bài tập cơ bản và nâng cao - toán 8 (tập 2)

~ Một phương trình với ẩn x có dạng Ax = Bx ~ Nếu xọ là giá trị sao cho ÂXo = Bx¿ là đẳng thức đúng thì x = Xo được gọi là nghiệm của phương trinh Ax = Bx — Tap nghiém của phương trình l

Trang 1

SOẠN THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI

CUA BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

Trang 2

MỤC LỤC

PHAN DAI SO

CHƯƠNG Ii: PHUONG 'TRINIT BAC NHAT

Bài 1 Mở đầu về phương Đình ‹ QS csteesosee 3

Bài 2 Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải se Bài 3 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 5

Bài 4: Phương trình tích

Bài 5 Phương trình chứa ẩn ở mẫu „

Bài 6, 7 Giải toán bằng cách lập phương trình

CHƯƠNG IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Bài 1L Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Bài 3 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

CHƯƠNG III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Bai 1 Dinh li ta- lét trong tam giác

Bai 2 Dinh li ta- lét trong Lam giác

Bài 3 Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 4 Khái niệm hai tam giác đồng dạng

Bài ð Trường hợp đồng dạng thứ nhất

Bài 6 Trường hợp đồng dạng thứ hai

Bài 7 Trường hợp đồng dạng thứ ba

Bài 8 Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Bài 9 Ứng dụng thực tế của tam giác đồng đạng

Bài 5 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng

Bài 6 Thể tích của hình lăng trụ đứng

Bài 7 Hình chóp đều và hình chóp cụt đều

Bài 8 Diện tích xung quanh của hình chóp đều

Bài 9 Thể tích của hình chóp đều

Trang 3

~ Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x)

~ Nếu xọ là giá trị sao cho Â(Xo) = B(x¿) là đẳng thức đúng thì x = Xo được gọi là nghiệm của phương trinh A(x) = B(x)

— Tap nghiém của phương trình là tập bợp tất cả các nghiệm của

phương trình đó và kí hiệu là 8

~ Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó

Nếu phương trình không có nghiệm nào (tức là tập S = Ø) thì ta nói phương trình đó vô nghiệm

9 Phương trình tương đương

~ Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

~ Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu

~ Quy tắc nhân: Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với

cùng một số khác không

~ Từ một phương trình, nếu dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc

nhân ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đó

B HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

Bài 1 Với mỗi phương trình sau, hãy xét xem x = — 1 có phải là nghiệm của

x= —1 không là nghiệm của phương trình x + 1= 2(x-3)

e_ Ta có: 9-1+1)+3=3=2-C1) nên x = =1 là nghiệm của phương trình

Trang 4

* Khi t = 1, ta có: (1 + 9)” = 9 và 3.1 +4= 7= (1+ 9##3.1 + 4 nên t= 1

không là nghiệm của phương trình (t + 2) ?=8t+4

Bài 3 Xét phương trình x + 1 = 1 +x Ta thấy mọi số đều là nghiệm của nó

Người ta còn nôi: Phương trình này nghiệm đúng với mọi x Hãy cho biết

tập nghiệm của phương trình đó

Giải

Ta có: x + 1 = 1 +x là đẳng thức đúng với mọi số thực x nên tập

nghiệm của phương trình là R

Bài 4 Nối mỗi phương trình sau với các nghiệm của nó (Theo mẫu)

Bằng cách thử trực tiếp các giá trị vào các phương trình, ta có:

(a) nối với (2); (b) nối với (3); (c) nối với (—1) và (3)

Bài ð Hai phương trình x = 0 và x(x — 1) = 0 có tương đương không? Vì sao?

Giải

Ta có: x = 1 là nghiệm của phương trình x(x — 1) = 0 nhưng không là -nghiém của phương trình x = 0 Do đó, hai phương trình trên có tập nghiệm khác nhau nên chúng không tương đương

1 Định nghĩa Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã

cho và a # 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

9 Hai quy tắc biến đổi phương trình

- Quy tắc chuyển vế: Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế ia va đổi dấu hạng tử đó

— Quy tắc nhân (chia) với một số khác không: Ta có thể nhân (chia)

hai vế cùng với một số khác không

B 1: UGNG DAN GIAI BAI TẬP,

Bài 6 Tính diện tích S của hình thang ABCD(h.1)

1) Theo công thức 5 =<' BI x(BC + DA): 2A

Hink4

Trang 5

Sau đó, sử dụng giả thiết S = 20 để thu `

được hai phương trình tương đương với nhau

Trong hai phương trình ấy, có phương trình nào là phương trình bậc

S= Su Š an: + Son = Ö BHAH + BH « 2 CKKD = + x" +8x

$=20 <4 : +x? +2x =920 không phải phương trình bậc nhất

Bài 7 Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:

Giải

Các phương trình: 1 + x = 0; 1 — 2t = 0 và 3y =0 là phương trình bậc nhất

Phương trình: x + xŸ = 0 có bậc bằng 2 và Úx — 3 = 0 có hệ số a = 0 nên

không phải phương trình bậc nhất

Bài 8 Giải các phương trình

Tập nghiệm của phương trình S>1-1U

Bài 9 Giải các phương trình, viết số gần đúng của mỗi nghiệm ở dạng số

thập phân bằng cách làm tròn đến hàng phần trăm

a) 3x—11=0 b) 12+ 7x= 0 e) 10 ~ 4x = 2x— 3

Trang 6

* Khi b= 0, phương trình có vô số nghiệm

* Khi bz 0, phương trình vô nghiệm

Bài 10 Tìm chổ sai và sửa lại các bài tập sau cho đúng:

a) 3x-6+x=9—x b) 2t — 3 + 5t = 4t + 12

©ä3x=3c 3t=9 Ser io.t=3

Giải

a) Chỗ sai: Chuyển — 6 sang vế phải mà không đổi dấu

Chuyển ~ x sang vế trái mà không đổi dấu

Trang 7

€) 5~(x—6) =4(8— 2x) œ õ—x+ 6 = 12- 8x © 11~ x = 12 - Öx

Bài 13 Bạn Hòa giải phương trinh: x(x + 2) = x(x + 3) nhu trén hinh 2

Theo em, bạn Hòa giải đúng hay sai?

Em sẽ giải phương trình đó như thế nào?

Trang 8

Giải

Bạn Hòa đã chia hai vế phương trình x(x + 2) = x(x + 3)

Cho bién x duge phuong trinhx+2=x+3 | @x+2=x+3

không tương đương với phương trình: @x-x=3-2

x(x + 2) = x(x +3) nên bạn Hòa giải sai © 0x = 1 (0ô nghiệm)

Ta có: — 1 là nghiệm đúng của phương trình (3)

2 là nghiệm đúng của phương trình (1)

—3 là nghiệm đúng của phương trình (2) Bài 1ã Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng với vận tốc trung

bình 32km/h Sau đó 1 giờ, một ôtô cũng khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng, cùng đường với xe máy và với vận tốc trung bình 48km/h Hãy viết phương trình biểu thị việc ôtô gặp xe máy sau x giờ, kể từ khi ôtô

khởi hành

Giải

Do xe máy khới hành trước ôtô 1 giờ, nên khi ôtô và xe máy gặp nhau

sau x giờ kể từ khi ôtô khởi hành thì thời gian xe máy đi được đến lúc

gặp nhau là: x+1 (giờ)

Quãng đường ôtô đi được là: 48x (km)

Quãng đường xe máy đi được là: 32(x+1) (km)

Mà hai quãng đường trên bằng nhau nên ta có phương trình:

48x = 32(x+1) Vậy phương trình biểu thị việc ôtô gặp xe máy sau x giờ, kể từ khi ôtô

khởi hành là: 48x = 32(x+1)

Bài 16 Viết phương trình biểu thị cân thăng bằng trong hình 3 (đơn vi

Mà cân thăng bằng nên tổng khối lượng af

của hai đĩa cân sẽ bằng nhau va pe

Suy ra: 3x +5=2x + 7 (g) Hình

Vậy phương trình là: 3x +5=2x + 7

Trang 9

Bài 17 Giải các phương trình:

> 0x = 9(vô lí) Phương trình vô nghiệm

Trang 10

Bai 20 Đố Trung bảo Nghĩa hãy nghỉ ở trong đầu một số tự nhiên tùy

ý, sau đó nghĩa thêm ð vào số ấy, nhân tổng nhận được với 2, được

bao nhiêu đem trừ đi 10, tiếp tục nhân hiệu tìm được với 3 rồi cộng

thêm 66, cuối cùng chia kết quả cho 6 Chẳng hạn, nếu Nghĩa nghĩ đến số 7 thì quá trình tính toán sẽ là:

7 —> (7 + 5 = 12) — (12x 2 = 24) — (24-10 = 14)

— (14x 3 = 42) > (42 + 66 = 108) > (108 : 6 = 18)

Trung chỉ cần biết kết quả cuối cùng (số 18) là đoán ngay được số

Nghĩa đã nghĩ là số nào

Nghĩa thử mấy lần, Trung đều đoán đúng Nghĩa phục tài Trung lắm

Dé em tìm ra bí quyết của Trung đấy!

