Bài giảng Toán kinh tế

UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CĐ KẾ TOÁN# CĐ QTKD) TỔ BỘ MƠN: TỐN # LÝ Đồng Tháp – 2017 (Lưu hành nội bộ) UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CĐ KẾ TỐN# CĐ QTKD) (SỐ TÍN CHỈ: (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT)) TỔ BỘ MƠN: TỐN # LÝ Đồng Tháp – 2017 LỜI NÓI ĐẦU Đối tượng sử dụng Tài liệu toán kinh tế dùng cho sinh viên khối ngành kinh tế, ngành kế toán, quản trị kinh doanh, sinh viên thuộc khối ngành khác sử dụng giảng xem tài liệu tham khảo Cấu trúc giảng Bài giảng toán kinh tế biên soạn theo đề cương môn học hội đồng khoa học trường thông qua với 30 tiết bao gồm chương: Chương Một số khái niệm đại số tuyến tính Chương Bài tốn quy hoạch tuyến tính Chương Phương pháp đơn hình Chương Bài toán đối ngẫu Chương Bài toán vận tải Bài tốn vị Mục tiêu mơn học Quy hoạch tuyến tính phận có nhiều ứng dụng thực tiễn Tối ưu hóa, áp dụng kinh tế nhiều ngành khoa học khác lý thuyết lẫn thực hành, nhằm tối ưu hóa kết đạt Kiến thức quy hoạch tuyến tính cần cho sinh viên bậc đại học, cao đẳng nói chung khối ngành kinh tế nói riêng Mục tiêu cụ thể mơn học: Cung cấp cho sinh viên số dạng tốn quy hoạch tuyến tính, cách xây dựng mơ hình toán học cho số toán thực tế tượng kinh tế thường gặp sản xuất kinh doanh cách đưa toán QHTT tổng quát dạng tắc Trên sở để tìm phương pháp giải tối ưu Cung cấp cho sinh viên sở lý luận dẫn đến bảng đơn hình, từ giúp sinh viên giải tốn để tìm tính tối ưu toán cho phù hợp Giới thiệu cho sinh viên toán đối ngẫu, ý nghĩa kinh tế toán đối ngẫu, cần thiết phải đưa toán đối ngẫu Giới thiệu cho sinh viên toán vận tải, ý nghĩa kinh tế toán vận tải Các phương pháp giải toán vận tải tổng quát toán vận tải đặc biệt Phương pháp giảng dạy Giảng thảo luận, phân tích giải vấn đề đặt Nghe giảng lý thuyết : 28 tiết Kiểm tra : tiết Tự học : 60 tiết MỤC LỤC MỤC LỤC i Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 0.1 Ma trận 0.1.1 Ma trận phép toán ma trận 0.1.2 Định thức 0.1.3 Ma trận nghịch đảo 11 0.1.4 Hạng ma trận 12 0.2 Vectơ 13 0.2.1 Vectơ 13 0.2.2 Không gian vectơ 14 0.2.3 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 15 BÀI TẬP CHƯƠNG 17 Chương BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 18 1.1 Một số ví dụ dẫn đến tốn QHTT 19 1.2 Phân loại dạng toán .23 1.2.1 Dạng tổng quát 24 1.2.2 Dạng tắc 25 1.2.3 Dạng chuẩn 26 1.3 Biến đổi dạng toán 27 1.3.1 Đưa toán dạng tổng quát dạng tắc 27 1.3.2 Khái niệm tập hợp lồi, điểm cực biên, phương án cực biên 29 BÀI TẬP CHƯƠNG 32 Chương PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 36 2.1 Cơ sở lý luận phương pháp đơn hình 37 2.2 Thuật tốn đơn hình với vectơ đơn vị có sẵn 38 2.2.1 Trường hợp → 38 i 2.2.2 Trường hợp → 40 2.3 Thuật tốn đơn hình với vec tơ đơn vị khơng có sẵn (Bài tốn mở rộng) 45 BÀI TẬP CHƯƠNG 53 Chương BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 56 3.1 Khái niệm .57 3.1.1 Bài toán đối ngẫu tốn dạng tắc 57 3.1.2 Bài toán đối ngẫu toán dạng tổng quát 58 3.2 Quan hệ toán gốc toán đối ngẫu 59 3.2.1 Các định lý đối ngẫu 59 3.2.2 Tìm P.A.T.