Untitled CHƢƠNG 1 ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1 1 Ma trận Định thức 1 1 1 Định nghĩa ma trận, các khái niệm khác liên quan Định nghĩa ma trận Ma trận là một bảng số thực có m dòng n cột Ma trận thƣờng[.]
CHƢƠNG 1: ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1.1 Ma trận - Định thức 1.1.1 Định nghĩa ma trận, khái niệm khác liên quan Định nghĩa ma trận: Ma trận bảng số thực có m dịng n cột Ma trận thƣờng đƣợc ký hiệu chữ : A , B , …, X, Y,… ; phần tử (các số thực) thƣờng đƣợc ký hiệu chữ thƣờng : a , b , …, x , y , … Phần tử hàng i (từ xuống), cột j (từ trái qua phải) ta ký hiệu : aij – số hàng trƣớc, số cột sau Các phần tử ma trận đƣợc nằm dấu [ ], ( ), || ||, có dạng: sin 7 1, 2 1 4 5 e Amn a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 a ij mn am1 am amn Cỡ, cấp, đƣờng chéo chính: Ma trận có m hàng n cột cỡ ma trận m n Khi m = n (số hàng số cột) A gọi ma trận vng cấp n Cho ma trận A vng cấp n Khi phần tử a11 , a22 ,…, ann nằm đƣờng thẳng gọi đường chéo A, phần tử a11 , a22 ,…, ann gọi phần tử chéo (Chú ý : Khái niệm đƣờng chéo có ma trận vng) Ma trận tam giác: trên, dƣới, ma trận chéo, ma trận đơn vị Cho ma trận A vuông cấp n: Ma trận tam giác trên: Nếu A có phần tử phía dƣới đƣờng chéo (tức là: aij = với i > j) Ví dụ: 1, 5 0 0 e3 Ma trận tam giác dưới: Nếu A có phần tử phía đƣờng chéo (tức là: aij = với i < j) Ví dụ: 7 sin 0 0 e3 Ma trận chéo: Nếu A có phần tử ngồi đƣờng chéo Ma trận chéo vừa ma trận tam giác vừa ma trận tam giác dƣới Ví dụ: 1 0 0 0 0 e3 Ma trận đơn vị: ma trận chéo có phần tử đƣờng chéo Ký hiệu: In ma trận đơn vị cấp n Ví dụ: 1 0 I 0 1 Ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng: Ma trận A vuông cấp n gọi ma trận đối xứng aij = a ji, với i, j =1 n (các cặp phần tử đối xứng qua đƣờng chéo nhau) Ví dụ: 1 20 10 5 20 10 5 e3 Cho A ma trận cỡ m n Ma trận chuyển vị A ma trận cỡ n m có đƣợc từ A cách chuyển hàng thành cột, chuyển cột thành hàng, ký hiệu AT Ví dụ: A32 1 2 1 5 0 AT 2 4 5 4 Nhận xét: A ma trận đối xứng A = AT Ma trận Ma trận B gọi ma trận A B có đƣợc từ A cách bỏ số hàng, số cột Ví dụ: 3 0 5 A 2 1 bỏ hàng cột ta đƣợc ma trận B 1 0 4 Ma trận hàng: Là ma trận có hàng: A1n = [a1 a2 an] b1 b Ma trận cột Là ma trận có cột: Bm1 bm 1.1.2 Các phép toán ma trận Phép nhau: Hai ma trận gọi chúng cỡ (cùng cấp) phần tử tƣơng ứng vị trí Ví dụ: a 2 c A ;B 1 b d 4 A B a 0, b 4, c 2, d 1 Phép cộng, trừ: Cho A B hai ma tr ận cỡ m×n , A = (aij)m × n , B = (bij)m × n Tổng hai ma trận A B ma trận cỡ A+B = (a ij + bij)m × n Tƣơng tự, hiệu ma trận A–B = (aij – bij)m × n Ví dụ: 1 1 1 3 A ; B 2 A B 1 ; A B 4 1 3 5 1 5 11 Cộng (hoặc trừ) hai ma trận cỡ: ta cộng (hoặc trừ) phần tử vị trí tương ứng với Tính chất Giả sử A, B, C ma trận cỡ Khi đó: 1) A + B = B + A 2) (A + B) + C = A + (B + C) 3) A + = + A = A 4) A + (–A) = (–A) + A = Phép nhân ma trận với số thực: Cho ma trận A = [aij] m × n số thực k Khi đó, tích số thực k với ma trận A ma trận kA = [kaij] m × n (Tức là: muốn thực phép nhân ma trận với số thực k, ta nhân tất phần tử ma trận với k.) 1 -2 -4 Ví dụ: 2. -3 -6 Tính chất Giả sử A, B ma trận cỡ k, t số thực Khi đó: k (A + B ) = k A + k B ( k + t) A = kA + tA k( tA ) = kt (A ) 1.A = A 0.A = Phép nhân ma trận: Cho hai ma trận A = (aij) m × p B = (bij) p × n (số cột