Gọi số mà Nghĩa nghĩ trong đầu là x (x eN) Khi đó nếu là theo

Trung thì Nghĩa đã cho Trung biết số

A ={[(x+5)2-10]3 + 66} : 6 = x +11

Suy ra: x = A — 11 Từ đó, Trung chỉ việc lấy sé A (Nghia đã cho biết),

trừ đi 11 là biết ngay Nghĩa đang nghĩ số nào

§4 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

— Phuong trình có dạng: A(x).B(x) =0 gọi là phương trình tích

— Cách giải dựa vào kết quả: A(x).B(x) = 0 © A(x) = 0hoặc B(x) =0

~ Như vậy, muốn giải phương trình A(x).B(x) =0, ta giải hai phương

trình A(x) =0và B(x) = 0rôi lấy tất cả các nghiệm thu được

— Trường hợp tổng quát: A;(x).Az(x) A„(x) = 0

Trang 11

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

Tập nghiệm của phương trình: S = {3;-20}

Ta có: x? + 1> 0 với mọi giá trị x eR

Tập nghiệm của phương trinh: S = {-Z:5-F}

Bài 29 Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương

Trang 12

Tập nghiệm cia phuong trinh: S = {2;5}

Trang 13

Ke s hoặc x = 1 Tap nghiém cua phương trình: 8 = {Eat u

a) (x? -2x+1))-

c) 4x2 +4x+L=xŸ

b) x2 —x =-2x +2

c) x? -5x+6=0 Gidi

Tập nghiệm của phương trình: S = {4-1}

œ(x-9)(x- 3) =0 ©x=2 hoặc x= 3

Tập nghiệm của phương trinh: S = {2;3}

Bời 95 Giải các phương trình

a) 2x? + 6x? = x? + 8x b) (8x —1) (x? + 2) = (8x -D)(7x= 10}

Giải

a) 2x3 + 6x” _ xẺ +3x ca ấx2Œ + 8) — x(x + 8) = 0 œ (2x” <3) (x + 3) =

12

Trang 14

x= h hoặc x = 3 hoặc x = 4 Tập nghiệm của phương trình: s-baj

Bài 26 TRÒ CHƠI( Chạy tiếp sức)

Chuẩn bị:

Giáo viên chia lớp thành n nhóm, mỗi nhóm gồm 4 em sao cho các

nhóm đều có em học giỏi, học khá, học trung bình, Mỗi nhóm tự

đặt cho nhóm mình một cái tên, chẳng hạn, nhóm ° Con Nhím”,

nhém ° Oc Nhéi ’, nhóm °®Đoàn Kết °, Trong méi nhóm, học sinh tự

đánh số từ 1 đến 4 Như vậy sẽ có n học sinh số 1, n học sinh số 9,

Giáo viên chuẩn bị 4 đề toán về giải phương trình, đánh số từ 1 đến 4

Mỗi đề toán được phôtôcopy thành n bản và cho mỗi bản vào một

phong bì riêng Như vậy sẽ có n bì chứa đề toán số 1, n bì chứa để

toán số 2, Các để toán được chọn theo nguyên tắc sau:

Đề số 1 chứa x; để số 2 chứa x và y; để số 3 chứa y và z; đề số 4 chứa

z và t( Xem bộ đề mẫu dưới đây)

Đề số 1 Giái phương trình 9(x—9) +1= x—1

Đề số 2 Thế giá trị của x (bạn số 1 uừa tìm được) vào

rồi tìm y trong phương trình: (x+ 3)y =x+y

Đầ số 3 Thế giá trị của y (bạn số 9 uừa tìm được) vào

rồi tìm z trong phương trình: st wo BS _ 1

Đề số 4 Thế giá trị của z (bạn số 3 uừa tìm được) vào

Trang 15

viên phát đề số 1 cho học sinh số 1 của các nhóm, dé sé 2 cho hoc

sinh sé 2

hi có hiệu lệnh, học sinh số 1.của các nhóm nhanh chóng mở đề số 1,

giải rồi chuyển giá tri x tìm được cho bạn số 2 của nhóm mình Khi

nhận được giá trị x đó, học sinh số 2 mới được phép mở đề, thay giá

trị của x vào, giải phương trình để tìm y rồi chuyển đáp số cho bạn số 3

của nhóm mình Học sinh số 3 cũng làm tương tự Học sinh số

4

chuyển giá trị tìm được của t cho giáo viên (đồng thời là giám khảo)

Nhóm nào nộp kết quả đúng đầu tiên thì thắng cuộc

là điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0

~ Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1 Tìm ĐKXĐ của phương trình

Bước 2 Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

Bước 3 Giải phương trình vừa nhận được

Bước 4 (Kết luận) Trong các giá trị cúa ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị

thỏa mãn ĐKXĐ chính là các nghiệm của phương trình da cho

Trang 16

Trang 17

Kết luận: Cả hai giá trị trên đều thỏa mãn đkxd, nên tập nghiệm của

7

phương trinh Ia: 5 = {1-7}

Trang 18

Bạn Sơn và bạn Hà đều không chú ý đến ĐKXĐ của phương trình là

x # 5 nên cả bai lời giải đều sai

Lời giải của em: ĐKXĐ: x # 5

Quy đồng mẫu thức hai vế phương trình: MTC = x — 5

rs = © 14x 8l + 8) c 12x = 6© xe

x+3

Trang 19

x = _ © (3x2) (2x ~ 3) = (6x + 1)(x + 7)

c> 6x - 13x + 6 = 6x? + 48x +7 <> 56x = -1 > x =—E

1

Vay == “56 thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình đã cho

Trang 20

Quy đồng mẫu thức hai vế phương trình: MTC = (x - 3) (2x + 7) (x +8)