Ư tốn đối ngẫu qua P.A.T.Ư toán gốc 60 3.3 Ý nghĩa toán đối ngẫu 63 BÀI TẬP CHƯƠNG 65 Chương BÀI TOÁN VẬN TẢI BÀI TOÁN THẾ VỊ 67 4.1 Bài toán vận tải cân thu phát (bài toán cổ điển) 68 4.1.1 Thiết lập toán 68 4.1.2 Đặt toán dạng bảng 69 4.1.3 Các tính chất 70 4.2 Thuật toán vị giải toán vận tải cân thu phát 71 4.2.1 Lập phương án ban đầu 71 4.2.2 Thuật tốn “Quy cước phí chọn” 73 4.2.3 Phương pháp vị 77 4.3 Bài tốn vận tải có cấm .80 4.4 Bài tốn vận tải khơng cân thu phát 82 4.5 Bài toán vận tải dạng bất đẳng thức 84 4.5.1 Định nghĩa 84 4.5.2 Điều kiện tối ưu 85 4.5.3 Cách giải 85 ii BÀI TẬP CHƯƠNG 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 91 iii Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Mục đích u cầu Nhằm củng cố kiến thức đại số tuyến tính cho sinh viên để vận dụng tốt linh hoạt vào chương sau Sau học xong chương này, Sinh viên cần đạt được: Sử dụng thành thạo phép toán ma trận: phép toán cộng, trừ, nhân Tính định thức ma trận cấp 2, cấp 3, …, cấp qui tắc Laplace hay phép biến đổi sơ cấp theo công thức, Thành thạo kỹ “phép biến đổi sơ cấp ma trận”, từ rút phương pháp tìm hạng ma trận Áp dụng giải hệ phương trình tuyến tính hai phương pháp bản: Cramer Gauss Cần hiểu rõ cấu trúc không gian vectơ V, cách xác định hệ độc lập độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính Làm tập tương tự Kiến thức chuẩn bị Sinh viên cần ôn lại khái niệm, phép tính vectơ, thành thạo phép tính bước biến đổi sơ cấp Trang bị kỹ tính tốn thơng dụng (cộng, trừ, nhân,…), cách sử dụng máy tính Casio fs 500A, Casio fs 500 ES,… 0.1 Ma trận 0.1.1 Ma trận phép toán ma trận 0.1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa ma trận Một ma trận A cấp × × bảng gồm số thực xếp theo thứ tự thành m dòng n cột viết dạng: Dòng thứ         = =              (0.1.1)    Cột thứ = Ký hiệu: Trong đó: ( ) × ( = = ) A: tên ma trận : phần tử (hay số hạng) nằm dòng (hay hàng) i, cột j A : gọi kích thước A Dịng thứ i A Cột thứ j A Ví dụ 1: ? =    =      =   Cho ma trận i) Loại ma trận B? ( )           ma trận cấp    =    × − = = =    Hãy xác định:    − ii) Giá trị , ? iii) Dòng thứ cột thứ 3? b) Ma trận không Là ma trận mà phần tử = Ký hiệu: Ví dụ 2: × ×  =   aij = 0, ∀i, j (0.1.2)  ;     =   ×      c) Ma trận đối ma trận A Là ma trận nhận từ A cách đổi dấu phần tử A Ký