ma trận A số hàng ma trận B) Khi đó, tích c hai ma trận A B ma trận C = (c ij) m × p n đó: cij aik bkj ai1b1 j ai2b2 j aipbpj k 1 Ví dụ: 2 -1 1 (1.2 3.3 1.9) (13) 9 2 -1 1 13 2 -2 0 9 -1 2 Tính chất Phép nhân hai ma trận nói chung khơng có tính chất giao hoán A ( B + C ) = AB + AC ( A + B ) C = AC + BC ( AB )C = A ( BC ) ( kA ) B = A ( kB ) = k ( AB ) AI = IA = A (AB)T = BT AT Các phép biến đổi sơ cấp ma trận: Đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho Nhân hàng (một cột) với số khác không Nhân hàng (một cột) với số đem cộng vào hàng khác (cột khác) Chú ý: Các phép biến đổi sơ cấp ma trận đóng vai trị quan trọng tính định thức, giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính 1.1.3 Định thức Định nghĩa: Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij)n n Kí hiệu Mij ma trận cấp (n – 1) có đƣợc từ ma trận A bỏ hàng i, cột j ( Mij đƣợc gọi ma trận A ứng với phần tử aij ) Ví dụ: 1 -2 1 -2 A -1 M 23 0 0 Khi đó, định thức cấp n ma trận vng A, kí hiệu là: det(A) hay |A|, số thực đƣợc định nghĩa cách qui nạp nhƣ sau: a) Định thức cấp a a a A 11 12 det( A) A 11 a21 a21 a22 a12 a11a22 a12 a21 a22 b) Định thức cấp : a11 a12 A a21 a22 a 31 a32 a13 a11 a12 a23 det( A) A a21 a22 a33 a31 a32 a13 a23 (a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 ) (a13a22 a31 a11a23a32 a12a21a33 ) a33 c) Định thức cấp n: Công thức khai triển định thức theo hàng thứ i ( i = 1, 2,…, n ) det(A) = |A| = (-1)i+1 ai1det(Mi1) + (-1)i+2 ai2det(Mi2) +…+ (-1)i+n aindet(Min) Công thức khai triển định thức theo cột thứ j ( j = 1, 2,…, n ) det(A) = |A| = (-1)1+j a1jdet(M1j) + (-1)2+j a2jdet(M2j) +…+ (-1)n+j anjdet(Mnj) Trong Mij ma trận vng cấp (n - 1) có đƣợc từ A cách bỏ hàng thứ i, cột thứ j Ví dụ: Khai triển theo hàng 2: -1 -1 -1 0210 2 2 3 (1) -1 (1) -1 36 36 -1 311 301 3011 Các tính chất định thức: Tính chất 1: det(A) = det(AT ) Hệ quả: Mọi tính chất định thức cho hàng cho cột ngƣợc lại Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hai cột ) định thức cho định thức đổi dấu Tính chất 3: Khi nhân phần tử hàng (một cột ) với số k định thức đƣợc nhân lên k lần Hệ Nếu phần tử hàng (một cột ) có thừa số chung đƣa thừa số chung ngồi dấu định thức Tính chất 4: Khi tất phần tử hàng (một cột) có dạng tổng hai số hạng định thức phân tích thành tổng hai định thức nhƣ sau: a11 a12 a21 b21 a22 b22 a31 a32 a13 a11 a12 a23 b23 a21 a22 a33 a31 a32 a13 a11 a12 a23 b21 b22 a33 a31 a32 a13 b23 a33 Tính chất 5: Định thức ma trận không thoả mãn điều kiện sau: - Có hàng (một cột) gồm tồn số khơng - Có hai hàng (hai cột) giống - Có hàng (một cột) tổ hợp tuyến tính hàng khác (cột khác): ( Đại lượng a tổ hợp tuyến tính đại lượng b ,b2 , ,b n , tồn n số thực k1, k2 , , k n a = k1 b1 + k 2b +…+ knb n ) Tính chất 6: Định thức ma trận không thay đổi nhân k vào hàng (một cột) đem cộng vào hàng khác(cột khác) Tính chất 7: Định thức ma trận tam giác tích phần tử chéo Tính chất 8: Nếu A, B hai ma trận vng cấp n det(AB) = det(A).det(B) Tính định thức phép biến đổi sơ cấp Biến đổi sơ cấp Tác dụng Nhân hàng với số k ≠ Định thức nhân k Đổi chỗ hàng Định thức đổi dấu Nhân k với hàng x đem cộng vào hàng y Định thức khơng đổi Nhận xét : Nếu tính định thức việc sử dụng công thức khai triển theo hàng (hay cột) khối lƣợng tính lớn ( n ≥ ) Vì ta sử dụng phép biến