Trang 21

Bài 33 Tìm các giá trị của a sao cho môi biểu thức sau có giá trị bằng 2

a) 3a+1l K a+3 De “iaaao 7” 3 4a+12 6a+18

Quy đồng mẫu thức hai vế phuong trinh: MTC ~ (3a + 1)(a + 3)

3đa-1 + a-3 = he (3a — U(a + 3) + (a- 3)(3a +1) _

8a+1 a+s (8a + 1)(a +3)

10 3a-1_ 7a+2

b) Tacó: 2 ”4ax12 6a+18 “ 2 và giải phương trình theo ẩn a

Trang 22

10 3á-1 _ Ta +2 =seœ10_ da =1 7a+2 =9 3- 4a+1l2 6a+18 3 4(a+3) 6(a+3)

40(a + 3) - 3(3a - 1) - 2(7a + 2) 17a + 119

Kết luận: 3 = 7z thỏa mãn ĐKXĐ nên đó là giá trị a cần tìm

§6.§7 GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

Biểu diển các đại lượng chưa biết theo ẩn số và các đại lượng đã biết

Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 3 Trả lời

Trong các nghiệm của phương trình (m được ở bước 2), nghiệm nào

thỏa mãn điều kiện của ẩn (dat ở bước 1) là đáp số cúa bài toán cần giải

Bài 34 Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị Nếu

tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng

7 Tìm phân số ban đầu

Gọi tử số là x Điều kiện : x eZ, mẫu số là x + 3

Phân số ban đầu : x+ — s Khi tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị

thì được phân số mới: ŠŸ mu

Trang 23

Bai 35 Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng : số học sinh cả

lớp Sang học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giới bằng 20% số học sinh cả lớp Hỏi lớp 8A

có bao nhiêu học sinh?

Giải

Gọi số học sinh cả lớp 8A là x Điều kiện x EN va x #0

Số học sinh giỏi của lớp 8A ở học kỳ một là: :

Ta có: 20% = = = nên số học sinh giỏi của lớp 8A ở học kỳ hai la

Số học sinh giỏi của lớp 8A ở học kỳ hai nhiều hơn số học sinh giỏi

của lớp 8A ở học kỳ một là 3 học sinh

Ta có phương trình: gi“

Xa XK„ốx, 120 _ÖX ấy = 120 © x= 40 Thoa mãn diéu

8 5 40 40 40

kiện bài toán nên số học sinh lớp 8A là 40 học sinh

Bài 36 (Bài toán nói về cuộc đời nhà toán học Đi-ô-phăng, lấy trong

hợp tuyển Hi Lạp~ Cuốn sách gồm 46 bài toán về số học, viết dưới

dạng thơ trào phúng)

Thời thơ ấu của Đi-ô- phăng chiếm a cuốc đời

sete đời tiếp theo là thời thanh niên sôi nối

Thêm = cue đời nữa ông sống độc thân

Sau khi lập gia đình được ð năm thì sinh một con trai

Nhưng số mệnh chỉ cho con ông sống bằng nữa đời cha

Ông đã từ trần 4 năm sau khi con ông mất Đi-ô- phăng sống bao nhiêu tuổi; hãy tính cho ra?

Giải

Gọi tuổi thọ của Đi-ô- phăng là x Điều kiện x eN va x #0

Số tuổi thời thơ ấu: a Số tuổi thời thanh niên: a

Số tuổi sống độc thân: : và số tuổi của con ông: =

Ta có phương trình: = 6\d2 eb eae =x 7 2

x © :# x 14x + 7x + 12x + 42x

6 12 7 2 84

Trang 24

75x

2 : +9=x @ 75x +756 = 84x = 9x = 756 x = 84 thỏa mãn điều

kiện bài toán nên tuổi thọ của Đi~-ô~ phăng là 84 tuổi

Bài 37 Lúc 6 giờ, một xe máy khởi hành từ A để đến B Sau đó 1 giờ,

một ôtô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy 20km/h Cả hai xe đến B vào lúc 9 giờ

30 phút cùng ngày Tính độ dài quãng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy

Giải

Gọi x (km) là độ dài quảng đường AB Điều kiện x > 0

Thời gian từ 6 giời sáng đến 9 giờ 30 phút cùng ngày là: 3,5 giờ

Thời gian xe máy đi hết quảng đường AB là 3,5 giờ

Thời gian ôtô đi hết quảng đường AB là: 3,5 - 1 = 2,5 giờ

Vận tốc trung bình của xe máy: oe = = (km/h)

