Nghiên cứu sai lầm của học sinh khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm theo cách tiếp cận didactic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC GIÁO DỤC EDUCATION SCIENCE ISSN: 1859-3100 Tập 15, Số (2018): 48-59 Vol 15, No (2018): 48-59 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM THEO CÁCH TIẾP CẬN DIDACTIC Dương Hữu Tòng*, Hồ Thị Ánh Như, Bùi Nguyên Phương, Nguyễn Quốc Khánh, Nguyễn Thị Tính, Trần Thị Ngọc Trân, Hồng Thị Ngọc Hà, Nguyễn Thị Hiếu, Lâm Thị Kim Nhân Trường Đại học Cần Thơ Ngày nhận bài: 13-7-2017; ngày nhận sửa: 30-7-2017; ngày duyệt đăng: 22-01-2018 TÓM TẮT Trong viết này, sử dụng khái niệm “hợp đồng dạy học” tổ chức toán học, Guy Brousseau trình bày năm 1980 cơng cụ để phát nghiên cứu sai lầm học sinh – hệ quan hệ ngầm ẩn thành phần hệ thống giảng dạy: giáo viên – tri thức – môi trường – học sinh Nghiên cứu bao gồm phân tích sách giáo khoa “Đại số Giải tích lớp 11 (Nâng cao)” số kết hợp đồng dạy học liên quan đến dạng tốn tính đạo hàm hàm số f(x) điểm x0, từ sai lầm học sinh thực kiểu nhiệm vụ Từ khóa: đạo hàm hàm số, hợp đồng dạy học, sai lầm học sinh ABSTRACT A study of students’ errors in calculating the derivative of functions at a point, based on an approach to Mathematical Didactic In this paper, we used the concept of “didactic contract” and mathematical organization, presented by Guy Brousseau in 1980, considered as an implement to find out and study students’ errors, the corollarries of the implicit relations among the components of the teaching – learning system: teacher – knowledge – environment – student The study included textbook analysis of "Algebra and Calculus Grade 11 (Advanced)" and valuable findings on didactic contracts related to calculating the derivative of the function f(x) at point x0, then indicated the errors students commit when performing this type of task Keywords: derivative of the function, didactic contract, students’ errors Hợp đồng dạy học Năm 1982, G Brousseau định nghĩa hợp đồng dạy học (Contrat didactique) (HĐDH) “tập hợp quan hệ xác định, thường ngầm ẩn, phân nhỏ cách rõ ràng thành điều khoản mà bên (giáo viên học sinh) có trách nhiệm thực nghĩa vụ bên bên kia” (dẫn theo Annie B (2009)) * Email: dhtong@ctu.edu.vn 48 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Dương Hữu Tòng tgk HĐDH nêu quy tắc suốt trình học tập thể mong đợi ứng xử học sinh (HS) giáo viên (GV) kiến thức Nó ngầm ẩn đưa điều mà HS GV phải làm, vai trò trách nhiệm họ với Tìm kiếm kiểm chứng giả thuyết tồn quy tắc HĐDH Theo tác giả Trần Anh Dũng (2011), tiến trình tìm kiếm kiểm chứng giả thuyết HĐDH trình bày theo bước sau: 2.1 Thu thập phân tích thơng tin Thu thập thơng tin tìm hiểu từ nhiều nguồn khác như: sách giáo khoa (SGK), sách giáo viên (SGV), sách tập, tập học HS, giáo án GV, biên dự giờ, ghi âm, thu hình tiết dạy, vấn HS… Sau thu thập thông tin, nhà nghiên cứu (NNC) tiến hành phân tích chúng, tìm hiểu kiểu nhiệm vụ liên quan đến kiến thức mà họ nghiên cứu? Có quy tắc HĐDH gắn liền với kiểu nhiệm vụ?