất phương trình : Biến đổi tương tự các bước giải phương trình chứa ẩn số ở luỹ thừa hay

dưới dấu lô ga rít

2) Gía trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : y = f(x) trên đoạn [ a ; b ] ?

Bước 1: Tìm tập xác định D của f(x) : D = ?, xét xem [a ; b ]  D ?

Bước 2 : */Tìm đạo hàm y’ = f’(x) = ?

*/ Giải phương trình y’ = 0 => xi = ? loại các giá trị xi  [ a ; b ]

*/ Tính các giá trị : f(a) ; f(b) ; f(xi)

Bước 3 : So sánh các giá trị vừa tìm được Tìm ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Chủ đề III: D/ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN:

I/ Tìm thể tích hình chóp:

1/ Các loại bài toán :

a) Cho hình chóp S.ABC ( Đáy tam giác : thường, vuông, đều, cân, hinh vuông, thoi, chữ nhật, hình bình hành …)

Có SA ┴ ( ABC) ( SO ┴ (ABC)… ) biết cạnh SA , góc giữa SB và đáy ( (ABC) và đáy ) là

α

1) Tính thể tích S.ABC

2) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC

Cách giải : gồm 2 bước:

Bước 1 : Vẽ hình :

Mục đích : Xác định các yếu tố về giả thiết bài toán

Tìm các yếu tố : Góc , đường cao Vẽ từ đáy vẽ lên

Bước 2: Tính toán:

a)Tính Thể tích hình chóp VS.ABC = 1/3B.h

Trong đó B = SABC ; h = SO ( SH: đường cao )

b)Tìm tâm và bán kính:

+ Xác định tâm đáy ( tam giác : tâm đường tròn ngoại tiếp, tứ giác(hcn): giao điểm 2 đường

chéo ) Xác định trục d đáy : vuông góc đáy qua tâm

+ Xác định mặt phẳng trung trực: 1 cạnh bên, hoặc trung trực đường cao.

Giao của trục d và mp vừa vẽ, ký hiệu I : là tâm mặt cầu cần tìm

Khoảng cách IA = IB = IC = IS = R là bán kính Tìm vị trí I , R

Kết luận

Chú ý : Các bài toán đã học phải giải đúng sơ đồ trên mới đạt điểm tối đa.

Giaỉ cách khác, nếu đúng , chỉ đạt điểm tối đa từng phần

Phần kết luận kết quả bài toán ( đáp số ) chiếm 0.25 điểm mỗi bài

II/ Bài toán hình hộp, lăng trụ: Các bước giải tương tự bài toán hình chóp.

ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV : NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN A/Nguyên hàm:

I Định nghĩa và ký hiệu:

1 Định nghĩa : F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x)

2 Ký hiệu: f(x).dx F(x).

3 Định lí : f(x).dx F(x).+ C

II Tính chất:

1 f' (x).dx  f(x) +C

2 k.f(x).dx k.f(x).dx

3 [f(x) g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

Chú ý 1 :

Nguyên hàm dạng tích , và hữu tỷ không có công thức phải biến đổi đưa về tổng hiệu:

Ví dụ 1 : Tìm Nguyên hàm : A = sin3x.cos5xdx

Ví dụ 2 : Tìm Nguyên hàm : B = x223.x1 4

x

III Công thức:

1 Nhóm 1: Hàm số lũy thừa.

1.1 / kdxk.xC k  R 1.2 / x  dx = x C





1

1





   1

1.3 / dx x = ln x + C

2 Nhóm II: Hàm số lượng giác

2.1 / sinxdx  cosxC 2.3 / tanxdx  lncosx C

2.2 / cosxdx sinxC 2.4 / cotxdx lnsinx C

x

dx





x

dx









x

dx







x

dx









4 Nhóm III: Hàm số Mũ :

3.1 /   C

a

a dx a

x x







Chú ý 2 :

Nếu : F(x)’ = f(a) , thì : F ax b C

a dx b ax

B/ Phương pháp tính tích phân:

Công thức : f(x).dx F(x) F(b) F(a)

b

a

b



I/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

1 Dạng 1: Tính : I fu x u x dx

b

a

).

( ' ) (



Phương pháp chung :

Bước 1 : Đặt : t=u(x)  dt = u’(x).dx

Bước 2 : Đổi cận : x a b

t u(a) u(b)

Bước 3 : Tính I :

I = ( ) ( ) [ ( )] [ ( )]

) (

) (

) ( ) ( F u b F u a t

F dt t f

b u

a u

b u a





CÁC DẠNG CƠ BẢN THƯỜNG GẶP :

2 Dạng 2 : Tính : I = 

b

a

dx x

f( ). ; Với f(x) =  (  1 ) 

b x a

x    R* Phương pháp:

Bước 1 : Đặt t = (a.x1 b)  dt = a.(   1 ).xdx 

a

dt dx

x

).