Van téc trung binh ctia 6t6: - = = (km/h)

Vận tốc trung bình của ôtô lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy là 20km/h nén ta có phương trình: = = = 20

Gọi x là số học sinh được điểm 9 (tần số xuất hiện cúa 9 là x) với x

nguyên dương Khi đó, tân số xuất hiện đủa 5 là:10 - (1+2 + 3+ x) =4—x

Trang 25

Hai số cần điển lần lượt là 3 và 1

Bài 39 Lan mua bai loại hàng và phải trả tổng công 120 nghìn đồng,

trong đó đã tính cả 10 nghìn đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là VAT) Biết rằng thuế VAT đối với loại hàng thứ nhất là 10%; thuế VAT đối với loại hàng thứ hai là 8% Hói nếu không kế thuế VAT thì

Lan phải trả mỗi loại hàng bao nhiêu tiền?

Ghi chú Thuế VAT là thuế mà người mua hàng phải trả, người bán hàng

thu và nộp cho Nhà nước Giả sử thuế VAT đối với mặt hàng A duge

quy định là 10% Khi đó nếu giá bán của A là a đồng thì kể cả thuế VAT, người mua mặt hàng này phải trả tổng cộng là a+10% a đồng

Gọi x (nghìn đồng)là số tiền Lan phải.trả cho loại hàng thứ nhất

(không kể VAT) với điều kiện x > 0

Với giả thiết bài toán, ta lập bảng sau

| Số tiên chưa kể | Tiên thuế Số tiền kể cả

Thỏa mãn điều kiện bài toán

Không kể thuế VAT, Lan phải trả cho loại hàng thứ nhất là 60 nghìn

đồng, loại hàng thứ hai là 50 nghìn đồng

LUYỆN TẬP

Bài 40 Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương Phương tính rằng 13

năm nữa thì tuổi mẹ chí còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi Hói năm nay

Phương bao nhiêu tuổi?

Giải

Gọi x là tuổi Phương năm nay với x nguyên dương Tuổi mẹ là 3x

13 năm nữa thì tuổi Phương là: x + 13, khi đó tuổi mẹ 2(x + 13)

Ta có phương trình: 3x + 13 = 2(x + 13)

3x+18 = 2(x + 13) 3x + 13 = 2x+26 © x = 26 - 18 = 18

Thỏa mãn điều kiện bài toán nên năm nay Phương 13 tuổi

Bai 41 Một số tự nhiên có hai chữ số Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần

chữ số hàng chục Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thi

được một số mới lớn hơn số ban đầu là 370 Tìm số ban đầu

Trang 26

Bài 42 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ

số 2 vào bên trái và chữ số 2 vào bên phải số đó thì ta được một số

mới gấp 153 lần số ban đầu

Giải

Gọi x là số tự nhiên có hai chữ số với 9< x < 100 và x EN

Nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và chữ số 2 vào bên phải số

x ta được số tự nhiên có 4 chữ số là: 2x2 (x có hai chữ số)

Ta có: 2x9 = 153x

Suy ra, phương trình: 2000 + 10x + 2 = 153x > 2002 = 143x < x = 14

x= 14 thỏa mãn điều kiện bài toán nên số cần tìm là 14

Bài 43 Tìm phân số có đồng thời các tính chất sau:

a)

b)

c)

Tử số của phân số là số tự nhiên có một chữ số;

Hiệu giữa tử số và mẫu số bằng 4;

Nếu giữ nguyên tử số và viết thêm vào bên phải của mẫu số một

2 căng š ashe see : ä 4 poh ä yl,

chữ số đúng bằng tử số, thì ta được một phân số bằng phân Số —-

Giải

Gọi x là tử số của phân số cần tìm, điều kiện xeN và x < 9

Mẫu số của phân số cần tìm: x — 4

Thêm vào bên phải mẫu số một chữ số đúng bằng tử số, ta có:

Ta cố: x= a: “hông thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy, không có phân số nào thỏa mãn các điều kiện bài toán:

Bài 44 Điểm kiểm tra Toán của một lớp được cho trong bảng dưới đây:

Trang 27

Bài 45 Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt một số tấm thảm len trong 20

ngày Do cải tiến kĩ thuật, năng xuất đệt của xí nghiệp đã tăng 205

Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cân đệt mà còn dệt thêm 24 tấm nữa Tính số thảm len mà xí

nghiệp phải đệt theo hợp đồng

Giải

Gọi x là số thẩm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đông, điều kiện

x nguyên dương

Dệt x là số thảm len trong 20 ngày thì năng xuất của xí nghiệp làn

Dệt x + 24 số thẩm len trong 18 ngày thì năng xuất của xí nghiệp

Trang 28

Số thấm len mà xí nghiệp phải đệt theo hợp đồng là 300 tấm

Bài 46 Một người lái ôtô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48km/h