đổi sơ cấp ma trận để đƣa ma trận dạng tam giác, định thức ma trận tam giác tích phần tử chéo Các bƣớc tính định thức nhƣ sau: Bước 1: Áp dụng phép biến đổi sơ cấp đƣa định thức dạng định thức ma trận tam giác, nhớ ghi lại tác dụng phép biến đổi sơ cấp đƣợc sử dụng Bước 2: Tính giá trị định thức dạng tam giác kể tác dụng tổng hợp phép biến đổi sơ cấp để sử dụng 1.1.4 Phần phụ đại số phần tử, ma trận phụ hợp Cho ma trận A vuông cấp n Đặt: Mij ma trận có đƣợc từ ma trận A bỏ hàng i, cột j Aij = (-1)i + j det(Mij) Aij gọi phần phụ đại số phần tử aij Ma trận phụ hợp ma trận A ma trận à = (Aij)T với Aij phần phụ đại số phần tử aij ma trận A 1 2 Ví dụ : Tìm ma trận phụ hợp ma trận sau: A 3 4 Giải: Tìm phần phụ đại số: A11 = 4, A12 = -3, A21 = -2, A22 = 3 2 Suy ma trận phụ hợp A là: A 3 T Ghi nhớ : Nếu A ma trận vng cấp ma trận phụ hợp A à có đƣợc từ A phần tử chéo đổi chỗ , phần tử chéo phụ đổi dấu 2 Ví dụ : Tìm ma trận phụ hợp ma trận sau A 2 3 Giải: Trang A11 (1)11 1, A12 38, A13 27, -2 -3 1 1 A 38 41 34 27 29 24 1.1.5 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo: Cho A ma trận vuông cấp n Nghịch đảo ma trận A (nếu tồn tại) ma trận vuông cấp n đƣợc ký hiệu A-1, cho AA-1 = A-1 A = In (trong In ma trận đơn vị cấp n), nói ma trận A khả đảo Tính chất: Nếu A có ma trận nghịch đảo A-1 A-1 khả đảo nghịch đảo A-1 (A-1)-1 = A Nghịch đảo ma trận vng có Nếu A B có nghịch đảo thì: +) (A-1)-1 = A +) (AB)-1 =B-1A-1 +) (kA)-1 = -1 A k Điều kiện cần đủ để tồn ma trận nghịch đảo Định lý: Điều kiện cần đủ để ma trận vuông khả đảo định thức khác khơng Cách tìm ma trận nghịch đảo: dùng ma trận phụ hợp phƣơng pháp Gauss – Jordan Phương pháp ma trận phụ hợp Định lý: Nếu ma trận vng A có det(A) ≠ A có ma trận nghịch đảo A-1 đƣợc tính cơng thức: A1 A det( A) 1 2 Ví dụ : Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A 3 4 Giải: Có det(A) = – = – Trang 2 1 2 A A det A 3 2 1 Chú ý: Phƣơng pháp đƣợc áp dụng để tìm ma trận nghịch đảo ma trận cấp nhỏ (cấp n ≤ 3) Phương pháp Gauss-Jordan Để tìm ma trận nghịch đảo A ta làm nhƣ sau: Bƣớc 1: Viết ma trận đơn vị I cấp với A bên cạnh ma trận A nhƣ sau: (A | I ) Bƣớc 2: Áp dụng phép biến đổi sơ cấp hàng đƣa dần phần ma trận A ma trận tam giác ma trận chéo ma trận đơn vị Tác động đồng thời phép biến đổi vào phần ma trận I Bƣớc 3: Khi phần ma trận A (ban đầu) xuất dạng ma trận đơn vị I phần ma trận I (ban đầu) xuất ma trận A-1 (tức là: (A | I ) (I | A-1 ) 1 3 Ví dụ : Tìm ma trân nghịch đảo A theo phƣơng pháp Gauss – Jordan 1 8 Giải: Hàng thứ 1: 123 100 Hàng thứ 2: 253 010 Hàng thứ 3: 108 001 Hàng thứ 1: 100 ( -2 ) * hàng + hàng -3 -2 ( -1 ) * hàng + hàng -2 -1 Hàng thứ 123 100 Hàng thứ -3 -2 ( ) * hàng + hàng 0 -1 -5 Trang 10 ... + hàng -1 -11 -4 ( -4 ) * hàng + hàng -1 -11 -11 ( ) * hàng + hàng 02814 Hàng thứ 1 -1 hàng -1 -11 -4 ( -1 ) * hàng + hàng 0 0 -7 ( ) * hàng + hàng 0 -14 13 -4 Hàng thứ 1 -1 hàng -1 -11 -4 hàng... Trang 10 Hàng thứ 123 100 Hàng thứ -3 -2 Hàng thứ 0 -1 -5 ( ) * hàng + hàng 120 -14 ( -3 ) * hàng + hàng 010 13 -5 -3 Hàng 0 -1 -5 ( -2 ) * hàng + hàng 100 -40 16 Hàng 010 13 -5 -3 Hàng 0 -1... Giải: Hàng thứ 1: 123 100 Hàng thứ 2: 253 010 Hàng thứ 3: 108 001 Hàng thứ 1: 100 ( -2 ) * hàng + hàng -3 -2 ( -1 ) * hàng + hàng -2 -1 Hàng thứ 123 100 Hàng thứ -3 -2 ( ) * hàng + hàng 0 -1