… 2.2 Dự đoán tồn quy tắc HĐDH Sau thu thập phân tích thơng tin hồn tất, NNC đưa dự đoán quy tắc HĐDH tồn ứng với kiểu nhiệm vụ HĐDH phải bao gồm hai thành phần sau: - Quy tắc GV: Các quy tắc ngầm ẩn, trách nhiệm, mong đợi GV dạy kiểu nhiệm vụ - Quy tắc phía HS: Các quy tắc ngầm ẩn, nghĩa vụ HS học kiểu nhiệm vụ 2.3 Thiết kế tình phá vỡ hợp đồng để kiểm chứng tồn quy tắc HĐDH Nhằm mục đích kiểm chứng quy tắc HĐDH mà đề xuất có thực tồn hay không, NNC phải thiết kế tình ngắt quãng hợp đồng Đồng thời họ phải dự đốn xem HS có phản hồi, ứng xử tình ngắt quãng hợp đồng mà họ đặt từ đầu Tình ngắt quãng hợp đồng tạo biến loạn hệ thống giảng dạy, cho đặt GV HS tình khác lạ Để tạo tình ngắt quãng hợp đồng, NNC tiến hành cách sau: - Đối với HS: Thay đổi điều kiện sử dụng tri thức, biến đổi đặc trưng tình Hơn nữa, NNC lợi dụng HS chưa biết cách vận dụng số tri thức tốn Ngồi ra, NNC đặt HS phạm vi tri thức bàn đến sử dụng tình mà tri thức khơng giải - Đối với GV: Đặt GV trước ứng xử HS không phù hợp với điều GV mong đợi Chẳng hạn, NNC đưa câu trả lời khác lạ cho toán, yêu cầu nhận xét câu trả lời (dẫn theo Annie B (2009), tr 341) 49 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số (2018): 48-59 2.4 Thực nghiệm Sau NNC hoàn thành bước trên, họ tiến hành khảo sát tập hợp HS lựa chọn tiến hành thu thập phân tích kết thực nghiệm Kết phân tích cuối giúp cho họ trả lời cho câu hỏi tồn HĐDH mà họ đề xuất Hợp đồng dạy học gắn liền với kiểu nhiệm vụ tính đạo hàm điểm Những quy tắc HĐDH đề xuất nghiên cứu hai bài: “Khái niệm đạo hàm” “Các quy tắc tính đạo hàm”, SGK Đại số Giải tích 11 (Nâng cao) tác giả Đoàn Quỳnh (chủ biên, 2009) 3.1 Thu thập phân tích thơng tin Kiểu nhiệm vụ T1: Tính đạo hàm hàm số y  f  x  điểm x định nghĩa Ví dụ: Xem ví dụ SGK trang 186 Kĩ thuật :  Tính y  f ( x0  x)  f ( x0 ) , x số gia biến số x0  Lập tỉ số y x y x 0 x  Tìm giới hạn lim y Ngược lại, ta nói hàm x  x  Nếu tồn giới hạn hữu hạn ta kết luận f '( x0 )  lim số cho không tồn đạo hàm x0 Hoặc dùng kĩ thuật : f ( x)  f ( x0 ) lim x  x0 x  x0  Tính  Nếu tồn giới hạn hữu hạn kết luận lim x  x0 f ( x)  f ( x0 ) đạo hàm hàm số x  x0 y  f  x  x0 Ngược lại ta kết luận hàm số y  f  x  khơng có đạo hàm x0 Yếu tố công nghệ : Khái niệm đạo hàm hàm số điểm (SGK trang 185) Kiểu nhiệm vụ T2: Tính đạo hàm hàm số điểm cơng thức, quy tắc tính đạo hàm Ví dụ: Xem H1 SGK trang 197  Kĩ thuật τ : Tính đạo hàm cơng thức, quy tắc tính đạo hàm như:  Đạo hàm tổng, hiệu, tích hay thương hai hàm số  Đạo hàm hàm số hợp  Tính giá trị hàm số điểm  Yếu tố công nghệ θ : Các quy tắc, cơng thức tính đạo hàm Giá trị hàm số 50 Dương Hữu Tòng tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Bảng Tổng kết kiểu nhiệm vụ Kiểu nhiệm vụ T1 T2 Kĩ thuật τ ,τ τ Hoạt động Tổng Ví dụ SGK Bài tập SGK Tổng 13 Từ việc phân tích kiểu nhiệm vụ, dạng tập tương ứng với kiểu nhiệm vụ, lời giải SGK SGV Đại số Giải tích 11 Nâng cao, rút nhận xét đáng ý sau: Các hàm số cho SGK để tính đạo hàm định nghĩa phần lớn y hàm khả vi điểm cần tính, nói cách khác giới hạn tỉ số x x  0 hay x  0 ngầm ẩn không cần xét tới hai trường hợp Trong phần ý SGK trang 191 tập 14 SGK trang 195, tác giả muốn HS rút “Một hàm số xác định x0 , chí liên tục x0 khơng có đạo hàm x0 ” Tuy