Nhưng sau khi đi được một giờ với vận tốc ấy, ôtô bị tàu hỏa chặn

đường trong 10 phút Do đó, để kịp đến B đúng thời gian đã định,

người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h Tính quãng đường AB

is X= 58 X S04 +8(x-48) = 9x © x= HỘ thoa man diéu 6` 54 48°

kiện bài toán Quãng đường AB dài 120 km

Bài 47 Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi xuất mỗi tháng

là a% (a là một số cho trước) và lãi tháng này được tính gộp vào vốn cho tháng sau

a) Hãy viết biểu thức biểu thị:

+ Số tiền lãi sau tháng thứ nhất;

+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất;

+ Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai

b) Nếu lãi suất là 1,2% (tức là a = 1,2) và sau hai tháng tổng số tiền lãi

là 48,288 nghìn đồng, thì lúc đầu bà An đã gửi bao`nhiêu tiền tiết kiệm

Giải

a) + Số tiền lãi sau tháng thứ nhất: TT (nghìn đồng)

+ Số tiền (ca gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất:

at +X= Wo + 1}.x (nghin déng)

Số tiền lãi có được sau tháng thứ hai:

als + tx (nghìn đồng) + Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai.

Trang 29

Số tiên đầu bà An đã gửi là 2000 nghìn đồng tức là 2 triệu đồng

Bài 48 Năm ngoái, tổng số dân của hai tinh A va B là 4 triệu Năm nay,

dân số của tỉnh A tăng thêm 1,1%, còn dân số của tỉnh B tăng thêm 1,2% Tuy vậy, số dân cia tinh A nam nay vẫn nhiều hơn tỉnh B là

807 200 người Tính số dân năm ngoái của mỗi tỉnh

Giải

Gọi x (người) là số dân năm ngoái của tỉnh A thì số dân năm ngoái của

tỉnh B là 4000000 — x, với điều kiện x nguyên dương và x < 4000000

Số dân tỉnh A năm nay: nh +x=1,011x

Số dân tỉnh B năm nay:

Bài 49 Đố Lan có một miếng bìa hình tam giác ABC vuông tại A, cạnh

AB = 3cm Lan tinh rang nếu cắt từ miếng bìa đó ra một hình chữ nhật có chiều dài 2em như hình 5 thì hình chữ nhật ấy có diện tích

bằng một nữa diện tích của miếng bìa ban đâu Tính độ dài cạnh AC

Giải

Gọi x là độ dài cạnh AC, điều kiện x > 2 i

Diên tích tam giác ABC:

Trang 30

Dién tich hinh chit nhat

AENM la dt (AENM) = ABEN = 2, 2-2) _ 6(x~2)

Trang 31

Bai 52 Giải các phương trình:

Trang 33

* Cả hai giá trị tìm được của x đều thỏa mãn ĐKXĐ nên tập nghiệm

của phương trình là 5 = ;-8}

\

xi1 x+2 x+3 x+4

Bai 53.Giaiphuong trình:

8 lý 6 Giải

Bai 54 Mét cand xudi dong tit bén A dén bến B mat 4 gid va nguge dong

từ bến B về bến A mat õð giờ Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là 2km/h

Giải

Gọi x (km) là khoảng cách giữa hai bến A và B, với x > 0

Vận tốc của canô xuôi dòng từ bến A đến bến B là 5 (km/h)

Vận tốc dòng nước 2km/h nên vận tốc canô khi nước yên lặng:

Ta có: Š—4= = ote =4c>-Š=4«>x =80 thỏa mãn điều kiện

Vậy, khoảng cách giữa hai bến Â và B là 80 km

Bài 55 Biết rằng 200g dung dịch chứa 50g muối Hỏi phải pha thêm bao

nhiêu gam nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20% muối?

Giải ‘

Gọi x (gam) là số lượng nước cần pha thêm vào dung dịch, với x > 0

Khối lượng dung địch sau khi pha thêm nước là 200 + x (gam)

Ta có: 100 gam dung dịch sau khi pha chứa 20 gam muối

Trang 34

Thỏa mãn điều kiện Vậy lượng nước cần pha vào dung dịch là 50 gam

Bài 56 Để khuyến khích tiết kiệm điện, giá điện sinh hoạt được tính

theo lũy tiến, nghĩa là nếu người sử dụng càng dùng nhiều điện thì

giá mỗi số điện (1kWh) càng tăng lên theo các mức như sau:

Mức thứ nhất: Tính cho 100 số điện đầu tiên

Mức thứ hai: Tính cho số điện thứ 101 đến 150, mỗi số đắt hơn 150 đồng so với mức thứ nhất

Mức thứ ba: Tính cho số điện thứ 151 đến 200, mỗi số đắt hơn 200

đồng so với mức thứ hai v.v

Ngoài ra, người sử dụng còn phải trả thêm 10% thuế giá trị gia tăng

(thuế VAT)

Tháng vừa qua, nhà Cường dùng hết 165 số điện và phải trả 95700

đồng Hỏi mỗi số điện ở mức thứ nhất giá là bao nhiêu?

