Bài giảng Toán kinh tế: Chương 1 Ma trận và hệ phương trình tuyến tính, cung cấp cho người học những kiến thức như: Ma trận; Hệ phương trình tuyến tính; Áp dụng các mô hình kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo!
KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Hệ phƣơng trình tuyến tính Áp dụng mơ hình kinh tế 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MA TRẬN (MATRIX) Khái niệm ví dụ Các loại ma trận Các phép toán: chuyển vị, cộng, trừ, nhân Ma trận bậc thang Các phép biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Định thức 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ KHÁI NIỆM MA TRẬN (MATRIX) a11 a12 a1n Kí hiệu:A (aij )mn a21 a22 a2 n A aij Dòng i am1 am amn m n Cột j 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÁI NIỆM MA TRẬN (MATRIX) a11 a12 a13 VD A A M2 3( ) a21 a22 a23 MƠN TỐN KINH TẾ KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN 65536 x 256 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN 8x8 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN Pixel (picture element) 1.3 Megapixel (Mpx) = 1280 x 1024 pixel 14.1 Mpx = 4320 x 3240 pixel 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN 16/02/2016 MƠN TOÁN KINH TẾ C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 16/02/2016 CÁC LOẠI MA TRẬN Ma trận dịng A (a11 a12 Ma trận cột A a11 a21 a1n ) M1 n ( ) M m 1( ) am MƠN TỐN KINH TẾ KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MA TRẬN VNG a11 a21 A an1 a12 a1n a22 a2 n an ann Đường chéo phụ 16/02/2016 nn Đường chéo C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 11 MA TRẬN CHÉO Ma trận vng có phần tử nằm ngồi đường chéo 1 0 0 0 0 0 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ 0 0 0 0 0 0 0 1 x 0 0 0 0 0 0 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 12 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MA TRẬN ĐƠN VỊ Ma trận chéo có phần tử nằm đường chéo 1, kí hiệu In 1 0 0 0 0 0 16/02/2016 0 0 0 0 0 0 0 0 6x6 0 0 0 0 0 0 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 13 MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN Ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo 1 0 0 0 0 0 16/02/2016 MÔN TOÁN KINH TẾ 0 1 0 0 1 6x6 2 0 0 0 0 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 14 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MA TRẬN TAM GIÁC DƢỚI a11 a21 a22 an an 0 ann MA TRẬN ĐỐI XỨNG MƠN TỐN KINH TẾ 3 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ CÁC PHÉP TỐN TRÊN MA TRẬN PHÉP CHUYỂN VỊ Cho ma trận A (aij )m n Ma trận chuyển vị A kí hiệu A T (a ji )n m C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 16/02/2016 17 CÁC PHÉP TỐN TRÊN MA TRẬN PHÉP CỘNG (TRỪ) Cho ma traän A (aij )m n , B (bij )m n C A B (aij bij )m n 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 18 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ CÁC PHÉP TỐN TRÊN MA TRẬN PHÉP NHÂN VỚI SỐ THỰC Cho ma traän A (aij )m n , A (aij )m n C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 16/02/2016 19 CÁC PHÉP TỐN TRÊN MA TRẬN PHÉP NHÂN Cho ma traän A (aik )m n , B (bkj )n p n C A B (c ij )m p , c ij aik bkj k 1 cij 1b1 j 2b2 j 3b3 j ainbnj 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 20 10 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ TÍNH CHẤT ĐỊNH THỨC Tính chất 1: i) Nếu đổi chỗ hai dịng (cột) định thức đổi dấu ii) Nếu nhân vào dòng (cột) với số thực k ≠ định thức tăng k lần iii) Nếu cộng vào dòng (cột) bội lần dịng (cột) khác định thức khơng đổi C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 16/02/2016 35 TÍNH CHẤT ĐỊNH THỨC Tính chất 2: Cho A, B ma trận vng cấp n Ta có: (i ) det( A) det( AT ) (ii ) det( AB) det( A).det( B) (iii ) det(cA) c n det( A), c det( A) (v) A khả nghịch detA ≠ (iv) det( A1 ) 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 36 18 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC • Định lý Laplace khai triển định thức