Bài giảng toán kinh tế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————– ĐÀM THANH PHƯƠNG, NGÔ MẠNH TƯỞNG BÀI GIẢNG TOÁN KINH TẾ Thái Nguyên, năm 2015 Danh sách[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————– ĐÀM THANH PHƯƠNG, NGÔ MẠNH TƯỞNG BÀI GIẢNG TỐN KINH TẾ Thái Ngun, năm 2015 Danh sách hình vẽ 1.1 Đồ thị hàm cung hàm cầu 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Đường pha Đường pha Quỹ đạo thời gian có trạng Quỹ đạo thời gian có trạng Điểm trạng thái tĩnh Đồ thị pha 3.1 Quỹ đạo thời gian giá thị trường 58 thái cân thái cân ổn định không ổn định 32 32 33 33 37 37 Mục lục Lời nói đầu Chương Một số ứng dụng mở đầu 1.1 Một số mơ hình hàm số phân tích kinh tế 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 Hàm Hàm Hàm Hàm cung hàm cầu sản xuất ngắn hạn doanh thu, hàm chi phí hàm lợi nhuận tiêu dùng hàm tiết kiệm 1.2 Một số mô hình tuyến tính 1.2.1 Mơ hình cân thị trường 1.2.2 Mô hình cân kinh tế vĩ mơ 1.3 Ứng dụng cấp số nhân 1.3.1 Nhắc lại kiến thức cấp số nhân 1.3.2 Tính giá trị giá trị tương lai tiền tệ 1.3.3 Kỳ khoản giá trị luồng vốn 1.4 Sử dụng đạo hàm phân tích kinh tế 1.4.1 Đạo hàm giá trị cận biên 1.4.2 Hệ số co dãn cung cầu theo giá 1.4.3 Quan hệ hàm bình quân hàm cận biên 7 8 10 10 11 12 13 13 14 15 1.5 Bài tập 16 Chương Phương trình vi phân 19 2.1 Đại cương phương trình vi phân 19 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 Định nghĩa Cấp phương trình vi phân Nghiệm phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Cách giải 2.3 Một số phương trình vi phân phi tuyến cấp 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 Phương Phương Phương Phương trình trình trình trình biến số phân ly đẳng cấp (hay phương trình nhất) Becnuly vi phân toàn phần 19 20 20 20 21 21 22 24 24 25 27 28 Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế 2.4 Một số mơ hình phương trình vi phân cấp phân tích kinh tế 31 2.4.1 Phân tích định tính quỹ đạo thời gian số biến số kinh tế phương pháp đồ thị 31 2.4.2 Mơ hình tăng trưởng Domar 33 2.4.3 Mơ hình tăng trưởng Solow 35 2.4.4 Mơ hình điều chỉnh giá thị trường 38 2.5 Phương trình vi phân cấp 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 Khái quát chung phương trình vi phân thường cấp Một số phương trình vi phân giải phương pháp hạ cấp Phương trình vi phân tuyến tính cấp Phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số 39 39 41 42 44 2.6 Một số mơ hình phương trình vi phân tuyến tính cấp phân tích kinh tế 2.6.1 Điều kiện ổn định động 2.6.2 Mơ hình thị trường với kỳ vọng giá 2.6.3 Mơ hình điều chỉnh giá có tính đến hàng hố tồn đọng 46 46 46 47 2.7 BÀI TẬP 48 Chương PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 52 3.1 Khái niệm sai phân 52 3.1.1 Thời gian rời rạc khái niệm sai phân 3.1.2 Phương trình sai phân 3.2 Phương trình sai phân cấp 3.2.1 Phương trình ôtônôm