hiệu: − A  =   Ví dụ 3: Cho ma trận − − ⇒ Ma trận đối A − −    − − = −  −   −   − d) Ma trận vuông Là ma trận có số dịng = số cột = n (thuộc loại cấp vng cấp n Ký hiệu: = × = × ) gọi ma trận Khi đường thẳng chứa phần tử a11, a22, …, ann gọi đường chéo A   =    Ví dụ 4:   −          ma trận vuông cấp        − (0.1.3)    ma trận vuông cấp    Đường chéo A {1, 7}, Đường chéo B {0, 2, 2} Các ma trận đặc biệt * Ma trận dòng: ma trận có = ( ) =( )× (0.1.4) * Ma trận cột: ma trận có        =    =     ( ) × (0.1.5) e) Ma trận tam giác ma trận chéo Ma trận vuông ma trận tam giác, phần tử phía đường chéo * Ma trận = gọi ma trận tam giác * Ma trận = gọi ma trận tam giác * Ma trận = × = > = = gọi ma trận tam giác chéo ≠ (các phần tử nằm đường chéo 0)                      ma trận tam giác Ví dụ 5:               ma trận tam giác −          −            ma trận tam giác −     (0.1.6)    ma trận chéo      −          ma trận tam giác        ma trận chéo f) Ma trận đơn vị cấp n Là ma trận vng cấp n có phần tử đường chéo 1, phần tử ngồi đường chéo Ký hiệu: In I Ví dụ 6:  =     ;    =    = ∀ >    , …,    g) Ma trận bậc thang Là ma trân cấp × có:    =           Ma trận cước phí là: 7 50 0 10 0 20 10 70 Ta thấy ô loại có cước phí dương nên tốn có phương án tối ưu  0 50  X = 10 20 10  70 0  ∗ Với phương án tối ưu cước phí phải trả là: f ( X * ) = 1.50 + 3.10 + 2.20 + 6.10 + 7.70 = 670 4.2.3 Phương pháp vị Cho toán vận tải: m n f ( x) = ∑∑ cij xij → (4.2.3) i =1 j =1 n ∑x ij = (i = 1, m) (4.2.4) = b j ( j = 1, n) (4.2.5) j =1 m ∑x ij i =1 xij ≥ (i = 1, m; j = 1, n) (4.2.6) Bài toán đối ngẫu toán là: m n i =1 j =1 g (u , v) = ∑ ui + ∑ b j v j → max (4.2.7) ui + v j ≤ cij (i = 1, m; j = 1, n) (4.2.8) ui , v j tuỳ ý (4.2.9) Theo định lý đối ngẫu thứ ta có dấu hiệu tối ưu: Điều kiện cần đủ để X = {xij} tối ưu tồn hệ thống {u i , v j } (i = 1, m; j = 1, n) thỏa mãn điều kiện sau: a) ui + v j = cij xij > (4.2.10) 77 b) ui + v j ≤ cij với i, j (4.2.11) (Các ui , v j gọi vị dòng i cột j) Thuật toán Bước 1: Xây dựng phương bán cho toán vận tải Lập bảng vận tải Kiểm tra điều kiện cân thu phát Xác định P.A.C.B (bằng phương pháp chi phí bé nhất) Kiểm tra lại có m + n − ô chọn, chuyển qua bước Bước 2: Xây dựng hệ thống vị ui , v j Lấy hàng i (chọn hàng có nhiều chọn) gán cho giá trị ui tuỳ ý (thường cho ui = ) Tính ui , v j cịn lại theo công thức: v j = ui + cij ui = v j − cij với (i, j) ứng với chọn (Bằng cách ta có đủ ui , v j tất hàng cột) Bước 3: Kiểm tra tính tối ưu Tính , ij = v j − ui − cij cho loại (dương ghi rõ số, âm ghi dấu ( )), chọn , ij = + Nếu , ij ≤ ∀(i, j ) phương án tối ưu + Nếu tồn , ij > chưa tối ưu chuyển sang bước Bước 4: Điều chỉnh phương án để tìm