Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán kinh tế: Chương 2 Vi tích phân hàm một biến, cung cấp cho người học những kiến thức như: Cấp số và lãi suất; Đạo hàm.
KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ TỐN KINH TẾ CHƯƠNG VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Cấp số lãi suất Đạo hàm 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN CẤP SỐ VÀ LÃI SUẤT Nhắc lại cấp số Các toán tiền tệ theo lãi suất đơn Các toán tiền tệ theo lãi suất kép Chuỗi tiền tệ vay góp, trả góp 16/02/2016 MƠN TOÁN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ NHẮC LẠI CẤP SỐ Cấp số cộng Cấp số nhân C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16/02/2016 CẤP SỐ CỘNG Định nghĩa: Dãy số {u1, u2, … , un} gọi cấp số cộng un = un – + d, với n ϵ N d số ≠ 0, gọi cơng sai Tính chất: uk + + uk – = 2uk 16/02/2016 MÔN TOÁN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ CẤP SỐ CỘNG Số hạng tổng quát: un = u1 + (n – 1)d Tổng n số hạng đầu: Sn u1 u2 un u1 un n C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16/02/2016 CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: Dãy số {u1, u2, … , un} gọi cấp số nhân un = un – 1.q, với n ϵ N q số ≠ 0, 1, gọi cơng bội Tính chất: uk + 1.uk – = (uk)2 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ CẤP SỐ NHÂN Số hạng tổng quát: un = u1.qn–1 Tổng n số hạng đầu: Sn 16/02/2016 u1 u2 un u1 q n C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN q NHỮNG KHÁI NIỆM TÀI CHÍNH CƠ BẢN Tiền lãi / lợi tức (interest): Là số tiền có (hoặc phải trả) dựa việc đầu tư (hoặc sử dụng) lượng tiền ban đầu (vốn) đơn vị thời gian, kí hiệu i Kì hạn / chu kì (tenor): đơn vị thời gian thương mại chọn để tính mức tiền lãi: ngày, tháng, quý, nửa năm, năm Kí hiệu T 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ NHỮNG KHÁI NIỆM TÀI CHÍNH CƠ BẢN Thời gian thương mại quy đổi theo ngày sau: tháng = 30 ngày; quý = 90 ngày; năm = 360 ngày Lãi suất (rate) = tiền lãi kì hạn tiền vốn đầu tư kí hiệu r (%/T) 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN NHỮNG KHÁI NIỆM TÀI CHÍNH CƠ BẢN Giá trị (Present value): trị giá lượng tiền tệ hình thành tương lai ứng với mức lãi suất xác định, kí hiệu PV Giá trị tương lai (Future value): trị giá tương lai lượng tiền tệ ứng với mức lãi suất xác định, kí hiệu FV 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 10 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ NHỮNG KHÁI NIỆM TÀI CHÍNH CƠ BẢN Lãi suất tương đương: hai mức lãi suất ra(%/Ta) rb(%/Tb) gọi tương đương khoảng thời gian phương thức tính lãi, lợi tức có khơng đổi Kí hiệu: rb Lãi suất trung bình: lãi suất thay cho m mức lãi suất khác m giai đoạn khác với phương thức tính lãi cho lợi tức có không đổi 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 11 PHƯƠNG THỨC LÃI ĐƠN Khái niệm: Tiền lãi sau kì hạn rút / tách ra, khơng nhập vào vốn để sinh lãi cho kì hạn sau tiền lãi tính theo vốn gốc ban đầu ln kì hạn Công thức: Giả sử tiền vốn ban đầu PV I = PV.r 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 12 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ PHƯƠNG THỨC LÃI ĐƠN Giá trị tương lai tiền vốn ban đầu sau kì hạn tạo thành cấp số cộng với công sai d = I Tiền lãi sau n kì hạn: In = n.PV.r Giá trị tương lai sau n kì hạn: FVn = PV.