Giải

Gọi x (đồng) là giá mỗi số điện ở mức thứ nhất, với x > 0

Giá mỗi số điện ở mức thứ bai là: x + 150 (đồng)

Giá mỗi số điện ở mức thứ ba là: x + 150 + 200 = x + 350 (đồng)

Số điện đã dùng ở mức thứ nhất: 100 (Wh) nên số tiền phải trả: 100x

Số điện đã dùng ở mức thứ hai: 50 (KWh) nên số tiền phải trả:

50 (x + 150)

Số điện đã dùng ở mức thứ ba: 15 (kWh) nên số tiền phải trả:

15 (x + 850)

Số tiền điện phải trả: 100x + 50(x + 150) + 15 (x + 350) = 165x + 12750

Số tiền VAT: san (165% <n eoe 10 S5

Theo bài ra ta có phương trình: 165x + 12750 + ——_ = 95700

Thỏa mãn điều kiện bài toán Giá điện mỗi số điện ở mức thứ nhất là

450 đồng

CHƯƠNG IV BẤT PHƯƠNG TRINH BAC NHAT MOT AN

§1 LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CONG

Trang 35

Khi biểu diễn số thực trên trục số (nằm ngang), điểm biểu điễn số nhỏ

hơn ở bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn

Chú ý: Nếu a không nhỏ hơn b thì a > bhoặc a = b kí hiệu a >b Nếu a không lớn hơn b thì a < b hoặc a = b, kí hiệu a<b

-'Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay dang a > b,a>b, a<b) là bất đẳng thức và a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức Bất đẳng thức cho

biết (biểu thị) thứ tự của số ở vế trái so với số ở vế phải

- Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức thì được bất đẳng thức mới cùng chiêu với bất đẳng thức đã cho

* Với ba số a,b và c, ta có:

Nếu a < b thĩa +e<b+c; Nếu a<b thì a+ce<b+c

Nếu a > bthì a+c>b+c; Nếu a>b thìa+c >b+c

Bài 1 Mỗi khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao?

d) Ta có: x? > 0 (với mọi x) =x? +l>l với mọi x nên x” +1 21 ding

Bài 2 Cho a < b, hãy so sánh :

a)a+lvà b+l b) a-2 và b~2

Giải

Ap dụng quy tắc: a<b«<>a+e<b+ec với mọi ce R

Ta có:a<b=>a+1<b+1 (cộng hai vế với 1)

a<b=a-3 <b-2 (cộng hai vế với ~2)

Bài 3 So sánh a và b nếu: a) a -ð > b -ỗ b) 15 +a< 1ỗ +b

Giải

Tacéia-5 >b-5 =>a2b

15+a< 15+b = a<b

Bài 4 Đố Một biển báo giao thông với nên trắng, số 20 màu đen, viển

đỏ (xem minh họa ở hình bên) cho biết

vận tốc tối đa mà các phương tiện giao thông được đi trên quảng đường có biển quy định 20

là 20km/h Nếu một ôtô đi trên đường đó có

Trang 36

vận tốc là a km/h thì a phải thỏa mãn điều

kiện nào trong các điều kiện sau: a> 20; a<20;a < 90;a>90

Khi đi trên quảng đường có biển báo giao thông như hình vẽ thì vận

tốc tối đa của ôtô đi trên đường đó là 20km/h nên a < 20

§2 LIEN HE GIUA THU TỰ VÀ PHÉP NHÂN

A TOM TAT LY THYET

Néu a <b thi ac < be; Néua <b thi ac < be;

Nếu a > b thi ac > be; Néu a > b thi ac > be;

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho

Với ba số a,b và e mà e < 0, ta có:

Nếu a < b thì ae > be; Nếu a < Ù thì ac > bc;

Nếu a > b thì ae < be; Nếu a >b thì ac < be;

- Với ba số a, b và e nếu có a < b và b< e thì a <c

Bai 5 Méi khang dinh sau đúng hay sai ? Vì sao? l

Ta có: a < b => 2a < 2b (nhân hai vế với 9)

a<b=a+a<a+b=2a<a +b (cộng hai vế với a)

a<b=—-a>_~b (nhân hai vế với —1)

Bài 7 Số a la sé âm hay dương nếu:

Trang 37

12a <15a ? 4a < 3a? 3a > -Ba ?

