Bài giảng toán kinh tế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI BỘ MÔN KINH TẾ ***** BÀI GIẢNG TOÁN KINH TẾ Biên soạn: Th.S Đào Văn Khiêm Th.S Trần Văn Khiêm Hà Nội, 2015 MỤC LỤC Chƣơng 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC TOÁN HỌC 1.1 KÝ HIỆU VÀ CÁC ĐỊNH NGHĨA MỞ ĐẦU 1.2 TẬP HỢP VÀ CHUỖI TRONG n 1.3 MA TRẬN 18 1.4 HÀM SỐ 27 1.5 DẠNG TOÀN PHƢƠNG 34 Chƣơng 2: TỐI ƢU TRONG n 40 2.1 CÁC BÀI TOÁN TỐI ƢU TRONG n 40 2.2 CÁC BÀI TOÁN TỐI ƢU DƢỚI DẠNG THAM SỐ 42 2.3 CÁC BÀI TOÁN: MỘT SỐ VÍ DỤ 43 2.4 CÁC MỤC TIÊU CỦA LÝ THUYẾT TỐI ƢU 47 2.5 LỘ TRÌNH 48 Chƣơng 3: TỒN TẠI NGHIỆM: ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS 50 3.1 ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS 50 3.2 ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS TRONG ỨNG DỤNG 51 3.3 CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS 54 Chƣơng 4: TỐI ƢU KHÔNG RÀNG BUỘC 56 4.1 TỐI ƢU “KHÔNG RÀNG BUỘC” 56 4.2 CÁC ĐIỀU KIỆN BẬC NHẤT 57 4.3 CÁC ĐIỀU KIỆN BẬC HAI 58 4.4 SỬ DỤNG CÁC ĐIỀU KIỆN BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 59 Chƣơng 5: CÁC RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC VÀ ĐỊNH LÝ LAGRANGE 62 5.1 BÀI TOÁN TỐI ƢU CÓ RÀNG BUỘC 62 5.2 CÁC RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC VÀ ĐỊNH LÝ LAGRANGE 63 5.3 CÁC ĐIỀU KIỆN BẬC HAI 66 5.4 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ LAGRANGE 69 5.5 HAI VÍ DỤ TỪ KINH TẾ HỌC 75 Chƣơng 6:CÁC RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ĐỊNH LÝ KUHN-TUCKER 82 6.1 ĐỊNH LÝ KUHN-TUCKER 82 6.2 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ KUHN-TUCKER 85 6.3 MINH HỌA TỪ KINH TẾ HỌC 91 6.4 TRƢỜNG HỢP TỔNG QUÁT: CÁC RÀNG BUỘC HỖN HỢP 98 Chƣơng 7: CÁC CẤU TRÚC LỒI TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƢU 99 7.1 TÍNH LỒI XÁC ĐỊNH 99 7.2 CÁC HÀM Ý CỦA TÍNH LỒI 102 7.3 TÍNH LỒI VÀ TỐI ƢU HÓA 109 7.4 SỬ DỤNG TÍNH LỒI TRONG TỐI ƢU HÓA 112 Bài giảng Toán kinh tế Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế Chƣơng 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC TOÁN HỌC 1.1 KÝ HIỆU VÀ CÁC ĐỊNH NGHĨA MỞ ĐẦU 1.1.1 Số nguyên, Hữu tỷ, Thực, n Tập số nguyên dƣơng đƣợc ký hiệu Tập số hữu tỷ đƣợc ký hiệu tập tất số nguyên : : Cuối cùng, tập tất các số thực, vô tỷ lẫn hữu tỷ, đƣợc ký hiệu Nhƣ đƣợc nhắc tới trƣớc đây, giả sử độc giả có hiểu biết trực giác trục số thực thuộc tính chúng (Xem thêm Phụ lục B để biết chi tiết) Khi cho số thực z , giá trị tuyệt đối đƣợc ký hiệu là: { Khoảng cách Euclid hai điểm x y tuyệt đối hiệu số chúng đƣợc định nghĩa – |, tức giá trị Đối với số nguyên dƣơng nào, tích Đề n-chiều đƣợc ký n n hiệu Chúng ta gọi không gian Euclid n-chiều Khi , tiếp tục viết thay cho Một điểm số thực Số n véc tơ đƣợc gọi tọa độ thứ véc tơ , n Chúng ta sử dụng để ký hiệu số thực nhƣ véc tơ Ký hiệu tùy ý, nhƣng ý nghĩa thƣờng rõ ràng cho hồn cảnh Cộng véc tơ nhân vơ hƣớng đƣợc định nghĩa n nhƣ sau: Hình 1.1 cung cấp lời giải thích đồ thị cho cộng véc tơ nhân vô hƣớng Khi cho cặp n-véc tơ , viết Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ mơn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Tốn kinh tế Lƣu ý:   không loại trừ khả , , véc tơ không thiết so sánh đƣợc phân loại nói trên; ví dụ, véc tơ không thỏa mãn , mà khơng thỏa mãn Các góc phần tƣ khơng âm dương ngặt cách tƣơng ứng, đƣợc định nghĩa n , đƣợc ký hiệu n  n  1.1.2 Tích trong, Chuẩn, Mê tric Mục mô tả cấu trúc khơng gian n: tích Euclid hai véc tơ n, chuẩn Euclid véc tơ n, mê tric Euclid đo lƣờng khoảng cách hai điểm n Mỗi số cấu trúc tổng quát khái niệm quen thuộc từ Cụ thể, , và số thực; chuẩn Euclid đơn giản của hiệu chúng Khi cho đƣợc định nghĩa là: , tích Euclid véc tơ , đƣợc ký hiệu ∑ Từ trở đi, gọi tích Euclid đơn giản tích Định lý 1.1: Đối với véc tơ thuộc tính sau: , số vơ hƣớng , tích có Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ mơn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Tốn