Cho ma trận aij )n Gọi ij ( 1)i j det(M ij ) phần bù đại số phần tử aij Khai triển theo dòng thứ i det A 1Ai 2Ai ain Ain a2 j A2 j anj Anj Khai triển theo cột thứ j det A 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ a1 j A1 j C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 40 20 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC • Dạng ma trận chia khối Nếu A, C hai ma trận vuông O ma trận khơng ta có A B O C 16/02/2016 A O B C det A.detC C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 41 HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng tổng quát Phƣơng pháp Gauss 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 42 21 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ DẠNG TỔNG QT a11x a21x a12x a22x a1n x n a 2n x n am 1x a m 2x amn x n aij , bi (i 1,2, , m; j b1 b2 bm 1,2, , n ) C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 16/02/2016 43 DẠNG TỔNG QT Ma trận hệ số A 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ a11 a21 a12 a22 a1n a 2n am am amn Mm n ( ) C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 44 22 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ DẠNG TỔNG QT Ma trận cột hệ số tự B b1 b2 (bi )m M m 1( ) bm C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 16/02/2016 45 DẠNG TỔNG QUÁT Ma trận cột ẩn X x1 x2 (x j )n M n 1( ) xn Hệ phương trình viết dạng ma trận AX 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ B C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 46 23 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ DẠNG TỔNG QUÁT • gọi nghiệm hệ (I ) n A B Quy ước Để cho gọn, ta viết nghiệm dạng ( 1; ; ; n ) C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 16/02/2016 47 PHƢƠNG PHÁP GAUSS Xét hệ AX A B (I ) với ma trận mở rộng sau a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 AB am am 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ amn bm C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 48 24 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ PHƢƠNG PHÁP GAUSS Định lý Kronecker - Capelli (i) Nếu rank(A) < rank(A|B) hệ vơ nghiệm (ii) Nếu rank(A) = rank(A|B) = n hệ có nghiệm (iii) Nếu rank(A) = rank(A|B) = r < n hệ có vô số nghiệm với (n-r) ẩn tự 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 49 PHƢƠNG PHÁP GAUSS Phƣơng pháp giải hệ • Bƣớc Lập ma trận mở rộng A • Bƣớc Đưa A bậc thang phép biến đổi sơ cấp dịng • Bƣớc Viết lại hệ giải ngược từ lên 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 50 25 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ PHƢƠNG PHÁP GAUSS Chú ý Trong q trình thực bƣớc 2, nếu: i) có hai dịng tỉ lệ ta xóa dịng; ii) có dịng khơng ta xóa dịng đó; iii) có dịng dạng (0 ta kết luận hệ (I ) vơ nghiệm | b) (b 0) ỨNG DỤNG CÁC MƠ HÌNH KINH TẾ Mơ hình Input - Output Mơ hình cân thị trƣờng Mơ hình cân thu nhập quốc dân, tiêu dùng, thuế MƠN TỐN KINH TẾ 26 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MƠ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF Nền kinh tế có n ngành (mỗi ngành sản xuất loại hàng hóa) liên quan, ngành đầu vào ngành cịn lại Gọi: cij sản lượng ngành i mà ngành j cần để sản xuất đơn vị sản lượng (để dễ dàng cho việc tính tốn đơn vị tính khác ngành, người ta thường quy đổi theo đơn vị tiền tệ) di lượng cầu tiêu dùng (cầu cuối cùng) ngành i xi sản lượng ngành i 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 53 MƠ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF Theo quy luật tổng cầu, ta có hệ phương trình: x1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d1 x c x c x c x d 21 22 2n n (*) xn cn1 x1 cn x2 cnn xn d n 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 54 27 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MƠ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF Đặt ma trận sau: c11 c12 c c C 21 22 cn1 cn c1n c2 n Output cnn Input gọi ma trận hệ số IO 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 