Bài 2: phương trình đẳng cấp với sin và cos pot

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC NHẤT VỚI SINX, COSX 1.. Phân tích thành phương trình tích 2.. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1... PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2 VỚI SINX, COSX 1.. Các bài tập mẫu

Bài 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC NHẤT VỚI SINX, COSX

1 Phương pháp chung: asinx+bcosx=c a; 2 +b2 > (1) 0

Với

Chú ý: (1) có nghiệm ⇔c2 ≤a2 +b2

2x = là nghiệm của (1) ⇔ + = b c 0 Xét b+ ≠ Đặt c 0 tan

2

x

t= thì

2

−

( )1 ⇔ ( ) ( ) 2 ( )

f t = c+b t − at+ c−b =

Cách 3 Phân tích thành phương trình tích

2 Các bài tập mẫu minh họa

Bài 1 Giải phương trình: 3sin 3x− 3 cos 9x= +1 sin 33 x

Giải

3sin 3x− 3 cos 9x= +1 4 sin 3x⇔ 3sin 3x−4 sin 3x − 3 cos 9x= 1

3

( )

2

k

k k

Bài 2 Giải phương trình: cos 7 cos 5x x− 3 sin 2x= −1 sin 7 sin 5x x (1)

Giải

( )1 ⇔(cos 7 cos 5x x+sin 7 sin 5x x)− 3 sin 2x= 1

cos 7x 5x 3 sin 2x cos 2x 3.sin 2x 1

3

1cos 2 sin 2 1 cos cos 2 sin sin 2 1

Bài 3 Giải phương trình: 2 2 sin( x+cosx)cosx= +3 cos 2x (1)

Giải

( )1 ⇔ 2 sin 2x+ 2 1 cos 2( + x)= +3 cos 2x ⇔ 2 sin 2x+( 2−1 cos 2) x= −3 2

2 2

c









Ta sẽ chứng minh: a2 +b2 <c2

5 2 2 11 6 2

2

⇔ < ⇔ < (đúng) Vậy (1) vô nghiệm

Giải

⇔ − + − =  + + π Đặt sinα =45, cosα =35

⇔  − + α = + ⇔x=924π+α4 +k2π ∨ x=36π −α6 + k3π

4 sin xcos 3x+4 cos xsin 3x+3 3 cos 4x= (1) 3

Giải

( )1 ⇔[3sinx−sin 3x]cos 3x+[3cosx+cos 3x]sin 3x+3 3 cos 4x= 3

3 sin cos 3x x sin 3 cosx x 3 3 cos 4x 3 sin 4x 3 cos 4x 1

3

( )

Bài 6 Giải phương trình: 3sinx+cosx= 1

Giải

Ta có 3sinx+cosx= ⇔1 3sinx= −1 cosx

2

x = ⇔ x = π ⇔k x= kπ

x − x= ⇔ x= ⇔ x = α + π ⇔k x= α + kπ k∈ »

Bài 7 Giải phương trình: sinx+5 cosx= (1) 1

Giải

(cos sin )(4 cos 6 sin ) 0 tan 1 tan 2 tan

( )

Bài 8 Giải phương trình: sinx+ 3 cosx+ sinx+ 3 cosx=2 1( )

Giải

Ta có: sin 3 cos 2 1sin 3cos 2 sin( )

3

t= x+ x= x+π ⇒ ≤ ≤ , khi đó t

1 ⇔ +t t = ⇔2 t = − ⇔ =2 t t 2−t ⇔t −5t+ = ⇔ = ∈4 0 t 1 0; 2

Bài 9 Giải phương trình: (1+ 3 sin) x+(1− 3 cos) x=2 1( )

Giải

Do b+ =c (1+ 3)+ = −2 2 3≠ nên cos0 0

2x = không là nghiệm của (1)

Đặt tan sin 2t2

x

2

1 cos 1

t x t

−

= + , khi đó

−

−

5

Bài 10 Giải phương trình: sin 3x+( 3−2 cos 3) x=1 1( )

Giải

Do b+ =c ( 3−2)+ =1 3− ≠ nên 1 0 cos3 0

2x = không là nghiệm của (1)

Đặt

2

t

+ và

2 2

1 cos 3

1

t x t

−

= + , khi đó ( )1 ⇔2t+( 3−2 1) ( −t2)= +1 t2 ⇔(1− 3)t2 +2t+( 3−3)= 0

3

t

=



=



( )