Giải

Ta có: 12 < 15 = 12a < 15a khi a >0 (bất đẳng thức cùng chiều)

Ta có: 4 > 3 = 4a < 3a khi a < 0 (bat đẳng thức ngược chiều)

Ta có: - 3 >— 5 = -8a > —Ba khi a > 0 (bất đẳng thức cùng chiều)

Bài 8 Cho a < b, chứng tỏ: a) 2a—3 < 2b-3 b) 2a-3 < 2b+5

Trang 38

b) (-3).2 +ð =— 1 và (—8).(—B) + 5= 20 nên — 1< 20 = (-3).2 +5 < (—8)(~5)+5

Cách khác (-3).2 +5 < (-3).(-5) +5 &(-3).2 < (—3).(—ð) (cộng hai vế với —B)

Bài 13 So sánh a và b nếu:

a) at5<b4+5 b) -3a > —3b

c) 5ba-~6>5b-6 d) -2a+3<-2b4+3

Giải

a) a+5 <b+5 >a <b (cộng hai vế với —5)

b) -3a >~3b = a < b (nhân hai vế với -g)

c) 5a~6 2 5b ~ 6 => 5a > 5b (cong hai vế với 6)

=>a >b (nhân hai vế với 4

ad) -2a+3<-2b+3—>-2a<-2b (cộng hai vế với —3)

=> a2>b (nhân bai vế với -5 Bài 14 Chơ a < b, hãy so sánh: a) 9a +1 với 2b+1 b) 2a +1 với 2b +3

Giải

a) a<b=2a< 3b (nhân hai vế với 2) => 9a+1 < 9b +1(céng hai vế với 1)

b) Theo câu a), ta có 2a+1 < 9b +1

1<38=2b+1<2b+3 = 2a+1 <9b +3

§3 BAT PHUONG TRINH MOT AN

A._ TOM TAT LY THYET

— Giá trị của biến số làm cho bất phương trình trở thành bất đẳng

thức đúng gọi là nghiệm của bất phương trình Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương

trình đó

— Hai bất phương trình gọi là fương đương nếu chúng có cùng tập

nghiệm Ta dùng kí hiệu °c>” để chỉ sự tương đương đó

Bài 1ã Kiểm tra xem giá trị x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:

a) 2x+3<9 b) <4x > 2x +5 c) 5 —x > 3x -12

Trang 39

Giải

Thay x= 3 vào từng bất phương trình và bất phương trình trở thành bất đẳng đúng thì x = 3 là nghiệm, còn BĐT sai thì x = 3 không là nghiệm của BPT đó

a) - Ta có: 9.3 + 3 = 9 < 9 (sai) nên x = 3 không là nghiệm của 2x + 3 < 9

b) —4.3 = —12 > 11 (sai) không là nghiệm của -4x > 2x+5

c) 5—8=9 >~8 (đúng) nên x = 3 là nghiệm của ð —x > 3x =12

Bài 16 Viết và biểu diễn tập nghiệm trên trục số của mỗi bất phương

e)_ Tập nghiệm S ={xeR/x> 5} cha BPT: x 25

b) Tập nghiệm 8 ={xe R/x<-1) của BPT: x<-1

Bai 18 Hay lập bất phương trình cho bài toán sau:

Quang đường từ A đến B dài 50km Một ôtô đi từ À đến B, khởi hành

lúc 7 giờ Hỏi ôtô phải đi với vận tốc bao nhiêu km/⁄h để đến B trước 9

giờ cùng ngày?

Giải

Gọi x(km“h) là vận tốc ôtô, với x > 0

Thời gian ôtô đi từ A đến B là: ma x

Ô tô khới hành lúc 7 giờ và đến B trước 9 giờ cùng ngày nên ta có:

50 7+—<9

x

Trang 40

Hai qui tắc biến đổi bất phương trình:

~ Qưi tắc chuyến uế: Khi chuyển một hạng tử (là số hoặc đa thức) từ

vế này sang vế kia của bất phương trình ta phải đổi đấu hạng tử đó

- Qui tắc nhân: Khi nhân bai vế của bất phương trình với cùng một

số khác 0, ta phải:

+ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó đương

+ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm

Chú ý — Chia cho một số khác 0 là nhân với nghịch đảo của nó nên ta

không nêu quy tắc chia cho số khác 0 mà vận dụng quy tắc nhân

- Từ một bất phương trình, dùng quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân ta được một bất phương trình mới tương đương với bất phương trình đã cho

— Giải bất phương trinh 1a tim tap nghiệm của bất phương trình đó

— Người ta gọi bất phương trình có dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b >0,

ax + b < 0, ax + b > 0), trong đó x là ẩn, a và b là các số đã cho, với a # 0

là bất phương trình bậc nhất

Bài 19 Giải các bất phương trình (theo quy tắc chuyển vế):

Định dạng
Số trang	131
Dung lượng	36,55 MB