kinh tế -1 Đối xứng: Song tuyến (bilinearity): ( Tính dương: x , với đẳng thức xảy Chứng minh: Tính đối xứng song tuyến dễ kiểm tra từ định nghĩa tích Để kiểm tra tính dƣơng, nhận xét bình phƣơng số thực ln khơng âm, khơng thân số khơng Từ suy tổng ∑ bình phƣơng số thực luôn, không âm, không cho i, tức là, Tích thỏa mãn điều kiện hữu ích có tên gọi bất đẳng thức Cauchy-Schwartz: Định lý 1.2: (Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz) Đối với có bất phương trình sau: nào, Chứng minh: Để dễ dàng việc ký hiệu, ta sử dụng ký hiệu sau , Khi kết đƣợc chứng minh , bất phƣơng trình đƣợc yêu cầu đƣợc suy cách lấy bậc hai hai vế Nếu , bất phƣơng trình đƣợc bảo đảm cách dễ dàng Do vậy, giả sử Nhận xét theo tính dƣơng tích trong, phải có Thuộc tính tính dƣơng hàm ý số vơ hƣớng nào, có Nói riêng, bất phƣơng trình phải bảo tồn cho dụng phƣơng trình trên, có ( ) Vì ( ) Khi giá trị / , điều đến lƣợt hàm ý  đpcm Chuẩn Euclid (từ trở gọi đơn giản chuẩn) véc tơ ký hiệu , đƣợc định nghĩa (∑ đƣợc sử , đƣợc ) Chuẩn liên hệ với tích thông qua đồng thức cho tất ; nói riêng, bất phƣơng trình Cauchy-Schartz đƣợc viết Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -Kết chúng ta, điều mô tả số thuộc tính hữu ích chuẩn, sử dụng quan sát Định lý 1.3: Chuẩn thỏa mãn thuộc tính sau tất Tính dương: , : , với đẳng thức xảy Tính (homogeneity): Bất đẳng thức (bất phương trình) tam giác Chứng minh: Thuộc tính tính dƣơng chuẩn suy từ thuộc tính tính dƣơng tích trong, kiện Tính có đƣợc (∑ ) ( ∑ ) Bất phƣơng trình tam giác đơi chút khó hiểu hơn; cần bất phƣơng trình Cauchy-Schwartz để thiết lập Hãy quan sát x y n, có Theo bất phƣơng trình Cauchy-Schwartz, phƣơng trình trƣớc đó, đạt đƣợc Thế bất phƣơng trình vào Chứng minh đƣợc rút cách lấy bậc hai cho hai vế Đpcm hai véc tơ x y Khoảng cách (mê tric) Euclid (∑ n đƣợc cho ) Hàm khoảng cách d đƣợc gọi độ đo (hay mê tric), đƣợc liên hệ với chuẩn qua đồng thức thông – cho tất Định lý 1.4: Độ đo d thỏa mãn thuộc tính sau cho tất Tính dương: với đẳng thức xảy , Đối xứng: Bất phương trình tam giác: , cho tất Chứng minh: Thuộc tính tính dƣơng độ đo suy từ thuộc tính tính dƣơng chuẩn, quan sát – Tính đối xứng trực tiếp từ định nghĩa Bất phƣơng trình giống hệt nhƣ – – Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -Đây bất phƣơng trình tam giác cho chuẩn, điều mà thiết lập Đpcm Các khái niệm tích trong, chuẩn, độ đo đƣợc định nghĩa khơng gian véc tơ trừu tƣợng nào, không n Trên thực tế, thuộc tính mà vừa liệt kê Định lý 1.1, 1.3 1.4, không gian véc tơ trừu tƣợng, xác định đặc trƣng khái niệm tƣơng ứng Bởi vậy, ví dụ, tích trong khơng gian véc tơ đƣợc xác định toán tử thỏa mãn ba thuộc tính đối xứng, song tuyến tính dƣơng; chuẩn khơng gian đƣợc định nghĩa toán tử đáp ứng điều kiện tính dƣơng, tính nhất, bất phƣơng trình tam giác Để biết chi tiết thêm, xem Phụ lục C n 1.2 TẬP HỢP VÀ CHUỖI TRONG 1.2.1 Chuỗi giới hạn Một chuỗi (sequence) n dãy điểm Chuỗi thƣờng đƣợc viết hoặc, súc tích hơn, đơn giản cho số nguyên Thình thoảng, ký hiệu chuỗi Chuỗi điểm n đƣợc nói hội tụ tới giới hạn (viết ) khoảng cách tiến tới không k tiến vô hạn, tức là, tất , tồn số nguyên cho tất , có Một chuỗi hội tụ tới giới hạn đƣợc gọi chuỗi hội tụ Ví dụ, chuỗi đƣợc xác định hội tụ, với lim Để thấy điều này, lấy số nguyên cho Khi đó, , vậy, thực cho tất k chuỗi Cho có Định lý 1.5: Một chuỗi có nhiều giới hạn Tức là, chuỗi n hội tụ tới điểm khơng thể hội tụ tới điểm với Chứng minh: Điều suy từ ứng dụng đơn giản bất phƣơng trình tam giác Nếu , , Vì , bất phƣơng trình không k tiến tới vô hạn, , Đpcm tiến tới Một chuỗi n đƣợc gọi chuỗi bị chặn tồn số thực M cho cho k Một chuỗi không bị chặn đƣợc gọi không bị chặn; tức là, chuỗi không bị chặn tồn k(M) cho Định lý 1.6: Mọi chuỗi hội tụ n bị chặn Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -Chứng minh: Giả sử cho , tam giác tạo cho định nghĩa