(1 + n.r) C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16/02/2016 13 PHƯƠNG THỨC LÃI ĐƠN Lãi suất tương đương lãi đơn: rb Ta = k.Tb = k.rb Lãi suất trung bình lãi đơn: Có m giai đoạn, giai đoạn i có ni kì hạn với lãi suất ri r 16/02/2016 MƠN TOÁN KINH TẾ ni ri ni n1.r1 n2 r2 nm rm n1 n2 nm C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 14 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ PHƯƠNG THỨC LÃI ĐƠN Các dạng tập: Xác định giá trị đạt vào cuối đợt đầu tư (FV) Xác định thời gian đầu tư để đạt giá trị mong muốn Xác định lãi suất tiền gởi Xác định số vốn đầu tư ban đầu (trị giá vốn đầu tư) (PV) 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 15 PHƯƠNG THỨC LÃI KÉP Khái niệm: Tiền lãi sau kì khoản khơng rút / tách mà phải nhập tiếp vào vốn thành vốn để sinh lãi cho kì hạn sau tiền lãi kì hạn khác kì hạn sau lớn kì hạn trước Từ đồng nghĩa: lãi nhập/gộp/ghép vốn 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ PHƯƠNG THỨC LÃI KÉP Giá trị tương lai tiền vốn ban đầu sau kì hạn tạo thành cấp số nhân với công bội q = + r Giả sử tiền vốn ban đầu PV: giá trị tương lai sau n kì hạn: FVn = PV.(1 + r)n tiền lãi sau n kì hạn: In = PV.[(1 + r)n – 1] C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16/02/2016 17 PHƯƠNG THỨC LÃI KÉP Lãi suất tương đương lãi kép: rb Ta = k.Tb + = (1 + rb)k Lãi suất trung bình lãi kép: Có m giai đoạn, giai đoạn i có ni kì hạn với lãi suất ri r 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ n1 n2 nm (1 n r1 ) (1 n r2 ) (1 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN n rm ) m 18 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ PHƯƠNG THỨC LÃI KÉP Các dạng tập: Xác định giá trị đạt vào cuối đợt đầu tư (FV) Xác định thời gian đầu tư để đạt giá trị mong muốn Xác định lãi suất tiền gởi Xác định số vốn đầu tư ban đầu (trị giá vốn đầu tư) (PV) 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 19 CHUỖI TIỀN TỆ Khái niệm: chuỗi khoản tiền phát sinh sau kì hạn Chuỗi tiền tệ hình thành đủ yếu tố: số lượng kì hạn (thời gian): n số tiền kì hạn: a1, a2, …, an lãi suất: r Chuỗi tiền tệ thực với mục đích góp dần để tích luỹ khoản vốn hay trả dần khoản nợ 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 20 10 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ TRẢ NỢ DẦN ĐỊNH KỲ Giả sử số tiền vay K trả nợ thời gian n kì hạn với lãi suất r, ta đặt kí hiệu sau: - ai: số tiền phải trả kì thứ i - Ii: tiền lãi phải trả kì thứ i - Mi: vốn gốc phải trả kì thứ i - Vi: dư nợ gốc đầu kì thứ i i = 1, 2, 3, …, n 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 29 TRẢ NỢ DẦN ĐỊNH KỲ Tính chất: • = Ii + Mi • Ii = Vi – 1.r • Vi = Vi – – Mi 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 30 15 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ TRẢ NỢ DẦN ĐỊNH KỲ Bảng hồn trả: Kì Lãi trả Vốn gốc trả Dư nợ hạn kì kì V0 = K I1 = V0.r M1 V1 = V0 – M1 I2 = V1.r M2 … … … … n Vn–1 = Vn–2 – Mn–1 In = Vn–1.r Mn Tiền trả nợ kì a1 = I1 + M1 a2 = I2 + M2 an = In + Mn C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16/02/2016 31 TRẢ NỢ DẦN VỚI SỐ TIỀN MỖI KỲ CỐ ĐỊNH Chuỗi tiền tệ có giá trị số vốn vay K số tiền phải trả (vốn + lãi) cố định kì: a r K 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ r n C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 32 16 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ TRẢ NỢ DẦN VỚI SỐ TIỀN MỖI KỲ CỐ ĐỊNH Vốn gốc phải trả kì tạo thành cấp số nhân với công bội q = 1/(1 + r): M1 r K r n ; Mi a.(1 r) (n i 1) Số nợ trả sau i kì: Ri 16/02/2016 K r r i n 1 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 33 TRẢ NỢ DẦN CỐ ĐỊNH PHẦN VỐN GỐC Vốn gốc phải trả kì nhau: M1 = M2 = … = Mn = K/n Số tiền phải trả (vốn + lãi) kì tạo thành cấp số cộng với cơng sai: d 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ K i n C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 34 17 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ TRẢ NỢ DẦN ĐỊNH KỲ Các dạng tập: - Tính tiền phát sinh, lãi suất, vốn phải trả kì hạn - Tính số vốn vay ban đầu, vốn trả, vốn nợ - Lập bảng hoàn trả 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 35 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Giả