tuyến tính cấp 3.2.2 Một số mơ hình phương trình ơtơnơm tuyến tính kinh tế học 3.2.3 Phương trình tuyến tính cấp tổng quát 3.3 Phương trình sai phân cấp 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp tổng quát Phương trình ôtônôm tuyến tính cấp Phương trình phi ơtơnơm tuyến tính cấp với hệ số khơng đổi Một số mơ hình phương trình sai phân tuyến tính cấp kinh tế 3.4 Bài tập Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 52 53 55 55 57 60 62 62 63 68 70 74 Lời nói đầu Tập giảng viết cho mơn học Tốn kinh tế Trên sở đề nghị Khoa chuyên môn quản lý chuyên ngành, tài liệu tham khảo mơn học "Toán cao cấp cho nhà kinh tế" tác giả Lê Đình Thúy, NXB Đại học Kinh tế quốc dân, 2007 (hai phần Đại số Giải tích tốn học) Tuy nhiên, với thời lượng 02 tín đề cương mơn học đề cập số phần Vì giảng ngắn gọn giúp em sinh viên tiếp cận nhanh đến môn học Nội dung giảng bám sát đề cương, gồm chương: Chương 1: Một số ứng dụng mở đầu Chương giới thiệu ứng dụng đơn giản từ việc sử dụng mơ hình tốn học để mơ tả, phân tích kinh tế đến khái niệm ban đầu Sinh viên làm quen với ứng dụng hàm số, cấp số nhân, đạo hàm, hệ phương trình tuyến tính.v.v để giải số toán kinh tế đơn giản Chương 2: Phương trình vi phân Chương có hai mục đích Một giúp sinh viên học phương pháp tìm nghiệm giải tích số dạng phương trình vi phân cụ thể Tuy nhiên, thực tế số phương trình vi phân tìm nghiệm giải tích ít, phương trình vi phân thể hệ động lực nói chung mơ hình kinh tế nói riêng Hơn nữa, người ta không quan tâm chi tiết đến nghiệm cụ thể mà quan tâm đến mặt định tính, nghĩa tính chất nghiệm Vì mục đích thứ hai chương giúp sinh viên hiểu tính chất định tính nghiệm quỹ đạo pha, trường hướng, điểm cân bằng, tính ổn định (bất ổn định) điểm cân bằng, tính tuần hồn v.v thơng qua mơ hình kinh tế cụ thể Chương 3: Phương trình sai phân Mơ hình tốn học để thể hệ động lực nói chung mơ hình kinh tế nói riêng nhìn chung có hai cách tuỳ thuộc vào việc sử dụng biến độc lập (thời gian) t Cách thứ biến thời gian liên tục sử dụng phương trình vi phân (đạo hàm riêng) Cách thứ hai, sử dụng thời gian rời rạc (tuỳ thuộc vào việc lấy mẫu, chẳng hạn mơ hình kinh tế cần tính lãi theo tháng, quý, năm, v.v ) sử dụng phương trình sai phân Vì vậy, tương tự cách tiếp cận chương 2, học cách giải số phương trình sai phân cụ thể (rất so với thực tế) tiếp cận cách phân tích định tính nghiệm thơng qua Bộ mơn Khoa học tự nhiên Bài giảng Tốn kinh tế số mơ hình kinh tế Sau chương đưa số tập để em luyện tập củng cố kiến thức học Mặc dù cố gắng chắn tập giảng cịn mắc nhiều loại lỗi, từ tả đến nội dung Chúng mong nhận ý kiến đóng góp sinh viên, đồng nghiệp để nhận chỉnh sửa sai sót Thêm nữa, phải nhấn mạnh lại tập giảng soạn sở tài liệu tham khảo mơn học nêu để phục vụ giảng dạy; Chúng không giữ quyền, việc nhân bản, sử dụng mục đích học tập xin phép Trân trọng