hội tụ Khi đó, tồn k(1) , áp dụng bất phƣơng trình Giả sử Vì Bây định nghĩa M cực đại tập hữu hạn số k đpcm Khi đó, Trong Định lý 1.5 thiết lập chuỗi có nhiều giới hạn, Định lý 1.6 hàm ý chuỗi khơng có giới hạn Quả thực, chuỗi hội thụ phải bị chặn, suy chuỗi khơng bị chặn, khơng thể hội tụ Do vậy, ví dụ, chuỗi đƣợc xác định k chuỗi khơng-hội tụ Tuy nhiên, tính không bị chặn không nguyên nhân để chuỗi khơng thể hội tụ Hãy xét ví dụ sau: giả sử đƣợc cho , Chuỗi bị chặn có | cho tất k Tuy nhiên, khơng có giới hạn Nguyên nhân thành phần lẻ chuỗi hội tụ tới không, thành phần chẵn hội tụ tới Vì chuỗi có giới hạn, chuỗi khơng hội tụ Kết tính hội tụ chuỗi n tƣơng đƣơng với hội tụ theo tọa độ Điều mang lại cho cách thức khác để thiết lập hội tụ n Chúng ta sử dụng số để ký hiệu chuỗi kết để tránh nhầm lẫn giữaphần tử thứ k chuỗi, tọa độ thứ i tọa độ véc tơx Định lý 1.7: Một chuỗi trong Chứng minh: x n n hội tụ tới giới hạn x và Chúng ta sử dụng kiện khoảng cách Euclid hai điểm đƣợc viết (∑ khoảng cách Euclid ) Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ mơn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Tốn kinh tế -Thứ nhất, giả sử Chúng ta cho i , tức là, với i cho nào, tồn cho , có Do giả sử cho Theo định nghĩa cho cho tất Do vậy, ta có đƣợc , tồn với i, chúng (∑ Đặt cho i, chứng minh Bây giả sử tồn cho Định nghĩa có hội tụ tới ) cho i Đpcm cho i Giả sử cho Chúng ta cho tất , điều thiết lập cho , √ Đối với i , tồn Định nghĩa cực đại tập hữu hạn số Khi đó, có cho i (∑ ) (∑ √ ) đpcm Định lý 1.7 tạo điều kiện dễ dàng chứng minh kết trình sau đây: Định lý 1.8: Giả sử chuỗi k , có , n tơ cố định Khi đó, n hội tụ tới giới hạn x Giả sử số véc Chứng minh: Định lý đƣợc chứng minh cho Giả sử kết sai, vậy, i đó, có Vì , theo Định lý 1.7 cho ; nói riêng Nhƣng kết hợp với hàm ý k lớn, phải có mâu thuẫn với giả thiết dẫn tới mâu thuẫn Do vậy, Điều cho k Một lý lẽ tƣơng tự thiết lập Đpcm 1.2.2 Các chuỗi điểm giới hạn Giả sử cho chuỗi n Giả sử m quy tắc gán cho k giá trị , Giả sử m tăng, tức là, , có Khi cho xác định chuỗi { , mà phần tử thứ k phần tử thứ chuỗi Chuỗi đƣợc gọi chuỗi Nói cách khác, chuỗi chuỗi tập vô hạn chuỗi nguyên thủy bảo tồn đặt trật tự thành phần Thậm chí chuỗi khơng hội tụ, chứa chuỗi hội tụ Ví dụ, chuỗi khơng có giới hạn, nhƣng chuỗi , chuỗi đạt đƣợc từ chuỗi nguyên thủy cách lựa chọn phần tử chẵn lẻ cách tƣơng ứng chuỗi hội tụ Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế Chƣơng 7: CÁC CẤU TRÚC LỒI TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƢU Khái niệm lồi chiếm vị trí trung tâm nghiên cứu lý thuy ết tối ƣu hóa Nó khơng bao gồm ý tƣởng tập lồi, mà cách hàm lõm lồi (xem Mục 7.1 để biết định nghĩa) Độ hấp dẫn tính lồi cho lý thuyết tối ƣu hóa phát sinh từ kiện toán tối ƣu hóa đáp ứng điều kiện lồi thích hợp, điều kiện bậc-nhất mà chƣơng trƣớc điều kiện cần cho tối ưu cục bộ, trở thành điều kiện đủ cho tối ưu tồn cục Quả thực, chí cịn nhiều điều khác Khi điều kiện lồi đƣợc bó hẹp thành đƣợc gọi điều kiện lồi ngặt, nhận đƣợc thêm phần thƣởng tính nghiệm Tầm quan trọng kết nhƣ vậy, đặc biệt từ quan điểm tính tốn, rõ ràng, Tất nhiên, vững mạnh thêm cách đáng kể phân tích trƣớc khơng phải có đƣợc cách miễn phí Nhƣ Mục 7.2, giả thiết tính lồi giả thiết mạnh Một hàm số lõm lồi thiết phải liên tục nơi miền miền xác định Nó phải có thuộc tính khả vi mạnh; ví dụ, tất đạo hàm theo hƣớng hàm nhƣ phải tồn tại tất điểm miền xác định Cuối cùng, giả thiết tính lồi đặt ràng buộc mạnh độ cong lên hàm nằm bên dƣới, dƣới dạng thuộc tính phải đƣợc thỏa mãn đạo hàm bậc bậc hai Các kết giả thiết tính lồi khơng phải giả thiết vơ thƣởng vơ phạt, mà, đƣợc nhìn từ quan điểm hẹp sách này, tranh ràng buộc mà chúng vẽ có lẽ đơi chút bị phóng đại Một mặt, tiếp tục giả thiết nghiên cứu tốn tối ƣu hóa có ràng buộc hàm có liên quan (ít nhất) khả vi liên tục Tính khả vi liên tục mức độ mạnh nhiều tính trơn so