phương án tốt 1.Chọn đưa vào: Ơ loại có cước phí dương ( , ij > ) lớn Xác định vòng điều chỉnh Phân chẵn lẻ Tìm đưa lượng điều chỉnh Lập phương án tốt Các việc 2, 3, 4, làm tương tự thuật tốn “Quy cước phí chọn” Sau có phương án mới, quay bước tiếp tục tìm phương án tối ưu 78 Nhận xét: Thuật toán dựa khái niệm toán đối ngẫu định lý độ lệch bù yếu trừu tượng bạn khơng nắm sở tốn Về tiến trình tính tốn khơng gọn nhẹ thuật tốn “Quy cước phí chọn” , ij tính bước khơng dùng bước sau Cịn thuật tốn trước cij bước sau thường nhỏ, hầu hết Về mức độ hiệu hai phương pháp Ví dụ 5: Giải tốn vận tải với số liệu sau đây:  14 21 12 23 34  (cij ) =  24 19 22 32 15   22 11 34 16 27    (ai ) = (125 175 210 ) ; (b j ) = (120 140 75 85 90 ) Giải vj 24 bj ui 27 120 140 10 16 125 175 210 14 21 15 75 85 90 12 19 23 75 22 (+8) 70 22 32 () 50 24 22 11 () 79 () 32 (0) 34 140 34 15 15 16 () () 90 27 70 () vj 24 bj ui 19 120 140 10 125 175 816 210 14 21 75 85 12 23 75 19 70 22 24 () 50 24 22 22 () 90 34 () 32 () 15 (0) 15 11 15 34 125 90 16 () 27 85 () Kết thúc bảng 2, có , ij ≤ (∀ij) nên phương án tối ưu 50 75 0  X = 70 15 0 90   125 85  ∗ Với phương án tối ưu cước phí phải trả là: f ( X * ) = 14.50 + 12.75 + 24.70 + 19.1 + 15.90 + 11.125 + 16.85 = 7650 ? Giải toán vận tải với số liệu sau đây: 1 3 (cij ) =  4  2 2 4  3  4 4 (ai ) = ( 31 50 75 128 ) ; (b j ) = (104 22 40 118 ) 4.3 Bài toán vận tải có cấm Trong thực tế có số tuyến đường khơng thể vận chuyển hàng hóa qua được: cầu, phà, đường sá bị hư hỏng, phương tiện vận tải thích hợp, kế hoạch vận tải phải đảm bảo cho trạm phát phát hết hàng trạm thu phải thu đủ hàng không cân thu phát,…Các ô ứng với tuyến đường gọi “ô cấm” 80 Cách giải Ta lập toán mở rộng (VTM) cách thay cij ô cấm > lớn, dùng phương pháp vị để giải tốn Có hai trường hợp: * Nếu P.A.T.Ư (VTM) có tất cá thành phần ứng với cấm Khi đó, tốn xuất phát có P.A.T.Ư * Nếu P.A.T.Ư (VTM) có tất cá thành phần ứng với cấm khác Khi đó, tốn xuất phát khơng có P.A khơng có P.A.T.Ư Ví dụ 6: Giải toán vận tải với số liệu sau đây:  15 16 10  (cij ) = 10 15  10 14 11 13    (ai ) = ( 50 100 50 ) ; (b j ) = ( 50 100 25 25 ) Trong (2, 2) (2, 4) ô cấm Giải 50 100 25 25 50 15 16 10 100 10 M M 50 10 14 11 13 Không thể phân phối để thỏa mãn P.A toán vận tải nên tốn khơng có P.A Đặt = = , thực phương pháp vị ta có P.A tối ưu bảng sau : 81 5–M 15 M 10 50 100 25 25 50 15 16 10 15 – M 100 10 M M 50 10 14 11 13 Trong P.A.T.