Đang tải... (xem toàn văn)
BAØI 1 NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC 1 BAØI 1 NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC A KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN B BÀI TẬP Bài 1 1 Tính a / ( 4xy)(2xy 2 – 3x 2 y) b / ( 5x)(3x 3 + 7x 2 – x) 2 Rut gọn A = x 2 (a – b) + b(1 –[.]
BÀI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Tìm x, biết: 8(x – 2) – 2(3x – 4) = Tìm hệ số x2 đa thức : Q = 5x( 3x2 – x + 2) – 2x2( x – 2) + 15(x – 1) A(B + C) = AB + AC B BÀI TẬP Bài 1: Tính : a./ (- 4xy)(2xy2 – 3x2y) b./ (- 5x)(3x3 + 7x2 – x) Rut gọn: A = x2(a – b) + b(1 – x) + x(bx + b) – ax(x + 1) B = x2(11x – 2) + x2(x – 1) – 3x(4x2 - x – 2) Tìm hệ số x3 x2 đ a thức sau: Q x3 3x2 x 1 x2 x x2 3x 1 Bài 2: 1) 2) 3) 4) 5) Bài 3: Bài 4: Bài 5: BAØI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN A BC D AC AD BC BD B BÀI TẬP Bài 1: Tính : ( 2a – b)(4a2 + 2ab + b2) Rút gọn tính giá trị biểu thức: 3 Tìm x, biết : (3x + 2)(x – 1) – 3(x + 1)(x – 2) = Tính : a b ab a b 2 Tìm hệ số x4 đa thức: P = ( x3 - 2x2 +x – 1)( Rut gọn tính giá trị biểu thức: 5x3 – x) 12 Bài 2: Q 3x x y y y x , cho x 4, y 5 Chứng minh: với a = - 3,5 giá trị biểu thức 2 A a 39a 8 a (9a 1) – 29 Tìm x, biết : 2x (2x – 3) – x (4x – 6x + 2) = Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc y: vào x: M = 3x(x – 5y) + (y – 5x)(- 3y) – 3(x2 – y2) – Q 3x 5 2x 11 2x 33x Cho S = + x + x2 + x3 + x4 + x5.Cm : xS – S = x6 Biết (x – 3)(2x2 + ax + b) = 2x3 – 8x2 + 9x – -1 Tìm a,b Bài 3: Tính (3a3 – 4ab + 5c2)(- 5bc) Tính : Rút gọn tính giá trị biểu thức: a./ (2 + x)(2 – x)(4 + x2) b./ ( x2 – 2xy + 2y2)(x – y)(x 2 A = 4a ( 5a – 3b) – 5a (4a + b),với a = -2,b = -3 + y) Chứng tỏ biểu thức sau khơng phụ thuộc vào x: Tìm x,biết : x(x – 4) – ( x2 - 8) = 2 B = x(x + x + 1) – x ( x + 1) – x +5 Tìm m cho: 2x3 – 3x2 + x + m = (x + 2)(2x2 – Tìm x,biết : x(x – 1) – x2 + 2x = 7x + 15) Tìm m,biết: ( x2 – x + 1)x – ( x + 1)x2 + m = - 2x2 Bài 4: + x + Rút gọn : A = ( 5x – 1)(x + 3) – ( x – 2)(5x – 4) Rút gọn: 9y3 – y(1 – y + y2) – y2 + y B = (3a – 2b)( 9a2 + 6ab + 4b2) Tìm hệ số x đa thức: Chứng minh biểu thức : n( 2n – 3) – 2n( n + 2) Q 5x2 a( x a) 3(a2 x2 ) 2ax 2ax 4(a 2ax2 ) chia hết cho 7,với số nguyên n 2 3 Biết : x4 – 3x +2 = ( x – 1)(x3 + bx2 + ax – 2) Tìm m, biết: – x (x + x + 1) = - x – x – x + m Chứng minh : a = 10, b = -5 giá trị biểu thức : Bài 5: Tìm m,biết : x4 – x3 + 6x – x + m = (x2 – x + 5)(x2 A = a( 2b + 1) – b(2a – 1) + 1) Tìm x,biết: 10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) = Rút gọn : ( 2x – 1)(3x + 2)(3 – x) 25 Chứng minh: ( x – y)(x4 + x3 y + x2y2 + xy3 + y4) = x5 – y5 Tính : ( -a4x5)(- a6x + 2a3x2 – 11ax5) Tính biểu thức : A = mx( x – y) + y3(x + y) x = -1,y = Q x ( x 2) ( x 1)( x 3), cho x 1 BAØI 3+4+5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Bài 6: Chứng minh : (a + b)3 – 3ab(a +b) = a3 + b3 Tính x3 + y3,biết x + y = xy = Cho a + b = 1.Chứng minh : a3 + b3 = – 3ab Bài 7: Chứng minh : (a – b)3 + 3ab(a - b) = a3 + b3 Rút gọn: (x – 3)3 – (x + 3)3 Cho a - b = 1.Chứng minh : a3 - b3 = + 3ab Bài : KIẾN THỨC CƠ BẢN A B A2 AB B 2 A B A2 AB B 2 A2 B A B A B A B A3 A2 B AB B 3 A B A3 A2 B AB B 3 A B A B A AB B 3 2 A3 B A B A2 AB B B BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh : ( a + b)2 – (a – b)2 = 4ab Rút gọn: ( a +2)2 – ( a + 2)(a – 2) Tìm x,biết : ( 2x + 3)2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49 Tìm giá trị biểu thức: 1 1 Rút gọn : a b a b 2 2 Tìm x,biết : x – 3x2 + 3x – = Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: x 1 x 3 16 x2 3 Q x 3 x 3 ( x 3) 2( x 2)( x 4), cho x CMR: a + b + c = 2p b2 + c2 + 2bc – a2 = 4p(p – a) CMR a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca a = b = c Tìm x,y biết : x2 + y2 – 2x + 4y + = Bài : Rút gọn biểu thức : (x + 5)3 – x3 – 125 Tìm x, biết : (x – 2)3 + 6(x + 1)2 - x3 + 12 = Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: Bài 2: x 1 x3 3x2 3x 2 Rút gọn biểu thức : A (4 x y )(2 x y )(2 x y ) Bài 10: Chứng minh: (7x + 1)2 – (x + 7)2 = 48(x2 – 1) Tìm x,biết : x3 + 6x2 + 12x +8 = Tìm x,biết : 16x2 - (4x – 5)2 = 15 Cho a +b +c = 0.Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x2 + 2x + Chứng minh rằng: (a + 2)3 – (a +6)(a2 +12) + 64 = 0,với a Bài 3: Bài 11 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc 1.Rút gọn biểu thức : vào m: A = (m – n)(m2 + mn + n2) - (m + n)(m2 - mn + A (2m 5) (2m 5) 40 n) Chứng minh hiệu hai số nguyên liên tiếp 2.Chứng minh: (a – 1)(a – 2)(1 + a + a2)(4 + 2a + a2) = số lẻ a6 – 9a3 + Rút gọn biểu thức : P = (3x +4) – 10x – (x – 4)(x Tìm x, biết : (x +2 )(x2 – 2x + 4) – x(x -3)(x + 3) = +4) 26 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = x2 – 4x +5 Bài 12 : Bài 4: Tính giá trị biểu thức: Chứng minh rằng: (x – y)2 – (x + y)2 = - 4xy A = x(x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x2 + 3x +9),với Chứng minh: (7n – 2)2 – (2n – 7)2 luôn chia x hết cho 9, với n giá trị nguyên Tìm x,biết ( 4x + 1)(16x2 – 4x +1) – 16x(4x2 – 5) Tìm giá trị lớn biểu thức: Q = - x + 6x = 17 +1 Rút gọn : Q = (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 +a +1) 2 2 Chứng minh (a + b )(x + y ) = (ax + Bài 13: by)2 Tính giá trị biểu thức : ay – bx = Bài 5: d) D x x 25 y 10 y 2 Tìm x, biết : (x – 3)(x2 + 3x +9) – (3x – 17) = x3 – 12 Cho x + y = xy = -1.Tính x3 + y3 Bài 14 : Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x A x 1 x2 x 1 x 1 x x 1 Q = (2x – 1)(4x2 + 2x +1) – 4x(2x2 – 3),với x = Bài 20: Tìm Min Max biểu thức sau: a) M x x b) N 10 y y Bài 21:Thu goïn: a) 2 12 12 1 2 32 1 64 b) 5 35 5 Tìm x,biết: 5x – (4 – 2x + x2)(x + 2) + x(x – 1)(x + 1) = Cho x + y = 1.Tính giá trị biểu thức:Q = 2(x3 + y3) – 3(x2 + y2) Bài 15 : Rút gọn biểu thức : A = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) Tìm x, biết: (4x2 + 2x + 1)(2x – 1) – 4x(2x2 – 3) = 23 Cho a – b = ab = 6.Tính a3 – b3 Bài 16: Rút gọn: a) 2m5m 2 2m 33m 1 b) 2 x 8 x 3 4 x 1 5128 3128 phân tích đa thức thành nhân tử (Thực tiÕt) 5 64 364 A Thế phân tích đa thức thành nhân tử ? Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức khác Bài toán Trong cách biến đổi đa thức sau đây, cách phân tích đa thức thành nhân tử ?Tại cách biến đổi lại phân tích đa thức thành nhân tử ? 2x2 + 5x = x(2x + 5) - (1) 2x2 + 5x – = x(2x + ) (2) x 2x2 + 5x – = 2(x2 + x ) (3) 2 2x2 + 5x – = (2x - 1)(x - 3) (4) c) 7 y 7 y 17 y 1 d) a a.a 3 Bài 17: CM biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y: a) 2 x 52 x 5 2 x 3 12 x 2x2 + 5x – = 2(x - Bài 18: Tìm x: a) 2 x 52 x x 3 16 (5) B Những ph-ơng pháp th-ờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử? - Ph-ơng pháp đặt nhân tử chung - Ph-ơng pháp dùng đẳng thức - Ph-ơng pháp nhóm nhiều hạng tử Một số ph-ơng pháp khác nh- : - Ph-ơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Ph-ơng pháp thêm bớt hạng tử - Ph-ơng pháp giảm dần l thõa cđa sè h¹ng cã bËc cao nhÊt - Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ(đổi biến) - Ph-ơng pháp hệ số bất định - Ph-ơng pháp xét giá trị riêng - Ph-ơng pháp tìm nghiệm đa thức b) y 1 y.2 y 3 y 2 y c) x 3x 3x 9 20 x d) 2 y. y 3 y 19 y y 1 y 1 )(x + 3) b) 8x 8x 8x 22 c) 49 x 14 x d) x 1 x. x x Bài 19:Chứng minh biểu thức dương: a) A= 16 x x Ph-ơng pháp 1: Đặt nhân tử chung b) B y y c) C x x Nội dung ph-ơng pháp đặt nhân tử chung ? Ph-ơng pháp dựa tính chất phép toán đa thức? Có thể nêu công thức đơn giản cho ph-ơng pháp = (2x + y)(4x y) không ? Nếu tất hạng tử ®a thøc cã mét nh©n tư VÝ dơ a, (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 chung đa thức biểu diễn đ-ợc thành tích HD: nhóm hạng tử đầu a3 + b3 nhân tử chung với đa thøc kh¸c = 3(x – z)(x- y)(z – y) Ph-ơng pháp dựa tính chất phân phối 2 2 b, (x +y ) + (z x ) – (y + z2)3 phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng c¸c ®a thøc 2 2 = 3(x + y )(y + z )(x – z)(x + z) C«ng thøc : AB + AC + … + AF = A(B + C +… + c, a3 + b3 + c3 – 3abc F) = (a + b)3 + c3 – 3ab(a +b + c) Ph-ơng pháp: Tìm nhân tử chung = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac bc) - Lấy ƯCLN hệ số d, x3 + y3 – z3 + 3xyz - LÊy biến chung có mật tất hạng tö = (x + y)3 – z3 – 3xy( x + y z) = - Đặt nhân tử chung ngoặc theo công thức AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F) Ph-ơng pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử Chú ý: - Ph-ơng pháp áp dụng hạng tử đa thức có nhân tử chung - Nhiều muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu số hạng cách đ-a số hạng vào ngoặc đ-a vào ngoặc đằng tr-ớc có dấu cộng trừ Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử a) 3x2 + 12xy b) 5x(y + 1) - 2(y + 1) c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 - 3y) Gi¶i a) 3x + 12xy = 3x(x + 4y) b) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2) c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y) = 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2) = (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y) Nội dung ph-ơng pháp nhóm nhiều hạng tử ? Nhóm nhiều hạng tử đa thức cách hợp lí để đặt đ-ợc nhân tử chung dùng đ-ợc đẳng thức đáng nhớ Chú ý: - Một đa thức có nhiều cách nhóm - Sau nhóm ta áp dụng ph-ơng pháp đặt nhân tử chung, ph-ơng pháp dùng đẳng thức để xuất nhân tử chung đẳng thức Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 - 2xy + 5x - 10y b) x(2x -3y) - 6y2 + 4xy c) 3 8x + 4x - y - y Gi¶i a) x2 – 2xy + 5x – 10y = ( x2 – 2xy) + ( 5x – 10y) = x(x – y) + (x – 2y) = (x Ph-ơng pháp 2: Dùng đẳng thức y)(x + 5) Nội dung ph-ơng ph¸p dïng h»ng b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy = x(2x 3y) + (4xy - 6y2 đẳng thức ? = x(2x 3y) + 2y(2x - 3y) = (2x – 3y)(x + 2y) NÕu ®a thức vế đẳng thức đáng nhớ dùng đẳng thức ®Ĩ biĨu diƠn ®a thøc c) 8x3 + 4x2 – y3 – y2 = (8x3 - y3) + (4x2 – y2) = (2x -y)( x2 + xy + y2) + (2x y)( thành tích đa thức 2x +y) Ph-ơng pháp dùng đẳng thức: = (2x -y)( x2 + xy + y2 + 2x +y) - Nhận dạng đẳng thức - Kiểm tra xem có phải đẳng thức không Ph-ơng pháp 4: Phối hợp nhiều ph-ơng pháp Chú ý: Nhiều phải đổi dấu áp dụng đ-ợc Khi cần phân tích đa thức thành nhân tử, đẳng thức đ-ợc dùng riêng rẽ ph-ơng pháp hay dùng phối hợp ph-ơng pháp ? Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử 3 Có thể dùng phối hợp ph-ơng pháp đà biết a) x 4x + b) 8x + 27y c) 2 9x - (x - y) VÝ dơ Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử Giải a) a3 - a2b - ab2 + b3 b) ab2c3 + 64ab2 2 3 a) x – 4x + = (x - 2) c) 27x y - a b y b) 8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) Gi¶i c) 9x2 – (x - y)2 = [3x – (x –y)][3x + (x - y)] = (3x –x a) a3 – a2b – ab2 + b3 = a2(a – b) – b2(a - b) = (a +y)(3x + x - y) b)(a2 - b2) = (a - b) (a + b) b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3+64) = ab2(c3+ 43) = ab2(c + 4)(c – 4c + 16) b2c2(c – b) – a2c2( c – a) c) 27x3y – a3b3y = y(27x3 – a3b3) = y(3 - ab) (9x2 – 2 3ab + a b ) (ab + bc + ca) KiÕn thøc N©ng cao Ph-ơng pháp 7: Đặt biến phụ = a2b2(b- c + c a) + Ph-ơng pháp 5: Ph-ơng pháp tách Trong đa thức có biểu thức xuất nhiều lần ta đặt biểu thức làm biến phụ đ-a đa thức đơn giản Sau phân tích đa thức nhân tử lại thay biến cũ vào tiếp tục phân tích Ví dô 1: A , (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 B , (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 3) -5 C , ( x2 - 2x + 2)4 - 20x2(x2 - 2x + 2)2 + 64 x4 D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15 E , (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 F , (x2 + x)(x2 + x + 1) - Giải A.Đặt y = x + 4x + dùng ph-ơng pháp tách phân tích Kết qu¶: A = (x2 + 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4) B đặt y = x2 + 3x +1 B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4) C.Đặt y = x2 2x + C = (x2 + 2)(x2 – 4x + 2)(x2 – 6x + 2)(x2 + 2x + 2) D = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) F (x2 + x)(x2 + x + 1) (*) Đặt(x2 + x) = y Thì (*) trë thµnh: y(y + 1) – = y2+ y - – = (y2 - 1) + (y – 1) = (y + 1)(y – 1) + (y – 1) = (y – 1)(y + 2) (**) Thay trở lại vào (**) ta có : (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2) VËy(x2 + x)(x2 + x + 1) – = (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2) VÝ dô 2: a (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 b 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) - 3x2 c 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 HD: c 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 = 4x (x+y+z) (x+y) (x+z)+ y2z2 = (x2 +xy+xz)(x2 +xy 2 +xz +yz)+ y z (Đặt t = x2 +xy+xz) = 4t (t + yz) + y2z2 = (2t + yz)2 VÝ dô 3: Giải ph-ơng trình a (2x2 + x)2 - 4(2x2 + x) + = b (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 = HD: Phân tích vế trái thành nhân tử, đ-a Pt dạng PT tích a (t - 1)(t- 3) = Khi phân tích đa thức : ax2 + bx + c thành nhân tử C¸ch 1: T¸ch ax2 + bx + c = a x2 + b1x + b2x + c Víi b = b1+ b2 b1.b2 = a.c Cách 2: = = (b – c) (a – c)(b- a) T¸ch ax2 + bx + c = X2 - B2 VÝ dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x2 - 3x + b) 6x2 + x - c) x2 - 2x - Gi¶i a) 2x2 – 3x + = 2x2 – 2x – x + = 2x(x – 1) – (x – 1) = (x – 1)(2x – 1) 2 b) 6x + x – = 6x + 4x – 3x – = 2x(3x + 2) – (3x + 2) = (3x + 2) (2x – 1) c) x2 – 2x - = x2 + x – 3x – = Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nh©n tư a) x2 – 2x – b) x2 - 10x + 16 Gi¶i a)x2 – 2x – = x2 – 2x + – = (x- 1)2 – 22 = (x – 3)(x+1) b)x2 – 10x + 16 = x2 – 10x + 25 – = (x – 5)2 – 32 = (x – 8)(x 2) Ph-ơng pháp 6: Ph-ơng pháp thêm bớt Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) y4 + 64 b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) c) a2b2(b -a) + b2c2(c - b) - a2c2( c - a) Gi¶i a) y4 + 64 = y4 +16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8) - (4y) = (y2 + - 4y) (y2 + + 4y) b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2 + x2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2) + x(x2 – z2) - y(x2-z2 ) - z( y2 – x2) = (y2- x2) ( x – z) + (x2 – z )(x – y) = (y – x)( x – z) (y +x – x – z) c) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a) * t = 2x2 + x = (x +1)(2x-1)= * t = 2x2 + x = 3 (x -1)(2x+ 3)= VÝ dô 3: g(x) = 4x3 - 7x2 -x - = (x - 2)(4x2 + x +1) VÝ dô : H(x) = x3 - x2 - 14x + 24 = (x-2)(x - 3)(x + 4) VÝ dô P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) P = x (y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) Ta thÊy nÕu thay x bëi y, y z, z x đa thức P không thay đổi Do đa thức P có d¹ng: P = k(x - y)(y - z)( z - x) (k lµ h»ng sè) => P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)( z x) §óng víi x, y, z, nên ta cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = (giá trị riêng c¸c biÕn x, y, z tuú chän cho (x - y)(y - z)( z x) 0) Ta đ-ợc: k = -1 VËy P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = - (x y)(y - z)( z - x) = (y - x)(y z)( z - x) VÝ dô A = x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) Gi¶i +.NÕu x = y => A = => A (x - y) +.Vì vai trò x,y,z nh- =>A (y-z); (z-x) =>A (x - y)(y-z)(z-x) +.Vì có bậc cao bËc cđa (x - y)(y-z)(z-x) lµ => A = k (x - y)(y-z)(z-x) ®óng víi mäi x, y, z Cho x = 0; y = 1; z = thay vµo => k = VËy A = (x - y)(y-z)(z-x) VÝ dô P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a) HD: làm t-ơng tự nh- VD6, thay a = 2; b = 1; c = o tìm đ-ợc k = -1 Ph-ơng pháp 8: Ph-ơng pháp xét giá trị riêng Kiến thức: x = a nghiệm đa thức f(x) f(a) = x = a lµ nghiƯm cđa ®a thøc f(x) => f (x) (x a) L-ợc đồ Hoor ne Sơ đồ Hoóc - ne Nếu đa thức bị chia a0x3 + a1x2 + a2x + a3, đa thứ chia x - a ta đ-ợc th-ơng b0x2 + b1 x + b2 Theo sơ đồ Hoóc - ne ta có: a0 a1 a2 a3 a b0 = a0 b1 = ab0 + b2 = ab1 + r = ab2 + a1 a2 a3 cộng a nhân Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích đ-ợc thành nhân tử Đối với tam thøc bËc hai d¹ng ax2 + bx + c, muốn xét xem đa thức có phân tích đ-ợc thành nhân tử hay không th-ờng dùng ph-ơng pháp sau: - TÝnh = b2 – 4ac - NÕu phân tích đ-ợc - Nếu < không phân tích đ-ợc Ví dụ 1: f(x) = x3 -x2 - Lần l-ợt kiểm tra với -íc cđa – lµ 1, - 1, 2, 2, - 4, f(-1) = (-1)3 - (-1)2 - = - => x= -1 nghiệm f(1) = (1)3- (1)2 - = - => x = nghiệm f(2) = 23 - 22 - = Ph-ơng pháp 9: Ph-ơng pháp hệ số bất định f(-2) = -16 => x = - nghiệm f(4) = 44 => x = nghiệm Ví dụ 1: Phân tích : x3 15x 18 thành ®a thøc bËc nhÊt f(- 4) = - 48 => x = - nghiệm bậc hai Đa thức có nghiệm x = ®a thøc chøa thõa sè (x Gi¶i – 2) Giả sử đa thức đ-ợc phân tích Sử dụng l-ợc đồ Hoor ne ta có: f(x) = (x – 2)(x – x + x3 – 15x – 18 = (x+ a)(x2 + bx + c) 2) x3 – 15x – 18 = x3 + (a+b)x2 + (ab+ c)x + ac Ví dụ 2: Đồng đa thức vế ta đ-ợc: Phân tích f(x) = x - 2x - a b 0(1) Gi¶i ab c 15(2) Ta cã f(2) = => x = lµ nghiƯm cđa ®a thøc f(x) ac 18(3) => f (x) (x 2) Tõ (3)chän a = 3; th× c = -6; b = -3 tho¶ m·n (2) => f(x) = (x - 2)(x2 + 2x + 2) VËy: x3 – 15x – 18 = (x + 3) (x2 3x 6) Đồng đa thức ta cã a = -1; b =- VÝ dô Phân tích : x3 19x - 30 thành đa thức bậc bậc hai Giải Giả sử đa thức đ-ợc phân tích x3 19x - 30 = (x + a) (x2 + bx + c) x – 19x - 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab+ c)x + ac a b 0(1) Đồng đa thức ta cã ab c 19 (2) ac 30(3) Tõ (3) chän a = th× c =- 15; b = -2 tho¶ m·n (2) VËy x3 – 19x - 30 = (x +2)(x2 – 2x - 15) VÝ dô x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + Gi¶i Ta thÊy x 1; 3 không nghiệm đa thức đa thức nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỉ, nên đa thức có dạng Để phân tích đa thức thành thừa số phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a+c)x3 + (ac + b +d)x +(ad + bc)x + bd Đồng đa thức với đa thức đà cho, ta đ-ợc hệ điều kiện: ac6 a 2 a c 6 ac b d 12 b3 ac a 3c 14 ad bc 14 c 4 d bd VËy ®a thøc x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 - 4x + 1)(x - 2x + 3) C¸ch x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = x4 – 4x3 – 2x3 + x2 + 8x2 + 3x2– 2x - 12x + = x2 (x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3) VÝ dô a x3 + 4x2 + 5x +2 b 2x4 - 3x3 -7x2 + 6x + Gi¶i a.ta cã x = - 1; x = -2 nghiệm đa thức => x3 + 4x2 + 5x +2 (x+1);(x+2) => x3 + 4x2 + 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b) b = b.Ta cã x = 2; x = -1 lµ nghiƯ cđa ®a thøc => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + (x+1);(x-2) => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x2 + a x+ b) Ph-ơng pháp 10: Ph-ơng pháp hạ bậc Ví dụ 1: a) a5 + a +1 Gi¶i a) a + a +1= a + a – a + a3 – a3 + a2 – a2 + a + = (a5 + a4 + a3 ) – ( a4+a3 + a2) + ( a2 + a + 1) = a3( a2 + a + 1) – a2( a2 + a + 1) + ( a2 + a + 1) = ( a2 + a + 1) (a3– a2 + 1) 5 4 C øng dơng ViƯc ph©n tÝch đa thức thành nhân tử có ích cho việc giải toán tìm nghiệm đa thức, chia đa thức, rút gọn đa thức I Tìm x Ví dụ Giải ph-ơng trình sau: a) 2(x + 3) - x(x + 3) = b) x3 + 27 + (x + 3)(x - 9) = c) x2 + 5x = Gi¶i a) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x + 3)(2 – x) = x3 x 3 2 x x2 S ={-3; 2} b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = (x + 3)(x2 - 3x + + x – 9) = (x + 3)(x2 - 2x) = x(x + 3)(x - 2) = x0 x0 x 3 x 3 S ={-3; 0; 2} x20 x2 c) x2 + 5x = x2 + 5x – = x2 - x + 6x – = (x2 - x) + (6x – 6) = x (x - 1) + 6(x – 1) = x60 x 6 (x + 6)( x – 1) = S = {x 1 x 1 6; 1} Ví dụ Giải ph-ơng trình sau a (x2 + 2x)2 - x2 - 2x - = b x4 - x3 - x2 - x - = [ (x+1)(x-2)(x2+1)= 0] c x3 - 2x2 - 9x +18 = [(x-3)(x+3)(x-2) = ] VÝ dô Tìm cặp số (x; y) thoả mÃn a x2 + y2 = b (x-1)2 + (y+2)2 = c 4x2 + y2 - 2(2x+y - 1) = d x2 + 2y2 + 2y(1-x) = -1 e 2x2 (1 - y) + y(y + xy -2x) = HD: A Đ-a dạng A2 + B2 = B x y x y e.(x -y)2 + x2(y +1)2 = hc y x VÝ dụ Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình a.x+ xy + y + = b x + y = xy c x2 + 21 = y2 HD: BiÕn ®ỉi vỊ d¹ng X.Y = a (const) => X, Y Ư(a) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình a x2 + 21 = y2 b.(x + 1)y - 2x = HD: a (y- x)(y+ x) = 21 > y +x > y – x > y x y x 21 hc y x y x II.TÝnh giá trị biểu thức Ph-ơng pháp : Thu gọn biểu thức Tìm giá trị biến thay vào Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức A = (x2 + 2)2 – (x+ 2)(x - 2)(x2 + 4) víi x = -1/2 + Rót gän A = 4x2 + 20 +.Thay A = 21 Ví dụ Tính giá trị biĨu thøc a) A = 9x2 +42x + 49 víi x = A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37 B = x2(x + 1) - y2 (y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1) - 95 ( = (x-y)3 + (x -y)2 - 95 = 297 ) VÝ dô 4: a) Cho x + y = 7, tính giá trị biÓu thøc M = (x + y)3 + 2x2 + 4xy + 2y2 M = (x + y)3 + 2(x + y)2 = 441 b) Cho x - y = - 5, tính giá trị biểu thức N = (x - y)3 - x2 + 2xy - y2 N = (x - y)3 - (x - y)2 = - 150 Ví dụ Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biÕn a) P = (x + 2)3 + (x - 2)3 - 2x(x + 12) P=0 b) Q = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6x(x + 1)(x - 1) Q=-8 c) A = y(x2 - y2)(x2 + y2) - y(x4 - y4) A=0 d) B = (x - 1)3 - (x - 1)(x2 +x + 1) - 3(1 - x)x B=2 1 1 + 2x 4x - x 8x 9 27 3 M= 27 e) M = D Bài tập áp dụng Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) (3x - 1)2 - (5x + 3)2 b) (2x + y 2 4z) - (x + y - z) 2 b) B = 5x - 2xy + y víi x= : y = - c) ( x2 + 25 2 2 xy) - (x - xy - 2y ) x x y xy2 y3 d) x4 - x2c) C = víi x = - 8; y = + + + 2x-1 27 Bài Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 2x2 + 4x + xy + d) D = x + 15x + 75x + 125 víi x = - 10 2y víi x=88 vµ y=-76 b) B = x2 + xy -7 x - 7y e) E = x - 9x + 27x - 27 víi x = 13 víi x= vµ y= g) G = Bài 3 Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 - (a + b)xy + aby2 x -1 - 4x x -1 x +1 + 3 x -1 x + x +1 v b) ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2) íi x = - c) (xy + ab)2 + (ay - bx)2 d) a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) 2 h) H = x -1 x - x + x +1 + 2x + x với x = Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) - 6x2 - 5y + 3xy + 10x b) x2 + y2 - 2xy - x + y 2 c) (x - z) - y + 2y - d) x3 + y3 + 3y2 + 3y + Bài Tính giá trÞ biĨu thøc sau: VÝ dơ : Cho x - y = TÝnh A = x2 - 5x - 2xy + 5x + y2 + 4, biÕt x - y = B = x2(x + 1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1), biÕt x - y = Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) (1 + x2)2 - 4x(1 - x + x2) b) x2 - y2- 2yz - z 2 2 c) 3a - 6ab + 3b - 12c d) x2 - 2xy + y2 m2 + 2mn - n2 Bài Phân tích đa thức thành nh©n tư a) a 2- 10a + 25 - y2 - 4yz - 4z2 b) x4 - 2x3 + 2x -1 ROI c) x + 2x + 2x + 2x + d) x + 4x2 + 5x + Bài Tính giá trị biểu thøc sau: a) A = x2- 5x - 2xy + 5y + y2 + 4, biÕt x - y=1 b) B = x2(x +1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x - y +1), biÕt x - y=7 Bµi Cho x = y = z = Chøng minh r»ng x3+ x2y - y2x xyz + y3 = Bµi 10 Chøng minh r»ng nÕu a, b, c ba cạnh tam giác 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 - c4 > Bài 11 Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + b) 5x4 + 9x3 - 2x2 - 4x - Bài 12 Tìm hệ số a,b,c,d cho đa thøc: f(x) = x4 + ax3 + bx2 - 8x + bình ph-ơng đa thức g(x) = x2 + cx + d Bài 13 Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x2 - 8)2 + 36 b) 81x4 + c) x + x + Bài 14 Phân tích đa thức thành nhân tö A = (x2 + 2x)2 + 9x2 +18 + 20 B = x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y - 35 C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 D = (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 Bài 15 Phân tích đa thức thành nh©n tư a) (x2 + x +1)(x2 + x + 2) - 12 b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 Bài 16 Tìm giá trị x để phân thức sau x 10 x 12 x3 x b) Tìm số nguyên x để x 16 có giá trị nguyên x x x 16 x 16 Bài 19 Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 + 25 +10x - y2 - 2y – b) x2 + 4y2 4xy - z2 + 6z - Bài 20 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị c¸c biÕn: (x + y – z - t)2 - (z + t – x - y)2 Bµi 18 a) Tìm x để Chuyên đề: số ph-ơng pháp phân tích đa thức biến thành nhân tử Các ph-ơng pháp: - Tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Thêm, bớt hạng tử - Đổi biến số - Hệ số bất định - Xét giá trị riêng (Đối với số đa thức nhiều biến) I) Ph-ơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử: Đối với đa thức mà hạng tử không cã nh©n tư chung, ph©n tÝch nh©n tư ta th-ờng phải tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác để nhóm với hạng tử đà có đa thức nhóm có nhân tử chung, từ nhóm có nhân tử chung xuất đẳng thức quen thuộc Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = 2x2 - 3x + Giải: Cách 1: Tách hạng tử thứ hai: -3x = -2x - x Ta cã f(x) = (2x2 - 2x) - (x - 1) = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1) C¸ch 2: Ta cã f(x) = (x2 - 2x + 1) + (x2 - x) = (x - 1)2 + x(x - 1) = (x - 1)[(x - 1) + x] 3x x b) 3x x ( x x 12) ( x 4) ( x 3) Bµi 17 Cho biĨu thøc: 2 4x x 2 3x x A= x . x 2x x 4x x a) Tìm điều kiện biến x để giá trị biểu thức đ-ợc xác định b) Tính giá trị A biết x a) = (x - 1)(2x - 1) Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c nh©n tư, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1b2 = ac Bài tập 1: Phân tích đa thøc sau nh©n tư: a) 4x2 - 4x - 3; c) 3x2 - 5x - 2; b) 2x - 5x - 3; d) 2x2 + 5x + Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tư: f(x) = x3 - x2 - Gi¶i: Ta lần l-ợt kiểm tra với x = 1; 2; 4 ta thÊy f(2) 4; = a) b) c) d) §a thøc f(x) cã nghiƯm x = 2, ®ã ph©n tÝch nh©n tư, f(x) chøa nh©n tư x - Tõ ®ã: f(x) = x3 - x2 - = (x3 - 2x2) + (x2 - 2x) + (2x - 4) = x2(x - 2) + x (x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2) n n-1 Tæng quát: Nếu đa thức f(x) = anx + an-1x + + a1x + a0 có nghiệm nguyên x = x0 x0 -ớc hệ số tù a0, ph©n tÝch f(x) nh©n tư f(x) có chứa nhân tử x - x0 Vì đa thức biến bậc cao, ta nên tìm lấy nghiệm để định h-ớng việc phân tích nhân tử Bài tập 2: Phân tích đa thức sau nhân tử: a) x3 + 2x - 3; e) x3 - 9x2 + 6x + 16; b) x3 - 7x + 6; f) x3 - x2 - x - 2; c) x - 7x - 6; (NhiÒu g) x3 + x2 - x + 2; c¸ch) h) x3 - 6x2 - x + 30 d) x + 5x + 8x + 4; Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - Giải: Theo ví dụ 2, ta thấy số 1; không nghiệm đa thức Nh- đa thức nghiệm nguyên, đa thức có nghiệm hữu tỉ khác Ta chứng minh đ-ợc điều sau đây: n n-1 Tổng quát: Nếu ®a thøc f(x) = anx + an-1x + … + a1x + a0 có p nghiệm hữu tỉ x = (dạng tối giản) p -ớc q hệ số tự a0 q -ớc d-ơng hệ số cao an Khi phân tích f(x) nhân tử f(x) có chứa nhân tử qx - p Trë vỊ vÝ dơ 3: Xét số ; , ta thấy 3 nghiƯm cđa ®a thøc, ®ã phân tích nhân tử, đa thức chứa nhân tử 3x - Tõ ®ã: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - = (3x3 - x2) - (6x2 - 2x) + (15x - 5) = x2(3x - 1) 2x(3x - 1) + 5(3x - 1) = (3x - 1)(x2 2x + 5) Bài tập 3: Phân tích ®a thøc sau nh©n tư: a) 6x2 - x - 1; e) 2x3 - 5x2 + 5x - b) 6x - 6x - 3; f) 2x3 + 3x2 + 3x + 1; c) 15x2 - 2x - 1; g) 3x3 - 2x2 + 5x + 2; d) 2x - x + 5x + 3; h) 27x3 - 27x2 + 18x - Đáp số: (2x - 1)(3x + 1); e) (2x - 3)(x2 - x + 1); (2x + 3)(3x - 1); f) (2x + 1)(x2 + x + (3x + 1)(5x - 1); 1); (2x + 1)(x2 - x + 3); g) (3x + 1)(x2 - x +2); h) (3x - 1)(9x2 - 6x + 4); II) Ph-ơng pháp thêm bớt hạng tử: Mục đích: Thêm, bớt hạng tử để nhóm với hạng tử đà có đa thức nhằm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức, đặc biệt xuất hiệu hai bình ph-ơng III) Ph-ơng pháp đổi biến: Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đ-a ®a thøc cã bËc thÊp h¬n ®Ĩ thn tiƯn cho viƯc ph©n tÝch nh©n tư, sau ph©n tich nhân tử đa thức mới, thay trở lại biến cũ để đ-ợc đa thức với biến cũ Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tö: f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Gi¶i: Ta cã: f(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức trở thành: f(y) = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y - 4)(y + 4) = (x2 + 10x + 8)( x2 + 10x + 16) = (x + 2)(x + 8)( x + 10x + 8) Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tö: f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Giải: Cách 1: f(x) = x + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2 Cách 2: Giả sử x ≠ 0; Ta cã: f(x) = x2(x2 + 6x + - ) = x2[(x2 + ) + x x x 6(x - ) + 7] x 1 Đặt x - = y, suy ra: x2 + = y2 + Do đa x x thức trở thành: f(x; y) = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x) = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x - 1) x 10 a c 6 ac b d 12 ad bc 14 bd Bài tập 4: Phân tích đa thức sau nhân tử: a) (x2 + x)2 d) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12; 2(x2 + x) e) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 15; 4a) + a4; b) (x + x + 1)( f) (x2+y2+z2)(x+y+z)2 + x2 + x + 2) (xy+yz+zx)2; 12; c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; g) A = 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4 XÐt bd = 3, víi b, d Z, b {1; 3} Víi b = th× d = 1, hƯ ®iỊu kiƯn trë thµnh: a c 6 ac a 3c 14 Đáp số: a) Đặt x + x = y Ta phân tích đ-ợc thành: (x2 + x 5)(x2 + x + 3) b) Đặt x2 + x + = y Đáp số: (x2 + x + 5)(x+2)(x1) c) Biến đổi thµnh: (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24; Đặt x2 + 7x + 11 = y Đáp số: (x2 + 7x + 16)(x + 1)(x + 6) d) Đặt x + y = z Đáp sè: (x + y + 3)(x + y -4) e) Đặt x2 + 5ax + 5a2 = y Đáp số: (x2 + 5ax +5a2)2 f) Đặt x2+y2+z2 = a; xy + yz + zx = b Ta đ-ợc: a(a + 2b) + b2 = (a + b)2 = … g) Đặt biểu thức đối xứng: x4 + y4 + z4 = a; x2 + y2 + z2 = b; x + y + z = c Ta cã: A = 2a - b2 -2bc2 + c4 = (2a - 2b2) + (b2 2bc + c4) = 2(a - b2) + (b - c2)2 Thay a - b2 = -2(x2y2 + x2z2 + y2z2); b - c2 = -2(xy + xz + yz) Ta đ-ợc M = -4(x2y2 + x2z2 + y2z2) + 4(xy + xz + yz)2 = 8x2yz + 8xy2z + 8xyz2 = 8xyz(x + y + z) Từ tìm đ-ợc: a = -2; c = -4 VËy f(x) = (x2 - 2x + 3)( x - 4x + 1) Ta trình bày lời giải nh- sau: f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x4 - 4x3 + x2) (2x + 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3) = x2(x2 - 4x + 1) 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x +3) Bài tập 5: Phân tích đa thức sau nhân tử, dùng ph-ơng pháp hệ số bất định: a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + c) x4 - 8x + 63; 2x + 1; d) (x+1)4 + (x2 + x b) x - 7x + 14x - 7x +1)2 + 1; Đáp số: a) (2x2 + x + 1)2 Có thể dùng ph-ơng pháp tách: 5x2 = 4x2 + x2 b) (x2 - 3x + 1)(x2 - 4x + 1) c) (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9) d) (x2 + 2x + 2)(2x2 + 2x +1) IV) Ph-ơng pháp hệ số bất định: Cách khác: (x+1)4 + (x2 + x +1)2 = (x+1)4 + x2(x VÝ dô 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: +1)2 + 2x(x + 1) + f(x) = x - 6x + 12x - 14x + = (x + 1)2[(x + 1)2 2 Gi¶i: + x ] + (2x + 2x + 1) = (x2 + 2x + 1)(2x2 NhËn xÐt: C¸c sè 1; 3 nghiệm + 2x + 1) + (2x + 2x + 1) đa thức f(x) nên đa thức nghiệm nguyên, = (2x2 + 2x + 1)(x2 nghiệm hữu tỉ Nh- f(x) phân tích + 2x +2) đ-ợc thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + V) Ph-ơng pháp xét giá trị riêng: cx + d), víi a, b, c, d Z (Đối với số đa thức nhiều biến, hoán Khai triển dạng ta đ-ợc đa thức: x + vị vòng quanh) (a+c)x + (ac+b+d)x + (ad+bc)x + bd Đồng đa Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: thức với f(x) ta đ-ợc hệ điều kiện: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Giải: Nhận xét: Nếu thay x y P = 0, nªn P chia hÕt cho x - y 11 Hơn thay x y, y z, z x P không thay đổi (Ta nói đa thức P hoán vị vòng quanh) Do đó: P chia hết cho x - y P cịng chia hÕt cho y - z vµ z - x Tõ ®ã: P = a(x - y)(y - z)(z - x); a số, không chứa biến P có bậc tập hợp biến, tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc tập hợp c¸c biÕn Ta cã: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x y)(y - z)(z - x) (*) ®óng víi mäi x, y, z R nên ta chọn giá trị riêng cho x, y, z để tìm số a xong Chú ý: Các giá trị x, y, z ta chọn tuỳ ý, cần chúng đôi khác để tránh P = đ-ợc Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = thay vào đẳng thức (*), ta tìm đ-ợc a = - VËy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) Bµi tËp 7: Chøng minh r»ng tÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp céng thªm số ph-ơng (180) Bài tập 8*: Chøng minh r»ng: sè A = (n + 1)4 + n4 + chia hÕt cho mét sè chÝnh ph-¬ng khác với số n nguyên d-ơng (181) Bài tập 9: Tìm số nguyên a, b, c cho phân tích đa thức (x + a)(x - 4) - nhân tử ta đ-ợc (x + b)(x + c) Bài tập 10: Tìm số hữu tỉ a, b, c cho phân tích ®a thøc x3 + ax2 + bx2 + c thµnh nhân tử ta đ-ợc (x + a)(x + b)(x + c) Bài tập 11:(184)Số tự nhiên n nhận giá trị, biết phân tích ®a thøc x2 + x - n nh©n tư ta đ-ợc (x - a)(x + b) với a, b số tự nhiên < n < 100 ? Bµi tËp 12: (185)Cho A = a2 + b2 + c2, a b hai số tự nhiên liên tiếp c = ab CMR: A số tự nhiên lẻ Chủ đề 1: Tính chia hết tập hợp số nguyên Bài tập 6: Phân tích đa thức sau nhân tử: Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b) Gi¶i: NhËn xÐt: víi a = Q = 0, a nhân tử Q Do vai trò bình đẳng a, b, c nên b c nhân tử Q, mà Q có bậc tập hợp biến nên Q = k.abc Chọn a = b = c = đ-ợc k = Vậy Q = 4abc A Kiến thức - nguyên - Vận dụng tốt tích chất để làm tập B Ph-ơng pháp chung I Chứng minh tính chia hết tập hợp số nguyên Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Phân tích đa thức sau nh©n tư (173): a) 4x4 - 32x2 + 1; c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 b) x + 27; + x + 1)2; d) (2x2 - 4)2 + 9; Bài tập 2: Phân tích ®a thøc sau nh©n tư (174): a) 4x4 + 1; b) 4x4 + y4; c) x4 + 324 Bµi tập 3: Phân tích đa thức sau nhân tö (175): a) x5 + x4 + 1; d) x5 - x4 - 1; b) x5 + x + 1; e) x7 + x5 + 1; c) x + x + 1; ROI f) x8 + x4 + 1; Bài tập 4: Phân tích đa thức sau nh©n tư (176): a) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; b) * x3 + 3xy + y3 - Bài tập 5: Phân tích đa thøc sau nh©n tư (172): A = (a + b + c)3 - 4(a3 + b3+ c3) - 12abc cách đổi biến: đặt a + b = m, a - b = n Bài tập 6**: Phân tích đa thức sau nhân tử (178): a) x8 + 14x4 + 1; b) x8 + 98x4 + Nắm đ-ợc tính chất chia hết tập hợp số Gäi A(n) lµ mét biĨu thøc phơ thc vµo n (n N n Z) Để chứng minh A(n) chia hÕt cho mét sè m, ta th-êng ph©n tích A(n) thành thừa số, có thừa số m Nừu m hợp số ta phân tích m thành tích thừa số đôi nguyªn tè cïng nhau, råi chøng minh A(n) chia hÕt cho tất số Nhận xét: Trong k số nguyên liên tiếp tồn béi cđa k VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng: A = n3(n2 - 7)2 - 36n chÝ hÕt cho 5040 với số tự nhiên n Giải: Phân tích thõa sè: 5040 = 24.32.5.7 12 n = 3k (k N) A = 9k2 6k +1 chia Ta cã: = n[n2(n2 - 7)2 - 36] A cho d- = n[(n - 7n) - ] VËy sè chÝnh ph-¬ng chi cho chØ cã thÓ cã sè d- = n(n - 7n - 6)(n - 7n + 6) b»ng Ta lại có: b) Xét tr-ờng hỵp n - 7n - = (n + 1)(n + 2)(n - 3) n = 2k (k N) ) A = 4k2 chia hÕt cho n3 - 7n + = (n - 1)(n - 2)(n + 3) n = 2k + (k N) A = 4k2 + 4k +1 = 4k(k + 1) + chia Do ®ã: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3) cho d- Đây tích bảy số nguyên liên tiếp Trong Vậy số ph-ơng chi cho chØ cã thÓ cã sè d- b»ng bảy số nguyên liên tiếp - Tồn mét béi cđa nªn A chia hÕt cho - Tồn bội nên A chia hÕt cho - Tån t¹i hai béi cđa nên A chia hết cho - Tồn ba béi cđa 2, ®ã cã mét béi cđa nên áp dụng: Trong số sau có số số ph-ơng không? M = 19922 + 19932 + 19942 N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 A chia hÕt cho 16 A chia hÕt cho số 5, 7,9,16 đôi nguyên tố nên A chia hết cho 5.7.9.16 = 5040 áp dụng: P = + 9100 + 94100 + 1994100 L-u ý: Các đẳng thức hay dùng để chứng minh tÝnh chia hÕt cña mét luü thõa an - bn = (a - b)(an-1 + an-2.b + an-3 b2 + + a.bn-2 + bn-1) víi Chøng minh r»ng víi mäi số nguyên a a) a - a chia hÕt cho b) a - a chia hÕt cho c) a5 - a chia hÕt cho d) a - a chia hÕt cho Gỵi ý: Phân tích thành tích số nguyên liên tiếp, tồn số bội 2, 3, 5, VÝ dơ 2: Sè chÝnh ph-¬ng a) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph-¬ng chia cho chØ cã thĨ cã sè d- b»ng hc n N* an + bn = (a + b)(an-1 - an-2.b + an-3 b2 - - a.bn-2 + bn-1) với n lẻ Công thức Niu-tơn (a + b)n = an + c1an-1b + c2an-2b2 + + cn-1abn-1 + bn Các hệ số ci đ-ợc xác định tam giác Pa-xcan áp dụng vào tính chất chia hÕt ta cã: an - bn Chia hÕt cho a - b (a b) a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a - b) (a + b)n = BS a + bn (BS a lµ béi số a) Ví dụ: Bài tập áp dụng: b) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph-¬ng chia cho chØ cã thĨ cã sè d- b»ng hc 1/ Cho A = 11100 -1 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 10, chia hÕt cho 1000 Gi¶i: Gäi A số ph-ơng A = n2 (n N) a) Xét tr-ờng hợp: n = 3k (k N) A = 9k2 chia hÕt cho 2/ Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n, biĨu thøc 16n chia hÕt cho 17 vµ chØ n số chẵn 3/ Chứng minh với n N: a) 11n+1 + 122n+1 chia hÕt cho 133 13 b) 34n+2 + 2.43n+1 chia hÕt cho 17 c) 3.5 2n+1 3n+1 +2 A = 10a + b = ab chia hết cho 17 Thì b chữ sè ci cïng cđa A II T×m sè d- Ta viÕt A = nk = (10q + r)k = 10t + rk VÝ dơ: T×m sè d- chia 2100 Thì chữ số cuối A ch÷ sè cđa cïng a) Cho cđa rk b) Cho 25 - c) Cho 125 NÕu A = 100b + ab = abc bc hai chữ số ci cïng cđa A Gi¶i: a) L thõa cđa sát với bội 23 = = - Ta cã: 2100 = 2.(23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.(BS - 1) = BS - = BS + 100 Sè d- chia - C¸ch 2: Khi lấy k lần l-ợt giá trị tự nhiên khác biểu diễn thập phân số A = nk chữ số cuối cho b) L thõa cđa s¸t víi mét béi sè cđa 25 lµ 210 = 1024 = BS 25 - cần tìm chu kì t-ợng A tr-ờng hợp với giá trị k đà cho Ta cã: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + C¸ch 3: Dïng phÐp chia cã d- VËy sè d- chia 2100 cho 25 Ví dụ: Tìm chữ số tận cïng cđa 2100 viÕt hƯ c) Dïng c«ng thøc Niu-t¬n: 50.49 2100 = (5 - 1)50 = 550 - 50.549 + + 52 - 50.5 + Ta thấy 48 số hạng chứa luỹ thừa với số mũ lớn nên chia hÕt cho 125 hai sè h¹ng tiÕp theo cịng chia hết cho 125, số hạng cuối thập phân Giải: Ba chữ số tập 2100 lµ sè d- cđa phÐp chia 2100 cho 1000 Theo vÝ dơ trªn ta cã 2100 = BS 125 + 1, mà 2100 số chẵn, nên ba chữ số tân 126, 376, 626 VËy sè d- chia 2100 cho 125 lµ 876 Bài tập áp dụng: n chữ số cuối xuất tuần hoàn Ta n n n a) T×m sè d- cđa phÐp chia Sn = + + + cho b) Chøng minh r»ng: 52n + 5n + chia hÕt cho 31 víi mäi n kh«ng chia hÕt cho III Tìm chữ số cuối biểu diễn thập Mà 2100 chia hết ba chữ số tận phải chia hết cho Trong bốn số có 376 thoả mÃn điều kiện Vậy ba chữ số tận 2100 376 Bài tập: 1) Tìm chữ số tËn cïng cđa 51994 viÕt ph©n cđa mét sè hệ thập phân Ph-ơng pháp: 2) Tìm chữ số hàng đơn vị số 171983 + Xét số tự nhiªn A = nk víi n, k N 111983 - 71983 Cách 1: 3) Tìm ba chữ số cuối số A = m100 Muốn tìm chữ số cuối A ta cần biểu m số tự nhiên khác diễn A d-ới dạng: IV Tìm điều kiện chia hết 14 Ví dụ: Tìm số nguyên n để giá trị biểu thøc A chia hÕt Chó ý: an - bn Chia hÕt cho a - b (a b) cho gi¸ trÞ cđa biĨu thøc B A = n3 + 2n2 - 3n + a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a - b) B = n2 - n VÝ dơ 1: BiÕn ®ỉi Chøng minh r»ng đa thức f(x) có tổng hệ 2 n + 2n - 3n + = (n - n)(n + 3) + sè b»ng th× ®a thøc Êy chia hÕt cho x - Muốn A chia hết cho B phải chia hÕt cho n - Gi¶i: n hay n(n - 1) phải chia hết cho n Gọi f(x) = a0xn + a1xn-1 + + an-1x + an n -1 -2 Theo gi¶ thiÕt: a0 + a1 + + an-1 + an = n-1 -2 -3 Sè d- cña phÐp chia f(x) cho x - lµ n(n - 1) 2 r = f(1) = a0 + a1 + + an-1 + an = Lo¹i VËy f(x) chia hÕt cho x - Lo¹i VËy n = -1 ; n = VÝ dơ 2: Bµi tËp: Chøng minh đa thức f(x) có tổng hệ số 1) Tìm số nguyên d-ơng n để n + chia hÕt cho n + luü thõa bËc chẵn tổng hệ số luỹ thừa bậc lẻ th× f(x) chia hÕt cho x + 2) Tìm số tự nhiên n cho Tìm th-ơng số d- phép chia đa thức n a) - chia hết cho Ph-ơng pháp: n b) - chia hÕt cho - §Ỉt phÐp chia c) n - 3n + chia hết cho - Dùng sơ đồ Hoóc-ne d) n - n + Chia hÕt cho §a thøc bÞ chia n e) 2.3 + chia hÕt cho 11 a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 an 1 x x n f) 10 - chia hÕt cho 81 g) 10n - chia hÕt cho 11 Đa thức chia x - a th-ơng h) 10n -1 chia hÕt cho 121 V TÝnh chia hÕt ®èi víi ®a thøc b0 x n 1 b1 x n 2 bn 2 x bn 1 T×m sè d- cđa phÐp chia mà không thực phép Với b0 = a0 chia b1 = a.b0 + a1 Ph-ơng pháp: * Đa thức chia có dạng x - a với a sè b2 = a.b1 + a2 Sè d- cña phÐp chia đa thức f(x) cho x - a giá bn-1 = a.bn-2 + an-1 trị đa thøc f(x) t¹i x = a r = abn-1 + an * §a thøc cã bËc tõ bËc hai trë lên Cách 1: Tách đa thức bị chia thành ®a thøc sè d- r Chøng minh mét ®a thức chia hết cho đa thức Ph-ơng pháp: chia hết cho đa thức chia Cách 2: Xét giá trị riêng 15 = x9(x90 - 1) + x8(x80 - 1) + + * Phân tích đa thức bị chi thành nhân tử, có nhân tử đa thức chia x(x10 - 1) Ví dụ 1: Các biểu thức ngoặc chia hết cho x10 - 1, Chøng minh r»ng x8n + x4n + chia hÕt cho x2n + xn mµ x10 - chia hÕt cho g(x) + víi mäi mét sè tự nhiên n Vậy f(x) chia hết cho g(x) Giải: * Chøng tá r»ng mäi nghiƯm cđa ®a thøc chia ®Òu x8n + x4n + = x8n + 2x4n + - x4n nghiệm đa thức bị chia = (x4n + 1)2 - (x2n)2 VÝ dô: = (x4n + x2n +1) (x4n - x2n +1) x4n + x2n +1 = x4n + 2x2n +1- x2n Cho f(x) = (x2 + x - 1)10 + (x2 - x + 1)10 - chøng ming r»ng f(x) chia hÕt cho x2 - x = (x2n + 1)2 - (xn)2 Gi¶i: = (x2n + xn +1) (x2n - xn +1) §a thøc x2 - x cã hai nghiƯm lµ x = vµ x = Ta VËy x8n + x4n + chia hÕt cho x2n + xn + sÏ chøng minh x=0 vµ x = cịng nghiệm đa thức * Biến đổi đa thức chia thành tổng đa f(x) thức chia hÕt cho ®a thøc chia VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + víi mäi sè tù nhiên m, n Giải: x3m+1 + x3n+2 + = x3m+1 - x + x3n+2 + - x2 + x2 + x +1 = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + x2 +x+1 Ta thÊy x3m - vµ x3n - chia hÕt cho x3 - Do x3m - x3n - chia hÕt cho x2 + x + VËy x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + * Sử dụng biến đổi t-ơng đ-ơng, chẳng hạn để chứng minh f(x) chia hết cho g(x), cã thÓ chøng minh f(x) + g(x) chia hÕt cho g(x) hc f(x) - g(x) chia hÕt cho g(x) VÝ dô 3: Chøng minh r»ng f(x) chia hÕt cho g(x) f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Gi¶i: f(x) - g(x) = x99 - x9+ x88 - x8 + + x11 - x 16 17 ... 3128 phân tích đa thức thành nhân tử (Thực tiÕt) 5 64 364 A Thế phân tích đa thức thành nhân tử ? Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức khác Bài... pháp tách Trong đa thức có biểu thức xuất nhiều lần ta đặt biểu thức làm biến phụ đ-a đa thức đơn giản Sau phân tích đa thức nhân tử lại thay biến cũ vào tiếp tục phân tích VÝ dô 1: A , (x2 + 4x... Z (Đối với số đa thức nhiều biến, hoán Khai triển dạng ta đ-ợc đa thức: x + vị vòng quanh) (a+c)x + (ac+b+d)x + (ad+bc)x + bd Đồng đa Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: thức với f(x)