với đạt đƣợc từ giả thiết lồi; vậy, thuộc tính liên tục khả vi hàm lõm lồi, điều tỏ mạnh đƣợc nhìn cách biệt lập, rõ ràng khơng hàm ý hạn chế tăng thêm lên cấu trúc tốn Mặc dù khơng thể nói nhƣ hàm ý độ cong tính lồi, hàm ý khơng có ý nghĩa ứng dụng kinh tế, chúng thƣờng đƣợc biện minh viện dẫn tới xem xét nhƣ tiện ích cận biên giảm dần, sản phẩm cận biên giảm dần 7.1 TÍNH LỒI XÁC ĐỊNH Nhắc lại từ Chƣơng tập  đƣợc gọi lồi tổ hợp lồi hai điểm tự nằm , tức là, với x y tất (0,1)  x+(1- ) Dựa định nghĩa này, giới thiệu 7.1.1 hai lớp hàm số đƣợc cọi hàm lõm hàm lồi Các hàm lõm lồi đóng vai trị quan trọng nghiên cứu tốn tối đa hóa tối thiểu hóa, cách tƣơng ứng Ý nghĩa chúng phát sinh trƣớc hết từ kiện toán với tập ràng buộc lồi hàm mục tiêu lõm, điều kiện bậc-nhất vừa cần đồng thời vừa đủ để cực đại toàn cục; trong toán với tập ràng buộc lồi hàm mục tiêu lồi, điều kiện bậc-nhất cần đủ để cực tiểu tồn cục Đƣợc khích lệ điều này, nói phần tốn tối ƣu hóa tốn tối đa hóa lồi tập ràng buộc lồi hàm mục tiêu lõm Bài toán tối 99 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ mơn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Tốn kinh tế -thiểu hóa cách tƣơng tự đƣợc nói tốn tối thiểu hóa lồi tập ràng buộc lồi, hàm mục tiêu lồi Tổng quát hơn, nói tốn tối ƣu hóa tốn tối ưu hóa lồi, có mơi trường lồi, tốn tối ƣu hóa lồi, bái tốn tối thiểu lồi Bởi vậy, việc sử dụng từ “lồi” bao gồm toàn tập hợp tập lồi, hàm lõm lồi Theo sau định nghĩa hàm lõm lồi mục 7.1.1, định nghĩa khái niệm hạn chế hàm lõm ngặt lồi ngặt mục 7.1.2 Ngồi việc có tất thuộc tính mong muốn hàm lõm lồi cách tƣơng ứng, hàm lõm ngặt lồi ngặt có tính chất đáng lƣu ý chúng bảo đảm tính nghiệm Tức là, tốn tối đa hóa lồi với hàm mục tiêu lõm ngặt có nhiều nghiệm, nhƣ tốn tối thiểu hóa lồi với hàm mục tiêu lồi ngặt Trong việc mở rộng xác định thuật ngữ đƣợc giới thiểu trƣớc đây, nói tốn tối đa hóa tốn tối đa hóa lồi ngặt tốn tối đa hóa lồi, hàm mục tiêu lõm ngặt Các toán tối thiểu lồi ngặt đƣợc định nghĩa cách tƣơng tự 7.1.1 Các hàm lõm lồi Giả sử f : tập lồi Trong suốt phần lại chƣơng này, giả thiết là Đồ thị (subgraph) f đồ thị (epigraph) f, đƣợc ký hiệu sub f epi f, đƣợc đinh nghĩa Một cách trực giác, phần dƣới đồ thị dƣới hàm số diện tích nằm bên đồ thị hàm số đó, phần đồ thị hàm số diện tích nằm bên độ thị hàm số Hình 7.1 minh họa khái niệm Một hàm f đƣợc nói lõm sub f tập lồi, lồi epi f tập lồi 100 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -Định lý 7.1: Một hàm f : lõm với x, y , ta có Tương tự, f: lồi với x, y , trường hợp Chứng minh: Đầu tiên, giả sử f lõm, tức là, sub f tập lồi Giả sử x y điểm tùy ý Khi đó, sub f sub f Vì sub f tập lồi, trƣờng hợp với ( Theo định nghĩa sub f, điểm vậy, ) nằm sub f Do nhƣ đƣợc yêu cầu Bây giả sử trƣờng hợp với x, y , tất Chúng ta sub f tập lồi, tức là, ý sub f, , , ta có Theo định nghĩa sub f, phải có thiết, , phải có Do vậy, có điểm tùy nằm sub f Theo giả ,hoặc Điều hoàn thiện chứng minh cho hàm lõm Kết cho hàm lồi đƣợc chứng minh theo cách suy luận Đpcm Các khái niệm tính lõm tính lồi khơng vét cạn mà khơng loại trừ lẫn nhau; tức có hàm số khơng lõm mà chẳng lồi, hàm số vừa lõm vừa lồi Để thấy ví dụ hàm số thuộc loại đầu, xét f: đƣợc xác định với x Giả sử Với có f khơng phải lõm Mặt khác, với  / , có f khơng phải lồi f: có Để có ví dụ hàm vừa lồi vừa lõm, chọn đƣợc cho Với và Xét hàm số bất kỳ, 101 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế = từ suy f có thuộc tính đƣợc yêu cầu Các hàm số nhƣ vậy, hàm vừa lõm vừa lồi, đƣợc gọi tuyến (affine) 7.1.2 Các hàm lõm ngặt lồi ngặt Một hàm lõm f : đƣợc nói lõm ngặt với x, y , có Tƣơng tự, hàm lồi f: với , có với đƣợc nói lồi ngặt với x, y , với với Dễ dàng đƣa ví dụ hàm lõm, nhƣng không lõm ngặt, lồi, nhƣng khơng lồi ngặt Ví dụ, hàm tuyến vừa lõm vừa lồi, nhƣng không lõm ngặt nhƣ không lồi ngặt Mặt khác, hàm f: đƣợc cho lõm ngặt , lồi ngặt Tại điểm “ranh