nhiên, dạng tập với hàm số liên tục x0 khơng có đạo hàm x0 q (chỉ có bài), việc sử dụng giới hạn bên để chứng minh hàm số khơng có đạo hàm điểm không thu hút ý HS Trong nhận xét SGK trang 186 có trình bày tính chất “Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm điểm x0 liên tục điểm x0 ” cách chứng minh tính chất Tuy nhiên SGK lại khơng đề cập mệnh đề phản đảo “Nếu hàm số y  f  x  không liên tục (gián đoạn) x0 khơng có đạo hàm x0 ” Bài tập 15 SGK trang 195 hướng cho HS nhận thấy mối quan hệ tính liên tục đạo hàm chưa rõ ràng bị ảnh hưởng đồ thị hàm số xét tính liên tục định nghĩa Phần lớn tập yêu cầu tính đạo hàm hàm số x0 điểm x0 ln nằm tập xác định hàm số miền mà hàm số có đạo hàm Chỉ có tập H5 SGK trang 191 cho điểm x0 không nằm tập xác định hàm số ban đầu Kể từ 2: “Các quy tắc tính đạo hàm” trở tất hàm số cho tính quy tắc khơng cần sử dụng định nghĩa đạo hàm để tính 3.2 Dự đoán HĐDH Những nhận xét cho phép đặt giả thuyết tồn ngầm ẩn quy tắc sau HĐDH gắn liền với kiểu nhiệm vụ T1 T2: 51 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số (2018): 48-59 Quy tắc GV: GV có nhiệm vụ yêu cầu HS tính đạo hàm hàm số điểm x0 có đặc trưng sau đây: - Các hàm số cho ln tính đạo hàm quy tắc, công thức - Điểm x0 nằm tập xác định hàm số, chí phải miền mà hàm số có đạo hàm - Hàm số cho liên tục, khả vi điểm cần tính Quy tắc HS: Khi gặp dạng tập yêu cầu tính đạo hàm hàm số điểm, HS ngầm hiểu rằng: - Nhiệm vụ tìm cách áp dụng cơng thức, quy tắc tính đạo hàm học tính giá trị đạo hàm điểm mà khơng cần phải sử dụng định nghĩa đạo hàm điểm (nếu tập không nói rõ phải dùng định nghĩa) - Khơng có nghĩa vụ kiểm tra xem điểm cần tính có thuộc miền có đạo hàm hay khơng? - Khơng có nghĩa vụ kiểm tra hàm số cho có liên tục điểm cần tính hay khơng? 3.3 Thiết kế tình kiểm chứng HĐDH Để kiểm chứng quy tắc HĐDH mà chúng tơi dự đốn, HS u cầu giải tốn sau: Bài 1: Tính đạo hàm (nếu có) hàm số f  x   x x điểm x0  Sự ngắt quãng hợp đồng dạy học toán thể điểm sau: Hàm số cho có tập xác định  ;    có miền xác định đạo hàm  ;    hay nói cách khác điểm x0 thuộc tập xác định khơng thuộc miền có đạo hàm  Các chiến lược gắn liền với Bài 1: S1: Chiến lược dùng cơng thức tính đạo hàm S1a: Chiến lược dùng cơng thức tính đạo hàm khơng rút gọn, sau x0  vào đạo hàm thấy khơng tính bấm máy tính xuất lỗi S1b: Chiến lược dùng cơng thức tính đạo hàm khơng rút gọn kết quả, sau x0  vào đạo hàm kết S1c: Chiến lược dùng cơng thức tính đạo hàm rút gọn kết quả, sau x0  vào đạo hàm kết S2a: Chiến lược dùng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm để tính (tính theo giới hạn bên x) S2b: Chiến lược dùng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm để tính (tính theo giới hạn bên x0) 52 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Dương Hữu Tịng tgk S3: Chiến lược xác định miền tính đạo hàm tính đạo hàm, từ kết luận tính tồn giá trị đạo hàm điểm x0  Bài 2: Tính đạo hàm (nếu có) hàm số f  x   x  điểm x0  Sự ngắt quãng hợp đồng dạy học toán thể điểm sau: - Yêu cầu kiểu nhiệm vụ không đề cập “dùng định nghĩa” để tính đạo hàm điểm - Hàm số cho khơng tính cơng thức, quy tắc tính đạo hàm học - Hàm số cho