Bài 11 Tìm m để 2 sinx+mcosx= −1 m( )1 có nghiệm ,

2 2

x −π π

∈  

Giải

Do b+ =c m+(1−m)≠ nên cos0 0

2x = không là nghiệm của (1)

Đặt tan

2

x

t= thì ( )

2

−

⇔ = − + − = có nghiệm t∈ −[ 1,1]

Xét f(−1)= ⇔ −0 6 2m= ⇔0 m= thỏa mãn 3

Xét f( )1 = ⇔ − −0 2 2m= ⇔0 m= − thỏa mãn 1

Xét f t( )= có 1 nghiệm 0 t∈ −( 1,1) và 1 nghiệm t∉ −[ 1,1]

( 1) ( )1 (6 2 ) ( 2 2 ) 0 (2 6) (2 2) 0 1 3

Xét f t( )= có 2 nghiệm 0

1, 2

t t thỏa mãn − <1 t1≤t2 < 1

2

S

′

⇔ ∆ ≥ − > > − < < , hệ này vô nghiệm

2 2

x∈−π π⇔ − ≤m≤

f t =t − t+ − m= có nghiệm t∈ −[ 1,1]

( ) 1 2 2 1

⇔ = − + = có nghiệm t∈ −[ 1,1]

Ta có: g t′( )= − <t 2 0∀ ∈ −t [ 1,1]⇒g t( ) nghịch biến trên [−1,1]

Suy ra tập giá trị g t( ) là đoạn g( )1 ,g(−1)≡ −[ 1, 3] Từ đó (1) có nghiệm

( )

,

2 2

x∈−π π⇔g t =m

  có nghiệm t∈ −[ 1,1]⇔ − ≤1 m≤ 3

II PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2 VỚI SINX, COSX

1 Phương pháp chung

a x+b x x+c x+d= với a2 +b2 +c2 >0 1( )

Bước 1: Xét cos x= có là nghiệm của (1) hay không 0 ⇔a+d= 0

Bước 2: Xét a+d≠ ⇒0 cosx= không là nghiệm của (1) 0

Chia 2 vế của (1) cho cos2 x≠ ta nhận được phương trình 0

1 ⇔atan x+btanx+ +c d 1+tan x = Đặt 0 t=tanx

( )1 ⇔ f t( ) (= a+d t) 2 +bt+(c+d)= 0

Bước 3: Giải và biện luận f t( )= ⇒ Nghiệm 0

t = x ⇒ nghiệm x

2 Các bài tập mẫu minh họa

Bài 1 a Giải phương trình: sin2 x+2 sin cosx x+3cos2 x− = 3 0

b Giải phương trình: sin2 x−3sin cosx x+ = 1 0

Giải

sin x+2 sin cosx x+3cos x− = (1) 3 0

Nếu cosx= là nghiệm của (1) thì từ (1) 0

2



=

⇒ Vô lý Chia 2 vế của (1) cho cos2 x≠ ta nhận được 0

( )1 ⇔tan2 x+2 tanx+ −3 3 1( +tan2 x)= ⇔0 2 tanx−2 tan2 x= 0

2 tan 1 tan 0

tan 1

4

x

x

= π



=

b sin2 x−3sin cosx x+ = (2) 1 0

Nếu cosx= là nghiệm của (2) thì từ (2) 0 cos2 0

x x

=



⇒ 

+ =

Chia 2 vế của (2) cho cos2 x≠ ta nhận được phương trình 0

( )2 ⇔tan2 x−3 tanx+(1+tan2 x)= ⇔0 2 tan2 x−3 tanx+ =1 0

tan 1 tan

tan 1 2 tan 1 0

1

2

π



Bài 2 a Giải phương trình: 4 3 sin cos 4 cos2 2 sin2 5

2

Giải

2

Nếu cosx= là nghiệm của (1) thì từ (1) 0 2 sin2 5 0

2

x

Chia 2 vế của (1) cho cos2 x≠ ta nhận được phương trình 0

2

( )

3

b 3sin2 (3 ) 2 sin(5 ) (cos ) 5sin2(3 ) 0

( )