giới” vừa lõm vừa lồi, nhƣng không lõm ngặt không lồi ngặt , hàm Kết cuối mục hậu trực tiếp định nghĩa tính lõm tính lồi Hàm ý quan trọng cho phép chúng ta, phần tiếp theo, cần tập trung vào hàm lõm, thuận tiện cho trình diễn Các phát biểu tƣơng tự cho hàm lồi trƣờng hợp nhƣ dễ đƣợc rút ra, điều đƣợc để lại cho độc giả nhƣ tập Định lý 7.2: Một hàm f: lõm hàm  f lồi lõm ngặt f lồi ngặt Nó 7.2 CÁC HÀM Ý CỦA TÍNH LỒI Mục đƣợc chia thành ba phần để kiểm tra cách tƣơng ứng tính liên tục, tính khả vi, thuộc tính độ cong đạt đƣợc từ giả thiết tính lồi Các kết là:  Mỗi hàm lõm lồi phải liên tục miền miền xác định (mục 7.2.1)  Mỗi hàm lõm lồi phải có thuộc tính khả vi tối thiểu (mục 7.2.2) Ngoài thứ khác, tất đạo hàm theo hƣớng phải đƣợc xác định tốt tất điểm miền xác định hàm lõm lồi  Tính lõm lồi hàm khả vi khắp nơi f đƣợc đặc trƣng hóa hoàn toàn theo nghĩa hành vi đạo hàm nó, tính lõm lồi hàm f đƣợc 102 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -đặc trƣng hóa hồn tồn theo nghĩa hành vi đạo hàm bậc hai (mục 7.2.3) Một vài thuộc tính hữu ích khác hàm lõm lồi đƣợc liệt kê Bài tập Ngoại trừ Định lý 7.9, định lý đƣợc sử dụng để chứng minh Định lý 7.15, không kết mục đóng vai trị phần tiếp theo, độc giả vội vàng (và ngƣời muốn chấp nhận tính lồi có hàm ý mạnh) muốn bỏ qua muc Phát biểu kết quả, nhiên, xứng đáng để bỏ đôi chút thời gian, nhằm tính tới ý nghĩa thực hành nó: Định lý 7.10 mục 7.2.3 mô tả kiểm định để nhận biết hàm lõm lồi, kiểm định hầu nhƣ dễ sử dụng ứng dụng so với định nghĩa nguyên thủy 7.2.1 Tính lồi tính liên tục Kết mục hàm lõm phải liên tục nơi miền xác định nó, cõ lẽ ngồi trừ điểm biên Định lý 7.3: Giả sử f: hàm lõm Khi đó, Nếu khơng mở, f liên tục miền mở, f liên tục Chứng minh: Chúng ta chứng minh mở f lõm , f phải liên tục Vì int mở cho tập nào, tính lõm f hàm ý tính lõm int , kết chứng chí khơng mở, f phải liên tục miền Bởi vậy, giả sử r , cho B xác định có Vì mở Giả sử , với k Vì mở, tồn Hãy chọn cho Giả sử AB đƣợc Chọn K đủ lớn cho với , , tồn K nhƣ Khi đó, với , tồn hợp  k Do vậy, tính lõm f, cho , trƣờng Lấy giới hạn, có 103 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế Thứ hai, điều với , tồn cho (xem Hình 7.2) Một lần nữa, khai thác tính lõm f, có Vì k  , cách lấy giới hạn có đƣợc phải tiến tới k Chúng ta thiết lập đƣợc đpcm Do vậy, phải có, Các kết luận Định lý 7.3 đƣợc củng cố để đạt đƣợc tính liên tục tồn ; tức là, tính liên tục f thất bại điểm biên Hãy xét ví dụ sau đây: Ví dụ 7.4: Xác định f : {√ Khi đó, f lõm (trên thực tế, lõm ngặt) [0,1], nhƣng gián đoạn điểm biên 7.2.2 Tính lồi tính khả vi Nhƣ với tính liên tục, giả thiết tính lồi mang hàm ý mạnh cho tính khả vi hàm xét Chúng ta kiểm tra số hàm ý mục Chúng ta bắt đầu cách thiết lập thuộc tính hàm lõm biến Sau đó, sử dụng thuộc tính lập luận bootstrapping để rút kết tƣơng tự cho hàm lõm đƣợc xác định n Định lý 7.5: Giả sử g: điểm thỏa mãn lõm,  mở lồi Giả sử x1 , x2 , x3 Khi đó, Nếu g lõm ngặt, bất đẳng thức trở thành ngặt Nhận xét: Hình 7.3 mơ tả nội dung Định lý 7.5 dƣới dạng đồ thị Chứng minh: giản có Đặt Khi , số tính tốn đơn Vì g lõm, với bất đẳng thức ngặt g lõm ngặt Do vậy, 104 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ mơn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Tốn kinh tế với bất đẳng thức ngặt g lõm ngặt Sắp xếp lại biểu thức này, cuối có đƣợc với bất đẳng thức ngặt g lõm ngặt Điều thiết lập bất đẳng thức đƣợc yêu cầu Các bất đẳng thức khác đạt đƣợc theo csch tƣơng tự Đpcm Định lý 7.5, nói riêng, hàm ý g: , thƣơng hiệu hàm lõm, x điểm hàm không tăng theo b với Do vậy, cho phép nhƣ giá trị giới hạn, tồn giới hạn biểu thức Bây dễ dàng thiết lập đƣợc hàm lõm phải có tất đạo hàm theo hƣớng: Định lý 7.6: Nếu g: lõm tất đạo hàm có hướng (một-phía) g tồn tại điểm x , số số đạo hàm có giá trị vô hạn 105 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -Chứng minh: Cố định x y Đầu