liên tục x0  không tồn đạo hàm điểm  Các chiến lược gắn liền với Bài 2: S1: Chiến lược bỏ dấu giá trị tuyệt đối dùng cơng thức tính đạo hàm S2: Chiến lược phân tích hàm số ban đầu thành hàm số dùng cơng thức tính đạo hàm hàm số xác định nửa khoảng có chứa số S3: Chiến lược phân tích hàm số ban đầu thành hàm số dùng cơng thức tính đạo hàm hàm số thành phần S4: Chiến lược dùng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm S4a: Chiến lược dùng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm để tính (tính theo giới hạn bên x) S4b: Chiến lược dùng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm để tính (tính theo giới hạn bên x0)   x  2 Bài 3: Tính đạo hàm (nếu có) hàm số f  x    2 x điểm x0  neáu x  neáu x  Sự ngắt quãng hợp đồng dạy học toán thể điểm sau: - Hàm số cho khơng tính cơng thức, quy tắc tính đạo hàm học - Đồ thị hàm số cho không liên tục điểm x0  Các chiến lược gắn liền với Bài 3: S1a: Chiến lược tìm cách dùng cơng thức đạo hàm học (tính theo hàm số) S1b: Chiến lược tìm cách dùng cơng thức đạo hàm học (tính theo hai hàm số) S2: Chiến lược dùng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm S2a: Chiến lược dùng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm để tính (tính theo giới hạn bên x) S2b: Chiến lược dùng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm để tính (tính theo giới hạn bên x0) S3: Chiến lược dùng tính chất liên tục hàm số S3a: Chiến lược dùng tính chất liên tục hàm số để kết luận đạo hàm 53 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số (2018): 48-59 S3b: Biến thể S3a (không kết luận gián đoạn) S3c: Biến thể S3a (chỉ xét tính liên tục hàm số điểm) 3.4 Thực nghiệm Đối tượng nghiên cứu Thực nghiệm tổ chức cho 115 HS lớp 11 hai trường THPT: THPT Bình Thủy – Cần Thơ (11B10 11B11) THPT Châu Thành A – Hậu Giang (11A3 11A4) Phân tích kết thu thập, ghi nhận sau: Kết bình luận Bảng Kết gắn liền với Bài Chiến lược Số liệu Tổng số Tỉ lệ S1a S1b S1c S2a S2b S3 Không trả lời 46 40% 10 8,7% 32 27,8% 0% 0% 0% 27 23,5% Bảng thống kê cho thấy, có 88/115 HS (76,5%) lựa chọn chiến lược S1a, S1b S1c để giải tốn, có 40% HS sử dụng chiến lược S1a Ví dụ HS1 trình bày sau: Hình Bài làm HS1 Bên cạnh đó, có 27,8% HS lựa chọn chiến lược giải S1c, ví dụ làm HS43 trình bày sau: Hình Bài làm HS43 Hơn nữa, khơng có HS thực chiến lược S3, tức nhận miền có đạo hàm hàm số cho trước điểm x0 vào đạo hàm Điều cho thấy HS không kiểm tra tồn đạo hàm điểm x0 cho trước hay nói cách khác HS khơng quan tâm đến tập xác định đạo hàm (miền có đạo hàm) Như vậy, kiểm chứng 54 Dương Hữu Tịng tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM giả thuyết tồn quy tắc HĐDH “Khi tính đạo hàm hàm số điểm, HS khơng có trách nhiệm kiểm tra hàm số có đạo hàm điểm hay khơng khơng có trách nhiệm xác định miền mà hàm số cho có đạo hàm HS có nghĩa vụ dùng cơng thức để tính đạo hàm giá trị x0 vào đạo hàm tìm được” Bảng Kết gắn liền với Bài Chiến lược Số liệu Tổng số Tỉ lệ S1 S2 S3 S4a S4b Trả lời ngồi dự đốn Khơng trả lời 4,3% 28 24,3% 39 34% 4,3% 2,6% 0,9% 34 29,6% Qua thống kê, thấy có 72/115 HS (62,6%) HS lựa chọn chiến lược giải S1, S2 S3 Tức HS dùng cách