sử hàm số y = f(x) xác định khoảng (a ; b) Lấy x0 ϵ (a ; b), gọi ∆x lượng thay đổi từ x0 đến x ϵ (a ; b) y có lượng thay đổi ∆y từ f(x0) đến f(x) y y x hữu hạïn tức lim k x x x số k gọi đạo hàm hàm số y = f(x) x0, kí hiệu f’(x) Nếu giới hạn 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 36 18 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ QUY TẮC ĐẠO HÀM HÀM SƠ CẤP 1) Hàøm luỹ thừa : x ' x 2)Hàm lượnggiác : sin x ' cos x; cos x ' tan x ' tan x 1; cot x ' 3) Hàm mũ : a x ' cot x a x ln a x.ln a 4) Haøm log : log a x ' 16/02/2016 sin x; C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37 TÍNH CHẤT ĐẠO HÀM Cho hai hàm số u(x) v(x), ta có: 1) u v ' 2) u.v ' u 3) v ' u' v' u '.v u '.v 4) k f ( x ) ' 16/02/2016 MÔN TOÁN KINH TẾ v '.u v '.u v2 k f '( x ) C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 38 19 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ ĐẠO HÀM HÀM HỢP ft' tx' ' Cho hàm số f(t) t(x), ta có: f x C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16/02/2016 39 Ý NGHĨA ĐẠO HÀM lim x y x f ' ( x) y f ' ( x ) x cho biết giá trị gần lượng thay đổi ∆y biến y biến x thay đổi lượng nhỏ ∆x Hay nói cách khác, đạo hàm phản ánh tốc độ thay đổi y so với thay đổi x 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 40 20 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 41 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 42 21 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ ĐẠO HÀM CẤP HAI 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 43 TÍNH LỒI – LÕM ĐỒ THỊ HÀM SỐ Khái niệm: o Đồ thị © hàm số y = f(x) lồi khoảng K tiếp tuyến © điểm nằm phía đồ thị o Đồ thị © hàm số y = f(x) lõm khoảng K tiếp tuyến © điểm nằm phía đồ thị o Điểm uốn điểm phân chia hai phần lồi lõm đồ thị 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 44 22 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ TÍNH LỒI – LÕM ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định lí: Giả sử hàm số có đạo cấp hai với x ϵ khoảng K o Nếu f”(x) < đồ thị © hàm số y = f(x) lồi khoảng K o Nếu f”(x) > đồ thị © hàm số y = f(x) lõm khoảng K o Nếu x0 điểm uốn đồ thị © hàm số y = f(x) f”(x0) = C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16/02/2016 45 CỰC TRỊ HÀM SỐ Khái niệm: Cho hàm số f xác định D tồn khoảng x0 (a; b) xét x0 D x0 D.Nếu x (a; b)thoả : o f(x) < f(x0) x0 gọi điểm cực đại o f(x) > f(x0) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f f(x0) gọi giá trị cực đại, cực tiểu (gọi chung cực trị) 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 46 23 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ CỰC TRỊ HÀM SỐ Điều kiện cần: Nếu x0 điểm cực trị hàm số f f’(x0) = Điều kiện đủ: Nếu điểm x0 thoả f’(x0) = o f”(x0 ) < hàm số f đạt cực đại x0 o f”(x0 ) > hàm số f đạt cực tiểu x0 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 47 GIÁ TRỊ (CẬN) BIÊN Khái niệm: Cho đại lượng kinh tế phụ thuộc hàm biến độc lập y = f(x) Giá trị biên điểm x0 phản ánh mức độ thay đổi tuyệt đối biến độc lập tăng đơn vị điều kiện tất yếu tố khác không đổi giá trị biên đại lượng phụ thuộc = đạo hàm cấp hàm biến độc lập Đối với hàm kinh tế, giá trị biên có tên gọi cụ thể tương ứng 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 48 24 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ HÀM DOANH THU Hàm doanh thu: số tiền mà công ty thu sản xuất bán sản phẩm, kí hiệu R = P.Q Doanh thu biên: cho biết xấp xỉ lượng doanh thu thay đổi sản xuất thêm đơn vị sản phẩm, kí hiệu MR = R’(Q) = P 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 49 HÀM CHI PHÍ Hàm chí phí: tồn chi phí mà xí nghiệp chi cho tất yếu tố sản xuất cố định yếu tố sản xuất biến đổi để sản xuất sản phẩm đơn vị thời gian, kí hiệu C(Q) Chi phí biên: cho biết xấp xỉ lượng chi phí thay đổi sản xuất thêm đơn vị sản phẩm, kí hiệu: MC = C’(Q) 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 50 25 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ HÀM TIÊU DÙNG, TIẾT KIỆM Hàm tiêu dùng: tổng lượng sản phẩm thoả mãn đạt người tiêu dùng chi tiêu số lượng tiền tệ định cho sản phẩm đơn vị thời gian, kí hiệu U(I) Tiêu dùng biên: thay đổi tổng lượng sản phẩm thoả mãn người tiêu dùng thay đổi chi tiêu đơn vị tiền tệ cho sản phẩm đơn vị thời gian, kí hiệu MU = U’(I) 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 51 HÀM TIÊU DÙNG, TIẾT KIỆM Hàm tiết kiệm: kí hiệu S = I – U Tiết kiệm biên: thay đổi tổng lượng tiết kiệm người tiêu dùng thay đổi tiết kiệm đơn vị tiền tệ cho sản phẩm đơn vị thời gian, kí hiệu MS = S’(I) = – U' = – MU 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 52 26 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ ĐỘ (HỆ SỐ) CO GIÃN ĐIỂM Khái niệm: Cho đại lượng kinh tế phụ thuộc hàm biến độc lập y = f(x) Độ co giãn điểm x0 phản ánh tỉ lệ % thay đổi tương đối biến độc lập tăng 1% điều kiện tất yếu tố khác không đổi, kí hiệu E Cơng thức: y y0 x x0 Ey y x0 x f ( x0 ) f x' x0 f ( x0 ) C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16/02/2016 53 ĐỘ CO GIÃN ĐIỂM CỦA CẦU THEO GIÁ Khái niệm: đo lường nhạy cảm người tiêu dùng, biểu qua thay đổi lượng cầu giá hàng hoá thay đổi, kí hiệu Ed Ed xác định tỉ lệ phần trăm thay đổi lượng cầu điểm giá sản phẩm tăng 1% Công thức: Ed 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ Qd Qd P P0 Qd P0 P f (P0 ) C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN f '(P ) P0 f (P0 ) 54 27 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ ĐỘ CO GIÃN ĐIỂM CỦA CẦU THEO GIÁ Tính chất: Ed < biểu quan hệ tỉ lệ nghịch lượng cầu giá Ý nghĩa mức độ biểu qua │Ed│ │Ed│> ∆Qd > ∆P cầu co giãn khơng nên tăng giá doanh thu giảm │Ed│< ∆Qd < ∆P cầu không co giãn tăng giá doanh thu tăng 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 55 TỐI ƯU TRONG KINH TẾ Lợi nhuận nhiều Thỏa mãn tiêu dùng nhiều Chi phí sản xuất, tiêu dùng 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 56 28 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ LỢI NHUẬN NHIỀU NHẤT Doanh nghiệp sản xuất loại sản phẩm với yếu tố sản xuất sau: • Hàm chi phí C(Qs) • Doanh thu doanh nghiệp: R = P.Qs • Tổng thuế doanh nghiệp phải đóng: T(t) = t.Qs, t tham số mức thuế / đv sản phẩm • Lợi nhuận doanh nghiệp: П(Qs) = R – C – T Tìm mức sản lượng Qs0 cần sản xuất để lợi nhuận đạt nhiều 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 57 LỢI NHUẬN NHIỀU NHẤT Thị trường cạnh tranh hoàn hảo Giá sản phẩm thị trường định P = P0 ấn định trước Thị trường độc quyền Giá sản phẩm doanh nghiệp định doanh nghiệp muốn tiêu thụ hết sản phẩm Qs = Qd(P) P(Qs) 16/02/2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 58 29 ... TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 16/ 02/ 2016 MƠN TOÁN KINH TẾ C01 120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 42 21 KHOA TỐN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ ĐẠO HÀM CẤP HAI 16/ 02/ 2016 C01 120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 43 TÍNH... y so với thay đổi x 16/ 02/ 2016 MƠN TỐN KINH TẾ C01 120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 40 20 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MƠN TỐN KINH TẾ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 16/ 02/ 2016 C01 120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 41... sau: - ai: số tiền phải trả kì thứ i - Ii: tiền lãi phải trả kì thứ i - Mi: vốn gốc phải trả kì thứ i - Vi: dư nợ gốc đầu kì thứ i i = 1, 2, 3, …, n 16/ 02/ 2016 C01 120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 29