tiên, giả sử Vì sử , , có / ; vậy, Khi đó, / Giả / Chúng ta khẳng định, nhƣ hậu Định lý 7.5 tồn giới hạn biểu thức bậc hai bên vế phải b Do vậy, tồn đạo hàm theo hƣớng x theo hƣớng Khi đó, có Bây giả sử Vì / , có –  Giả sử / ; vậy, , có / / Vì giới hạn bên vế phải đƣợc biết xác định tốt, đạo hàm theo hƣớng g x tồn theo hƣớng , đạo hàm theo hƣớng Cuối cùng, thƣờng / theo hƣớng y tồn cách tầm / điều cho thấy đpcm Sự tƣơng tự n-chiều kết dễ đƣợc thiết lập: Định lý 7.7: Giả sử  mở lồi Khi đó, õm, f có tất đạo hàm theo hướng tất điểm (Các đạo hàm vơ hạn) Chúng minh: Giả sử tùy ý Đặt mở, xác định-tốt lân cận không Lƣu ý Hơn nữa, , Vì , 106 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế lõm Theo Định lý 7.6, vậy, thƣơng hiệu / không giảm giới hạn vô hạn Từ định nghĩa giới hạn tùy ý, đpcm – Vì tồn tại, Một câu hỏi tự nhiên phát sinh từ Định lý 7.7 liệu, tới phạm vi nào, tính lồi thực hàm ý tính khả vi đầy đủ hàm số Câu trả lời cho câu hỏi này, thật khơng may, địi hỏi phải hiểu biết khái niệm thƣớc đo Lebesgue Đối với độc giả không quen với lý thuyết độ đo, lời giải thích kết đƣợc đƣa sau phát biểu định lý dƣới Định lý 7.8: Giả sử tập mở lồi , giả sử f: lõm Khi khả vi nơi , cỏ khả ngoại trừ tập điểm có thước đo Lebesgue khơng Hơn nữa, đạo hàm liên tục tất điểm mà tồn Chứng minh: Xem Fenchel (1953, tr 87) Đpcm Nhận xét: Một thuộc tính bảo tồn nơi tập , có khả ngoại trừ tập có thƣớc đo Lebesgue khơng, đƣợc nói bảo tồn “hầu nhƣ nơi” tập (hoặc, xác hơn, “hầu nhƣ nơi theo thƣớc đo Lebesgue”) Theo thuật ngữ này, Định lý 7.8 đƣợc phát biểu là: hàm lõm lồi đƣợc xác định tập mở phải khả vi hầu nhƣ nơi miền xác định Thảo luận sau đƣợc nhằm tới độc giả không quen với lý thuyết độ đo Nó cố gắng cung cấp ý tƣởng trực giác có nghĩa tập thƣớc đo Lebesgue khơng Một mơ tả hình thức đƣợc thấy Royden (1963) Billingsley (1978) Hãy định nghĩa hình trụ (cylinder) tập E có dạng Thƣớc đo Lebesgue trụ này, đƣợc ký hiệu véc tơ cho thỏa mãn , đƣợc định nghĩa nhƣ Nhận xét thƣớc đo Lebesgue tổng quát hóa tự nhiên “các thƣớc đo” quen thuộc độ dài diện tích , dung tích Một trụ đơn giản khoảng thƣớc đo Lebesgue , giống hệt nhƣ độ dài khoảng Tƣơng tự, trụ hình chữ nhật, mà thƣớc đo Lebesgue tƣơng ứng với khái niệm diện tích hình chữ nhật thơng thƣờng chúng ta, trụ hình lập phƣơng, mà thƣớc đo Lebesgue tƣơng ứng với khái niệm thể tích thơng thƣờng 107 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ mơn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Tốn kinh tế -Theo nghĩa trực giác, tập thƣớc đo Lebesgue khơng đƣợc nghĩ nhƣ tập đƣợc bao phủ cách sử dụng trụ mà thƣớc đo Lebesgue kèm theo chúng đƣợc làm nhỏ cách tùy ý Tức là, tập  có thƣớc đo Lebesgue không nhỏ tùy ý, tồn tập trụ cho ∑ tạo thành tập thƣớc đo không Để thấy điều này, số hữu tỷ (nhớ lại số hữu tỷ tập đếm Ví dụ, số hữu tỷ lấy liệt số đƣợc), cách sau: giả sử Chọn khoảng Đối với , xác định cho Lƣu ý Chúng ta có  ⋃ cho ∑ Hơn nữa, ∑ bao số hữu tỷ trụ có tổng thƣớc đo nhỏ Vì đpcm 7.2.3 tùy ý, Tính lồi thuộc tính đạo hàm Trong mục này, thiết lập hàm ý tính lồi cho hành vi đạo hàm Kết cung cấp đặc trƣng hóa hồn chỉnh tính lõm tính lồi hàm khả vi nơi cách sử dụng đạo hàm bậc nó: Định lý 7.9: Giả sử tập mở lồi đó, lõm lồi Chứng minh: , giả sử khả vi Khi Xem Mục 7.5 Đpcm Tính lõm tính lồi hàm đƣợc đặc trƣng hóa cách sử dụng đạo hàm bậc hai nó, nhƣ kết Kết cung cấp điều kiện đủ cho việc hàm lõm ngặt lồi ngặt, kết đặc biệt thú vị từ quan điểm tính tốn nhƣ giải thích cách ngắn gọn 108 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ mơn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Tốn kinh tế -Định lý 7.10: Giả sử hàm ,  mở lồi Khi đó, lõm lồi Nếu ma trận bán xác định âm cho ma trận bán xác định dương cho xác định âm cho Nếu , f lõm ngặt xác định dương cho Chứng minh: , f lồi ngặt Xem Mục 7.6 Đpcm Một điều quan trọng lƣu ý phần Định lý 7.10 hàm ý chiều Định lý không khẳng định