áp dụng công thức, quy tắc tính đạo hàm để tìm kết quả, em khơng nghĩ tới việc dùng định nghĩa để tính đạo hàm học thực hành nhiều lần Chẳng hạn, HS87 trình bày sau: Hình Bài làm HS87 Hơn nữa, có 12,2% HS trả lời “khơng tính đạo hàm có dấu giá trị tuyệt đối” hay “đạo hàm khơng tính giá trị tuyệt đối” (chiến lược S5) Điều đồng nghĩa với việc em cho hàm số có cơng thức tính đạo hàm tính đạo hàm, ngồi khơng tính Các em hồn tồn khơng nhận thức tầm quan trọng việc tính đạo hàm định nghĩa so với tính đạo hàm cơng thức Trong đó, có 8/115 HS (6,9%) nghĩ tới việc dùng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm để giải tốn (chiến lược S4a S4b) Ví dụ HS23 trình bày sau: Hình Bài làm HS23 55 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số (2018): 48-59 Đáng lưu ý có HS có câu trả lời ngồi tiên nghiệm chúng tôi, cụ thể HS92 giải sau: Hình Bài làm HS92 Từ đó, thấy phần lớn HS khảo sát ưu tiên dùng cơng thức, quy tắc tính đạo hàm để giải, chí hàm số ban đầu hồn tồn khơng có bảng Đạo hàm số hàm số thường gặp (SGK trang 203) Như vậy, kiểm chứng giả thuyết tồn quy tắc HĐDH “Khi tính đạo hàm hàm số điểm, HS có nhiệm vụ tìm cách áp dụng cơng thức, quy tắc tính đạo hàm học tính giá trị đạo hàm điểm mà khơng cần phải sử dụng định nghĩa đạo hàm điểm (nếu tập khơng nói rõ phải dùng định nghĩa) Bảng Kết gắn liền với Chiến lược S1a S1b S2a S2b S3a S3b S3c Không trả lời 19 16,5% 36 31,3% 0% 12 10,4% 0,9% 7% 14 12,2% 25 21,7% Số liệu Tổng số Tỉ lệ Từ số liệu thống kê, thấy có tới 55/115 HS (47,8%) tìm cách áp dụng cơng thức, quy tắc tính đạo hàm để đưa câu trả lời Ví dụ HS41 trình bày sau: Hình Bài làm HS41 Điều lần khẳng định lại nhiều HS ưu tiên lựa chọn chiến lược dùng công thức, quy tắc tính đạo hàm để áp dụng vào dạng tốn khơng quen thuộc sử dụng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm HS ngầm cho sau học xong Các quy tắc tính đạo hàm em có nghĩa vụ dùng cơng thức, quy tắc để tính đạo hàm mà khơng cịn cần quan tâm tới cách tính đạo hàm 56 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Dương Hữu Tòng tgk định nghĩa Tuy nhiên, có 10,4% HS lựa chọn chiến lược giải S2b; ví dụ HS45 trình bày sau: Hình Bài làm HS45 Điều đáng lưu ý HS sử dụng khái niệm “Đạo hàm bên”, nội dung trình bày phần đọc thêm SGK trang 193 Ở đây, chúng tơi suy đốn lớp GV đề cập khái niệm cho HS Chúng ta thấy có 23/115 HS (20,1%) lựa chọn chiến lược giải S3a, S3b S3c, nhiên, lại có đến 12,2% HS giải theo chiến lược S3c Khi vấn HS em trả lời lý họ giải theo chiến lược S3c nhìn dạng hàm số cho giống với dạng hàm số kiểu nhiệm vụ “Xét tính liên tục hàm số điểm” nên em xét tính liên tục x0 kết thúc Tức HS giải theo chiến lược có tương đồng với kiểu nhiệm vụ khác HS nhận mối liên hệ tính liên tục đạo hàm hàm số điểm Điều lại cho thấy nhận thức HS mối quan hệ tính liên tục đạo hàm hàm số thực mờ nhạt Thậm chí em sau xét hàm số gián đoạn x0  lại “không dám” kết luận hàm số khơng có đạo hàm x0  1, ví dụ HS58 trình bày sau: Hình Bài làm HS58 Chỉ có HS nhận mối liên hệ đưa lời giải xác 57 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số (2018): 48-59 Hình Bài làm HS115 Cũng cần nói thêm có 7% HS