H×nh häc kh«ng gian ¤n thi ®¹i häc H×nh häc kh«ng gian H×nh häc kh«ng gian I Ph ¬ng ph¸p chøng minh vu«ng gãc 1 a ⊥ b TH1 a, b chÐo nhau ta CM a ⊥ (P), b ⊂ (P) (s/d t/c 1 ®t ⊥ víi 1 mf th× ⊥ víi mäi ®[.]
Ôn thi đại học: Hình học không gian Hình học không gian I Phơng pháp chứng minh vuông góc a ⊥ b TH1: a, b chÐo nhau: ta CM a ⊥ (P), b ⊂ (P) (s/d t/c ®t với mf với đt mf) TH2: a, b đồng phẳng ta s/d pp CM hình học phẳng nh: - cạnh kề HV, HCN, tam giác vuông, hình thang vuông - đờng chéo HV, HT, đờng cao tam giác - đờng trung tuyến tam giác đều, cân, đờng trung bình HV, HCN - Hình chiếu vuông góc - S/d định lí đảo Pitago (dùng biết độ dài cạnh) - a (P) C1: CM a vuông góc với hai đờng thẳng cắt (P) C2: CM a // b, b ⊥ (P) C3: (P) ⊥ (Q) = d, a ⊥ d, a ⊂ (Q) C4: (Q) ∩ (R) = a, (Q) ⊥ (P), (R) ⊥ (P) (P) ⊥ (Q) CM: a ⊥ (P), a (Q) Chú ý: - đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng vuông góc với đờng thẳng mặt phẳng - Hai mf vuông góc với nhau, đt nằm mf đờng thẳng vuông góc với giao tuyến vuông góc với mf II Cách xác định góc: góc đt a b: TH1: a, b nằm mf: s/d cách tính mf TH2: a, b chÐo : lÊy ®iĨm I vẽ qua I hai đt a, b song song víi a,b ®ã (a.b) = (a’, b’) lu ý: điểm I lấy thuộc a( thuộc b) tuỳ toán góc đt a mf (P): gọi a hc vuông góc a (P) (a P) = (a, a’) Th«ng thêng nÕu a ∩ (P) = A ta tìm điểm S thích hợp (tuỳ à toán) thuộc a, lấy hc S S trªn (P) ( SS’ ⊥ ( P ) ) ⇒ (a, P) = SAS ' (nÕu · · · SAS ' nhän) hc (a, P) = 180 - SAS ' (nÕu SAS ' tï) gãc gi÷a mf (P) vµ (Q): lÊy a.b cho: a ⊥ ( P ) , b ⊥ ( Q ) ⇒ ( P, Q ) = ( a, b ) NÕu ( P ) ∩ ( Q ) = ∆ ®ã ta lấy (R) thích hợp (tuỳ toán) cho: ( R ) ⊥ ∆, ( R ) ∩ ( P ) = d1 , ( R ) ∩ ( Q ) = d suy (P, Q) = (d1, d2) III TÝnh thĨ tÝch C«ng thøc: V LT = h.S V HC = h.S Các công thức tính diện tích: a Tam giác: Công thức diện tích tam giác: 1 a.ha = b.hb = c.hc S= 2 1 S = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 S= Vò Quang Hng - 0988877383 p ( p − a )( p − b )( p − c ) , p = S= abc 4R a+b+c S = pr Ôn thi đại học: Hình học không gian b Hình vuông: S = a2 c HCN: S = a.b d H×nh bình hành: S = AH CD e Hình thoi: S = AB.AD.sinBAD f H×nh thang: S = S= AC.BD ( a + b ).h C¸c c«ng thøc tÝnh: a Pitago: a2 = b2 + c2 tam giác ABC vuông A b Hệ thức lợng tam giác vuông: ABC vuông A, AH đờng cao ta có: 1 = + , AH.BC = AC.AB 2 AH AB AC c §L cosin: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = .; c2 = a b c = = = R , R bk đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC sin A sin B sin C b2 + c2 a2 2 e C«ng thøc trung tuyÕn: ma = − ; mb = ; mc = d ĐL sin: f hc S.ABC có SA, SB, SC đôi vuông góc SH đờng cao hc đó: 1 1 = 2+ 2+ SH SA SB SC Cách xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp a Tam giác: * bất kì: giao ®êng trung trùc * ®Òu: giao ®êng trung tuyÕn * vuông: trung điểm cạnh huyền b Hình vuông, HCN: giao đờng chéo Cách xác định chiều cao khối chóp: a bất kì: đờng cao đoạn vuông góc nối từ đỉnh vuông góc với mặt đáy b có cạnh bên nhau: đờng cao đoạn nối từ đỉnh đến đờng ngoại tiếp đa giác đáy c có cạnh bên vuông góc mặt đáy: đờng cao cạnh bên Cách xác định chiều cao khối lăng trụ: a LTĐ: đờng cao cạnh bên b LTX: đờng cao k/c từ điểm mặt đáy đến mặt đáy Một số phơng pháp tính thể tích: C1: Xác định h, diện tích đáy S Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC tam giác ABC vuông B, AB = 3, AC = 5, SA = SB = SC = TÝnh V? Cho h×nh chãp S.ABC tam giác ABC AB = 3, SA (ABC), ·ACS = 300 TÝnh V? Cho h×nh chãp tam giác S.ABC, AB = 4, mặt bên tạo với đáy góc 600 Tính V? Cho hình chóp S.ABC tam giác ABC vuông B, AB = 3, AC = 5, SA = SB = SC, góc cạnh SA mặt đáy 450 Tính V? Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, SA = 5, H trung điểm AB, SH = TÝnh V? Cho h×nh chãp S.ABCD, SA ⊥ (ABCD), ABCD hình thang cân có AB = 2, DC = 4, AD = Góc cạnh SC với mf đáy 600 tính V? Vũ Quang Hng - 0988877383 Ôn thi đại học: Hình học không gian Cho hình chóp S.ABC có SA, SB SC đôi mét vu«ng gãc, SA = 3, AC = 5, · SCB = 300 TÝnh V? Cho LT§ ABC ABC có tam giác ABC vuông cân A, BC = TÝnh VABC.A’B’C’ · ' A ' = 600 biÕt: a) BC’ = b) BC C2: Đối với tứ diện xem điểm đỉnh mà việc xác định chiều cao khó áp dụng t/c đặc biệt tứ diện ta chọn điểm khác làm đỉnh cho việc xác định chiỊu cao dƠ VD1: Cho h×nh chãp SABC cã tam giác SAC cạnh a, BC (SAC), BC = b Tình VSABC? NX: Nếu coi S đỉnh việc xđ chiều cao tơng đối khó Nhng chọn B đỉnh h = BC, diện tích đáy TH dễ tính C3: PP phân chia thể tích VD2: Cho hình chóp SABC, SA ⊥ (ABC), SA = a, AB ⊥ BC, AB = b, BC = c H trung điểm SC Tính VSABH ? NX: Việc xác định h hc SABH tơng đối khó (dù xem điểm làm đỉnh), nhng ta để ý VSABC = VSABH +VHABC nên VSABH = VSABC - VHABC Mµ VSABC vµ VHABC dƠ tÝnh C4: Cho hc S.ABC trªn SA, SB, SC lÊy điểm A, B, C khác S thì: VSABC SA.SB.SC = VSA B C SA ' SB ' SC ' ' ' ' Do biết V tỉ lệ ta tình đợc V lại - S/d diƯn tÝch h×nh chiÕu: S’ = S.cos α Trong S diện tích hình chiếu hình có diện tích S, góc hợp mf chứa hình - VD: làm l¹i vd2 Cho hc SABC, SA ⊥ (ABC), SA = a Tam giác ABC cạnh b M, N hình chiếu vuông góc A SB, SC TÝnh VSAMN ? NX: ViƯc x® h cđa hc SAMN tơng đối khó Tuy việc tình VSABC dễ nhng tình VAMNBC khó Nên sd cách đợc Do ®ã ta sd pp sau: SM SN = x; = y suy SB SC 1 d ( A, AMN ).S SMN SM SN sin BSˆC S SM SN SMN = = = = = x y ⇒V SAMN 1 S SBC SB.SC d ( A, ABC ) S SBC SB.SC sin BSˆC Dễ dàng ta có VSAMN VSABC Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB = a Các cạnh bên SA SB, SC tạo với đáy góc 600 Gọi D giao điểm SA với mf qua BC vuông góc với SA a tính tØ sè V cđa khèi chãp S.DBC vµ S.ABC b VS.DBC ? IV Tình khoảng cách * k/c từ điểm A đến đt d: C1:A’ hcvg A d đó: d(A, d) = AA’ C2: xđ (P) thích hợp (tuỳ tốn) qua A song song với d, lấy B thuộc (P) thích hợp (tuỳ bt) d(A, d) = d(B, d) * k/c tõ ®iĨm ®Õn mf: Định nghĩa: d(M, ) = MH Với MH ⊥ α , H ∈ α C¸ch tÝnh: C1: Xác định đoạn vuông góc : - dễ thấy (hoặc phải kẻ đờng phụ) C2:CM: MN// d(N, ) dễ tính, d(M, ) = d(N, α ) Vò Quang Hng - 0988877383 Ôn thi đại học: Hình học không gian VD3: Cho hc SABC, SA ⊥ (ABC), SA = a AB BC, AB = b, BC = c Trên đờng thẳng vuông góc với (ABC) C lấy điểm D Tính k/c từ D đến (SAB) NX: việc xđ đoạn vuông góc từ D đến (SAB) khó nhng ta thấy CD // SA suy CD // (SAB), nªn d(D, SAB) = d(C, SAB) = BC = c C3: S/d thĨ tÝch h = 3V S VD4: Cho h×nh chãp SABC, SA ⊥ (ABC), SA = a, tam gi¸c ABC cạnh b, H trung điểm SC, tính k/c từ H đến (SAB) NX: việc xđ đoạn vuông góc từ H đến (SAB) khó nhng ta tính đợc VSABH vµ SSAB suy V d ( H , SAB ) = SABH S SAB * k/c gi÷a đt a, b chéo nhau: C1: xđ đoạn vuông góc chung C2: xđ mf (P) thích hợp song song a qua b, lấy A thuộc a thích hợp d(a, b) = d(A, (P)) V Bài tập Câu 1: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B SA (ABC) a CM: BC (SAB) b AH đờng cao tam giác SAB CM: AH ⊥ SC c TÝnh VSABC ? biÕt SC = a , AB = a, ACˆ B = 30 Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD ABCD hình thoi tâm O SB = SD a CM: (SAC) mặt phẳng trung trực BD b H, K hình chiếu A SB, SD CM: SH = SK, OH = OK vµ HK // BD c CM: (SAC) mf trung trực HK Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD ABCD hv tâm O, SA (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu A SB, SC, SD a CM: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD) b CM: (SAC) mặt phẳng trung trực BD c CMR AH, AK vuông góc SC Từ suy ®t AH, AI, AK cïng thuéc mét mf d CM: (SAC) mặt phẳng trung trực HK Tõ ®ã suy HK ⊥ AI e TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c AHIK, biÕt SA = AB = a Từ tình thể tích : hc S.AKIH hc H.ABCD Câu : Hình chóp S.ABCD Đáy hv cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều, SC = a H, K trung điểm AB vµ AD a CM: SH ⊥ (ABCD), AC ⊥ SK vµ CK ⊥ SD b TÝnh V: - S.ABCD - S.BCDKH Câu 5: Cho tứ diện ABCD có mặt (ABC), (ABD) vuông góc (BCD) Vẽ đờng cao BE, DF tam giác BCD đờng cao DK cđa tam gi¸c ACD a CM: AB ⊥ (BCD) (ABE) ⊥ (ADC) vµ (DFK) ⊥ (ADC) b Gäi O, H trực tâm tam giác BCD ACD CM: OH ⊥ (ACD) C©u 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình chữ nhật có AB=a; BC= a Mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D với SD = a Chứng minh: SA⊥(ABCD) tính SA Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H hình chiếu vng góc A SC Hãy xác định giao điểm K, L SB, SD với mp(HJK) Chứng minh AK⊥(SBC); AL⊥(SCD) Tính diện tích tứ giác AKHL C©u 7: Trong mp(P) cho tam giác MAB vng M Trên đường thẳng vng góc với mp(P) A lấy hai điểm C, D nằm hai phía A Gọi C’ hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC’ CM: CC’⊥(MBD) Gọi K hc vng góc H AB CM: K trực tâm tam giác BCD Vò Quang Hng - 0988877383 Ôn thi đại học: Hình học không gian Câu 8: Trong mp(P) cho tam giỏc ABC vng A có BC=2a, ∠ACB=600.Dựng hai đoạn thẳng BB’=a, CC’=2a vng góc nằm phía với (P) Tính khoảng cách sau: Từ C’ đến mp(ABB’) Từ B’ đến mp(ABC’) Từ trung điểm BC đến mp(ACC’) Từ trung điểm BC đến mp(AB’C’) Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi I trung điểm AB CM: SI⊥(ABCD) CM tam giác SAD, SBC vng Tính số đo nhị diện cạnh CD Tính khoảng cách AB SC Câu 10: Cho tam giác SAD hình vuông ABCD cạnh a nằm hai mặt phẳng vuong góc Gọi I trung điểm AD, M trung điểm AB, F trung điểm SB K giao điểm CM BI CM mp(CME) ⊥ (SIB) Tính BK KF từ suy tam giác KBF cân Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung AB SD; CM SA Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi cạnh a có ∠BAD=600 Gọi O giao điểm AC BD biết SO⊥(ABCD) SO = 3a Tính khoảng cách từ A, O đến mp(SBC) Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung AD SB Tính góc hai mf (SBC) (SAD) Gọi (P) mf qua AD vng góc với mp(SBC) Tìm thiết diện hình chóp tạo mp(P) Câu 12: Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Từ A, B, C, D vẽ nửa đừờng thẳng Ax, By, Cz, Dt nằm phía vng góc với (ABCD) Trên Ax, Cz lấy A’, C’ cho OA’=a; A’C’=2a Tính CC’ theo a Chứng minh tam giác C’A’O vng A’C’ vng góc với mp(DA’B) Trên By lấy B’ cho BB’=x Dt lấy D’ cho DD’=y Tìm hệ thức x, y a cho A’, B’, C’, D’ đồng phẳng Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành Tìm x, y để: a) D thuộc mp(A’B’C’) b) A’B’C’D’ hình thoi ; hình chữ nhật Câu 13 (A – 2007): Cho hình chóp S.ABCD có đáy hv cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mf vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD CM: AM ⊥ BP tình VCMNP? Câu 14 (B – 2007): Cho hc tứ giác S.ABCD có đáy hv cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC CM: MN⊥BD tính k/c hai đt MN AC Câu 15 (D – 2007): Cho hc S.ABCD có đáy hình thang , ABˆ C = BAˆ D = 90 , BC = BA = a, AD = 2a SA⊥(ABCD), SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB CM: tam giác SCD vng tính k/c từ H đến (SCD) Câu 16 (A – 2006): Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’, bk đáy chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A , đường tròn tâm đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB = 2a Tính V khối tứ diện OO’AB Câu 17 (B – 2006): Cho hc S.ABCD có đáy ABCD HCN với AB = a, AD = a , SA = a SA⊥(ABCD) Gọi M, N trung điểm AD, SC; I giao điểm BM AC CMR (SAC)⊥(SMB), Tính V tứ diện ANIB Câu 18 (D – 2006): Cho hc tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA⊥(ABC) Gọi M, N hình chiếu vng góc A SB, SC Tính V A.BCMN Câu 19 ( TK A – 2007: Đề 1): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a ˆ C =120 Gọi M trung điểm CC1 CM: MB⊥MA1 tính k/c từ A đến (A1BM) BA Câu 20 ( TK A – 2007: Đề 2): Cho hình chóp SABC có góc (SBC, ABC) = 600, ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a k/c từ B đến (SAC) Câu 21 ( TK B – 2007: Đề 1): Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hv tâm O, SA ⊥(ABCD) AB = a, SA = a H, K hình chiếu vng góc A SB, SD CM: SC⊥(AHK) tình V OAHK Câu 22 (TK B – 2007: Đề 2): Trong mf (P) cho đường trịn đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường trịn cho AC = R Trên đường thẳng vng góc với (P) A lấy điểm S cho góc (SAB,SBC) = 600 Gọi H, K hc A SB, SC CM tam giác AHK vng tình VSABC Vũ Quang Hng - 0988877383 Ôn thi đại học: Hình học không gian Cõu 23 (TK D 2007: Đề 1): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = a Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 CM: MN đường vng góc chung AA1 BC1 Tính thể tích MA1BC1? Câu 24 (TK D – 2007: Đề 2): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 CM: BM⊥B1C tính d(BM,B1C) Câu 25 (Dự bị B – 2006: 2): Câu 26 ( Dự bị A – 2006: 2): Câu 27 ( Dự bị A – 2006: 1): Câu 28 (Dự bị B – 2006: 1): Câu 29: (A – 08) Cho LT ABC A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hc vng góc A’ (ABC) trung điểm BC Tính theo a VA’.ABC cosin góc đt AA’ B’C’ Câu 30 (B – 08): Cho hc S.ABCD có đáy ABCD hv cạnh 2a, SA = a, SB = a (SAB) vng góc mặt đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính theo a VS.BMDN cosin(SM, DN) Câu 31 (D – 08): Cho LTĐ ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a gọi M trung điềm BC Tính theo a VABC.A’B’C’ k/c t AM, BC Hớng dẩn đáp án: Hình học không gian Câu 13 S a H trung điểm AD, SH ⊥ ( ABCD) ⇒ SH ⊥ BP , tam gi¸c HDC · · PCB b»ng suy HCD = PBC ⇒ BP ⊥ CH ⇒ BP AN Do BP SC mà SC//MN nên E BP ⊥ MN ⇒ BP ⊥ ( AMN ) BP AM A b K trung điểm AN (cũng tđ BH) MK đờng cao 3 hc MPCN nên V = a D 96 Cách 2: dùng toạ độ Câu 14 gọi P trung ®iĨm SA ®ã MP//AD//NC vµ MP = NC Vị Quang Hng - 0988877383 M S K H B I P M C P A N D O I B N C Ôn thi đại học: Hình học không gian nên MPCN hbh suy MN//PC, BD AC , BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ PC ⇒ BD ⊥ MN Nªn d(MN,AC) = d(MN,(SAC)) = d(N,(SAC)) = NI = a Híng dÈn C©u 25: Vị Quang Hng - 0988877383 Ôn thi đại học: Hình học không gian Câu 26: Vũ Quang Hng - 0988877383 Ôn thi đại học: Hình học không gian Câu 27: Vũ Quang Hng - 0988877383 ... V? Cho h×nh chãp S.ABCD, SA ⊥ (ABCD), ABCD hình thang cân có AB = 2, DC = 4, AD = Góc cạnh SC với mf đáy 600 tính V? Vũ Quang Hng - 0988877383 Ôn thi đại học: Hình học không gian Cho h×nh chãp... giác ABC vuông B, AB = 3, AC = 5, SA = SB = SC = TÝnh V? Cho h×nh chãp S.ABC tam giác ABC AB = 3, SA (ABC), ·ACS = 300 TÝnh V? Cho h×nh chóp tam giác S.ABC, AB = 4, mặt bên tạo với đáy góc 600...Ôn thi đại học: Hình học không gian b Hình vu«ng: S = a2 c HCN: S = a.b d Hình bình hành: S = AH CD e Hình thoi: S = AB.AD.sinBAD f H×nh thang: S = S= AC.BD ( a + b ).h Các công