ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Bài toán: Vận động viên chạy bơi phối hợp 4m/s x 200-x 50m 1.5m/s 200m Hỏi: chạy bao xa bắt đầu bơi đích nhanh nhất? ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM Cho y = f(x) xác định (a, b) ∋ x0, xét tỷ số ∆f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = = ∆x x − x0 ∆x Nếu tỷ số có giới hạn hữu hạn x → x0 hay ∆x → f có đạo hàm x0 Đặt ∆f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim x → x0 ∆x ( ∆x → 0) ∆f ( x0 ) tan ϕ = ∆x α ϕ ∆f(x0) x → x0 x0 ∆x x tan α = f ′( x0 ) f’(x0) hệ số góc tiếp tuyến đường cong (C): y = f(x) tiếp điểm M(x0, f(x0)) Đạo hàm trái x0: ∆f ( x0 ) f −′ ( x0 ) = lim ∆x x → x0− ( ∆x →0− ) ∆f ( x0 ) Đạo hàm phải x0: f +′ ( x0 ) = lim+ ∆x x → x0 ( ∆x →0+ ) f có đạo hàm x0 ⇔ f −′ ( x0 ) = f +′ ( x0 ) Cách tính đạo hàm 1.Nếu f xác định biểu thức sơ cấp: dùng cơng thức đạo hàm quy tắc(tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp) 2.Nếu x0, biểu thức f ’ khơng xác định: tính định nghĩa 3.Nếu hàm số có phân chia biểu thức x0: tính định nghĩa 4.Nếu f(x) = u(x)v(x) f(x) tích thương Ví dụ: tính đạo hàm điểm / f ( x) = x ln x x = x ln x ′ f ( x) = ln 2( x ln x)′ = x ln x ln 2(ln x + 1) f ′(1) = ln 2 / f ( x) = x x =  x, x ≥ f ( x) =   − x, x < f ( x) − f (0) x − = x−0 x ⇒f ’(0) không tồn + → x x→ - −1  x sin , x ≠  / f ( x) =  x 0, x=0 f ( x) − f (0) x sin x − = x−0 x x→ →0 = x sin  x ⇒ f ′(0) =  x2 , x ≤1 / f ( x) =  2 x − 1, x >1 x = x −1 f ( x) − f (1) =2 = lim lim x −1 x →1− x − x →1− f ( x) − f (1) 2x −1 −1 = lim = lim x −1 x −1 x →1+ x →1+ ⇒ f ′(1) = Cạnh khối lập phương tăng lên 1cm vi phân thể tích 12cm3 Tìm độ dài ban đầu cạnh Gọi x cạnh khối lập phương V thể tích V =x Cạnh tăng 1cm : ∆x = Vi phân thể tích: dV = x ∆x = 12cm3 x = 12 ⇒ x = Các phép tính vi phân d (c f ) = cdf , c = const d ( f ± g ) = df ± dg d ( f g ) = gdf + fdg  f  gdf − fdg d  ÷= g g d ( f ± g ) = ( f ± g ) ′ dx = ( f ′ ± g ′ ) dx ′ ± g ′dx = f dx Vi phân hàm hợp Nếu y = f(x) khả vi theo x (biến độc lập): dy = f ′( x )dx Nếu x = x(t) , y = f(x) khả vi, x = x(t) khả vi ⇒ y = f(x(t)) khả vi theo t (biến độc lập): y′(t ) = [ f ( x (t )) ] ′ = f ′( x ).x′(t ) dy = y′(t )dt = f ′( x).x′(t )dt = f ′( x)dx Dù x biến độc lập hay hàm số, dạng vi phân y theo x khơng đổi Ví dụ áp dụng Cho y = f(x) = sin(x2), 1.Tính dy theo dx Với x = x(t) = arctan(t), tính dy theo dt t = 1 dy = y′( x)dx = x cos( x )dx y = sin( x ) = sin(arctan t ) ( ) ( ) dy = y′(t )dt = arctan t ′ cos arctan t dt ( ) = 2arctan t cos arctan t dt 1+ t2 Cách khác: dùng vi phân hàm hợp dy = y′( x)dx = x cos( x )dx = x cos( x ).