Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán kinh tế: Chương 3 Vi phân hàm hai biến, cung cấp cho người học những kiến thức như: khái niệm hàm hai biến; đồ thị hàm hai biến; đạo hàm riêng; độ co giãn điểm thành phần; thuật toán tìm điểm cực trị; tối ưu trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo!
KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ TOÁN KINH TẾ CHƯƠNG VI PHÂN HÀM HAI BIẾN C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 16/02/2016 KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN Cho D , moät ánh xạ f : D gọi hàm biến x , y xác định D Kí hiệu: f ( x, y) D gọi miền xác định cuûa f f ( x, y) D z 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ Ý NGHĨA 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN MỘT SỐ VÍ DỤ 1) f ( x, y) x ln( y x ) Tập xác định 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MỘT SỐ VÍ DỤ 2) f ( x, y) x y2 x Tập xác định 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN MỘT SỐ VÍ DỤ 3) Hàm sản xuất: mơ tả số lượng sản phẩm (đầu ra) tối đa sản xuất số lượng yếu tố sản xuất (đầu vào) định, tương ứng với trình kỹ thuật định Để đơn giản, yếu tố sản xuất chia thành hai loại vốn (K) lao động (L), hàm sản xuất có dạng: Q = f(K,L) 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MỘT SỐ VÍ DỤ 4) Hàm sản xuất Cobb – Douglas: Q(K , L ) aK L a, , số thỏa K : chi phí đầu vào (nguyên liệu, máy móc, nhà xưởng, ) L : số công lao động năm 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 10 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ ĐẠO HÀM RIÊNG Cho hàm số f ( x, y) Đạo hàm riêng cấp f ứng với biến x , y định nghóa sau: f ( x x , y ) f ( x , y ) f x' ( x , y ) lim x 0 x f ( x , y y ) f ( x , y ) f y' ( x , y ) lim y 0 y f f Kí hiệäu: f x' , f x' hay , x y C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 16/02/2016 11 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP Cho hàm số f ( x, y)cócác đạo hàm riêngcấp1 Đạo hàm riêng cấp f ứng với biến x , y định nghóa sau: " f xx f yx'' 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ ' f x' f y' x ' x 2 f x 2 f yx f xy'' f yy'' f x' f y' ' y C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN ' y 2 f xy 2 f y 12 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ NĂNG SUẤT BIÊN Năng suất biên yếu tố sản xuất biến đổi phần thay đổi tổng sản lượng thay đổi đơn vị yếu tố sản phẩm biến đổi, kí hiệu MP Năng suất biên lao động phần thay đổi tổng sản lượng thay đổi đơn vị lao động sử dụng MP’L = Q’L C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 16/02/2016 13 ĐỘ CO GIÃN ĐIỂM THÀNH PHẦN Khái niệm: đo lường thay đổi tương đối chi phí sản xuất theo sản lượng loại sản phẩm Công thức: Cho hàm chi phí TC(Q1,Q2) EQi 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ TC TC (Qi ) Qi Qi TCQ' i Qi TC (Qi ) C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 14 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ CỰC TRỊ HÀM BIẾN 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 15 ĐIỂM CỰC TRỊ f ( x, y) x y x 6y 17 16/02/2016 MÔN TOÁN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 16 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ ĐIỂM CỰC TRỊ 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 17 ĐIỂM CỰC TRỊ f ( x, y) y x 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 18 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ THUẬT TỐN TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ Giả sử hàm f ( x , y ) có đạo hàm riêng cấp liên tục miền D chứa điểm dừng (a, b) Đặt: (a, b) f "xx (a, b) f "yy (a, b) f "xy (a, b) * Nếu (a, b) f "xx (a, b) ( a, b) điểm cực đại * Nếu (a, b) f "xx (a, b) ( a, b) điểm cực tiểu * Nếu (a, b) (a, b) không điểm cực trị 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 19 CỰC TRỊ RÀNG BUỘC Cho hàm hai biến f ( x, y) xác định D Xét toán tìm cực trị f thỏa điều kiện ( x, y) Đặt L ( x, y) f ( x , y ) ( x, y) Lx B1: Giải hệ pt Ly điểm dừng ( a, b) ứng với 0 ( x , y ) B2: Tính d L (a, b) L xx (a, b)dx L xy (a, b) dxdy L yy (a, b)dy * Neáu d L (a, b) (dx dy 0) (a, b) điểm cực tiểu * Nếu d L (a, b) (dx dy 0) (a, b) điểm cực đạ i 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 20 10 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ TỐI ƯU TRONG KINH TẾ Lợi nhuận nhiều Thỏa mãn tiêu dùng nhiều Chi phí sản xuất, tiêu dùng 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 21 LỢI NHUẬN NHIỀU NHẤT Doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm liên quan với yếu tố sản xuất sau: • Hàm chi phí C(Qs1;Qs2) • Doanh thu doanh nghiệp: R = P1.Qs1 + P2.Qs2 • Lợi nhuận doanh nghiệp: П(Qs1;Qs2) = R – C Tìm mức sản lượng Q’s1 Q’s2 cần sản xuất để lợi nhuận đạt nhiều 16/02/2016 MÔN TOÁN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 22 11 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ LỢI NHUẬN NHIỀU NHẤT Thị trường cạnh tranh hoàn hảo Giá sản phẩm thị trường định P1 = P’1 ; P2 = P’2 ấn định trước Thị trường độc quyền Giá sản phẩm doanh nghiệp định doanh nghiệp muốn tiêu thụ hết sản phẩm Qs1 = Qd1(P1, P2) Qs2 = Qd2(P1, P2) P1(Qs1, Qs2) P2(Qs1, Qs2) 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 23 THOẢ MÃN TIÊU DÙNG NHIỀU NHẤT Người tiêu dùng chi tiêu số tiền I cho hai loại hàng hố có giá bán P1, P2 Nhu cầu sử dụng thể qua hàm tiêu dùng: U(Q1, Q2) Cần tìm số lượng hàng hoá làm thoả mãn nhiều cho người tiêu dùng với số tiền chi tiêu trên, nghĩa là: P1Q1 + P2Q2 = I 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 24 12 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ CHI PHÍ SẢN XUẤT ÍT NHẤT Hàm sản lượng Q(x,y) sản xuất sản phẩm từ hai nguyên liệu đầu vào, với x y số lượng hai nguyên liệu Hai nguyên liệu có giá mua vào P1, P2 hàm chi phí: C(x,y) = P1x + P2y Với số lượng sản phẩm cần sản xuất Q(x,y) = Q0 biết trước, tìm số lượng nguyên liệu cần dùng cho chi phí sản xuất 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 25 13 ... C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN... MƠN TỐN KINH TẾ Ý NGHĨA 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN MỘT SỐ VÍ DỤ 1) f ( x, y) x ln( y x ) Tập xác định 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN KHOA TOÁN – THỐNG... TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 16 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ ĐIỂM CỰC TRỊ 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 17 ĐIỂM CỰC TRỊ f ( x, y) y x 16/02/2016 MƠN TỐN KINH