55 MƠ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF Đặt ma trận sau: 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ x1 x X 2 xn d1 d D 2 dn Ma trận sản lượng Ma trận cầu tiêu dùng C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 56 28 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MƠ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF Hệ phương trình (*) dạng ma trận: X = C.X + D (I – C).X = D gọi hệ phương trình IO Để tính sản lượng cần xuất (đầu ra), ta tìm ma trận X giải hệ phương trình IO 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 57 MƠ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG Cầu thị trường: o mô tả số lượng hàng hoá hay dịch vụ mà người tiêu dùng mua mức giá khác thời gian cụ thể, điều kiện yếu tố không đổi Thường biểu diễn hàm cầu theo giá Qd = f(P) o Quy luật cầu: Cầu thị trường tỉ lệ nghịch mức giá 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 58 29 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MƠ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG Cung thị trường: mô tả số lượng hàng hoá hay dịch vụ mà người tiêu dùng mua mức giá khác thời gian cụ thể, điều kiện yếu tố không đổi Thường biểu diễn hàm cung theo giá Qs = f(P) o o Quy luật cầu: Cung thị trường tỉ lệ thuận mức giá 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 59 MƠ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG Giá cân bằng: o Kí hiệu P0, mức lượng sản phẩm người muốn mua = lượng sản phẩm người muốn bán: Qd(P0) = Qs(P0) o Nếu giá thị trường cao giá cân thị trường xảy thặng dư sản phẩm Ngược lại tạo khan 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 60 30 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MƠ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG Xét mơ hình với n loại hàng hóa, hàm cung hàm cầu phụ thuộc tuyến tính vào giá Khi ta có phương trình tuyến tính sau đây: Qsi ai 1p1 p2 Qdi bi bi 1p1 bi p2 ain pn bin pn Qsi , Qdi , pi lượng cung, lượng cầu giá hàng hóa thứ i 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 61 MƠ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG Theo tính chất kinh tế, mơ hình cân thị trường n loại hàng hóa biểu diễn đẳng thức: Qsi = Qdi , i = 1,2, n Thay phương trình biểu diễn hàm cung hàm cầu vào đẳng thức trên, sau chuyển vế đặt: cik = aik – bik, 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 62 31 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MƠ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG Ta hệ phương trình tuyến tính: c11p1 c12 p2 c1n pn c10 c21p1 c22 p2 c2n pn c20 cn 1p1 cn p2 cn cnn pn Nghiệm hệ giá cân thị trường 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 63 MƠ HÌNH CÂN BẰNG GIỮA THU NHẬP QUỐC DÂN, TIÊU DÙNG, THUẾ Y tổng thu nhập quốc dân, C tiêu dùng dân cư, T thuế Io mức đầu tư cố định theo kế hoạch phủ Go mức chi tiêu cố định phủ Mức cân thu nhập quốc dân, tiêu dùng thuế thoả mãn phương trình kinh tế: 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 64 32 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ MƠ HÌNH CÂN BẰNG GIỮA THU NHẬP QUỐC DÂN, TIÊU DÙNG, THUẾ Y C I0 C T a d b(Y tY G0 T ) ,a ,d 0, 0, b t 1 a, b, d, t I0, G0 số 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 65 33 ... 3: a 11 a12 a13 a 21 a22 a23 a 31 a32 a33 16 /02/2 016 a11a22 a33 a12 a23a 31 a21a32 a13 a11a23a32 a12 a21a33 a13a22 a 31 ) a 11 a12 a13 a 11 a12 a13 a 21 a22 a23 a 21 a22 a23 a 31 a32 a33 a 31 a32... │a 11? ??= a 11 Cấp n = 2: det A 16 /02/2 016 MÔN TOÁN KINH TẾ a 11 a12 a 21 a22 a 11. a22 a12 a 21 C 011 20 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 32 16 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ... TỐN KINH TẾ MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN C 011 20 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 16 /02/2 016 CÁC LOẠI MA TRẬN Ma trận dòng A (a 11 a12 Ma trận cột A a 11 a 21 a1n ) M1 n ( ) M m 1( ) am MƠN TỐN KINH