3sin x 2 sin cosx x 5 cos x 0 2

Nếu cosx= là nghiệm của (1) thì từ (2) 0 cos 0

x x

=



⇒ 

=

Chia 2 vế của (2) cho cos2 x≠ ta nhận được phương trình 0

5

3

−π



cos

x

+ = b 4 sin 6 cos 1

cos

x

Giải

2

3 sin cos

+

3

x

x

=

=



2

4 sin 6 cos

+

tan 5 tan

Bài 4 Giải phương trình: 7 sin2 x+2 sin 2x−3cos2 x−3 153 = (1) 0

Giải

Nếu cosx= là nghiệm của (1) thì từ (1) 0

7 sin 3 15

x x

=



⇒ 

=

Chia 2 vế của (1) cho cos2 x≠ ta có ( )0 1 ⇔7 tan2 x+4 tanx− −3 3 15 1 tan3 ( + 2x)= 0 (7 3 15 tan3 ) 2 x 4 tanx (3 3 153 ) 0 ( )2

3

t= ⇒t = ⇒ t = , ta sẽ chứng minh ∆′<0 Thật vậy, ta có:

( )( )

′

5 t

< < ⇔ = < = < nên suy ra: ∆ < ⇒′ 0 ( )2 vô nghiệm ⇒ (1) vô nghiệm

m x− x x+m− = có nghiệm ( )0,

4

x∈ π

Giải

Với ( )0,

4

x∈ π thì cosx≠ nên chia 2 vế phương trình cho 0 2

cos x≠ ta có 0

( )( 2 )

m− x+ m− + x = Đặt t=tanx∈(0,1)

Khi đó: (m−2)t2 −4t+2m− = ⇔2 0 m t( 2 +2)=2t2 +4t+ ⇔ 2

( ) ( 2 )

2

2

t

( ) ( )

2

( )

g t

⇒ tăng /(0,1)⇒g t( )=m có nghiệm t∈(0,1)⇔m∈(g( )0 ,g( )1 )≡(1, 2)

Bài 6 Cho phương trình: sin2 x+(2m−2 sin cos) x x−(m+1 cos) 2 x=m ( )1

Giải

Nếu cosx= là nghiệm của phương trình (1) thì từ (1) suy ra 0

2

sin

x

=





=



2

2 2

1 1

m m

x x

=



=

=

Nếu m≠ thì cos1 x= không là nghiệm của (1), khi đó chia 2 vế của (1) cho 0

2

cos x≠ ta có: ( )0 1 ⇔tan2 x+(2m−2 tan) x−(m+1)=m(1+tan2 x)

(tan ) ( 1 tan) 2 2( 1 tan) 2 1 0

4

b (1) có nghiệm

2

1 1

1

m m

m

=



=







≠

∆ ≥′ − − + ≥

cos x−sin cosx x−2 sin x−m−0 1

a Giải phương trình (1) khi m= 1 b Giải biện luận theo m

Giải

a Với m= ta có ( )1 1 ⇔cos2 x−sin cosx x−2 sin2x− = 1 0

(cosx 3sinx)sinx 0 sinx 0 co tgx 3 cotg x {k ; k }

+

m

10

10

10

Khi đó ( )1 ( )2 cos 2( ) cos

2

Bài 8 Giải và biện luận: msin2 x+4 sin cosx x+2 cos2 x=0 1( )

Giải

2 cot 2 cot

x

x

=

= − = α



• m≠ thì ( )0 1 ⇔mtan2 x+4 tanx+ = với 2 0 ∆ = −′ 4 2m

+ Nếu m> thì (1) vô nghiệm; Nếu 2 m= thì tan2 1

4

x= − ⇔x=−π+ π k

+ Nếu 0≠m< thì 2 tanx 2 4 2m tan x k

m

III PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 3 VỚI SINX, COSX

1 Phương pháp chung

a x+b x x+c x x+d x= với a2 +b2 +c2 +d2 >0 1( )

Bước 1: Xét cos x= có là nghiệm của phương trình hay không 0

Bước 2: Xét cos x≠ không là nghiệm của phương trình Chia 2 vế của (1) 0

sin

x

ta nhận được phương trình bậc 3 ẩn tan x

Bước 3: Giải và biện luận phương trình bậc 3 ẩn tg x

2 Các bài tập mẫu minh họa

Bài 1 Giải phương trình: 4 sin3x+3 cos3 x−3sinx−sin2 xcosx=0 1( )

Giải

Nếu cosx= là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra 0

Chia 2 vế của (1) cho cos3 x≠ ta có ( )0 1 ⇔4 tan3x+ −3 3tanx(1 tan+ 2x)−tan2x= 0

tan x tan x 3 tanx 1 tan x tan x 0 tanx 1 tanx 3 0

( )