Ư tốn mở rộng (VTM) có thành phấn ứng với cấm (2,2) : = ≠ Do tốn khơng có phương án ? Giải tốn vận tải với số liệu sau đây: 5 8 (cij ) =   11  9 6  12   23  (ai ) = (150 100 145 100 ) ; (b j ) = (140 Với điều kiện 180 ) 150 phải bán hết hàng 4.4 Bài tốn vận tải khơng cân thu phát a) Trường hợp m n i =1 j =1 ∑ > ∑ b j m n i =1 j =1 Thêm điểm thu giả Bn +1 với nhu cầu bn +1 = ∑ − ∑ b j Các ô cột ứng với điểm thu giả có cước phí 0: ci ( n +1) = (i = 1, m) Lúc toán trở thành cân thu phát b) Trường hợp m n i =1 j =1 ∑ < ∑ b j n m j =1 i =1 Thêm điểm phát giả An +1 với nhu cầu an +1 = ∑ b j − ∑ 82 Các ô hàng ứng với điểm phát giả có cước phí 0: c( m +1) j = ( j = 1, n) Chú ý: Khi tìm phương án ban đầu, phân phối vào trước Các ô hàng cột ứng với điểm thu phát giả cịn thừa hàng phân vào Ví dụ 7: Giải tốn vận tải cho bảng đây: bj 20 40 60 80 30 50 4 Giải Kiểm tra điều kiện cân thu phát ∑ = 160 ; m n i =1 j =1 ∑ b j = 120 ⇒ ∑ > ∑ b j Ta thêm trạm thu giả B4 với lượng hàng b4 = 160 − 120 = 40 = Các nằm dịng trạm thu giả có bj 20 40 60 40 80 30 50 10 60 10 r2 = 30 20 s1 = −1 30 s2 = −4 83 s3 = −1 r1 = s4 = r3 = Ta áp dụng thuật toán “Quy cước phí chọn” để giải tìm ma trận cước phí là: 0 10 0 60 10 30 20 30 Ta thấy loại có cước phí ≥ nên phương án tối ưu  10 60 10  X ∗ =  30 0   20 0 30  Với phương án tối ưu cước phí phải trả là: f ( X * ) = 4.10 + 1.60 + 2.30 + 1.20 = 180 ? Giải toán vận tải bj 10 4.5 14 6 Bài toán vận tải dạng bất đẳng thức 4.5.1 Định nghĩa Bài tốn vận tải có dạng sau gọi toán vận tải dạng bất đẳng thức 84 m n f ( x) = ∑∑ cij xij → i =1 j =1 n ∑x ij (1) ≤ (i = 1, m) j =1 m ∑x ij ≥ b j ( j = 1, n) i =1 xij ≥ (i = 1, m; j = 1, n) > , b j > , cij ≥ (i = 1, m; j = 1, n) 4.5.2 Điều kiện tối ưu Điều kiện cần đủ để tốn (1) có phương án tối ưu m n i =1 j =1 ∑ ≥ ∑ b j 4.5.3 Cách giải m n i =1 j =1 ∑ = ∑ b j a Trường hợp Trường hợp người ta chứng minh toán (1) tương đương với toán sau đây: m n f ( x) = ∑∑ cij xij → i =1 j =1 n ∑x ij (2) = (i = 1, m) j =1 m ∑x ij = b j ( j = 1, n) i =1 xij ≥ (i = 1, m; j = 1, n) Bài toán (2) toán cân thu phát Giải toán thuật toán vị ta phương án tối ưu toán (1) b Trường hợp m n i =1 j =1 ∑ > ∑ b j 85 Xét toán: m n f ( x) = ∑∑ cij xij → i =1 j =1 n ∑x ij (3) ≤ (i = 1, m) j =1 m ∑x ij = b j ( j = 1, n) i =1 xij ≥ (i = 1, m; j = 1, n) Bài toán (3) tốn khơng cân thu phát nghiên cứu, ln có phương án tối ưu, phương án pương án tốn (1) Trong trường hợp người ta chứng minh rằng, phương án tối ưu toán (3) phương án tối ưu toán (1) Vậy để giải toán (1) với điều kiện m n i =1 j =1 ∑ > ∑ b j ta giải tốn khơng cân thu phát (3) Nói chung, tồn phương án tối ưu tốn (1) khơng phải phương án tối ưu toán (3) 86 BÀI TẬP CHƯƠNG Giải toán vận tải cho bảng sau: Bj cij B1 B2 B3 B4 2 30 Ai A1: 100 A2: 80 A3: 20 Giải toán vận tải với số liệu sau  40  68 (cij ) =  120   30 15 35 100  51 53 18  30 150 16   54 13 80  (ai ) = ( 80 30 20 60 ) ; (b j ) = ( 40 70 50 30 ) Cho toán vận tải với số