cảm ơn Thái nguyên, ngày 1/2/2015 Thay mặt nhóm tác giả Th.S Đàm Thanh Phương Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng Chương Một số ứng dụng mở đầu 1.1 Một số mơ hình hàm số phân tích kinh tế 1.1.1 Hàm cung hàm cầu Định nghĩa Hàm cung hàm cầu hàm số biểu diễn phụ thuộc lượng cung lượng cầu loại hàng hóa vào giá hàng hóa Ký hiệu: Lượng cung Qs - quantity supplied - lượng hàng hóa mà người bán lịng bán mức giá; Lượng cầu Qd - quantity demanded - lượng hàng hóa mà người mua lịng mua mức giá; Giá hàng hóa p Vậy hàm cung hàm cầu có dạng: Qs = S(p) (1.1) Qd = D(p) (1.2) Chú ý : - Hàm cung hàm đơn điệu tăng, hàm cầu hàm đơn điệu giảm: Nếu yếu tố khác giữ nguyên, giá hàng hóa tăng lên người bán muốn bán nhiều người mua mua - Đồ thị hàm cung hàm cầu gọi đường cung đường cầu - Điểm cân thị trường: Là giao điểm đường cung đường cầu Để tìm mức giá ¯ ta lập phương trình hồnh độ điểm chung cân p¯ lượng cân Qs = Qd = Q S(p) = D(p) - Ý nghĩa kinh tế điểm cân thị trường: Tại mức giá cân p¯, người bán bán hết người mua mua đủ, khơng có tượng dư thừa khan hàng hóa Bài giảng Tốn kinh tế Bộ môn Khoa học tự nhiên Khi p > p¯ thị trường có tượng dư thừa hàng hóa, cung vượt cầu Qs > Qd Ngược lại Khi p < p¯ thị trường có tượng khan hàng hóa, Qs < Qd - Khi vẽ đường cung đường cầu, người ta thường dùng trục hoành để biểu diễn lượng Q trục tung biểu diễn giá p Vì vậy, thực chất ta vẽ hàm ngược hàm cung hàm cầu: p = S −1 (Qs ), p = D−1 (Qd ) Hình dáng đồ thị: Hình 1.1: Đồ thị hàm cung hàm cầu 1.1.2 Hàm sản xuất ngắn hạn Hàm sản xuất mô tả phụ thuộc sản lượng hàng hóa nhà sản xuất vào yếu tố đầu vào sản xuất Hai yếu tố đầu vào quan tâm vốn lao động ký hiệu K(Capital) L(Labor) Trong ngắn hạn người ta giả sử K khơng đổi, đó: Định nghĩa Hàm sản xuất ngắn hạn mô tả phụ thuộc sản lượng hàng hoá nhà sản xuất vào yếu tố lao động Q = f (L) (1.3) 1.1.3 Hàm doanh thu, hàm chi phí hàm lợi nhuận Tổng doanh thu ký hiệu TR(Total Revenue); Tổng chi phí ký hiệu TC(Total Cost); Tổng lợi nhuận ký hiệu π Các đại lượng phụ thuộc vào sản lượng hàng hóa Q theo quy luật hàm số Định nghĩa Hàm doanh thu, hàm chi phí hàm lợi nhuận hàm số mô tả phụ thuộc doanh thu, chi phí, lợi nhuận vào sản lượng hàng hố Ta có: Hàm doanh thu: T R = T R(Q) (1.4) T C = T C(Q) (1.5) Hàm chi phí Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng Tốn kinh tế Bộ mơn Khoa học tự nhiên Hàm lợi nhuận π = π(Q) (1.6) Hàm lợi nhuận xác định thông qua hàm doanh thu hàm chi phí: π = T R(Q) − T C(Q) 1.1.4 Hàm tiêu dùng hàm tiết kiệm Định nghĩa Hàm tiêu dùng biểu diễn phụ thuộc biến tiêu dùng C(Consumption) vào biến thu nhập Y (Income): C = f (Y ) (1.7) Theo quy luật chung, thu nhập tăng người ta có xu hướng tiêu dùng nhiều nên hàm tiêu dùng hàm đồng biến Định nghĩa Hàm tiết kiệm biểu diễn phụ thuộc biến tiết kiệm S(Saving) vào biến thu nhập Y S = S(Y ) (1.8) Hàm tiết kiệm hàm đồng biến 1.2 Một số mơ hình tuyến tính Phần trình bày số mơ hình kinh tế giải việc đưa hệ phương trình đại số tuyến tính A.X = B biết 1.2.1 Mơ hình cân thị trường a Thị trường loại hàng hóa Dạng tuyến tính hàm cung hàm cầu: Qs = −a0 + a1 p Qd = b0 − b1 p a0 , a1 , b0 , b1 số dương Như nói, điểm cân thị trường điểm gặp đường cung đường câu Vì mơ hình cân thị trường có dạng:    Qs = −a0 + a1 p  Qs = −a0 + a1 p Qd = b0 − b1 p Q d = b0 − b1 p ⇔   −a0 + a1 p = b0 − b1 p Qs = Qd (1.9) Giải hệ phương trình ta được: a0 + b Giá cân bằng: p¯ = a1 + b Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng Tốn kinh tế Bộ mơn Khoa học tự nhiên ¯s = Q ¯ d = a1 b − a0 b Lượng cân bằng: Q a1 + b b Thị trường nhiều loại hàng hóa Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan giá hàng hóa ảnh hưởng đến lượng cung lượng cầu hàng hóa khác Để xét mơ hình cân thị trường n hàng hóa liên quan ta ký hiệu biến số sau: Qsi : Lượng cung hàng hóa thứ i Qdi : Lượng cầu hàng hóa thứ i pi : Giá hàng hóa thứ i Với giả thiết yếu tố khác khơng thay đổi, hàm cung hàm cầu tuyến tính có dạng sau: Hàm cung hàng hóa i: Qsi = ai0 + ai1 p1 + + ain pn (i = 1, 2, , n) Hàm cầu hàng hóa i: Qdi = bi0 + bi1 p1 + + bin pn (i = 1, 2, , n) Mơ hình cân thị trường n hàng hóa có dạng sau:   Qsi = ai0 + ai1 p1 + + ain pn Qdi = bi0 + bi1 p1 + + bin pn  Qsi = Qdi , i = 1, 2, , n (1.10) Giải hệ phương trình ta xác định giá cân tất n hàng hóa, sau thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định lượng cân Ví dụ: Giả sử thị trường gồm hai loại hàng hóa, hàng hóa hàng hóa với hàm cung hàm cầu sau: Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 3p1 ; Qd1 = 10 − 2p1 + p2 Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2p2 ; Qd2 = 15 + p1 − p2 Hệ phương trình xác định giá cân bằng:   5p1 − p2 = 12 −2 + 3p1 = 10 − 2p1 + p2 ⇔ −1 + 2p2 = 15 + p1 − p2 −p1 + 3p2 = 16 Giải hệ phương trình ta tìm giá cân loại hàng hóa: p¯1 = 26 46 ; p¯2 = 7 Thay giá cân vào biểu thức hàm cung ta xác định lượng cân bằng: ¯ = 64 ; Q ¯ = 85 Q 7 1.2.2 Mơ hình cân kinh tế vĩ mô Ký hiệu: Y: Tổng thu nhập quốc dân; E: Tổng chi tiêu kế hoạch; Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng ... Mô hình cân kinh tế vĩ mơ Ký hiệu: Y: Tổng thu nhập quốc dân; E: Tổng chi tiêu kế hoạch; Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng Tốn kinh tế Bộ mơn Khoa học tự nhiên Trong kinh tế đóng, tổng... thơng qua Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Tốn kinh tế số mơ hình kinh tế Sau chương đưa số tập để em luyện tập củng cố kiến thức học Mặc dù cố gắng chắn tập giảng mắc nhiều loại lỗi, từ tả đến... Ngô Mạnh Tưởng 16 Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Tốn kinh tế Hàng hóa 2: Qs2 = −9 + 6p2 ; Qd2 = 24 + 6p1 − 8p2 Bài tập 3: Tìm điểm cân mơ hình kinh tế vĩ mơ (tìm tổng thu nhập quốc dân ¯ cho