Bài 2 Giải phương trình: sin 2 sin 2x x+sin 3x=6 cos3 x ( )1

Giải

( )1 ⇔sinx(2 sin cosx x)+3sinx−4 sin3 x=6 cos3 x

4 sin x 3sinx 2 sin xcosx 6 cos x 0

Nếu cosx= là nghiệm của (2) thì từ (2) suy ra 0

Chia 2 vế của (2) cho cos3 x≠ ta có ( )0 2 ⇔tan3x−2 tan2x−3 tanx+ = 6 0

3

Bài 3 Giải phương trình: 1 3sin 2+ x=2 tanx

Giải

2

x≠ ⇔x≠ π+ πk

1 tan x 6 tanx 2 tanx 1 tan x 2 tan x tan x 4 tanx 1 0

4

4

x

= − + π

= α + π



Bài 4 Giải phương trình: 2 sin3( ) 2 sin

4

x+ π = x (1)

Giải

3

3 3

Nếu cosx= là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra 0

Chia 2 vế của (1) cho cos3x≠ ta có 0

1 ⇔ tanx+1 =4 tanx 1 tan+ x ⇔tan x+3 tan x+3 tanx+ =1 4 tan x+4 tanx

4

Bài 5 Giải phương trình: 8 cos3( ) cos 3

3

Giải

3

cosx 3 sinx 4 cos x 3cosx 3 sinx cosx 3cosx 4 cos x 0 1

Nếu cosx= là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra 0

x

x

=





=

Chia 2 vế của (1) cho cos3 x≠ ta có ( )0 ( )3 ( 2 )

1 ⇔ 3 tanx−1 −3 1+tan x + = 4 0

3 3 tan x 3 3 tanx 3 3 tanx 1 3 1 tan x 4 0

3 3 tan x 12 tan x 3 3 tanx 0 tanx 3 tan x 4 tanx 3 0

1

3

4

x−π = x (1)

Giải

3

sinx cosx 4 sinx tanx 1 4 tanx 1 tan x

tan x 3 tan x 3 tanx 1 4 tan x 4 tanx 3 tan x 3 tan x tanx 1 0

4

Bài 7 Giải phương trình: 6 sin 2 cos3 5 sin 4 cos

2 cos 2

x

Giải

k

x≠ ⇔ x≠π+ π ⇔k x≠ π+ π Với điều kiện (2) ta có ( )1 ⇔6 sinx−2 cos3x=5 sin 2 cosx x

6 sinx 2 cos x 5 2 sin cosx x cosx 3sinx cos x 5 sin cosx x 0

Nếu cosx= là nghiệm của (3) thì từ (3) suy ra 0

x

x

=





=

Chia 2 vế của (3) cho cos3 x≠ ta có 0

3 tanx 1+tan x − −1 5 tanx= ⇔0 (tanx−1 3 tan)( 2x+3 tanx+1)= 0

Do

4

x=π+ π mâu thuẫn với (2): n

k

x≠π+ π nên phương trình (1) vô nghiệm

Bài 8 ( ) 3 ( ) ( ) 2 ( )

4−6m sin x+3 2m−1 sinx+2 m−2 sin xcosx− 4m−3 cosx= 0

a Giải phương trình khi m= 2

b Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 0,

4

x  π

∈  

Giải

Nếu cosx= là nghiệm của phương trình thì từ phương trình suy ra 0

Chia 2 vế của phương trình cho cos3x≠ ta có phương trình 0

(4 6m)tan3x 3 2( m 1 tan) x(1 tan2x) 2(m 2 tan) 2x (4m 3 1 tan)( 2x) 0

tan x 2m 1 tan x 3 2m 1 tanx 4m 3 0

tanx 1 tan x 2mtanx 4m 3 0 1

a Nếu m= thì ( )2 1 ⇔(tanx−1 tan)( 2 x−4 tanx+5)= 0

4

b Đặt tan [0,1] 0,

4

∀ ∈  , khi đó phương trình

2

 − = ⇔ = ∈



Xét phương trình: t2 −2mt +4m− = với 3 0 t∈[0,1]

2

t

t

−

(1 )23 0 [0, 1]

2

t

−

( )

g t

⇒ đồng biến trên [ ]0,1 ⇒ Tập giá trị g t( ) là [ ( )0 , ( )1 ] 3; 2

2

=  

Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất ( )0,

4

x∈ π thì phương trình g t( )=2m hoặc vô nghiệm t∈[0,1] hoặc có đúng 1 nghiệm t= 1

( ) 2

2

t

< <