1 (

.









Bước 2 : Đổi cận : x a b

t u(a) u(b) Bước 3 : Tính I :

).

1 ).(

1 (

1 ).

1 ( ) (

) (

) ( ) ( ) 1 (



b u

a u

b u a u

t a a

dt







Ví dụ 3: Tính các tích phân sau :

1 A = x x  dx

2

1

5 4

3 ( 2 1 ) ; B = dx

x

x

  2

1

5 4 3 ) 1 2 (

2

1

5 4

3 x dx x

  ( Ta đặt t = ( 2x4  1 ) 5)

3 Dạng 3 : Tính : I = 

b

a

dx x

f( ). ; Với f(x) = cosx.(a sinxb)  Phương pháp:

Bước 1 : Đặt t = (a sinxb)  dt = a cosx dx  cosx.dx =

a

dt

f(x)dx = t dt

a



1

ta đưa về bài toán quen thuộc

Ví dụ 4 : Tính các tích phân sau :

4 D = 3cos (2sin 3) .

0

3dx x

x



; 5 E = dx

x

x

3 3

0 ( 2 sin 3 )

cos







6 G = 3cos (2sin 3) .

0

4 x 3dx x



; Ta đặt t = ( 2 sinx 3 ) 3

4 Dạng 4 : Tính : I = 

b

a

dx x

f ( ). ; Với f(x)dx = 2 2

x b

dx

 Phương pháp:

Bước 1 : Đặt x = b.tant ,  dx = ( 1 tan )

cos

2

2 dt b t t

b



 dt

b2 + x2 = b2.( 1 + tan2t)  f(x).dx = dt

b

1

Bước 2: Đổi cận, tính kết quả

5 Dạng 5 : Tính : I = 

b

a

dx x

f ( ). ; Với 





dx x

f( ) = 





 a2 x2

dx

dx (a> 0)

Phương pháp:

Bước 1 : Đặt x = a.sint  dx = a.cost.dt ; a2 x2 a2 (sin 2t) acost





Bước 2: Đổi cận, tính kết quả

II/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

2.1 Dạng áp dụng phương pháp tích phân từng phần :

I = 

b

a

dV

U

Phương pháp:

Đặt : 







dx v dv

x u u

'.

) (







 ' '

).

( '

v dx v v

dx x u du

;

 

b

a

dV

U = U.V  

b

a

b

2.2 Các dạng tích phân thường gặp :

Dạng 1 : Tính : I = 

b

a

dx x

f( ). ; Với f(x)dx = P(x) cosx.dx , hoặc P(x).sinx.dx

Ta đặt : U = P(x) ; dv = sinx.dx.

Dạng 2 : Tính : I = 

b

a

dx x

f( ). ; Với f(x)dx = P(x) ex.dx

Ta đặt : U = P(x) ; dv = ex.dx

Dạng 3 : Tính : I = 

b

a

dx x

f( ). ; Với f(x)dx = P(x) ln(x).dx

Ta đặt : U = ln(x) ; dv = P(x).dx

Chú ý 3 : Thông thường bài toán tích phân cho dưới dạng :

b

a

dx x g x h x

f( ) ( )] ( ).

ta khai triển thành tổng hai tích phân, rồi áp dụng các phương pháp trên để tính , xong cộng kết quả lại

Ví dụ 5: Tính các tich phân sau :

0

(sin  ).cos

 x



; 7

1

2 (1 ln ) 



e













 2

0 1 sin2 cos2



dx x x

1

0

e e x x x dx

I

C / Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích:

1) Diện tích hình phẳng:

Cơ sở lí thuyết:

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và

y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S = ( )

b

a

f x dx

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a;

x= b được tính bởi: S = ( ) ( )

b

a

f x  g x dx

Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2

Giải: Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = ( )

b

a

f x dx

thì S =

2 2 0

1

x  dx



 Phương trình: x2 -1= 0 x = 1 , nghiệm x = 1 [0;2]

 Vậy S =

1 2 0

(x  1)dx

2 2 1

(x  1)dx

1 3

0

3

x x

2 3

1

3

x x

 = 2 (đvdt)

Vídụ 7:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y =x

Giải:

 Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x  x2 + x – 2 = 0  x = 1 và x = -2

 Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức

 S = ( ) ( )

b

a

f x  g x dx

1 2 2

2



 



 Vậy S =

1 2 2

2



 

1 2 2

(x x 2)dx



 

1

3 2

2

2

x



2 (đvdt)

* Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b]

2) Thể tích vật thể tròn xoay:

Cơ sở lí thuyết:

Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = 2( )

b

a

f x dx

Ví dụ 8:

a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0 Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.,

Giải:

 Phương trình 2x – x2 = 0  x = 0 và x = 2

 Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V = 2 ( )

b

a

f x dx



Ta có V =

2 2 2 3 4

5 2

3 4

0

4

x

15



(đvtt)

b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3 Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox

Giải:

 Phương trình – x2 = x3  x = 0 và x = –1

 Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y

= – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox:

Có V1 =

0

2 2 1

( x ) dx







 Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y

= x3, x = 0, x = -1 và trục Ox…:

Có V2 =

0

3 2 1

( )x dx



 = 17

Vậy thể tích V cần tính là: V = V V1  2 = 2

35 (đvtt)

Chú ý:4 Khi tính thể tích vật thể trịn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nĩ quay

quanh trục Ox, học sinh cĩ thể ngộ nhận và dùng cơng thức ( ( ) ( )) 2

b

a

V  f x  g x dx dẫn đến kết

quả sai KQs : V = 1

105 đvtt.

 Các bài tập tự luyện:

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x2 + 4x và trục hoành

KQ: S = 323 đvdt 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x2 và y = – x – 2

KQ: S = 29 đvdt 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 5x4 – 3x2 – 8, trục Ox trên [1; 3]

KQs: S = 200 đvdt 4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay quanh trục Ox:

c) y = sin

2

x

; y = 0; x = 0; x =

4



KQ: 2 2

8

  đvtt

D/ Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước cĩ liên quan đến tích phân:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x -1

(TNTHPT năm 2001 – 2002 )

Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y =

1 x x

1 x x x 2

2 3











, biết F(1) = 31 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x2 x102x 12





trục hoành Ox (TNTHPT năm 2002 – 2003 )

Bài 3: Cho hàm số y = 31x3 – x2 (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới

hạn bởi (C) và các đường y = 0, x =0, x = 3 quay quanh trục Ox

(TNTHPT năm 2003 – 2004 )

Bài 4: Tính tích phân: I =  

2 /

0

2 ) cos sin

(



dx x x

Bài 5: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số :

y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1

b Tính tích phân: I = 



2 /

0

2

cos 4

2 sin



dx x

x

(TNTHPT năm 2005– 2006)

Bài 6:Tính tích phân J = 

e

dx x

x

1

2 ln

Bài 7: Tính tích phân I

1

2 3 4 1



Bài 8: Tính tích phân I =

0

(1 cos )





Bài 9: Tính tích phân I

1

2 2 0

ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV CÁC DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN.

Dạng I : Viết phương trình : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng.

Bài toán 1.1/ Viết phương trình mặt cầu (S): Tâm I(a, b , c), bán kính R:

(S): x 2 + y 2 + z 2 – 2ax + 2by + 2cz + D = 0 (1).

Thường được cho dưới dạng :

a) Cho 2 điểm A(x A ; y A ; z A ) , B(x B ; y B ; z B ):

Viết phương trình mặt cầu (S), nhận AB làm đường kính

Cách giải : Gọi I(a ; b ; c ) là tâm mặt cầu (S), bán kính R :

Ta có I là trung điểm AB :



























2 2 2

B A

B A

B A

z z

c

y y

b

x x

a

; R = AB2 = 21 (x B x A) 2  (y B y A) 2  (z B  z A) 2

Thay kết quả vừa tìm được vào (1), ta có kết quả cầm tìm

b) Cho 3 điểm : A(x A ; y A ; z A ) , B(x B ; y B ; z B ) , C(x C ; y C ; z C )

Tìm trọng tâm G của tam giác ABC,

Viết phương trình mặt cầu (S) Tâm G, đi qua A

Cách giải : Gọi G(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S), bán kính R :

Ta có G là trọng tâm Δ ABC :

































3 3 3

C B

A

C B

A

C B

A

z z

z c

y y

y b

x x

x a

; R = AG = (x G  x A) 2  (y G  y A) 2  (z G  z A) 2

1.2/ Tìm tâm, bán kính mặt cầu (S) có phương trình :

(S): x 2 + y 2 + z 2 + mx + ny + pz + D = 0 (1).

Cách giải : Gọi I(a ; b ; c) , R là tâm và bán kính mặt cầu (S), có phương trình (1), ta có :

















p c

n b

m a

2 2





























2 2 2

p c

n b

m a

; R = a2b2c2 D Kết luận : I(a ; b ; c ) ; R

1.3/ Cho 4 điểm A(x A ; y A ; z A ) , B(x B ; y B ; z B ) , C(x C ; y C ; z C ) D(x D ; y D ; z D ) Viết phương trình mặt cầu (S )đi qua A,B,C,D.

Cách giải : phương trình mặt cầu (S) có dạng