lựa chọn chiến lược giải S3b, tức sau tính giới hạn bên hàm số cho em kết luận ln hàm số không tồn đạo hàm x0  mà khơng kết luận tính liên tục Ví dụ HS109 trình bày sau: Hình 10 Bài làm HS109 Sau vấn em thấy số em sử dụng suy luận tương tự từ tính chất giới hạn hàm số điểm (SGK trang 156), em khác suy luận tương tự từ tính liên tục hàm số để kết luận toán Nhưng hỏi khơng kết luận tính liên tục trước kết luận tồn đạo hàm em trả lời “Em khơng dám chúng có liên quan với nhau” Điều lần chứng minh cho nhận định chúng tơi Từ tất phân tích trên, kiểm chứng giả thuyết tồn quy tắc HĐDH “Khi tính đạo hàm hàm số điểm, HS khơng có nghĩa vụ kiểm tra tính liên tục hàm số điểm cần tính” Bên cạnh đó, chúng tơi cịn thấy việc làm cho HS nhận thức mối quan hệ tính liên tục đạo hàm hàm số điểm cần GV trọng vấn đề dạy đạo hàm hàm số Kết luận Một số kết luận rút từ thực nghiệm: Tập xác định “hàm số đạo hàm” miền mà hàm số có đạo hàm khơng HS coi trọng Các em có nhiệm vụ tính đạo hàm mà khơng cần quan tâm đến miền mà hàm số tồn đạo hàm Điều dẫn đến sai lầm tính tốn đạo hàm 58 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Dương Hữu Tịng tgk ảnh hưởng đến tính xác xét tính đơn điệu hàm số chương trình tốn lớp 12 Định nghĩa đạo hàm hàm số (tại điểm) có vai trị mờ nhạt HS Khi gặp tình dù quen thuộc hay lạ lẫm, phần lớn HS nghĩ tới dùng cơng thức để tính đạo hàm tìm cách để áp dụng cơng thức đó, cịn khơng áp dụng kết luận khơng tính đạo hàm khơng nghĩ tới dùng định nghĩa đạo hàm hàm số (tại điểm) HS mơ hồ việc nhận thức mối quan hệ tính liên tục hàm số đạo hàm hàm số điểm Mặc dù mặt ý nghĩa đại số hay ý nghĩa hình học mối quan hệ đóng vai trị quan trọng Như vậy, thơng qua công cụ hợp đồng dạy học, phát số sai lầm HS tính đạo hàm hàm số điểm, thấy ảnh hưởng mối quan hệ thể chế lên quan niệm HS  Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Annie B., Claude C., Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009) Những yếu tố Didactic Toán, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Trần Anh Dũng (2011) “Hợp đồng dạy học” – Một công cụ để nghiên cứu sai lầm học sinh Tạp chí khoa học ĐHSP TP HCM, (25), 78-87 Nguyễn Phú Lộc, Bùi Phương Uyên (2015) Giáo trình xu hướng dạy học tốn, NXB Đại học Cần Thơ Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2009) Đại số Giải tích 11 (Nâng cao) Hà Nội: NXB Giáo dục Việt Nam Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2009) Đại số Giải tích 11 – Sách giáo viên (Nâng cao) Hà Nội: NXB Giáo dục Việt Nam 59 ... định nghĩa đạo hàm hàm số điểm S4a: Chiến lược dùng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm để tính (tính theo giới hạn bên x) S4b: Chiến lược dùng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm để tính (tính theo giới... tính đạo hàm không nghĩ tới dùng định nghĩa đạo hàm hàm số (tại điểm) HS mơ hồ việc nhận thức mối quan hệ tính liên tục hàm số đạo hàm hàm số điểm Mặc dù mặt ý nghĩa đại số hay ý nghĩa hình học. .. công thức - Điểm x0 nằm tập xác định hàm số, chí phải miền mà hàm số có đạo hàm - Hàm số cho liên tục, khả vi điểm cần tính Quy tắc HS: Khi gặp dạng tập yêu cầu tính đạo hàm hàm số điểm, HS ngầm