liệu sau  12   11   (cij ) =  6 6   5 2 (ai ) = ( 35 90 75 100 ) ; (b j ) = ( 50 80 70 60 40 )  20 0 15   25 60   phương án x =   30 45 0     75 0 25  a) Hãy điều chỉnh phương án x để thu phương án cực biên x khơng xấu x b) Giải tốn cho xuất phát từ x 87 Giải toán vận tải cho bảng sau bj 60 60 80 50 100 20 130 Giải toán vận tải cho bảng sau bj 25 35 60 30 20 40 60 4 2 6 Có ba sở phát hành báo hàng ngày A, B, C, phân phối cho vùng kinh tế I, II, III, IV Bảng cho biết số lượng phát hành báo sở số lượng báo yêu cầu vùng kinh tế tính đơn vị 1000 tờ, đồng thời cho biết thời gian cần thiết để vận chuyển báo từ sở phát hành đến vùng kinh tế tính (h) Tìm phương án phân phối vận chuyển báo cho tổng thời gian vận chuyển nhỏ Cơ sở phát hành Lượng báo phát hành Thời gian vận chuyển đến vùng I II 88 III IV A 40 3 B 110 C 30 6 30 60 40 50 Nhu cầu vùng Ba công nhân A, B, C phải đứng máy tiện I, II, III để sản xuất chi tiết máy Năng suất công nhân loại máy (chi tiết/ngày) cho bảng Muốn có phương án phân cơng nhân đứng máy để tổng số chi tiết ngày lớn Máy I II III 1 A: 19 21 25 B: 20 18 24 C: 17 26 18 N.suất C.nhân a) Lập mơ hình tốn b) Mơ hình thay đổi cơng nhân B không đứng máy I c) Giải tốn hai trường hợp Giải tốn có ô cấm bj 80 20 60 50 40 70 M M Giải toán vận tải với số liệu sau đây: 89 5 8 (cij ) =  11  9 6  12   23  (ai ) = (150 100 145 100 ) ; (b j ) = (140 150 180 ) Với điều kiện A3 A4 phải phát hết hàng 10 Giải toán vận tải với số liệu sau đây:  5 (cij ) =    4 3   (ai ) = ( 80 70 50 ) ; (b j ) = (100 50 30 70 ) Với điều kiện B3 phải thu đủ hàng 11 Giải toán vận tải cho bảng sau bj 20 40 60 30 50 80 30 12 Giải 11 với điều kiện f ( x) → max 13 Cho toán vận tải với số liệu sau đây: 1 4 (cij ) =   2 1   (ai ) = (14 10 + m ) ; (b j ) = ( 20 + m ) (m: tham số) Tìm phương án tối ưu trường hợp: ≤ m ≤ , m > Từ tìm biểu thức giá trị tối ưu hàm mục tiêu 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO PGS Đặng Hấn (1995), Quy hoạch TP.HCM tuyến tính, Trường ĐH Kinh Tế Nguyễn Thành Cả, Quy hoạch tuyến tính, Trường ĐH Kinh Tế TP HCM TS Bùi Phúc Trung (2003), QHTT tối ưu hoá, Trường ĐH Kinh Tế TP.HCM 91 ... toán kinh tế dùng cho sinh viên khối ngành kinh tế, ngành kế toán, quản trị kinh doanh, sinh viên thuộc khối ngành khác sử dụng giảng xem tài liệu tham khảo Cấu trúc giảng Bài giảng toán kinh tế. .. CHƯƠNG 65 Chương BÀI TOÁN VẬN TẢI BÀI TOÁN THẾ VỊ 67 4.1 Bài toán vận tải cân thu phát (bài toán cổ điển) 68 4.1.1 Thiết lập toán 68 4.1.2 Đặt toán dạng bảng ... sẵn (Bài tốn mở rộng) 45 BÀI TẬP CHƯƠNG 53 Chương BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 56 3.1 Khái niệm .57 3.1.1 Bài toán đối ngẫu toán dạng tắc 57 3.1.2 Bài tốn đối ngẫu toán