( arctan t ) ′ dt = x cos( x ) × dt 1+ t Tại t = 1, x = π/4 2  π π ⇒ dy = cos  ÷dt  16  ( dx = x′(t )dt ) VI PHÂN CẤP CAO 1.Nếu x biến độc lập: dx = ∆x : số d y = d ( dy ) = d ( y′dx ) = ( y′′dx ) dx = y′′dx n d y=y (n) dx n 2.Nếu x = x(t): dx = x’dt : hàm số d y = d ( dy ) = d ( y′dx ) d y = y′′dx + y′d x = d ( y′).dx + y′d ( dx ) Ví dụ Cho y = sin(x) 1.Tính d2y theo dx 2.Nếu x = ch(t), tính d2y theo dt 2 ′′ d y = y ( x)dx = − sin xdx 2 y = sin ( cosh t ) d y = y′′(t )dt = cosh t cos ( cosh t ) − sinh t sin ( cosh t )  dt 2 d y = y′′( x)dx + y′( x)d x y′( x) = cos x, y′′( x) = − sin x 2 dx = sinh tdt ⇒ dx = sinh tdt d x = cosh(t )dt 2 2 ⇒ d y = − sin x.sinh tdt + cos x.cosh tdt ( ) = − sin x.sinh t + cos x.cosh t dt 2 Đạo hàm hàm ẩn Hàm số y = f(x) xác định phương trình (∗) F ( x, y ) = gọi hàm ẩn xác định (∗) Cách tìm y’(x): lấy đạo hàm pt (∗) theo x, giải tìm y’ theo x y Ví dụ 1.Tìm y’(x) với y xác định từ pt : 2 x + y = (∗) Lấy đạo hàm pt (∗) theo x x + y y′ = x ⇔ y′ = − y So sánh với kết lấy đạo hàm từ biểu thức −x x =− y′ = ± y = ± 1− x y 1− x Ví dụ Tìm y’(0) với y = y(x) xác định y + y + x.2 = (∗) Lấy đạo hàm pt (∗) theo x + y′ +2 y+ x.2 y ln y′ = (∗ ∗) Từ (∗), với x = ⇒ y = −1 Thay vào (∗ ∗): y′(0) + 2−1 + = ⇒ y′(0) = − 3.Tìm đạo hàm x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác định pt: ( x − 1)e x+ y + xy = (∗) Lấy đạo hàm (∗) hai theo x e x+ y x+ y ′ +( x − 1)(1 + y )e + y + xy′ = Từ (∗), x = 1⇒ y = 0, thay vào (∗∗) e + + + y′(1) = ⇒ y′(1) = −e (∗∗) 2.Tìm đạo hàm cấp x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác định pt: y + x y − x + = (1) Lấy đạo hàm (1) theo x 2 ′ y y +2xy + x y′ − = (2) Lấy đạo hàm (2) theo x y.( y′ ) + y y′′ +2( y + xy′) +2xy′ + x y′′ = 2 (3) y.( y′ ) 2 ′ ′ + y y′′ +2( y + xy ) +2xy + x y′′ = (3) (2) y′(1) = x = → y (1) = → (1) Thay x = 1, y = 0, y’ = vào (3) + + 2(0 + 1) + + y′′(1) = ⇒ y′′(1) = −4 Tổng kết 1.Tính đạo hàm cho loại hàm số (y = f(x), hàm ẩn, tham số) 2.Nếu x biến độc lập: tính vi phân tính đạo hàm Nếu x = x(t) (là hàm số): 1.Vi phân cấp : dy = y’(x)dx, sau khai triển dx theo dt 2.Vi phân cấp 2: d2y = y”dx2 + y’d2x cuối phải đưa dt2(chỉ tính đến cấp 2)