Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC A LÝ THUYẾT Chia sẻ cá nhân : - Chuyên đề tính giá trị biểu thức chuyên đề hay địi hỏi người học phải có nhìn nhận nhanh mối qua hệ biểu thức điều kiện đầu - Có nhiều phương pháp tùy đối tượng bài, Xong chương trình lớp 8, Tài Liệu Tốn xin phép vài phương pháp hay giặp sau : + Biến đổi biểu thức cho có chứa nhân tố điều kiện để khử + Nếu biểu thức có nhiều mẫu, ta phân tích mẫu thành nhân tử quy đồng + Nếu biểu thức cần tính cịn thiếu so với giả thiết, ta nhân thêm chia xuống cho phù hợp +Đối với tốn có lũy thừa cao, thường giá trị ẩn nằm phạm vi −1;0;1 giá trị biến 4a + b = 5ab Bài 1: Cho : HD : Từ : 2a > b > A= , Tính giá trị : TH 2: 4a − b = ⇔ 4a = b ( mâu thẫn 2a > b) a2 a − b = ⇔ a = b => A = 2 = 4a − a 3a + 3b = 10ab 2 b>a>0 A= , Tính a −b a +b 3a + 3b = 10ab ⇔ 3a − 9ab − ab + 3b = ⇔ ( a − 3b ) ( 3a − b ) = Từ: TH 1: TH 2: a − 3b = ⇔ a = 3b ( mâu thuẫn b>a>0) a − 3a −1 3a − b = ⇔ 3a = b => A = = a + 3a A= x + y = 20 xy ( y < 3x < ) Bài 3: Cho HD: ab 4a − b 2 4a + b = 5ab ⇔ 4a − 4ab − ab + b = ⇔ ( 4a − b ) ( a − b ) = TH 1: Bài 2: Cho HD: 2 , Tính 3x − y 3x + y x + y = 20 xy ⇔ ( x − y ) ( x − y ) = Từ: x = y => A = TH1: 3x − x = 3x + x 9x = y TH2: (Mâu thuẫn 2y < 3x < 0) A= x − y = xy, ( y ≠ 0, x + y ≠ ) Bài 4: Cho HD: x− y x+ y ,Tính x − y = xy ⇔ x − xy − y = ⇔ ( x − y ) ( x + y ) = Từ x − y = ⇔ x = y => A = TH1: TH2: 2y − y = 2y + y x+ y =0 ( mâu thuẫn x + y # ) Bài 5: Cho HD: A= x + y = xy x> y >0 2 x+ y x− y , Tính x + y = xy ⇔ x − xy + y = ⇔ ( x − y ) ( x − y ) = Từ: x = y => A = TH1: 2y + y =3 2y − y 2x = y TH2: (Mâu thuẫn vì: x > y > 0) 3x − y = 3z Bài 6: Cho HD: 2x + y = 7z , Tính x − xy x + y x, y ≠ , 3 x − y = 3z x = 2z z − 12 z −8 => => A = = z + z 13 2 x + y = z y = 3z Từ gt ta có: P= xy = −1 Bài 7: Cho HD: A= 1 + y − xy x − xy , Tính P= −( x − y) 1 −x + y + = = =1 y ( y − x ) x ( x − y ) xy ( x − y ) −1( x − y ) Ta có: A= 3y − x = Bài 8: Cho HD: x 2x − 3y + y−2 x −6 , Tính giá trị y − x = => x = y − => A = 3y − ( y − 6) − y + = + = 12 y−2 3y − − Ta có: P= x y z − + − xy + x + yz − y + xz + z − Bài 9: Tính biểu thức : HD : Bài 10: Cho x, y, z khác x- y- z =0, Tính giá trị của: HD : với x.y.z =1 mẫu khác z x y B = − ÷ − ÷ + ÷ x y z A= a+b a −b 2a + 2b = 5ab Bài 11:Tình giá trị biểu thức: với b> a> HD : x2 + y2 10 x− y y > x > 0, = M= xy x+ y Bài 12: Cho , tính giá trị biểu thức: HD : 2a − 5− a 1 P= + , a ≠ ± ÷ 3a − 3a + 3 10a2 + 5a = Bài 13: Cho biểu thức: , Tính giá trị P biết: HD: Ta có: P= ( 2a − 1) ( 3a + 1) + ( 5− a) ( 3a − 1) ( 3a − a) ( 3a + 1) = 6a2 + 2a − 3a − 1+ 15a − 5− 3a2 + a ( 3a) 10a2 + 5a = => 9a2 = − a2 − 5a + Mặt khác 3a2 + 15a − P= = −3 − a2 − 5a + A= Bài 14: Cho abc=2015, Tính − 12 = 3a2 + 15a − 9a2 − Thay vào P ta : 2015a b c + + ab + 2015a + 2015 bc + b + 2015 ac + c + HD : A= = a 2bc b c + + ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c + a 2bc b c ac + c + + + = =1 ab ( + ac + c ) b ( c + + ac ) ac + c + ac + c + B= Bài 15: Cho abc=2, Tính HD : B= a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + a b abc a b abc + + = + + =1 ab + a + abc bc + b + ac + abc + abc a ( b + + bc ) bc + b + ac ( + bc + b ) A= a b c + + ab + a + bc + b + ac + c + Bài 16: Cho abc=1, Tính HD : a 2bc b c a 2bc b c A= + + = + + =1 ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c + ab ( + ac + c ) b ( c + + ac ) ac + c + B= a b 2012c + − ab + a − 2012 bc + b + ac − 2012c − 2012 Bài 17: Cho abc= - 2012, Tính HD : a b abc a b abc B= + + = + + =1 ab + a + abc bc + b + ac + abc + abc a ( b + + bc ) bc + b + ac ( + bc + b ) 1 + + =1 + x + xy + y + yz + z + zx Bài 18: Chứng minh xyz=1 HD : VT = xyz xyz xyz xyz + + = + + = = VP xyz + x yz + xy xyz + y + yz + z + zx xy ( z + xz + 1) y ( xz + + z ) + z + zx 2010 x y z + + =1 xy + 2010 x + 2010 yz + y + 2010 xz + z + Bài 19: Cho xyz=2010, CMR: HD : x yz y z VT = + + =1 xy + x yz + xyz yz + y + xyz xz + z + Bài 20 : Tính giá trị biểu thức sau biết : P= abc = 2016 2bc − 2016 2b 4032 − 3ac − + 3c − 2bc + 2016 3− 2b + ab 3ac − 4032 + 2016a P= x + 2xy + y + 2yz + z + 2zx + + + x + xy + xz + y + yz + yx + z + zx + zy + Bài 21: Tính GTBT biết HD : yz( x + 2xy + 1) xz( y + 2yz + 1) xy( z + 2zx + 1) P= + + yz( x + xy + xz + 1) xz( y + yz + xy + 1) xy( z + zx + xy + 1) xyz = = ( 1+ y) + y( 1+ z) + 1+ z + z( 1+ x) + 1+ x + x( 1+ y) ( 1+ y) ( 1+ z) ( 1+ z) ( 1+ x) ( 1+ x) ( 1+ y) = y 1 z x + + + + + + 1+ y 1+ z 1+ x 1+ x 1+ z 1+ y 1+ x = y + 1+ z 1+ x + + =3 y + 1+ z x + Bài 22: Cho HD : a 10 = b , Tính 16a − 40ab A= 8a − 24ab 100 10 50 b − 40 b a 10 10 = => a = b => A = = =5 100 10 10 b 3 .b − 24 .b 9 16 a+b+c = a + b3 + c3 = 3abc Bài 23: Cho a,b,c khác đôi , CMR: HD : a + b = −c ⇔ ( a + b ) = −c ⇔ a + b + 3ab ( a + b ) = −c ⇔ a + b + c = 3abc Ta có : a+b+c = a + b + c = 3abc Bài 24: Cho a,b,c khác đôi , CMR: HD : a + b3 + c = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ac ) + 3abc Ta có : a + b3 + c = 3abc => ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) = Vì 2 a + b + c − ab − bc − ca = ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = Mà ( Mâu thuẫn a≠b≠c ) a+b+c = Nên a b c P = + ÷ + ÷ + ÷ 3 a + b + c = 3abc, ( a, b, c ≠ ) b c a Bài 25: Cho , Tính HD : a + b3 + c = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) + 3abc Ta có : a + b + c3 = 3abc , Mà Nên a + b + c = => P = TH1 : a + b b + c a + c −c −a −b = = −1 b c a b c a a + b + c − ab − bc − ca = => a = b = c => P = ( + 1) ( + 1) ( + 1) = TH2 : a+b b+c c+a = = c a b a b c B = + ÷1 + ÷1 + ÷ b c a Bài 26: Cho a,b,c khác đơi , Tính HD : a + b b + c c + a 2( a + b + c) = = = c a b a+b+c Từ gt a + b b + c a + c − c − a −b a + b + c = => B = = = −1 b c a b c a TH1 : Nếu a + b b + c a + c 2c 2a 2b a + b + c ≠ => gt = => B = = =8 b c a b c a TH2 : a b c A = + ÷ + ÷ + ÷ b c a a 3b3 + b3c3 + c 3a = 3a 2b c Bài 27: Cho , Tính HD : Đặt ab = x a+b b+c c+a y+ z x+ z x+ y 3 = bc = y => x + y + z = 3xyz => x + y + z = => A = b c a bc ac ab ac = z = −ab −bc −ac = −1 bc ac ab x = y = z => a = b = c => A = Hoặc : Bài 28: Cho a,b,c số thỏa mãn: a b c A = + ÷ + ÷ + ÷ b c a HD : a +b −c b+c −a c + a −b = = c a b Tính a+b−c b+c−a c+a−b a+b+c = = = c a b a+b+c Từ gt=> a + b + c = => A = TH1 : a+b b+c a+c = −1 a c a a + b + c ≠ => gt = => a + b = 2c, b + c = 2a, c + a = 2b => A = TH2 : ax + by = c bx + cy = a cx + ay = b a + b3 + c3 = 3abc Bài 29: Cho x,y hai số thỏa mãn: , CMR : HD : ( a + b + c ) x + ( a + b + c ) y = a + b + c => ( a + b + c ) ( x + y − 1) = Cộng theo vế gt=> a + b + c = => a + b3 + c = 3abc TH1: x + y = => a = b = c > a + b3 + c = 3abc TH2: a2 + b2 + c2 N= ( a + b + c) a+b+c ≠ a + b3 + c3 = 3abc Bài 30: Cho , Tính giá trị HD: 3a => a = b = c => N = = 9a Từ gt xyz A= 3 ( x + y) ( y + z) ( z + x) x + y + z = 3xyz Bài 31: Cho , Rút gọn HD: xyz x3 TH 1: x + y + z = => A = = −1 TH : x = y = z => A = = − xyz x.2 x.2 x Từ gt=> 3 A = ( a + b − 2c ) + ( b + c − 2a ) + ( c + a − 2b ) Bài 32: Rút gọn : HD: a + b − 2c = x, b + c − 2a = y, c + a − 2b = z Đặt: A = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) = ( a + b − 2c + b + c − 2a + c + a − 2b ) ( x + y + z + ) = 1 + + =0 a b c A= 1 + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 33: Cho a,b,c khác đôi , Rút gọn: HD: 1 + + = ⇔ ab + bc + ca = => a + 2bc = a + bc − ab − ca = ( a − b ) ( a − c ) a b c Ta có: b + 2ac = ( b − a ) ( b − c ) , c + 2ba = ( c − a ) ( c − b ) Tương tự: 1 c −b +a −c +b −a A= + + = =0 ( a − b) ( a − c) ( b − a) ( b − c) ( c − a ) ( c − b) ( a − b) ( b − c ) ( c − a ) Khi đó: 1 + + =0 a b c P= 1 + + a − 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 34: Cho a, b, c đơi khác , Tính HD : 1 bc ac ab + + =0 B= + + a b c a + 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 35: Cho a,b,c khác đôi , Rút gọn: HD: Theo 26 => ab ( c − b ) + ac ( a − c ) + ab ( b − a ) bc ac ab B= + + = ( a − b) ( a − c) ( b − a) ( b − c) ( c − a) ( c − b) ( a − b) ( b − c) ( c − a) Phân tích tử => B 1 + + =0 a b c C= a2 b2 c2 + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 36: Cho a,b,c khác đôi ,Rút gọn: HD: Theo 26 a ( c − b ) + b2 ( a − c ) + c ( b − a ) a2 b2 c2 => C = + + = ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a) ( c − a) ( c − b) ( a − b) ( b − c) ( c − a ) Phân tích tử =>C ≠ 1 + + =0 a b c A= bc ac ab + + a b2 c2 Bài 37: Cho a,b,c 0, , Tính HD: 1 1 1 + + = => + + = a b c a b c abc Từ gt = A= Khi đó: abc abc abc 1 1 + + = abc + + ÷ = abc =3 a b c abc a b c Bài 38: Cho x,y,z đôi khác 1 + + =0 x y z A= yz xz xy + + x + yz y + xz z + xy , Tính HD: ≠ A= ab bc ac + 2 + 2 2 a + b − c b + c − a c + a2 − b2 Bài 39: Cho a+b+c=0 a,b,c 0, Rút gọn HD: a + b + c = => a + b = −c => a + b + 2ab = c => a + b − c = −2ab Từ b + c − a = −2bc, c + a − b = −2ac Tương tự: , Khi đó: ab bc ac −3 A= + + = −2ab −2bc −2ac ≠ a2 b2 c2 B= 2 + 2 + 2 a −b −c b − a −c c − a −b Bài 40: Cho a+b+c=0, a,b,c 0, Rút gọn HD: a + b + c = => b + c = −a => b + c + 2bc = a => a − b − c = 2bc Từ , 2 2 2 b − a − c = 2ac, c − a − b = 2ab Tương tự: , Khi đó: 2 a b c 3abc B= + + = a + b3 + c3 = = 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc ( ≠ A= ) 1 + + 2 2 b + c − a c + a − b a + b2 − c2 Bài 41: Cho a+b+c=0, a,b,c 0, Rút gọn HD: a + b + c = => b + c = − a => b + c + 2bc = a => b + c − a = −2bc Từ: c + a − b = −2ac, a + b − c = −2ab Tương tự: , Khi đó: 1 −1 a + b + c A= + + = ÷= −2bc −2ac −2ab abc HD: Cộng theo vế gt 2a + 2b + 2c = 2ax + 2by + 2cz ⇔ a + b + c = ax + by + cz = ax + 2a = a ( x + ) tacó b a c = => = = y+2 a+b+c z+2 a+b+c x+2 a +b+c , Tương tự: , 2 2 2 2 a +b −c b +c −a c +a −b + + =1 2ab 2bc 2ac Bài 129: Cho , CMR ba số a,b,c có số tổng hai số HD: ( a + b2 − c2 ) c + ( b2 + c2 − a ) a + ( c + a − b2 ) b = 2abc Từ gt ta có: ( a + b2 − c + 2ab ) c + ( b + c − a − 2bc ) a + ( c + a − b − 2ac ) b = ( a + b + c) ( a + b − c) c + ( b − c + a) ( b − c − a) a + ( c − a + b) ( c − a − b) b = ( a + b − c) ( a + c − b) ( b + c − a) = c = a+b a+c =b hoặc: b+c = a bc ( y − z ) + ca ( z − x ) + ab ( x − y ) A= ax + by + cz 2 ax + by + cz = 2 Bài 130: Cho , Rút gọn HD: ( ax + by + cz ) = ⇔ a x + b y + c z = −2 ( abxy + bcyz + acxz ) Từ bc ( y − yz + z ) + ac ( x − xz + z ) + ab ( x − xy + y ) Xét mẫu số: = bcy + bcz + acx + acz + abx + aby + ( a x + b y + c z ) = c ( ax + by + cz ) + b ( ax + by + cz ) + a ( ax + by + cz ) = ( a + b + c ) ( ax + by + cz ) A= Khi đó: ( a + b + c ) ( ax + by + cz ) ax + by + cz = a +b+c B= x+ y+ z =0 Bài 131: Cho HD: x2 + y2 + z ( y − z) + ( z − x) + ( x − y) 2 , Rút gọn: ( x + y + z) = x + y + z + ( xy + yz + zx ) = ⇔ x + y + z = −2 ( xy + yz + zx ) Ta có: Khi đó: Mẫu = 2 ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) = ( x + y + z ) + x + y + z = ( x + y + z ) B= Vậy ≠ Bài 132: Cho số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn: a,b,c P = x + y + z1945 + 2017 x4 + y + z x4 y z = + + a + b4 + c a b4 c , Tính HD: x4 x4 y4 y4 z4 z4 − + − + + ÷ ÷ ÷= 4 4 4 4 4 c4 a +b +c a a +b +c b a +b +c Từ gt=> x = y = z = => P = 2017 nên ≠ Bài 133: Cho a,b,c ba số thực thỏa mãn: 1 1 + 2015 + 2015 = 2015 2015 2015 a b c a + b + c 2015 1 1 + + = a b c a+b+c , CMR: HD: 1 b+c b+c 1 1 − + + ÷= ⇔ + =0 a a +b+c b c a ( a + b + c) bc Từ gt ta có: b + c = => b = −c => TH1: a 2015 + b 2015 + −1 = 2015 2015 2015 b a + b − b 2015 1 + = ⇔ bc + a + ab + ac = ⇔ ( a + b ) ( a + c ) = a + ab + ac bc TH2: 3 a b c + + = 1006 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 2 Bài 134: Cho a,b,c thỏa mãn: , => giống TH1: M= Tính giá trị biểu thức: HD : M = ( a + b + c) a + b3 b3 + c c3 + a + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a x ( y − xz ) ( − yz ) = y ( x − yz ) ( − xz ) x ≠ y, xyz ≠ 0, Bài 135: Cho x,y,z thỏa mãn: 1 + + = x+ y+z x y z CMR : HD: ( x − yz ) y ( − xz ) = x ( − yz ) ( y − xz ) Từ GT ta có: 2 2 2 x y − x yz − y z + xy z xy − x z − x yz = 2 2 2 x y − x yz − y z + xy z − xy + x z + xy z − x yz = , 2 2 xy ( x − y ) − xyz ( yz + y − xz − x ) + z ( x − y ) = ( x − y ) xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz = xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = Do x # y nên Bài 136: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn : a b c P= + + b+c c +a a +b trị biểu thức: (b x= + c2 − a2 ) hay 1 a + b + c = , a + b + c + ab + bc + ca = ( a − ( b − c) ) ;y= ( ( b + c) − a ) Bài 137: Cho HD: M = x + y + xy , Tính giá trị biểu thức ( b + c) x= Ta có: , Tính giá 2 2bc xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) − a2 2bc ( b + c + a) ( b + c − a) − − a= 2bc y= ( a − b + c) ( a + b − c) ( b + c − a) ( b + c + a) Khi M = y( x + 1) + x = M= ( a − b + c) ( a + b − c) ( b + c + a) ( b + c − a) + ( b + c + a) ( b + c − a) − 2bc 2bc ( b + c − a) ( b + c + a) ( a − b + c) ( a + b − c) + ( a + b + c) ( b + c − a) − 1= 4bc − 1= Bài 138: Cho biết HD : 2bc x =− x + x +1 2bc 2bc , Tính độ dài biểu thức : x2 x4 + x2 + x −2 x + x + −3 −3 −5 = => = => x + + = => x + = x + x +1 x x x Từ gt ta có : x4 + x2 + 1 1 25 21 x2 = x + + = x + − = − = = ÷ 2 x x x 4 x + x + 21 Nên Vậy x1 = 2, x2 = (Hoặc ta giải phương trình đầu thay vào) 2 x − yz y − xz = x ( − yz ) y ( − xz ) Bài 139: CMR: với x # y, xyz # 0, yz#1, xz#1, xy+xz+yz=xyz(x+y+z) HD: ( x − yz ) y ( − xz ) = x ( − yz ) ( y − xz ) Từ GT ta có: 2 2 2 x y − x yz − y z + xy z xy − x z − x yz = 2 2 2 x y − x yz − y z + xy z − xy + x z + xy z − x yz = 2 2 xy ( x − y ) − xyz ( yz + y − xz − x ) + z ( x − y ) = ( x − y ) xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz = xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = Do x # y nên hay x − y2 B= x + y2 x− y A= x+ y Bài 140: Cho x>y>0, so sánh HD: xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) A= ( x − y) ( x + y) ( x + y) x + y + xy > x + y , x − y > , Mà x −y x2 − y2 A= < xy + x + y x + y 2 nên Vậy A = + xyz xyz xyz yz xz xy Từ giải thiết ta có : ( p + m) − ( n + p ) = ( m + n) − ( p + m) = ( n + p ) − ( m + n) xy − xz yz − xy xz − yz = = ĐPCM 2 x − y − z + yz x + y − z A= : x + xz − y − yz x + y + z Bài 142: Tính giá trị biểu thức: a, với x =1 , y = , z = 3 3 HD: A= ( x + y − z) ( x − y + z) : x + y − z = x − y + z ( x − y) ( x + y + z) x + y + z x − y Rút gọn biểu thức Bài 143: Cho số a,b thỏa mãn hệ thức: a − 3a + 5a − 2011 = 0, b3 − 3b + 5b + 2005 = , Tính a+b HD: 3 ( a − 1) + ( a − 1) − 2008 = ( b − 1) + ( b − 1) + 2008 = Từ điều kiện ta có: Cộng theo vế ta được: 3 2 ( a − 1) + ( b − 1) + ( a + b − ) = => ( a + b − ) ( a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) + ( a + b − ) = ( a + b − ) ( a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) + = => 2 ( a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) + 2 , Vì = 1 2 ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) + > 2 nên a+b - 2=0=> a+b=2 5x + 5y2 + 8xy + 2x − 2y + = Bài 144: Cho số x, y thỏa mãn đẳng thức: M = a3 + b3 + 3ab a2 + b2 + 6a2b2 ( a + b) ( ) Tính giá trị biểu thức: HD: 5a2 + 5b2 + 8ab + 2a − 2b + = Từ 4a2 + 8ab + 4b2 + a2 + 2a + + b2 − 2b + = ( ) ( ) a = −1 2 4( a + b) + ( a + 1) + ( b − 1) = => b = x − y− z = Thay vào biểu thức M ta được: z x y B = − ÷ − ÷ + ÷ x y z Bài 145: Cho x,y,z khác , Tính HD: x− z = y x − y − z = => y − x = − z y −z x B = = −1 z + y = x x y z Vì , thay vào B ta được: a +b−c b +c −a c + a −b − − =0 ab bc ca Bài 146: Cho số a,b,c khác thỏa mãn: , CMR: ba số a,b,c có số tổng hai số HD: c( a + b − c) − a( b + c − a) − b( c + a − b) = Quy đồng ta được: ca + bc − c2 − ab − ac + a2 − bc − ab + b2 = a2 + b2 − c2 − 2ab = ( a = b + c ( a − b) − c2 = ( a − b − c) ( a − b + c) = b = a + c Bài 147: Cho HD: 1 + + =k a b c a+b+c=abc, Tính k để 1 + + =k a b2 c2 ) 1 1 1 1 a2 + + c2 ÷+ 2 ab + bc + ac ÷ = k b 1 + + =k a2 b2 c2 Ta có: , Để k = −1 a+ b+ c k + 2 = k2 k2 − k − = ÷ abc k = Q= ta có: x y 2z + + xy + x + yz + y + xz + z + Bài 147: với xyz=2 mẫu thức khác Bài 148: Tính tổng: x y z x2 y2 z2 P= − + A= + + 2 2 2 2 − xy + x + yz − y + xz + z − y +z −x z +x −y x +y −z a, , với xyz=1 mẫu thức Bài 149: 1 1 n4 + = ( n − 1) n + n( n + 1) + 2 2 a, CMR: 1 1 1 1 + ÷ + ÷ + ÷ 13 + ÷ A= 1 1 1 1 + ÷ + ÷ + ÷ 14 + ÷ b, Áp dụng câu a, thu gọn: HD: 1 1 1 1 n + = n4 + n2 + − n2 = n2 + ÷ − n2 = n( n − 1) + n( n + 1) + 4 2 2 2 a) Ta có: b) Áp dụng: 1 1 1 1 1 1 0.1+ ÷ 1.2 + ÷ 2.3+ ÷ 3.4 + ÷ 12.13+ ÷13.14 + ÷ = A= = 421 1 1 1 1 1 1 1.2 + ÷ 2.3+ ÷ 3.4 + ÷ 4.5+ ÷ 13.14 + ÷14.15+ ÷ 14.15+ Bài 150: Chứng minh với ba số a, b, c đơi khác : a3 b3 c3 + + = a+ b+ c ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a) ( c − a) ( c − b) HD: VT = Ta có: a3 ( c − b) + b3 ( a − c) + c3 ( b − a) ( a − b) ( b − c) ( c − a) = ( a − b) ( b − c) ( c − a) a3 ( c − b) − b3 ( b − a) − b3 ( c − b) + c3 ( b − a) ( a − b) ( b − c) ( c − a) ( c − b) ( a − b) ( a = = a3 ( c − b) + b3 − ( b − a) − ( c − b) + c3 ( b − a) ) ( c − b) ( a − b ) + ( b − a) ( c = ( a − b) ( b − c) ( c − a) ( + ab + b2 + ( b − a) ( c − b) c2 + bc + b2 ( a − b) ( b − c) ( c − a) 3 − b3 ) ) = ( a − b) ( b − c) ( c − a) ( a + b + c) ( a − b) ( b − c) ( c − a) = a+ b+ c a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd Bài 151: Chứng minh : Nếu a,b,c,d số dương a= b= c= d HD: Từ: a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd => a4 + b4 − 2a2b2 + c4 + d4 − 2c2d2 + a2b2 + c2d2 − 2abcd = ( ) ( ) ( a2 = b2 2 a2 − b2 + c2 − d2 + 2( ab − cd) = => c2 = d2 a = b = c = d ab = cd ( ) ( ) x1 + 1 1 = x2 + = x3 + = = xn + x2 x3 x4 x1 Bài 153: Chứng minh : , x1.x2.x3 xn = x1 = x2 = x3 = = xn : HD: 1 x2 − x3 x1 − x2 = − = x3 x2 x2.x3 Từ giả thiết ta có: , x3 − x4 x −x x2 − x3 = xn − x1 = x3.x4 x1.x2 Tương tự : ,…, ,, Xét tích theo vế ta được: ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x1 − x2 ) ( x2 − x3) ( xn − x1) = x 3x 3x x4 xn.x x x1 ( ) ( 3) ( n 1) ( ) ) ( x1 − x2 ) ( x2 − x3 ) ( xn − x1) ( x1 − x2 ) 1− =0 x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 n 1 ( x1 − x2 ) ( x2 − x3 ) ( xn − x1 ) ( x1 − x2 ) = x1 = x2 = x3 = = xn ( x x x x ) = x1.x2.x3 xn = n Bài 154: Chứng minh a, b, c số thực thỏa mãn: , HD: 1 + + =2 a b c a + b + c = abc 1 + + =2 a2 b2 c2 Từ: 1 1 1 1 a+ b+ c 1 a + b + c ÷ = + + + 2 ab + bc + ca ÷ = A + 2 abc ÷ = => A = a b c 2bc + b2 + c2 − a2 = 4p( p − a) a + b + c = 2p Bài 155: Cho HD: Vì , CMR: a + b + c = 2p b + c = 2p − a ( b + c) = ( 2p − a) b2 + c2 + 2bc = 4p2 − 4ap + a2 2 2bc + b2 + c2 − a2 = 4p( p − a) x + y = a, x2 + y2 = b, x3 + y3 = c Bài 156: Cho HD: , CMR: a3 − 3ab + 2c = x + y = a => ( x + y) = a2 => x2 + y2 + 2xy = a2 => b + 2xy = a2 => xy = Vì ( x + y) Và Bài 157: Cho HD: a2 − b 3 = x3 + y3 + 3xy( x + y) = a3 c + 3 ÷.a = a a − 3ab + 2c = a + b + c = 0,a2 + b2 + c2 = ( a + b + c) Ta có: a2 − b 2 , Tính giá trị của: M = a4 + b4 + c4 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = => 2( ab + bc + ca) = −1 => ab + bc + ca = −1 , Bình phương tiếp được: 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc( a + b + c) = => a2b2 + b2c2 + c2a2 = 4 Mà (a +b +c ) 2 2 ( ) 1 = => a4 + b4 + c4 + a2b2 + b2c2 + c2a2 = => M + = => M = ( a + b + c) = a2 + b2 + c2 Bài 158: Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn: a2 b2 c2 + + =1 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab HD: , CMR: ab + bc + ca = Từ GT ta có: a2 + 2bc = a2 + bc + bc = a2 + bc − ab − ca = ( a − b) ( a − c) Nên b2 + 2ac = ( b − a) ( b − c) c + 2ab = ( c − a) ( c − b) Tương tự ta có: , Thay vào ta được: 2 a2 ( c − b) + b2 ( a − c) + c2 ( b − a) a b c2 VT = + + = ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a) ( c − a) ( c − b) ( a − b) ( b − c) ( c − a) ( a − b) ( b − c) ( c − a) Phân tích tử thành: Bài 159: Cho HD: Xét 1 + + =0 a b c M= , Tính giá trị của: b+ c c + a a+ b + + a b c b+ c c + a a+ b a + b+ c a + b+ c a + b+ c M + 3= + 1÷+ + 1÷+ + 1÷ = + + a b c a b c 1 1 M + = ( a + b + c) + + ÷ = => M = −3 a b c Bài 160: Cho a b c + + =1 b+ c c + a a+ b , CMR: a2 b2 c2 + + =0 b+ c c + a a+ b HD: ( a + b + c) b +a c + c +b a + a +c b ÷ = ( a + b + c) , a+ b+ c ≠ Xét với a2 b2 c2 ab ac ab bc ac bc = + + + + + + + = a+ b+ c ÷+ b+ c c + a a + b c + a a + b b+ c a + b b+ c c + a c( a + b) a( b + c) b( c + a) A+ + + = a + b + c => A = b+ c c + a a + b A= a.x + b.y + c.z = Bài 161: Cho HD: a.x2 + b.y2 + c.z2 bc( y − z) + ac( x − z) + ab( x − y) 2 , Rút gọn: = bc( y − z) + ac( x − z) ( x − y) + ( y − z) + ab( x − y) ( x − y) Mẫu thức = bc( y − z) + ac( x − z) ( x − y) + ac( x − z) ( y − z) + ab( x − y) 2 = c( y − z) b( y − z) + a( x − z) + a( x − y) c ( x − z) + b( x − y) = c( y − z) ( by − bz + ax − az) + a( x − y) ( cx − cz + bx − by) = c( y − z) ( by − bz + ax − az) + a( x − y) ( cx − cz + bx − by) (1) ax + by = − cz ax + by + cz = => ax = − by − cz Mà Thay vào (1) ta được: (1) = c( y − z) ( − az − bz − cz) + a( x − y) ( ax + bx + cx) = −cz( y − z) ( a + b + c) + ax( x − y) ( a + b + c) = ( a + b + c) ax2 − axy − cyz + cz2 ( ) = ( a + b + c) ax2 + cz2 − axy − cyz (2) ax + by + cz = => axy + by + cyz = => − axy − cyz = by2 Mà (2) = ( a + b + c) ax2 + by2 + cz2 ( ) thay vào (2) ta được: x + y + z = −3 Bài 162: Chứng minh nếu: ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) 3 thì: = 3( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) HD: x + y + z = −3 => ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = Vì => a + b + c = => a3 + b3 + c3 = 3abc ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) 3 , Đặt x + 1= a y + 1= b z + 1= c hay = 3( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) a b c a + b + c = 0, x + y + z = 0, + + = x y z a.x2 + by2 + cz2 = Bài 163: Cho , CMR: HD: Xét ( x + y + z) ( ax + by + cz) = => ax2 + by2 + cz2 + ( bxy + cxz + axy + cyz + axz + byz) = ( ) A + xy( a + b) + yz( b + c) + xz( a + c) = => A − cxy − ayz − bxz = A − ( ayz + bxz + cxy) = (1) a b c + + = => ayz + bxz + cxy = x y z Mà a b c + + =0 b− c c − a a− b A= Thay vào (1) ta a b c + + =0 2 ( b − c) ( c − a) ( a − b) Bài 164: Cho , CMR: HD: 1 a b c b − c + c − a + a − b ÷ b − c + c − a + a − b ÷ = Xét a b c a b2 c => + + + + + 2 ( b − c) ( b − c) ( c − a) ( b − c) ( a − b) ( c − a) ( b − c) ( c − a) ( c − a) ( a − b) + a b + + c ( a − b) ( b − c) ( a − b) ( c − a) ( a − b) => A + =0 b( a − b) + c( c − a) + a( a − b) + c ( b − c) + a( c − a) + b( b − c) ( a − b) ( b − c) ( c − a) =0 => A + = => A = Bài 165: Cho HD: , Hãy tính giá trị biểu thức: x −2 x2 + x + −3 = => = x x2 + x + Từ: => x = x + x+1 x+ , hay x + x +1 1 21 = x + + 1= x + ÷ − = x x x Bài 166: Cho số a, b, c thỏa mãn hệ thức sau: HD: ( a − 1) ( b − 1) −3 −5 + 1= => x + = x x x2 = x + x + 21 , a3 − 3a2 + 5a − 2011= b − 3b + 5b + 2005 = , Tính a+b + 2( a − 1) − 2008 = Từ điều kiện ta có: x2 x4 + x2 + (1) + 2( b − 1) + 2008 = Và Cộng theo vế ta : (2) ( a − 1) + ( b − 1) + ( a + b − 2) = ( a + b − 2) ( a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) 2 2 2 ( a + b − 2) ( a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) + 2 = Vì 2 1 2 = a − b + a − + b − + 2> ( ) ( ) ( ) a − − a − b − + b − + ( ) ( )( ) ( ) 2 Nên a + b − = a + b = x2 − yz y2 − xz = ,( x ≠ y) , xyz ≠ 0, yz ≠ 1, xz ≠ x( 1− yz) y( 1− xz) Bài 167: Chứng minh nếu: , thì: + 2( a + b − 2) = xy + xz + yz = xyz( x + y + z) HD: ( ) ( ) => x2 − yz y( 1− xz) = x( 1− yz) y2 − xz Từ GT x2y − x3yz − y2z + xy2z2 = xy2 − x2z − xy3z + x2yz2 x2y − x3yz − y2z + xy2z2 − xy2 + x2z + xy3z − x2yz2 = ( ) ( ) xy( x − y) + xyz yz + y2 − xz − x2 + z x2 − y2 = xy( x − y) − xyz( x − y) ( x + y + z) + z( x − y) ( x + y) = ( x − y) xy − xyz( x + y + z) + xz + yz = x − y ≠ => xy + xz + yz − xyz( x + y + z) = Do xy + xz + yz = xyz( x + y + z) Hay x( m+ n) = y( n + p) = z( p + m) Bài 168: Cho CMR : m− n n− p p− m = = x( y − z) y( z − x) z( x − y) HD : x( m+ n) = y( n + p) = z( p + m) xyz ≠ Vì => x( m+ n) xyz , x, y, z số khác khác 0, = y( n + p) xyz = z( p + m) xyz m+ n n + p p + m = = yz xz xy , hay ( p + m) − ( n + p) = ( m+ n) − ( p + m) = ( n + p) − ( m+ n) = xy − xz yz − xy xz − yz = m− n n= p p− m = = x( y − z) y( z − x) z( x − y) A= Bài 169: Rút gọn: xy + 2x + yz + 2y + zx + 2z + + + xy + x + y + yz + y + z + zx + z + x + HD: xy + 2x + ( xy + x + y + 1) + ( x − y) x− y x y = = 1+ = 1+ − xy + x + y + xy + x + y + x + y+ ( x + 1) ( y + 1) Ta có: yz + 2y + y z = 1+ − yz + y + z + y+ z + , zx + 2z + z x = 1+ − zx + z + x + z+ x+ Cộng theo vế ta A=3 (x +y +z ) 2 2 ( = x4 + y4 + z4 Bài 170: Chứng minh rằng: HD: ) , biết rằng: x+y+z=0 x + y + z = => x = − ( y + z) => x2 = − ( y + z) Ta có: ( x2 = y2 + z2 + 2xz x2 − y2 − z2 = 2xz x2 − y2 − z2 ) = ( 2xz) x4 + y4 + z4 − 2x2y2 − 2x2z2 + 2y2z2 = 4x2z2 x4 + y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 x4 + y4 + z4 + x4 + y4 + z4 = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 ( ) ( x4 + y4 + z4 = x2 + y2 + z2 ) 2 ... + 5y2 + 8xy + 2x − 2y + = Bài 144: Cho số x, y thỏa mãn đẳng thức: M = a3 + b3 + 3ab a2 + b2 + 6a2b2 ( a + b) ( ) Tính giá trị biểu thức: HD: 5a2 + 5b2 + 8ab + 2a − 2b + = Từ 4a2 + 8ab + 4b2... Khi Bài 102: Cho x+y=9, xy=14, Tính x2 + y2 x3 + y x− y a, b, c, HD : x + y = ( x + y ) − xy = 81 − 28 a, x3 + y = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = 93 − 3.14.9 = 351 b, 2 ( x − y ) = ( x + y ) − xy c,... 2b − c ) + ( 2b + 2c − a ) + ( 2c + 2a − b ) HD: Phân tích theo đẳng thức: ( 5a − 3b + 8c ) ( 5a − 3b − 8c ) = ( 3a − 5b ) a − b = 4c Bài 113: Cho , CMR: HD: 2 VT = ( 5a − 3b ) − 64c = 25a −
Ngày đăng: 21/12/2022, 10:47
Xem thêm:
