Phng tr×nh ®a thøc bËc cao Chuyªn ®Ò Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh ®a thøc bËc cao mét Èn chuyªn ®Ò båi dìng HS kh¸ , giái m«n to¸n 9 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh ®a thøc bËc cao mét Èn H¬[.]
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao ẩn chuyên đề bồi dỡng HS , giỏi môn toán Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao ẩn Hơn bốn nghìn năm trớc , ngời Hi Lạp đà biết cách giải phơng trình bậc bậc hai Phơng trình bậc - Năm 1526 nhà toán học I-ta-li-a Phe-rô tìm đợc cách giải phơng trình bậc dạng x3 + ax = b với a , b > - Năm 1535 nhà toán học Tac-ta-li-a đà tìm đợc cách giải tổng quát phơng tr×nh x3 + ax + b = víi mäi giá trị a , b - Năm 1545 nhà toán học Các-đa-nô đà công bố công thức tìm nghiệm phơng trình bậc ba Phơng trình bậc Năm 1545, nhà toán học I-ta-li-a phe-ra-ri đà tìm cách giải tổng quát phơng trình bậc bốn Phơng trình bậc cao Trong kỷ 17 18 nhà toán học đà nhiều công sức để tìm cách giải tổng quát phơng trình bậc , bậc nhng không thành công Đến đầu thể kỷ 19 hai nhà toán học nguời Na-uy A-ben nhà toán học nguời Pháp Ga-loa đà giải vấn đề giải phơng trình bậc cao bốn thức hay không - A-ben đà chứng minh đợc phơng trình bậc cao bốn dới dạng tổng quát giải đợc thức Tức biểu thị đợc nghiệm phơng trình phép toán : cộng , trừ , nhân , chia , luỹ thừa khai - Còn Ga-loa đợc dấu hiệu nhận biết phơng trình bậc cao bốn giải đợc thức hay không , lý thuyết độc đáo mà sau mang tên ông : lý thuyết nhóm Vậy phơng trình bậc cao bốn dới dạng tổng giải đợc thức Mặt khác học sinh lớp đà biết giải phơng trình bậc bậc hai dới dạng tổng quát Còn cách giải tổng quát phuơng trình bậc ba bậc bốn phức tạp học sinh phổ thông Nh phơng pháp chung để giải tất phơng trình bậc cao mà phải vào phơng trình , để tìm giải thích hợp Sau xin đề cập đến số phơng pháp riêng để giải phơng trình đa thøc bËc cao h¬n 2, nh»m båi dìng häc sinh giỏi lớp Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao ẩn Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao I Phơng pháp biến đổi phơng trình tích Một phơng pháp riêng giải phơng trình đa thức bậc cao phân tích đa thức thành nhân tử có bậc thấp để đa việc giải phơng trình đà cho giải phơng trình tích Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: 5x3 - 6x2 - 2x3 + = Gi¶i NhËn xÐt : Nếu phơng trình có nghiệm nguyên số phải ớc Ta thấy đa thức 5x3 - 6x2 - 2x3 + cã nghiƯm nguyªn x = Vậy phân tích đa thức thành nhân tử đa thức chứa nhân tử x - 5x3 - 6x2 - 2x3 + = 5x3 - 5x2 - x2 + x - 3x + = (x - 1)(x2 - x - 3) = x- = hc x2 - x - = x2 - x - = x = 13 x= 13 Phong trình Vậy phơng trình đà cho có ba nghiệm x1 = x2 = 13 x3 = 1 Ví dụ 2: Giải phơng trình : 13 x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - = Giải Nhận xét : Ta thấy phơng trình không cã nghiƯm nguyªn x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - = (x4 + 12x3 + 36x2) - (4x2 + 8x + 4) = (x2 + 6x)2 - (2x + 2)2 = (x2 + 8x +2)(x2 + 4x -2) = 2 x + 8x + = hc x + 4x - = x2 + 8x + = x = x2 + 4x - = x = 14 hc x = 14 x = Vậy phơng trình đà cho có bốn nghiệm x1 = 14 ; x2 = 14 ; x3 = 2 ; x4 = II Ph¬ng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ : Giải phơng tr×nh (x2 + x + 2)2 - 12(x2 + x + 2) + 35 = Giải Đặt x + x + = y Ta có phơng trình y2 - 12y + 35 = y = hc y = Víi y = x2 + x - = x = 13 hc x = 13 Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao mét Èn Víi y = x2 + x -5 = x = 21 Vậy phơng trình đà cho có bốn nghiệm x1 = 13 ; x2 = 13 ; x3 = VÝ dô 4: Giải phơng trình 21 x = 21 ; x4 = 21 (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - = Giải Đặt x2 + 5x + = y Ta cã ph¬ng tr×nh (y - 1)(y + 1) - = y2 = y = hc y = -2 Víi y = x2 + 5x + = x = 13 hc x = 13 Víi y = -2 x2 + 5x + = phong trình vô nghiêm < Vậy phơng trình đà cho có hai nghiệm x1 = Ví dụ : Giải phơng trình 13 ; x2 = 13 (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = Gi¶i (x2+ 8x + 7)(x2 + 8x + 15) - = Đặt x2 + 8x + 11 = y Ta có phơng trình (y - 4)(y + 4) - = y2 = 25 y = hc y = -5 Víi y = x2 + 8x + = x = 10 hc x = 10 Víi y = -5 x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 = x = -4 VËy ph¬ng trình đà cho có ba nghiệm x1 = 10 ; x2 = 4 10 ; x3 = -4 Bài tập Bài 1: Giải phơng trình sau: a) 3x4 - 22x2 - 45 = b) x6 - 9x3 + = Bài 2: Giải phơng trình sau: a) 2x3 - 11x2 + 2x + 15 = b) x4 + x2 + 6x - = c) x4 + 4x3 + 3x2 + 2x - = Híng dÉn: c) x4 + 4x3 + 3x2 - 2x - = (x2 + 2x)2 - (x - 1)2 = (x2 + x + 1)(x2 + 3x - 1) = Bài 3: Giải phơng trình sau a) x(x2 - 1)(x + 2) + = c) (x - 1)(x -2)(x + 4)(x + 5) =112 b) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = -@ -3 Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao ẩn Một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt I Phơng trình đối xứng (phơng trình thuận nghịch) Định nghĩa: Phơng trình có dạng anxn + an - 1xn - + + a1x + a0 = ( a 0) Trong hệ số số hạng cách số hạng đầu sè h¹ng cuèi b»ng ( an = a0 ; an-1 = a1; ) Gọi phơng trình đối xứng Nếu n số chẵn ta gọi phơng trình đối xứng bậc chẵn, n số lẻ ta gọi phơng trình đối xứng bậc lẻ Ví dụ: Các phơng trình sau phơng trình đối xøng a) 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + = (1) ( §èi xøng bËc 4) b) 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + = ( Đối xứng bậc 5) Phơng trình đối xứng bậc chẵn: a ) Cách giải: n + Chia c¶ hai vÕ cho x + Đặt x + = y (1) x + BiĨu diƠn: x k x x k k x k k k x x x x + Thay giá trị vừa tìm đợc y tìm giá trị x b) Ví dụ: Giải phơng trình sau : 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + = (1) ( Đối xứng bậc bốn) Giải Ta thấy x = không nghiệm phơng trình Chia c¶ hai vÕ cho x2 ta có phơng trình : 2x2 + 3x - 16 + + = x x Đặt x + x = y (2) x 1 1 3 x = 16 = x x x = y2 - x = Ta có phơng trình 2y2 + 3y - 20 = cã nghiÖm y = -4 , y = = vµo (2) ta cã x1 = -2 + 3; x2 = -2 - ; x3 =2 ; x4 Thø tù thay y = -4 vµ y c) Lu ý : NÕu m lµ nghiệm phơng trình đối xứng bậc chẵn phơng trình m nghiệm Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao ẩn Phơng trình đối xứng bậc lẻ a) Cách giải : Vì x = -1 nghiệm phơng trình đối xứng bậc lẻ Nên phơng trình đà cho trở thành phơng trình (x + 1).f(x) = Trong ®ã f(x) = phơng trình đối xứng bậc chẵn Do ta đa việc giải phơng trình dối xứng bâc lẻ giải phơng trình đối xứng bậc chẵn f(x) = phơng trình x + = b) Ví dụ: Giải phơng trình 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + = Giải Phơng trình đà cho phơng trình đối xứng bậc 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + = (x +1)(2x4 + x3 - 6x2 + x + 2) = x 0 2x x 6x x Phơng trình đối xøng bËc ch½n 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + = Vậy phơng trình đà cho có năm nghiệm x1 = -2 + ; x2 = -2 ; x3 =2 ; x4 = đà đợc giải ; x5 = -1 Bài tập Bài 4: Giải phơng trình sau a) x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + = c) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + = b) x5 + 2x3 - 3x3 - 3x2 + 2x + = c) 6x5 - 29x4 + 27x3 - 29x + = Bµi 5: Giải phơng trình sau a) x4 - 3x2 + 6x2 + 3x + = b) x5+ 4x4 + 3x2 - 4x + = Bµi 6: Giải phơng trình a) 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = b) 2x8 - 9x7 + 20x6 - 33x5 + 46x4 - 66x3+ 80x2 - 72x + 32 = II Phơng trình dạng: (x - a)(x - b)(x - c) (x - d) = Ax2 ( Trong ab = cd) a) Cách giải : §Ỉt x + ab y x b) VÝ dơ : Giải phơng trình (x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x2 Híng dÉn 4(x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x2 4(x2 + 16x + 60) (x2 + 17x + 60) = 3x2 (1) Ta thÊy x = nghiệm phơng trình Chia hai vế phơng trình (1) cho x2 Ta đợc phơng trình : Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bËc cao mét Èn x 16 Đặt x + 17 + 60 x 60 60 x 17 x x =y Ta có phơng trình 4(y - 1)y - = 4y2 - 4y - = Từ ta giải hai phơng trình x + 17 + 60 x = y = y = x + 17 + 60 x = Bài tập Bài 7: Giải phơng tr×nh sau: a) (x + 2)(x + 3)(x+ 8)(x + 12) = 4x2 b) (x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 8) = 4x2 III Phơng trình dạng: (x - a)4 + (x - b)4 = A a) VÝ dụ: Giải phơng trình (x - 6)4 + ( x- 8)4 = 16 Giải Đặt x = x - = y phơng trình trở thành (y - 1)4 + (y + 1)4 = 16 y4 + 6y2 - = Đặt y = z ( z 0) phơng trình trở thành z2 + 6z - = z1 = ; z2 = -7 (Lo¹i) 68 Víi z = y = hc y = -1 x = x = Vậy phơng trình đà cho có hai nghiÖm x1 = ; x2 = b) Lu ý: Khi giải phơng trình bậc bốn dạng x b x ab y 4 x b c ta thờng đặt ẩn phụ để đa phơng trình đà cho phơng trình trùng phơng Bài tập Bài 8: Giải phơng tr×nh a) (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82 Bài 9: Giải phơng trình a) (x + 1)4 + (x + 5)4 = 40 b) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 b) ( x- 2)6 - (x - 4)6 = 64 KÕt luËn: Nãi chung phong pháp tổng quát chung để giải tất phơng trình bậc cao Tuỳ dạng phơng trình bậc cao cụ thể mà ta chọn phơng pháp giải riêng thích hợp đà nêu số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt cách giải Các em HS tìm số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt khác cách giải phơng trình -HÕt Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao ẩn Các chuyên đề bồi dìng HS giái HƯ thèng lý thut hƯ thèng tập gợi mở phat triển Trờng hợp đặc biệt: Phơng trình trùng phơng + Định nghĩa: Phơng ttrình có d¹ng ax4 + bx2 + c = (a 0) + Cách giải: - Đặt x2 = y - Giải phơng trình ay2 + by + c = - Thay giá tri tìm đợc y vào x2 = y để tìm giá trị x + Ví dụ: Giải phơng trình: x4 + 2x2 - = Phơ lơc: Chuyªn đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao ẩn Phơng trình đối xứng I Phơng trình đối xứng đối xứng bậc chẵn Định nghĩa: Ta gọi phơng trình 2n a i x i 0 (a2nx2n + a2n-1x2n-1 + + an+1xn+1 + anxn + i a2n = a2n-i kn-i i = ; 1; 2; ; n-1 phơng trình thuận nghịc bậc chẵn ... phơng trình đa thức bậc cao ẩn Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao I Phơng pháp biến đổi phơng trình tích Một phơng pháp riêng giải phơng trình đa thức bậc cao phân tích đa thức... Tuỳ dạng phơng trình bậc cao cụ thể mà ta chọn phơng pháp giải riêng thích hợp đà nêu số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt cách giải Các em HS tìm số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt khác cách... -@ -3 Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao ẩn Một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt I Phơng trình đối xứng (phơng trình thuận nghịch) Định nghĩa: Phơng