điều kiện cần cho điều kiện này, và, thực, dễ thấy điều kiện khơng phải cần Hãy xét ví dụ sau: Ví dụ 7.11: Giả sử f: g: đƣợc xác định cách tƣơng ứng Khi f lõm ngặt , g lồi ngặt Tuy nhiên, , vậy, đƣợc coi nhƣ ma trận , không xác định âm, khơng xác định dƣơng Ví dụ 7.12: Với đƣợc xác định Giả sử cho, hàm lõm nếu, , có ̂ lồi với ̂ ̂ ̂ ̂̂ ̂ y và , có ̂̂ ̂ So sánh kiểm tra cho thuộc tính lồi cách sử dụng bất-đẳng thức cho việc kiểm tra cho thuộc tính lồi cách sử dụng kiểm định đạo hàm bậc hai đƣợc cung cấp Định lý 7.10 Kiểm định sau yêu cầu tính xác định ma trận sau: Định thức ma trận , dƣơng , khơng , âm Vì phần tử đƣờng chéo âm , từ suy f hàm lõm ngặt , hàm lõm , khơng lõm chẳng lồi 7.3 TÍNH LỒI VÀ TỐI ƢU HĨA Mục đƣợc chia thành ba phần Trong mục 7.3.1, số hàm ý đơn giản nhƣng mạnh mẽ, hàm ý giả thiết cấu trúc lồi tối toán ƣu trừu tƣợng hóa Mục 7.3.2 sau làm việc với tính đủ điều kiện bậc-nhất cho tối ƣu không-ràng buộc Cuối cùng, mục 7.3.3, trình bày kết mục này, Định lý 7.16, định lý điều kiện quy 109 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -(regularity condition) nhẹ, điều kiện bậc-nhất Kuhn-Tucker vừa cần vừa đủ để điểm tối ƣu toán tối ƣu ràng buộc-bất-đẳng thức lồi Tất kết mục đƣợc phát biểu hồn cảnh tốn tối đa hóa Mỗi tốn xác tƣơng tự nhƣ hồn cảnh tốn tối thiểu hóa: điều đƣợc để lại cho độc giản nhƣ tập thực hành 7.3.1 Một số quan sát chung Mục trình bày hai kết cho thấy tầm quan trọng tính lồi cho lý thuyết tối ƣu hóa Kết (Định lý 7.13) thiết lập tốn tối ƣu hóa lồi, tất tối ƣu cục phải tối ƣu toàn cục; và, vậy, để tìm đƣợc tối ƣu tồn cục toán nhƣ vậy, đủ tìm đƣợc tối ƣu cục Kết thứ hai (Định lý 7.14) cho thấy toán tối ƣu hóa lồi ngặt có nghiệm, nghiệm phải Định lý 7.13: Giả sử  lõm Khi đó, lồi, Bất kỳ cực đại cục f cực đại toàn cục của cực đại tập rỗng lồi Chứng minh: Giả sử có cực đại cục nhƣng khơng cực đại tồn cục Vì cực đại cục bộ, tồn cho với Vì khơng cực đại tồn cục, tồn cho ) Vì lồi, cho Chọn đủ gần đơn vị cho Do tính lõm , Vì ta có Nhƣng ( – ) nằm theo cách xây dựng, mâu thuẫn Điều thiết lập Phần Để thấy đƣợc Phần 2, giả sử Hơn nữa, cực đại có điều phải đƣợc bảo toàn với đẳng thức vậy, tập cực đại phải lồi Đó đpcm Định lý 7.14: Giả sử  lồi, rỗng chứa điểm đơn Chứng minh: Giả sử chứa điểm đơn Khi đó, chúng khơng cực đại Bởi lõm ngặt Khi khơng rỗng Chúng ta phải Chúng ta Định lý 7.13 phải lồi Giả sử tập chứa hai điểm phân biệt Chọn giả sử Khi phải cực đại phải có Tuy nhiên, tính lồi ngặt , mâu thuẫn Đpcm 7.3.2 Tính lồi tối ưu khơng ràng buộc 110 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -Kết sau cho thấy điều kiện bậc-nhất cho tối ƣu không ràng buộc (tức là, điều kiện vừa cần vừa đủ để điểm cực đại không ràng buộc tồn cục, cực đại tồn Định lý 7.15: Giả sử  lồi, cực đại không ràng buộc hàm lõm khả vi Khi x Chứng minh: Chúng ta Chƣơng điều kiện phải đƣợc bảo toàn cực đại cục khơng ràng buộc Do hiển nhiên phải đƣợc bảo toàn cực đại tồn cục khơng ràng buộc Hàm ý ngƣợc lại (là điều yêu cầu tính lõm thực tế hậu trực tiếp Định lý 7.9 Vì, giả sử hai điểm , Định lý 7.9 cho thấy tính lõm phải có – Nếu, vế phải phƣơng trình 0, phƣơng trình phát biểu xác Vì tùy ý, cực đại tồn cục Đó đpcm 7.3.3 Tính lồi Định lý Kuhn-Tucker Kết sau đây, có lẽ quan trọng tồn mục này, cho thấy điều kiện bậc-nhất Định lý Kuhn-Tucker vừa cần vừa đủ để tối ƣu toán tối ƣu hóa ràng buộc-bất-đẳng thức, miễn điều kiện quy nhẹ đƣợc thỏa mãn Định lý 7.16: (Định lý Kuhn-Tucker điều kiện lồi) Giả sử f làm lõm ánh xạ U vào ,  mở lồi Với , giả sử hàm lõm Giả sử tồn ̅ cho ̅ Khi tối đa hóa tồn cho điều kiện bậc-nhất Kuhn-Tucker bảo toàn: ∑ ∑ Chứng minh: Xem Mục 7.7 Đpcm Điều kiện tồn điểm ̅ cho ̅ với đƣợc gọi điều kiện Slater Tồn hai điểm điều kiện đáng phải nhấn mạnh Thứ nhất, điều kiện Slater đƣợc sử dụng chứng minh cần tối ƣu Nó khơng giữ vai trị chứng minh tính đủ Tức là, điều kiện 111 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ mơn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Tốn kinh tế -và đủ để điểm tối ƣu tất điều kiện Slater có đƣợc thỏa mãn hay khơng hàm lõm, Thứ hai, tính cần điều kiện cực đại cục đƣợc thiết lập Định lý 6.1, nhƣng giả thiết khác, cụ thể là, điều kiện hạng mơ tả Định lý 6.1 đƣợc bảo tồn Một cách có hiệu quả, phần cần Định lý 7.16 cho thấy điều kiện hạng đƣợc thay tổ hợp điều kiện Slater hàm ràng buộc lõm Tuy nhiên, hai cấu phần tổ hợp quan trọng: nhƣ tính cần ] bị thất bại điều kiện hạng khơng đƣợc thỏa mãn, tính cần bị thất bại nhƣ điều kiện Slater tính lõm hàm khơng đƣợc thỏa mãn Hãy xét ví dụ sau: Ví dụ 7.17: Giả sử hàm đƣợc xác định với Khi hàm lõm Tuy nhiên, tập ràng buộc có chứa điểm 0; vậy, không tồn Slater bị vi phạm Hiển nhiên, cực đại không tồn cho mãn điểm tối ƣu , điều kiện phải xảy Vì , khơng đƣợc thỏa Nhƣ Ví dụ 6.4, giả sử tốn tối đa hóa tập đƣợc xác định , cách tƣơng ứng Hãy xét Ví dụ 7.18: Lƣu ý điều kiện Slater đƣợc thỏa mãn tốn (ví dụ, h khơng hàm lõm D Nhƣ hậu quả, điều kiện điều kiện cần; thực, nhƣ Ví dụ 6.4, cực đại toàn cục xảy , nhƣng không tồn cho điểm tối ƣu Bởi vậy, không đƣợc thỏa mãn Điểm cần nhấn mạnh Ví dụ 7.18 điều kiện Slater tự thân thay điều kiện hạng Định lý 6.1 Đúng là, điều có khả xảy nhƣ tất hàm lõm 7.4 SỬ DỤNG TÍNH LỒI TRONG TỐI ƢU HÓA Các kết mục trƣớc có tầm quan trọng rõ ràng việc giải tốn tối ƣu Mục đích mục nhấn mạnh cách lặp lại giá trị chúng theo hƣớng Chúng ta tập trung vào toán ràng buộc bất đẳng thức loại tốn hàm tất hàm lõm biểu thức Lagrange cho toán hàm tập mở lồi  đƣợc xác định Nhớ lại 112 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ mơn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Tốn kinh tế -∑ điểm tới hạn L điểm thỏa mãn điều kiện sau: Tất nhiên, nhƣ thấy Mục 6.2, điểm (x, x thỏa mãn điểm tới hạn L Thứ nhất, xét trƣờng hợp điều kiện Slater đƣợc thỏa mãn Trong trƣờng hợp này, Định lý 7.16 có hàm ý mạnh thủ tục hƣớng dẫn cho việc sử dụng Định lý Kuhn-Tucker (đƣợc phác họa Mục 6.2) đƣợc sử dụng “một cách mù quáng”, tức là, không quan tâm tới việc điều kiện Mệnh đề 6.5 có đƣợc thỏa mãn hay khơng Hai nhân tố dẫn tới, củng cố hàm ý Thứ nhất, tính lõm hàm f với điều kiện Slater hàm ý điều kiện bậc-nhất [KT-1] [KT-2] điều kiện cần tối ƣu Do vậy, tồn tối ƣu đó, phải thỏa mãn điều kiện này, vậy, phải phận điểm tới hạn biểu thức Lagrange L Thứ hai, [KT-1] [KT-2] đủ cho điểm cực đại, điểm tới hạn nghiệm cho tốn Tóm lại:  Nếu L khơng có điểm tới hạn, khơng tồn nghiệm cho toán cho  Nếu điểm tới hạn L, nghiệm tốn Nói riêng, bƣớc cuối đƣợc phác họa thủ tục hƣớng dẫn Mục 6.2 (tức là, so sánh giá trị điểm tới hạn khác L), đƣợc bỏ qua: điểm cực đại toàn cục, giá trị tất điểm này, tất yếu, phải nhƣ Tình lạc quan điều kiện Slater không đƣợc đáp ứng Trong trƣờng hợp này, điều điểm tới hạn L nghiệm cho tốn, điều kiện đủ cho lời giải Mặt khác, khơng cịn điều kiện cần nữa, thiếu vắng điểm tới hạn L không cho phép kết luận không tồn nghiệm cho tốn Trong Ví dụ 7.17, ví dụ, thấy điều kiện Slater không đƣợc thỏa mãn; biểu thức Lagrange L khơng có điểm tới hạn, tồn nghiệm cho toán Các điểm vấn đề nghiêm trọng tiềm trƣờng hợp mà tồn nghiệm đƣợc kiểm tra trước; nhiên, ý nghĩa thực hành đƣợc giảm nhiều kiện thất bại điều kiện Slater thƣờng xảy Cuối cùng, tồn điểm nhỏ Khi hàm ràng buộc tất lõm, tập ràng buộc tập lồi Bởi vậy, hàm mục tiêu lõm ngặt, tồn nhiều lời giải cho toán theo Định lý 7.14 Từ quan điểm ứng dụng, quan sát hàm ý thành cơng việc tìm đƣợc điểm tới hạn đơn biểu thức Lagrange, khơng thiết phải tìm kiếm điểm khác, nghiệm tốn đƣợc 113 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL ... tiêu chuẩn Cauchy thực tế 10 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế ... thành tham số toán 2.3.4 Tối thiểu chi phí 44 Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế ... Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế